Ejercicios Resueltos Practica Control No. 3
August 5, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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EJERCICIOS RESUELTOS PRÁCTICA CONTROL No. 3 Prof. Pedro Jesús Lalondriz Mateo T Trrimestre noviembre 2021 / enero 2022
Matricula__________________Nombre_____________________________________________ En los problemas del 1 al 3 se da cierta función f(x) o g(x). En cada caso, a) Determine los números críticos de la función dada y clasifique cada punto crítico como un máximo relativo, un mínimo relativo, o ni lo uno ni lo otro. b) Encuentre los intervalos en los cuales f o g es es creciente o decreciente. c) Encuentre los intervalos en los cuales f o g es es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. d) Encuentre los puntos de inflexión de f o g . e) Trace una gráfica posible de f(x) o de g(x). 1.
( () = Solución:
a) Para determinar los números críticos hallamos la primera derivada y la igualamos a cero:
Como no hay puntos para los cuales ƒ’( x) no exista, es posible concluir que x = 0 y x = 1 son los únicos números críticos. Sustituimos esos números críticos en la función dada y obtenemos los puntos críticos: Para x = 0: y = P1 = (0, 0)
(0) = (0) (0) = 0 Para x = 1: y = (1) = (1) (1) =
→ → P = 1, 2
La tabla siguiente resume la prueba de los tres intervalos determinados por estos dos puntos críticos:
Como antes de x = 0, ƒ’(x) es positiva y después de ƒ’(x) es negativa, en el punto P1 = (0, 0) ocurre un máximo relativo. Mientras que antes de x = 1, ƒ’(x) es negativa y después de ƒ’(x) es positiva, en el punto P2 =
1, ocurre un mínimo relativo.
b) De la tabla anterior, tenemos que ƒ(x) es creciente en los intervalos ( – ∞, 0) y (1, ∞) y decreciente en el intervalo (0, 1). c) Para determinar las concavidades, determinamos la segunda derivada y la igualamos a cero: →x
( ) = 6 3 = 0
=
()
Ahora debemos probar en los intervalos muestran en la tabla siguiente:
Intervalo Valor de prueba Signo de () Conclusión
∞ 0
Cóncava hacia arriba
f(x) es cóncava hacia abajo en el intervalo ∞, y cóncava hacia arriba en el intervalo
, ∞.
()=3≠0
d) Como , entonces f(x) tiene un punto de inflexión para el valor de x que hace cero la segunda derivada que es x .
=
en la función dada: y = = = . El punto de inflexión es PI = , . Sustituyendo x
=
e) La gráfica de f(x) es:
2.
() = √ 1 Solución:
a) Para determinar los números críticos hallamos la primera derivada y la igualamos a cero:
Como no hay puntos para los cuales g ’(x) ’(x) no exista, es posible concluir que x = 0 es el único número crítico. Sustituimos ese número crítico en la función dada y obtenemos el punto crítico: Para x = 0: y = P = (0, 1)
(0) = (0) 1 = 1
→
La tabla siguiente resume la prueba de los dos intervalos determinados por este punto crítico: Intervalo
∞ < < 0
Valor de prueba
Signo de () Conclusión
x = – 1
Decreciente (1) 1) < 0
0 0
Como antes de x = 0, g ’(x) ’(x) es negativa y después de g ’(x) ’(x) es positiva, en el punto P = (0, 1) ocurre un mínimo relativo. b) De la tabla anterior, tenemos que g(x) es decreciente en el intervalo ( – ∞, 0) y creciente en el intervalo (0, ∞). c) Para determinar las concavidades, determinamos la segunda derivada y la igualamos a cero:
Aquí vemos que la segunda derivada no tiene variables en el numerador. Esto significa que no podrá hacerse cero. Además, nos damos cuenta de que cualquier valor que les asignemos a x nos arrojará un resultado positivo. p ositivo. Por lo tanto, concluimos g(x) es cóncava hacia arriba en el intervalo .
(∞,∞)
Los resultados se muestran en la tabla siguiente:
Intervalo Valor de prueba Signo de () Conclusión
∞ < < 0 x = – 1
0 < < ∞ x=1
(1 1)) > 0
(1) > 0
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia arriba
( )
d) Como no tiene variables en el numerador que la hagan cero, entonces concluimos que g(x) no tiene puntos de inflexión. e) La gráfica de g(x) es:
3.
( ) =
− +
Solución:
a) Para determinar los números críticos hallamos la primera derivada y la igualamos igu alamos a cero:
( 9)(1) (4 )(2) 8 9 ( 9) = ( 9) Al igualar a cero la primera derivada, tenemos que los números críticos son: x = – 1, 1, x = 9, () =
ya que no hay puntos para los cuales g ’(x) ’(x) no exista. Sustituimos esos números críticos en la función dada y obtenemos ob tenemos los puntos críticos:
− (−) () = (−) −) + = − () = Para x = 9: y = ( ) = ( ) +
→ P = 1, → P = 9,
Para x = – 1: 1: y =
1
2
La tabla siguiente resume la prueba de los tres intervalos determinados por estos dos puntos críticos: Intervalo
Valor de prueba Signo de () Conclusión
∞ 0 (x2 2) Creciente
1 < < 9 (x0=)
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