Ejercicios Resueltos Riley Grupo 221

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ´ CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIER´IA DE MINAS GEOLOG´IA Y CIVIL ´ PROFESIONAL DE ESCUELA DE FORMACION ´ INGENIERIA CIVIL

´ PRACTICA DOMICILIARIA II Curso ´ DINAMICA (IC-244) Docente Ing Cristian Castro Perez Estudiante ´l Cuya Ogosi, Sau Ayacucho - Per´ u 2013

DINAMICA IC-244 Problema I. Una esfera de masa 3 kg est´ a soportada por una varilla de masa despreciable y un hilo, seg´ un se indica en la Figura. Determinar la tensi´ on T de la varilla. 1. Cuando la esfera se halla en la posici´ on representada en la figura. 2. Inmediatamente despu´ es de cortar el hilo. 3. Cuando la esfera pasa por su posici´ on m´ as baja.

Soluci´ on Para hallar la tensi´on, realizamos X Fy = 0

X

Fy = 0.

T sin 450 − 3g = 0 T =

3(9.81) sin 450

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DINAMICA IC-244 T = 41.6 N Para b con el momento que se corta el hilo realizamos sumatoria de fuerza respecto X a la normal y a la tangencial. Fn = man an =

V2 = rω 2 r

Desarrollando: T = 3g sin θ = 3rω 2 Para θ = 450 , ω = 0 T − .(9.81) sin 450 = 3(2)ω 2 T X= 20.8 N Ft = mat at = v˙ = rθ¨ 3g cos θ = 3(2)θ¨ Cuando la esfera baja por lo mas bajo. Donde ω = θ˙ ∂ ∂θ ∂t ∂t ∂ω ∂θ ∂ω =r × at = r ∂t ∂t ∂θ ∂ω at = rω ∂θ

at = rθ¨ = r

Reemplazando ∂ω ω cos θ = 6ω ∂θ Integrando Z Z ω cos θ = 9.81 · sin θ =

6ω

∂ω ∂θ

2ω 2 2

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DINAMICA IC-244 ω 2 = 9.81 sin θ + c cuando ω = 0 y θ = 450 ω = 1.594 rad/s cuando θ = 900 T = 3rω 2 + 3g sin 900 T = 3 · 2 · 1.69422 + 3 · 9.81 · sin900 T = 46.56 N

Problema II El volante representado en la Figura gira con velocidad angular constante de 50 rad/s en sentido antihorario. La barra AB pesa 100 N y tiene un radio de giro respecto a su centro de masa igual a 229 mm. Determinar las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el apoyo A de la barra AB cuando θ = 600 . La ranura de la barra AB es lisa.

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DINAMICA IC-244

Soluci´ on Hallamos ”l” (AC) Por ley de cosenos l2 = 52 + 242 + 2 · 5 · 24 · cos 300 l = 19.8 Hallamos α con la ley de senos sin 300 sin α = 5 l α = 7.240 ω = θ˙ = 50 rad/s Velocidad respecto al punto C V~C = 5 · 50[−(cos(600 − α))~ er − (sin(600 − α))e~θ ] V~C = −1.51.3~ er − 199.02e~θ Entonces V~C = l˙e~r + lα˙ e~θ l˙ = −151.3 in/s lα˙ = −199.02 Donde ω = α˙ = −10.04 rad/s Se vuelve positivo

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DINAMICA IC-244 ω = α˙ = 10.04 rad/s Hallando la aceleraci´on en el punto C De la misma forma a~c = 9950.95~ er − 7564.96e~θ ˙ α˙ (¨l − lα)~ ˙ er + (lα ¨ + 2l) Donde α=α ¨ = −534.71 rad/s2 α = 534.71 rad/s2 P Realizando sumatoria de fuerzas en el eje x, y y MA 20 aGx 32.2 P 20 aGy Fy = Ay − 20 + C cos α = 32.2 X 19.83 15 MA = C − 20 cos α = IA B 12 12 P

Fx = Ax − C sin α =

Donde ω = −10.04 rad/s ⇒ −534.71 rad/s2 20 9.15 2 20 15 2 ( ) + ( ) = 1.33 32 12 32 12 15 15 = −[ ]B sin α − [ ]ω 2 cos α = −40.515 f r/s2 12 12 15 15 = −[ ]B cos α − [ ]ω 2 sin α = −979.98 f r/s2 12 12

IA = aGx aGx

Hallando Ax y Ay C = −415.9 lb Ax = 77.6 lb ←− Ay = 10.25 lb ↑

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DINAMICA IC-244 Problema III. Una barra uniforme de 1.5 kg y longitud 800 mm descansa sobre una superficie horizontal exenta de rozamientos cuando sobre ella incide un disco de 0.5 kg seg´ un se indica en la Figura. Si el choque se produce a 200 mm del extremo de la barra y el coeficiente de restituci´ on del choque vale 0.4, determinar: 1. La velocidad del disco despu´ es del choque. 2. La velocidad del centro de masa de la barra despu´ es del choque 3. La velocidad angular de la barra despu´ es del choque. 4. La posici´ on de un punto de la barra que se halle en reposo instant´ aneo durante el choque.

Soluci´ on FAy = may NA − WA = 0 =⇒ NA = WA

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DINAMICA IC-244 X

FBn = man

NB − WB cos 500 = 0 =⇒ NB = WA cos 500 Reemplazando NB = 10(9.81) cos 500 = NB = 63.06 N Hallamos Fuerza de fricci´on FA = 0.2NA = 0.2 · 49.05 = 9.81N FB = 0.2NB = 12.61 Hallamos trabajo U = Fx + Fy Z Z (x − 9.81)dx + (W sin 500 − 12.61)dy kx2 − 9.81x − 500x2 2 Conservaci´on de energ´ıa TI + U = TF Reemplazando 1 1 (0 + 0) + (52.73x − 500x2 ) = 5V 2 + (10)V 2 2 2 VA = VB 52.73x − 500x2 = 7.5v 2 M´axima velocidad cuando

dv =0 dx

52.73 − 1000x = 0 x = 0.0527 −→ reemplazamos en la ecuaci´on anterior: Vmax = 0.431 m/s

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DINAMICA IC-244 Desplazamiento ocurre cuando V = 0 52.73x − 500x2 = 0 x = 0.10554 X FAx = T + FA − 1000(0.1055) = 0 X FAy = NA − 5(9.81) = 0 X FBT = FB − T + 10 · 9.81 sin 500 = 0 X FBN = NB − 10 · 9.81 cos 500 = 0 NA + NB = 112.107N NA + NB = 112.107N FA + FB = 30.34N (FA + FB ) = 0.3(112 · 17) = 33.63 N

Problema IV. Los dos bloques representados en la figura est´ an unidos mediante un hilo inextensible y sin peso. Se sueltan, partiendo del reposo, cuando el resorte est´ a indeformado. Los coeficientes de rozamiento est´ atico y cin´ etico valen 0.3 y 0.2, respectivamente. Para el ulterior movimiento, determinar.

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DINAMICA IC-244

Soluci´ on Resolviendo IG IG =

1 (1.5)(0.8)2 12

IG = 0.08kg · m2 Rozamiento entre disco y barra = 0 barra = 0 + 0 = 1.9VGy =⇒ VGy = 0 disco = 0.9 · 12 sin 300 + 0 = 0.9Vdy =⇒ Vdy = 6m/s Donde sumamos barra y disco [0.5]1.2 cos 300 + 0 + 0 = 0.2 · 0.5Vdx + 1.5VGx Momento cin´ etico: 0.2 · 0.912 cos 300 + 0 + 0 = 0.2 · 0.9Vdx + 0.08ω Componentes de x antes y despu´ es del choque

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DINAMICA IC-244 e=−

(VGx + 0.2ω) − Vdx 0 − 12 cos 300

e = 0.4 Resolviendo: Vdx = 1.2 m/s VGx = 3.1 m/s ω = 11.49 rad/s La velocidad de disco despu´ es del choque: Vd = 6.12 m/s La velocidad del centro de masa de la barra despu´ es del choque. Reemplazando en la anterior ecuaci´ on. (0.9)(12 cos 300 ) = 0.5Vdx + 1.5VGx VG = 3.06 La velocidad de la bola despu´ es del choque, reemplazando: (0.2)(0.9)(12 cos 300 ) = (0.2)(0.9)Vdx + 0.08ω ω = 11.49 rad/s La posici´ on de la barra en reposo instant´ aneo: 3.06 = 11.49d d = 0.266

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