Ejercicios Resueltos Resistencia de Materiales

Resistencia de Materiales

Presentado por:

Javier Fuentes Fuentes Juan Carlos Heredia Rojas

Presentado a: Alfonso Rodríguez Peña

Universidad del Atlántico Ingeniería Mecánica 11 Junio 2015

EJERCICIO (A)

1000 N

A

B

2m

2m

1000 N

Diagrama de cuerpo libre:

A

B

AX

AY

+↺

2m

2m

BY

𝑀𝐵 = 0: − 𝐴𝑌 4 + 1000 2 = 0

⟹ 𝐴𝑌 = 500

A

D

M1 +↺ V1

AY

X

𝑀𝐷 = −𝐴𝑌 𝑋 + 𝑀1 = 0

⟹ 𝑀1 = 500 𝑋 𝐸𝐼 𝐸𝐼

𝑑 2 𝑦1 𝑑𝑥2 𝑑𝑦1 𝑑𝑥

= 500 𝑋

= 𝐸𝐼𝜃1 = 250 𝑋 2 + 𝐶1

𝐸𝐼𝑦1 = 83,333 𝑋 3 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2

(1) (2)

1000 N

A

E

M2

V2 X-2

AY X

+↺

𝑀𝐸 = −𝐴𝑌 𝑋 + 1000 𝑋 − 2 + 𝑀2 = 0

⟹ 𝑀2 = 𝐴𝑌 𝑋 − 1000 𝑋 + 2000 𝑀2 = −500 𝑋 + 2000 𝑑 2 𝑦2 𝐸𝐼 = −500 𝑋 + 2000 𝑑𝑥 2 𝐸𝐼

𝑑 𝑦2 𝑑𝑥

= 𝐸𝐼𝜃2 = −250 𝑋 2 + 2000 𝑋 + 𝐶3

(3)

𝐸𝐼𝑦2 = −83,333 𝑋 3 + 1000 𝑋 2 + 𝐶3 𝑋 + 𝐶4

(4)

Y 1000 N

A

(X=4, Y2=0) B

(X=0, Y1=0) (X=2, Y1= Y2) (X=2, ϴ1= ϴ2) 2m

2m

X

𝑋 = 0, 𝑌1 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (2) 𝐸𝐼 𝑌1 = 83,333 𝑋 3 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 𝐶2 = 0

(5)

𝑋 = 2, 𝜃1 = 𝜃2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 𝑦 3 : 250 22 + 𝐶1 = −250 22 + 2000 2 + 𝐶3 𝐶1 = 𝐶3 + 2000

(6)

𝑋 = 2, 𝑌1 = 𝑌2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 𝑦 4 : 83,333 23 + 𝐶1 2 + 𝐶2 = −83,333 23 + 1000 22 + 𝐶3 2 + 𝐶4 666,664 + 2𝐶1 + 𝐶2 = 3333,336 + 2𝐶3 + 𝐶4

(7)

𝑋 = 4, 𝑌2 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (4) 𝐸𝐼 0 = −83,333 43 + 1000 42 + 𝐶3 4 + 𝐶4 𝐶4 = −10666,688 − 4𝐶3

(8)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐. 5 , 6 𝑦 8 𝑒𝑛 𝑒𝑐. 7 : 666,664 + 2 𝐶3 + 2000 + 0 = 3333,336 + 2𝐶3 + (−10666,688 − 4𝐶3 ) 𝐶3 = −12000,016

(9)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 9 𝑒𝑛 6 : 𝐶1 = (−12000,016) + 2000 𝐶1 = −10000,016

(10)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 9 𝑒𝑛 8 : 𝐶4 = −10666,688 − 4(−12000,016) 𝐶4 = 37333,376

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 2 𝐸𝐼𝜃1 = 250 𝑋 2 − 10000,016 𝐸𝐼𝑦1 = 83,333 𝑋 3 − 10000,016 𝑋

𝑃𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑋 ≤ 4 𝐸𝐼𝜃2 = −250 𝑋 2 + 2000 𝑋 − 12000,016 𝐸𝐼𝑦2 = −83,333 𝑋 3 + 1000 𝑋 2 − 12000,016 𝑋 + 37333,376

(11)

Método de singularidad Haciendo momento en B tenemos que: 𝑀𝐵 = 0 → 𝐴𝑌 𝑋 + 𝑃 𝑋 − 2 𝑀(𝑥) = 𝐴𝑌 𝑋 + 𝑃 𝑋 − 2

+𝑀 =0

1

𝐴𝑌 𝑋 2 𝑃 𝑋 − 2 − 2 2

2

𝐴𝑌 𝑋 3 𝑃 𝑋 − 2 𝐸𝐼𝑦 = − 6 6

3

𝐸𝐼𝜃 =

1

+ 𝐶1

(1)

+ 𝐶1 𝑋 + 𝐶2

Evaluando en la ecuación (2) X=0; y=0 0 = 0 + 0 + 𝐶2 𝐶2 = 0

Evaluando la ecuación 2 cuando X=4; y=0 Nos queda que: 500 4 3 1000 2 0= − 6 6 𝐶1 = −1000

𝐸𝐼𝜃 =

3

𝑋2 𝑃 𝐴𝑌 − 𝑋 − 2 2 2

+ 4𝐶1

2

+ 1000

La ecuación de la curva elástica por el método de singularidad es: 𝐸𝐼𝑦 = 83,333𝑋 3 − 166,666 𝑋 − 2

3

+ 1000𝑋

(2)

EJERCICIO (B) 30 kN/m

A

B

1m

2m

1m

6 kN 2m

3 kN/m

A

B

AX

1m

AY

2m

1m

BY

𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝐴𝑦 = 𝐵𝑦 = 3 𝑘𝑁

A

C

M1

+↺

𝑀𝐶 = −𝐴𝑌 𝑥 + 𝑀1 = 0

⟹ 𝑀1 = 3000 𝑥 V1 AY

X

𝐸𝐼 𝐸𝐼

𝑑 2 𝑦1 𝑑𝑥2 𝑑 𝑦1 𝑑𝑥

= 3000 𝑥

= 𝐸𝐼𝜃1 = 1500 𝑥 2 + 𝐶1

𝐸𝐼𝑦1 = 500 𝑥 3 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2

(1) (2)

3000(X-1)

+↺

𝑀𝐷 = −𝐴𝑌 𝑥 +

3000 𝑥 − 1 (

𝑥−1 2

) + 𝑀2 = 0

⟹ 𝑀2 = 1500(𝑥 2 ) + 1500 A

D M2

𝐸𝐼

V2 (X-1)/2 AY

X-1

𝐸𝐼

𝑑 2 𝑦2 𝑑𝑥2 𝑑 𝑦2 𝑑𝑥

= 1500 𝑥 2 + 1500

= 𝐸𝐼𝜃2 = 500 𝑥 3 +

1500 𝑥 + 𝐶3 (3) 4 2 𝐸𝐼𝑦2 = 125 𝑥 + 750 𝑥 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 (4)

X

6 kN 3 kN/m

V3 A

E

M3

(X-3) AY

1m

X-2 X

+↺

𝑀𝐸 = −𝐴𝑌 𝑥 + 6000 𝑥 − 2 + 𝑀3 = 0

⟹ 𝑀3 = 3000 𝑥 − 6000 𝑥 + 12000 ⟹ 𝑀3 = −3000 𝑥 + 12000

𝑑 2 𝑦3 𝐸𝐼 = −3000 𝑥 + 12000 𝑑𝑥 2 𝐸𝐼

𝑑 𝑦3 𝑑𝑥

= 𝐸𝐼𝜃3 = −1500 𝑥 2 + 12000(𝑥) + 𝐶5

𝐸𝐼𝑦3 = −500 𝑥 3 + 6000(𝑥 2 ) + 𝐶5 (𝑥) + 𝐶6

(5) (6)

Y

30 kN/m

A

B

1m (X=0, Y1=0)

2m (X=1, Y1= Y2) (X=1, ϴ1= ϴ2)

X

1m (X=3, Y2= Y3) (X=3, ϴ2= ϴ3)

(X=4, Y3=0)

𝑋 = 0, 𝑌1 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (2) 𝐸𝐼(0) = 500 0 + 𝐶1 0 + 𝐶2 𝐶2 = 0

(7)

𝑋 = 1, 𝜃1 = 𝜃2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 𝑦 3 : 1500 22 + 𝐶1 = 500 23 + 1500 2 + 𝐶3 𝐶1 = 𝐶3 + 1000

(8)

𝑋 = 1, 𝑌1 = 𝑌2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 𝑦 4 : 500 23 + 𝐶1 2 + 𝐶2 = 125 24 + 750 22 + 𝐶3 2 + 𝐶4 4000 + 2𝐶1 = 5000 + 2𝐶3 + 𝐶4

(9)

𝑋 = 3, 𝜃2 = 𝜃3 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 3 𝑦 5 : 500 33 + 1500 3 + 𝐶3 = −1500 32 + 12000(3) + 𝐶5 18000 + 𝐶3 = 22500 + 𝐶5

(10)

𝑋 = 3, 𝑌2 = 𝑌3 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 4 𝑦 6 : 125 34 + 750 32 + 𝐶3 3 + 𝐶4 = −500 33 + 6000(32 ) + 𝐶5 (3) + 𝐶6 16875 + 3𝐶3 + 𝐶4 = 40500 + 3𝐶5 + 𝐶6

(11)

𝑋 = 4, 𝑌3 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 6 : 𝐸𝐼(0) = −500 43 + 6000(42 ) + 𝐶5 (4) + 𝐶6 0 = 64000 + 4𝐶5 + 𝐶6

(12)

𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 10 : 𝐶3 = 𝐶5 + 4500 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐. 10 𝑦 8 𝑒𝑛 𝑒𝑐. 9 : 4000 + 2(𝐶3 + 1000) = 5000 + 2𝐶3 + 𝐶4 4000 + 2𝐶3 + 2000 = 5000 + 2𝐶3 + 𝐶4 4000 + 2(𝐶5 + 4500) + 2000 = 5000 + 2(𝐶5 + 4500) + 𝐶4 4000 + 2𝐶5 + 9000 + 2000 = 5000 + 2𝐶5 + 9000 + 𝐶4 𝐶4 = 1000

(13)

𝑑𝑒 𝑒𝑐. 12 : 𝐶6 = −64000 − 4𝐶5 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 10 , 12 𝑦 (13) 𝑒𝑛 11 : 16875 + 3 𝐶5 + 4500 + (1000) = 40500 + 3𝐶5 + (−64000 − 4𝐶5 ) 𝐶5 = −13718,75

(14)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 14 𝑒𝑛 12 : 𝐶6 = −64000 − 4(−13718,75) 𝐶6 = −9125

(15)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 14 𝑒𝑛 10 : 𝐶3 = (−13718,75) + 4500 𝐶3 = −9218,75

(16)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 16 𝑒𝑛 8 : 𝐶1 = (−9218,75) + 1000 𝐶1 = −8218,75

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 1 𝐸𝐼𝜃1 = 1500 𝑥 2 − 8218,75 𝐸𝐼𝑦1 = 500 𝑥 3 − 8218,75 𝑥

𝑃𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑋 ≤ 3 𝐸𝐼𝜃2 = 500 𝑥 3 + 1500 𝑥 − 9218,75 𝐸𝐼𝑦2 = 125 𝑥 4 + 750 𝑥 2 − 9218,75 𝑥 + 1000

𝑃𝑎𝑟𝑎 3 ≤ 𝑋 ≤ 4 𝐸𝐼𝜃3 = −1500 𝑥 2 + 12000(𝑥) − 13718,75 𝐸𝐼𝑦3 = −500 𝑥 3 + 6000(𝑥 2 ) − 13718,75(𝑥) − 9125

(17)

EJERCICIO (C)

30 kN/m

1000 N

A

B

2m

1m

1m

Hallar Ecuación de la curva elástica Diagrama de Cuerpo libre: 30 kN 0,5m 1000 N

A

B

AX

AY

+↺

2m

1m

1m

BY

𝑀𝐵 = 0: − 𝐴𝑌 4 + 1000 2 + 30 ∗ 103 0,5 = 0

⟹ 𝐴𝑌 = 4250 +↺ A

E

M1 V1

AY

X

𝑀𝐸 = −𝐴𝑌 𝑋 + 𝑀1 = 0 ⟹ 𝑀1 = 4250 𝑋

𝐸𝐼 𝐸𝐼

𝑑 2 𝑦1 𝑑𝑥2 𝑑𝑦1 𝑑𝑥

= 4250 𝑋

= 𝐸𝐼𝜃1 = 2125 𝑋 2 + 𝐶1

𝐸𝐼𝑦1 = 708,333 𝑋 3 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2

(1) (2)

1000 N

A

F

M2

V2 X-2

AY X

+↺

𝑀𝐹 = −𝐴𝑌 𝑋 + 1000 𝑋 − 2 + 𝑀2 = 0

⟹ 𝑀2 = 𝐴𝑌 𝑋 − 1000 𝑋 + 2000 𝑀2 = 3250 𝑋 + 2000 𝑑 2 𝑦2 𝐸𝐼 = 3250 𝑋 + 2000 𝑑𝑥 2 𝐸𝐼

𝑑 𝑦2 𝑑𝑥

= 𝐸𝐼𝜃2 = 1625 𝑋 2 + 2000 𝑋 + 𝐶3

(3)

𝐸𝐼𝑦2 = 541,667 𝑋 3 + 1000 𝑋 2 + 𝐶3 𝑋 + 𝐶4

(4) 30(X-3)

1000 N

V3 A

G

M3 (X-3)/2

(X-3) AY

X-2 X

+↺

𝑀𝐺 = −𝐴𝑌 𝑋 + 1000 𝑋 − 2 + 30 ∗ 103 𝑋 − 3

(𝑋 − 3) + 𝑀3 = 0 2

⟹ 𝑀3 = 4250 𝑋 − 1000 𝑋 − 2 −

30 ∗ 103 2

𝑋−3

⟹ 𝑀3 = 4250 𝑋 − 1000 𝑋 + 2000 − 15 ∗ 103 𝑋 ∗ 103 ) ⟹ 𝑀3 = − 15 ∗ 103 𝑋

2

𝑑 2 𝑦3 𝐸𝐼 = − 15 ∗ 103 𝑋 𝑑𝑥 2 𝐸𝐼

𝑑 𝑦3 𝑑𝑥

4

2

+ 90 ∗ 103 𝑋 + (135

+ (93,250 ∗ 103 ) 𝑋 + (137 ∗ 103 ) 3

+ 46,625 ∗ 103 𝑋

+ 15,542 ∗ 103 𝑋

3

2

+ 137 ∗ 103 𝑋 + 𝐶5

+ 68,5 ∗ 103 𝑋

Y

2

(5)

+ 𝐶5 𝑋 + 𝐶6 (6)

30 kN/m

1000 N

A

2

+ (93,250 ∗ 103 ) 𝑋 + (137 ∗ 103 )

= 𝐸𝐼𝜃3 = − 5 ∗ 103 𝑋

𝐸𝐼𝑦3 = − 1,25 ∗ 103 𝑋

2

(X=4, Y3=0) B

(X=0, Y1=0) (X=3, Y2= Y3) (X=3, ϴ2= ϴ3)

(X=2, Y1= Y2) (X=2, ϴ1= ϴ2) 2m

X

1m

1m

𝑋 = 0, 𝑌1 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (2) 𝐸𝐼 𝑌1 = 708,333 𝑋 3 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 𝐶2 = 0

(7)

𝑋 = 4, 𝑌3 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (6) 𝐸𝐼 𝑌3 = − 1,25 ∗ 103 𝑋 4 + 15,542 ∗ 103 𝑋 3 + 68,5 ∗ 103 𝑋 2 + 𝐶5 𝑋 + 𝐶6 0 = 1770688 + 4𝐶5 + 𝐶6

(8)

𝑋 = 2, 𝜃1 = 𝜃2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 𝑦 3 : 2125 22 + 𝐶1 = 1625 22 + 2000 2 + 𝐶3 𝐶1 = 𝐶3 + 2000

(9)

𝑋 = 2, 𝑌1 = 𝑌2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 𝑦 4 : 708,333 23 + 𝐶1 2 + 𝐶2 = 541,667 23 + 1000 𝑋 2 + 𝐶3 𝑋 + 𝐶4 𝐶4 = 2𝐶1 − 2666,672 − 2𝐶3

(10)

𝑋 = 3, 𝜃2 = 𝜃3 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 3 𝑦 5 : 1625 32 + 2000 3 + 𝐶3 = −5000 33 + 46625 32 + 137000 3 + 𝐶5 𝐶3 = 675000 + 𝐶5

(11)

𝑋 = 3, 𝑌2 = 𝑌3 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 4 𝑦 6 : 541,667 33 + 1000 32 + 𝐶3 3 + 𝐶4 = −1250 3 4 + 15542 3

3

+ 68500 3

23625,009 + 3𝐶3 + 𝐶4 = 934884 + 3𝐶5 + 𝐶6

2

+ 𝐶5 3 + 𝐶6 (12)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 9 𝑒𝑛 10 : 𝐶4 = 2 𝐶3 + 2000 − 2666,672 − 2𝐶3 𝐶4 = 1333,328

(13)

𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 8 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐶6 = −4𝐶5 − 1770688 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐. 13 , 11 𝑦 8 𝑒𝑛 12 : 23625,009 + 3 675000 + 𝐶5 + 1333,328 = 934884 + 3𝐶5 + (−4𝐶5 − 1770688) 𝐶5 = −721440,584

(14)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 14 𝑒𝑛 (11) 𝐶3 = 675000 + (−721440,584) 𝐶3 = −46440,584

(15)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 14 𝑒𝑛 𝑒𝑐. 8 : 0 = 1770688 + 4𝐶5 + 𝐶6 𝐶6 = 1115074,336

(16)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 15 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 9 : 𝐶1 = −46440,584 + 2000 𝐶1 = −44440,584

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎: 𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 2 𝐸𝐼 𝜃1 = 2125 𝑋 2 − 44440,584 𝐸𝐼 𝑌1 = 708,333 𝑋 3 − 44440,584(𝑋)

𝑃𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑋 ≤ 3 𝐸𝐼 𝜃2 = 1625 𝑋 2 + 2000(𝑋) − 46440,584 𝐸𝐼 𝑌2 = 541,667 𝑋 3 + 1000 𝑋 2 − 46440,584 𝑋 + 1333,328

𝑃𝑎𝑟𝑎 3 ≤ 𝑋 ≤ 4 𝐸𝐼 𝜃3 = −5000 𝑋 3 + 46625 𝑋 2 + 137000(𝑋) − 721440,584 𝐸𝐼 𝑌3 = −1250 𝑋 4 + 15542(𝑋 3 ) + 68500 𝑋 2 − 721440,584 𝑋 + 1115074,337

(17)

Método de singularidad: Haciendo momento en B encontramos la función de momento, la cual la integraremos dos veces 𝑀𝐵 = 0 → 𝐴𝑦 4 + 1000 2 + 3000 0.5 = 0 𝐴𝑌 = 4250 𝑀 𝑥 = 𝐴𝑌 𝑋 − 𝑃 𝑋 − 2 𝐸𝐼𝜃 = 𝐸𝐼𝑦 =

𝐴𝑌 𝑋 2 2 𝐴𝑌 𝑋 3 6

𝑃

−2 𝑋−2 −

𝑃 6

𝑋−2

2

3

1

−

− −

𝑊0 𝑋−0 2

𝑊0 6 𝑊0 24

𝑋−0 𝑋−0

3

4

2

+

+ +

𝑊0 𝑋−1 2

𝑊0 6

𝑊0 24

3

𝑋−1 𝑋−1

4

2

+ 𝐶1

(1)

+ 𝐶1 𝑋 + 𝐶2

(2)

Evaluamos la ecuación (2) cuando X=0; y=0 𝐶2 = 0

Y evaluamos la ecuación (1) cuando X=4; y=0 0=

32 8 9 𝐴𝑌 − 4𝑃 − 𝑊0 + 𝑊0 + 𝐶1 (4) 3 3 8

𝐶1 = 1229,17

La ecuación de la curva elástica por el método de singularidad es: 𝐸𝐼𝑦 = 708,333𝑋 3 − 166,666 𝑋 − 2

3

− 125 𝑋 − 0

4

+ 125 𝑋 − 1

4

+ 1129,17𝑋

𝐸𝐽𝐸𝑅𝐶𝐼𝐶𝐼𝑂 (𝐷) 1000 N

A

B

2m

2m

1000 N

B

A

MB

AX

BX

AY

+↑ +↺

2m

𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 − 1000 + 𝐵𝑦 = 0

2m

BY

(A)

𝑀𝐴 = 0: − 1000 2 + 𝐵𝑦 4 + 𝑀𝐵 = 0

⟹ 𝐵𝑦 = 500 −

1 4

𝑀𝐵

(B)

M1

+↺

V1 C

MB

⟹ 𝑀1 = 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 𝐸𝐼

By

X

𝑀𝐶 = 0: 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 − 𝑀1 = 0

𝑑 2 𝑦1 𝑑𝑥2

𝐸𝐼𝜃1 =

= 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 𝑑𝑦1 𝑑𝑥

1

= 2 𝐵𝑦 𝑥 2 + 𝑀𝐵 𝑥 + 𝐶1

1

1

6

2

(1)

𝐸𝐼𝑦1 = 𝐵𝑦 𝑥 3 + 𝑀𝐵 (𝑥 2 ) + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 (2) 1000 N

V2 M2

B

MB

+↺ 𝑀𝐷 = 0: 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 − 𝑀2 − 1000(𝑥 − 2) = 0 ⟹ 𝑀2 = 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 − 1000 𝑥 + 2000

D

𝑑 2 𝑦2 𝐸𝐼 = 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 − 1000 𝑥 + 2000 𝑑𝑥 2

X-2 X

BY

𝐸𝐼𝜃2 =

𝑑𝑦2 𝑑𝑥

1

= 2 𝐵𝑦 𝑥 2 + 𝑀𝐵 𝑥 − 500 𝑥 2 +

2000(𝑥) + 𝐶3 1

(3)

1

𝐸𝐼𝑦2 = 6 𝐵𝑦 𝑥 3 + 2 𝑀𝐵 𝑥 2 − 166,667 𝑥 3 + 1000 𝑥 2 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4

(4)

Y 1000 N

X

A

B

2m (X=4, Y2=0)

2m (X=2, Y1= Y2) (X=2, ϴ1= ϴ2)

(X=0, Y1= 0) (X=0, ϴ1= 0)

𝑥 = 0, 𝑦1 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 : 1 1 𝐸𝐼(0) = 𝐵𝑦 0 + 𝑀𝐵 (0) + 𝐶1 0 + 𝐶2 6 2 𝐶2 = 0

(5)

𝑥 = 0, 𝜃1 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 : 1 𝐸𝐼(0) = 𝐵𝑦 0 + 𝑀𝐵 0 + 𝐶1 2 𝐶1 = 0

(6)

𝑥 = 2, 𝑦1 = 𝑦2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 𝑦 4 : 1 1 𝐵𝑦 23 + 𝑀𝐵 (22 ) + 𝐶1 2 + 𝐶2 6 2 1 1 = 𝐵𝑦 23 + 𝑀𝐵 22 − 166,667 23 + 1000 22 + 𝐶3 2 + 𝐶4 6 2 −2666,664 − 2𝐶3 = 𝐶4

(7)

𝑥 = 2, 𝜃1 = 𝜃2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 𝑦 3 : 1 1 𝐵𝑦 22 + 𝑀𝐵 2 + 𝐶1 = 𝐵𝑦 22 + 𝑀𝐵 2 − 500 22 + 2000(2) + 𝐶3 2 2 𝐶3 = −2000

(8)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 8 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (7) −2666,664 − 2(−2000) = 𝐶4 𝐶4 = 1333,336

(9)

𝑥 = 4, 𝑦2 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (4) 1 1 𝐸𝐼(0) = 𝐵𝑦 43 + 𝑀𝐵 42 − 166,667 43 + 1000 42 + 𝐶3 4 + 𝐶4 6 2 0 = 𝐵𝑦 10,667 + 𝑀𝐵 8 + 5333,312 + (−2000) 4 + (1333,336) 𝑀𝐵 = 166,669 − 𝐵𝑦 (1,333)

(10)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 10 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (B) 𝐵𝑦 = 500 −

1 4

166,669 − 𝐵𝑦 (1,333)

𝐵𝑦 = 687,157

(11)

⟹ 𝑀𝐵 = 166,669 − 687,157 (1,333) 𝑀𝐵 = −749,311 ⟹ 𝑀𝐵 = 749,311 ↻

(12)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐵𝑦 𝑑𝑒 𝑒𝑐. 11 𝑒𝑛 𝑒𝑐. (𝐴) 𝐴𝑦 − 1000 + 𝐵𝑦 = 0 𝐴𝑦 = 312,843

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎: 𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 2 𝐸𝐼𝜃1 = 343,578 𝑥 2 − 748,628 𝑥 𝐸𝐼𝑦1 = 114,526 𝑥 3 − 374,314 𝑥 2 𝑃𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑋 ≤ 4 𝐸𝐼𝜃2 = −156,421 𝑥 2 + 1251,372 𝑥 − 2000 𝐸𝐼𝑦2 = −52,140 𝑥 3 + 625,686 𝑥 2 − 2000 𝑥 + 1333,336

(13)

Método de singularidad Haciendo momento en B encontramos la funcion de momento: 𝑀𝐵 = 0 → 𝑀 𝑥 − 𝐴𝑋+𝑃 𝑋 − 2

1

=0

𝑀 𝑥 = 𝐴𝑋−𝑃 𝑋 − 2 1 2 𝐴𝑦 𝑋 2 𝑃 𝑋 − 2 𝐸𝐼𝜃 = − + 𝐶1 2 2 3 𝐴𝑦 𝑋 3 𝑃 𝑋 − 2 𝐸𝐼𝑦 = − + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 6 6 Evaluando la ecuacion (2) en 𝑋 = 0; 𝑦 = 0

Tenemos que: 𝐶2 = 0

Y evaluando la ecuación (2) en 𝑋=4 𝑌=0 32𝐴𝑦 4000 0= − + 4𝐶1 3 3

𝐶1 = 333,333 − 2,667𝐴𝑦

Ahora evaluamos la ecuacion (1) en 𝑋=0 𝜃=0 0 = 8𝐴𝑦 − 2000 + 333,333 − 2,667𝐴𝑦 0 = 5,333𝐴𝑦 − 1666,667 1666,667 𝐴𝑦 = 5,333 𝐴 = 312,519 𝐶1 = −500

La ecuación de la curva elástica queda de la siguiente forma: 𝐸𝐼𝑦 = 52,086𝑋 3 − 166,667 < 𝑋 − 2 >3 − 500𝑋

(1) (2)

𝐸𝐽𝐸𝑅𝐶𝐼𝐶𝐼𝑂 (𝐸) 30 kN/m

A

B

1m

2m

1m

6 kN 2m

3 kN/m

B

A

MB

AX

BX

AY

+↑ +↺

1m

𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 − 6000 + 𝐵𝑦 = 0

1m

BY

(A)

𝑀𝐴 = 0: − 6000 2 + 𝐵𝑦 4 − 𝑀𝐵 = 0

⟹ 𝐵𝑦 = 3000 + +←

2m

1 4

𝑀𝐵

𝐹𝑦 = 0: −𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 = 0

(B)

M1

+↺

V1 C

MB

⟹ 𝑀1 = 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 𝐸𝐼

By

X

𝑑 2 𝑦1 𝑑𝑥2

𝐸𝐼𝜃1 =

= 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 𝑑𝑦1 𝑑𝑥

1

= 2 𝐵𝑦 𝑥 2 − 𝑀𝐵 𝑥 + 𝐶1

1

1

6

2

+↺ V2 D

MB

B

𝑀𝐷 = 0: 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 − 𝑀2 −

3000 𝑥 − 1

𝑥−1 2

=0

⟹ 𝑀2 = 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 − 1500 𝑥 2 + 3000 𝑥 − 1500

(X-1)/2 X-1 X

𝐸𝐼𝜃2 =

𝑑 𝑦2 𝑑𝑥

BY

𝑑 2 𝑦2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 2

= 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 − 1500 𝑥 2 + 3000 𝑥 − 1500

1

= 2 𝐵𝑦 𝑥 2 − 𝑀𝐵 𝑥 − 500 𝑥 3 + 1500 𝑥 2 − 1500(𝑥) + 𝐶3

1

1

𝐸𝐼𝑦2 = 6 𝐵𝑦 𝑥 3 − 2 𝑀𝐵 𝑥 2 − 125 𝑥 4 + 500 𝑥 3 − 750 𝑥 2 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4

6 kN 3 kN/m

V3 M3

(1)

𝐸𝐼𝑦1 = 𝐵𝑦 𝑥 3 − 𝑀𝐵 (𝑥 2 ) + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 (2)

3000(X-1)

M2

𝑀𝐶 = 0: 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 − 𝑀1 = 0

MB

E

X-2 X

BY

(3) (4)

+↺

𝑀𝐸 = 0: − 𝑀3 − 6000 𝑥 − 2 + 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 = 0

⟹ 𝑀3 = −6000 𝑥 + 12000 + 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 𝐸𝐼

𝑑 2 𝑦3 = −6000 𝑥 + 12000 + 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 𝑑𝑥 2

𝐸𝐼𝜃3 =

𝑑 𝑦3 𝑑𝑥

1

= −3000 𝑥 2 + 12000 𝑥 + 2 𝐵𝑦 𝑥 2 − 𝑀𝐵 𝑥 + 𝐶5 1

(5)

1

𝐸𝐼𝑦3 = −1000 𝑥 3 + 6 𝐵𝑦 𝑥 3 + 6000 𝑥 2 − 2 𝑀𝐵 𝑥 2 + 𝐶5 (𝑥) + 𝐶6

(6)

Y 30 kN/m

X

A

B

1m (X=4, Y3=0)

1m

2m (X=3, Y2= Y3) (X=3, ϴ2= ϴ3)

(X=1, Y1= Y2) (X=1, ϴ1= ϴ2)

(X=0, Y1= 0) (X=0, ϴ1= 0)

𝑥 = 0, 𝜃1 = 0 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 : 1 𝐸𝐼 0 = 𝐵𝑦 0 − 𝑀𝐵 0 + 𝐶1 2 𝐶1 = 0

(7)

𝑥 = 0, 𝑦1 = 0 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 : 1 1 𝐸𝐼 0 = 𝐵𝑦 0 − 𝑀𝐵 (0) + 𝐶1 0 + 𝐶2 6 2 𝐶2 = 0

(8)

𝑥 = 1, 𝜃1 = 𝜃2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 𝑦 3 : 1 1 𝐵𝑦 12 − 𝑀𝐵 1 + 𝐶1 = 𝐵𝑦 12 − 𝑀𝐵 1 − 500 13 + 1500 12 − 1500(1) + 𝐶3 2 2 𝐶3 = 500

(9)

𝑥 = 1, 𝑦1 = 𝑦2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 𝑦 4 : 1 1 𝐵𝑦 13 − 𝑀𝐵 (12 ) + 𝐶1 1 + 𝐶2 6 2 1 1 = 𝐵𝑦 13 − 𝑀𝐵 12 − 125 14 + 500 13 − 750 12 + 𝐶3 1 + 𝐶4 6 2 𝐶4 = 125

(10)

𝑥 = 3, 𝜃2 = 𝜃3 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 3 𝑦 5 : 1 𝐵 𝑥 2 − 𝑀𝐵 𝑥 − 500 𝑥 3 + 1500 𝑥 2 − 1500 𝑥 + 𝐶3 2 𝑦 1 = −3000 𝑥 2 + 12000 𝑥 + 𝐵𝑦 𝑥 2 − 𝑀𝐵 𝑥 + 𝐶5 2 𝐶5 = −13000

(11)

𝑥 = 3, 𝑦2 = 𝑦3 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 4 𝑦 6 : 1 1 𝐵𝑦 𝑥 3 − 𝑀𝐵 𝑥 2 − 125 𝑥 4 + 500 𝑥 3 − 750 𝑥 2 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 6 2 1 1 = −1000 𝑥 3 + 𝐵𝑦 𝑥 3 + 6000 𝑥 2 − 𝑀𝐵 𝑥 2 + 𝐶5 (𝑥) + 𝐶6 6 2 𝐶6 = 10250

(12)

𝑥 = 4, 𝑦3 = 0 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 6 : 1 1 𝐸𝐼𝑦3 = −1000 𝑥 3 + 𝐵𝑦 𝑥 3 + 6000 𝑥 2 − 𝑀𝐵 𝑥 2 + 𝐶5 (𝑥) + 𝐶6 6 2 4

𝑀𝐵 = −1218,75 + 3 𝐵𝑦

(13)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 13 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐵 : ⟹ 𝐵𝑦 = 3000 +

1 4

4 −1218,75 + 𝐵𝑦 3

𝐵𝑦 = 4042,969

(14)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 14 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 13 : 4 𝑀𝐵 = −1218,75 + (4042,969) 3 𝑀𝐵 = 4171,875

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 14 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴 : 𝐴𝑦 − 6000 + (4042,969) = 0 𝐴𝑦 = 1957,030

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎: 𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 1 𝐸𝐼𝜃1 = 2021,484 𝑥 2 − 4171,875 𝑥 𝐸𝐼𝑦1 = 673,828 𝑥 3 + 2085,937 𝑥 2

𝑃𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑋 ≤ 3 𝐸𝐼𝜃2 = −500 𝑥 3 + 3521,484 𝑥 2 − 5671,875 𝑥 + 500 𝐸𝐼𝑦2 = −125 𝑥 4 + 1173,828 𝑥 3 − 2835,9375 𝑥 2 + 500 𝑥 + 125

𝑃𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑋 ≤ 3 𝐸𝐼𝜃3 = −978,515 𝑥 2 + 7828,125 𝑥 − 13000 𝐸𝐼𝑦2 = −326,172 𝑥 3 + 3914,062 𝑥 2 − 13000 𝑥 + 10250

(15)

Método de singularidad Encontramos la función de momento haciendo momento en B 𝑀𝐵 = 0 → − 𝑀 𝑥 − 15000 𝑋 − 1 𝑀 𝑥 = 15000 𝑋 − 1 𝐸𝐼𝜃 = −5000 𝑋 − 1

3

𝐸𝐼𝑦 = −1250 𝑋 − 1

4

2

2

+ 15000 𝑋 − 3

+ 15000 𝑋 − 3 2

2

+ 𝐴𝑦 𝑋 = 0

+ 𝐴𝑦 𝑋 𝐴𝑦 𝑋 2 + 𝐶1 2

+ 5000 𝑋 − 3

3

+

+ 1250 𝑋 − 3

4

𝐴𝑦 𝑋 3 + + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 6

(1) (2)

Evaluamos la ecuación (2) en: 𝑋 = 0; y= 0 𝐶2 = 0

Evaluamos la ecuación (1) cuando 𝑋 = 4; 𝜃 = 0 0 = −5000 3

3

+ 5000 + 8𝐴𝑦 + 𝐶1

0 = −130000 + 8𝐴𝑦 + 𝐶1 𝐶1 = 130000 − 8𝐴𝑦

(3)

Evaluamos la ecuacion (2) cuando𝑋 = 4; 𝑦 = 0 Para encontrar el valor de la fuerza 𝐴𝑦 0 = −1250 3 4 + 1250 + 10,667𝐴𝑦 − 32𝐴𝑦 + 520000 𝐴𝑦 = 19687,521

Ahora evaluamos el valor de la fuerza 𝐴𝑦 en la ecuacion (3) 𝐶1 = 130000 − 8(19687,521) 𝐶1 = −27500,168

Entonces la ecuacion de la curva elastica queda de la siguiente forma: 𝐸𝐼𝑦 = −1250 𝑋 − 1

4

+ 1250 𝑋 − 3

4

+ 3281,25𝑋 3 − 27500,168𝑋

𝐸𝐽𝐸𝑅𝐶𝐼𝐶𝐼𝑂 (𝐹)

y

500 lb

R = 7in 30°

20°

A

P B

z

R = 5in

C

20°

8 in

D

𝜏𝑎𝑑𝑚 = 8 𝑘𝑠𝑖

R = 5in

8 in

Y

E

x

8 in

A 30° P Z

8 in

𝑃 (cos 30)7 B

Bz

500 lb 20°

By

C 500 cos 20 5 Dz D Dy

↠+ 𝑃=

E 600 cos 20 5

𝑇𝑥 = 𝑃 cos 30 7 − 500 cos 20 5 − 600 cos 20 5 = 0 500 cos 20 5 + 600 cos 20 5 7(cos 30)

20°

600 lb

600 lb

𝑃 = 852.550 𝑙𝑏 Plano XY 500 sin 20

Y 8 in

8 in

8 in

8 in X

A

B

By 𝑃 sin 30

+

C

D

Dy

E

600 sin 20

𝑀𝐵 = 0: ⇒ 𝑃 sin 30 8 + 500 sin 20 8 + 𝐷𝑌 16 − 600 sin 20 24 =0 𝐷𝑌 = 9,176 𝑙𝑏 +↑

𝐹𝑌 = 0: − 𝑃 sin 30 + 𝐵𝑌 + 500 sin 20 + 𝐷𝑌 − 600 sin 20 = 0

𝐵𝑌 = 451,301 𝑙𝑏

Diagrama de Fuerza cortante XY 300

205,212

196,036

200 100

25,026

V (lb)

0 -100 0

8

16

24

32

-200 -300 -400 -426,275

-500

X (in)

Diagrama de Momento flector XY 0

8

16

24

32

0 -500 0

0

M (lb*in)

-1000 -1500 -2000

-1.641,704

-2500 -3000

-3500 -4000

-3.410,200

-3.209,992 X (in)

Plano XZ

500 cos 20

Bz 8 in

8 in

8 in

600 cos 20

Dz 8 in

X A

B

C

D

E

𝑃 cos 30 Z

+

𝑀𝐵 = 0: 852,550 cos 30 8 + 500 cos 20 8 − 𝐷𝑍 16 + 600 cos 20 24 = 0 𝑫𝒁 = 𝟏𝟒𝟒𝟗, 𝟖𝟏𝟏 𝒍𝒃 +↑

𝐹𝑍 = 0:

852,550 cos 30 + 𝐵𝑍 − 500 cos 20 + 1449,810 − 600 cos 20 =0 𝑩𝒁 = −𝟏𝟏𝟓𝟒, 𝟒𝟕𝟖 𝑳𝒃

V (lb)

Diagrama de Fuerza Cortante XZ 1000 800 600 738,33 400 200 0 -200 0 -400 -600 -800 -1000

563,816

8 -416,149

16

24

32

-885,995 X (in)

Diagrama de Momento Flector XZ 8000

5906,64

6000

M (lb*in)

4000 2000

2577,448 0

0

0 -2000

0

8

16

-4510,512

-4000 -6000

24

X (in)

32

Sección critica C

1 𝜏𝑡 𝜏𝑣

𝜏𝑡

𝜏𝑣

𝜎𝑓𝑙 𝜏𝑣

4

𝜎𝑓𝑙

2

𝜎𝑓𝑙 𝜎𝑓𝑙 𝜏𝑣

𝜏𝑡 3

Elemento critico 1

1 𝜏𝑡 𝜏𝑣 𝜎𝑓𝑙

𝜏𝑡

𝑇𝐶 = (500)(cos 20)(5) 𝑻𝑪 = 𝟐𝟑𝟒𝟗, 𝟐𝟑𝟏 𝑳𝒃 ∗ 𝒊𝒏 Esfuerzo cortante por carga transversal: 𝜏𝑉𝑚𝑎𝑥 =

4𝑉 3𝐴

𝜋

; sabemos que área de una circunferencia es 𝐴 = 𝜙 2 si 4

reemplazamos, 𝜏𝑉𝑚𝑎𝑥 =

4𝑉

𝜋 3( 𝜙 2 ) 4

𝜏𝑉𝑚𝑎𝑥 =

16𝑉 3𝜋𝜙 2

𝜏𝑉𝑚𝑎𝑥 =

16 500 cos 20 3𝜋𝜙 2 𝝉𝑽𝒎𝒂𝒙

𝟎, 𝟕𝟗𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 = 𝒑𝒔𝒊 𝝓𝟐

Esfuerzo por flexion; 𝜎𝑚𝑎 𝑥 =

32𝑀 𝜋𝜙 3

𝜎𝑚𝑎𝑥 =

32 3.209,976 𝜋𝜙 3 𝝈𝒎𝒂𝒙

𝟑𝟐, 𝟔𝟗𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟑 = 𝒑𝒔𝒊 𝝓𝟑

Esfuerzo cortante por torsión: 𝜏𝑇 = 𝜏𝑇 =

16𝑇 𝜋𝜙 3

;𝑇 =

16(2349,231) 𝜋𝜙 3 𝟏𝟏, 𝟗𝟔𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝝉𝑻 = 𝒑𝒔𝒊 𝝓𝟑

Como el esfuerzo por carga transversal es muy pequeño con respecto a los esfuerzos de flexion y torsión, podemos despreciarlos. Entonces tenemos esfuerzo de torsión en X y esfuerzo de flexion en Y. 32,696 ∗ 103 𝜎𝑌 = 𝑝𝑠𝑖 𝜙3 𝟏𝟏, 𝟗𝟔𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝝉𝑻 = 𝒑𝒔𝒊 𝝓𝟑 Ahora calculamos el centro y el radio del circulo de Mohr: 𝐶=

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2

0 + 32,696 ∗ 103 𝐶= 2 16,348 ∗ 103 𝐶= 𝜙3

2

𝑅=

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2

𝑅=

0 + 32,696 ∗ 103 2

20,258 ∗ 103 𝑅= 𝜙3

Dibujo

+ 𝜏𝑥𝑦

2

2

+ 11,964 ∗ 103

2

Como 𝝉𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 = 𝟖. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝒑𝒔𝒊, y el radio del circulo es 𝝉𝒎𝒂𝒙 , entonces igualo el radio con el 𝝉𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 y asi obtengo el diámetro del eje AE. 𝝉𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 = 𝑹 20,258 ∗ 103 8.5 ∗ 10 = 𝜙3 3

𝜙=

3

20,258∗10 3 8,5∗10 3

𝝓 = 𝟏, 𝟑𝟑𝟔 𝒊𝒏 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝐶 + 𝑅 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 16,348 + 20,258 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 36,606 Como esta en función del diámetro, el 𝜎𝑚𝑎𝑥 queda de la siguiente manera: 𝜎𝑚𝑎𝑥

36,606 ∗ 103 = 𝜙3

Como 𝝓 = 𝟏, 𝟑𝟑𝟔 𝒊𝒏 entonces: 𝜎𝑚𝑎𝑥

36,606 ∗ 103 = 1,336 3

𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟓, 𝟑𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝒑𝒔𝒊 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝐶 − 𝑅 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 16,348 − 20,258 𝜎𝑚𝑖𝑛 = −3,910 𝜎𝑚𝑖𝑛

−3,910 ∗ 103 = 𝜙3

𝜎𝑚𝑖𝑛

−3,91 ∗ 103 = 1,395 3 𝝈𝒎𝒊𝒏 = −𝟏, 𝟔𝟒𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝒑𝒔𝒊

El angulo principal es: 16,348 2𝜃𝑝 = tan−1 = 54,423° 11,964 𝜽𝒑 = 𝟐𝟕, 𝟐𝟏𝟐°

Curva Elastica

Plano (X,Y) 𝑃1 = 426.2804𝐿𝑏 𝐵𝑦 = 451.309586𝐿𝑏 𝑃2 = 171.01𝐿𝑏 𝐷𝑦 = 9.1729𝐿𝑏 𝑃3 = 205.21208𝐿𝑏

Hacemos corte de A a B (0