Ejercicios Resueltos para El Calculo de Áreas

 

1

INTEGRALDEFINIDA.-CALCULODEAREAS 1.-Calculaeláreadelrecintolimitadopor 1.-Calculaeláreadelrecint olimitadoporlaparábolay=x laparábolay=x2 ylasrectas y=0,x=2,x=6. Solución: Larecta y=0 eseleje x. Eláreadelrecintolimitadoporunafunción f(x), eleje x ylarectas x=a,x=b, vienedadaporelvalorabsolutodelaintegral vienedadaporelvalorabsolutodelaintegral I = siemprequelafunción f(x)

  b

∫ f(x)dx a

nocortealeje x enningúnpuntointeriordel

intervalo[a,b]

I =

  6

∫

6

2

x 2 dx =

6 2 x 3  208 = 3  = 3 − 3 = 3   3

3

2

Area=

  208

208

3

3

2

u

2.-Calculael .-Calculaelárealimitadapo árealimitadaporlacur  rlacurva va y=x va y=x3  –6x2 +8xyelejex

Solución: Calculamoslospuntosdecortedelacurvaconeleje x: 3

x   2 + − −66x +88 xx = 0

x = 0

(x 2 − 6x + 8)x = 0 ⇒ 

2 x − 6x + 8 = 0 ⇒ x = 2;x = 4

Lospuntosdecorteobtenidosson 0, 2 y 4 ,portantoeláreapedidasehalla resolviendolasintegrales:

 

2

I1=

2

∫ (x

I2=

3

0

4

∫ 2

−  6x  2 + 8x)dx

(x 3 −  6x  2 + 8x )dx 2

4

I1=   =4 ; x4 −2x 3   + 4 x 2  0  4

x 4 3 2 I2= 2   4 − + x   x 4  = −4 ;  2 Area= 4 + -4  =8u 2 3.-Calculaeláreadelrecintolimitadoporlaparáboladeecuación y=9–x2 yelejedeabscisas. Solución Determinamoslospuntosdecortedelacurvaconeleje 9-x 2=0 =0 x=3; x=3;x=-3 x=-3 I =

3

∫

−3

  (9 − x ) dx = 2

  x:

3

3  x  − 9  x 3  = (27 − 9) − (−27 + 9) = 36   −3

Area= 36 u2 =36u 2 4.-Calculael áreadelrecinto 4.-Calculael áreadelrecintolimitadoporlapa limitadoporlaparábola rábolay=4x-x y=4x-x2yelejede abscisasen el interv intervalo alo[0,6 [0,6] ] Solución: Comprobamossihaypuntosdecorte dentrodelintervalo[0,6]. 4x-x2=0⇒x(4-x)=0 ⇒x= x=0; 0; x=4 x=4 Comohayunpuntodecortedentro delintervalo[0,6]queesx=4,las integralesaplantearson: 4

I1

  4

= ∫ (4  x −  x )dx 0

2

   2 x3  = 2x −  3 0 

 

3

I1

=32 −

64 3

=

96 − 64 3

32

=

3 6

I2

6

= ∫ (4x − x )dx ; 2

I2

4

Area=

32 3

56

+ −

=

3

88 3

 2  x3  32 56 =  2x −  = (64 − 72) − = − 3 4 3 3  88

;Area=

u

2

3

2 5.-Hallaeláreacomprendidaentrelasparábolasy=8–x2 ; y y= =x x2

Solución: Buscamoslospuntosdecortedelasdoscurvas: 8 −x 2 = x 2 ⇒ 2 x 2 = 8 ⇒ x = ± 4 = ±2 2

Loslímitesdeintegraciónson-2y2 Lafunciónaintegrar Lafunción aintegraresladiferenciade esladiferenciadelasdosfunciones lasdosfunciones.. 2

2

2

8−x − x = 8− 2 x ,portanto, 2

 2 x 3  I = ∫−2 (8 − 2x )dx = 8x − 3  − 2 16 −16 32 64   ) − (−16  − ) =32 − = I = (16 − 2

2

3

Area =

3

64 3

2

u

3

=

64

u

3

2

3

6.-Hallaeláreacomprendidaentrelascurvasy=6x-x2 ; y=x2-2x Solución: 6x −x2 = x2 − 2x ⇒  2x 2 − 8x = 0 2x (x − 4)=0  0⇒ ⇒ x = 0; x = 4

Funciónaintegrar:  (6x −x 2) = 2 x 2 − 8x (x 2− 2x  ) −

 

4

4

128 128− 192 192 64  2x3  2 =− − 4 x 2  = = I = ∫ (2x −8x) dx =  0 3 3  3 0 4

Area=

  64

64

3

2

u

3

7.-Areadelrecintolimitadoporlaparábolay=3x-x2 ylarectay=x-3

Solución: 2 2 Límitesdeintegración: 3x −x = x − 3 ⇒ x − 2x − 3 = 0 Resolviendolaecuaciónseobt Resolviendola ecuaciónseobtienex=3; ienex=3;x=-1 x=-1 3

 x 3 32 2 Funciónaintegrar: I = ∫ (x − 2x − 3)dx =  −x 2 − 3 x  = − −1 3  −1 3 3

32 32 2 = u Area= − 3 3

8.-Hallaeláreadelrecintolimitadoporlaparáboladeecuacióny=x 2 ,la 8.-Hallaeláreadelrecintolimitadoporlaparáboladeecuacióny=x2 rectadeecuacióny=x+2yelejeOX.

Límitesdeintegración: Sonlospuntosdecortedelaparábolaylarecta: x 2 = x + 2⇒ x 2 − x − 2= 0 1 ± 9 1 ± 3 2 x

Funciónaintegrar:

=

=

2

x +2 − x

2

2

= − 1

(Diferenciadelasdosfunciones)

Hemosderesolverlainte Hemosdereso lverlaintegralsiguiente: gralsiguiente: 2

I =

2

∫ (x + 2 −x −1

2

3 x 2 9  x  )dx =  + 2x −  = 3  −1 2 2

Area =

9 2

2

u

=

9 2

u

2

 

5

9.- 9.- Calcu Calcula la el ár área ea del del reci recint nto o li limi mita tado do por por la pará parábo bola la de ecua ecuació ción n y=2(1-x2) yla recta tad de eecuación

y=0

Solución: Comolacurvaessimétricarespectoaleje deordenadas,podemosintegrarentre0y 3 2 ymultiplicarelresultadopor2.

2 (1−x 2) = − 1⇒ 3 =2 x 2 ⇒ x = ±

Límitesdeintegración:

3 2

 x 2) −(  (− −1 ) = 3 −2 x 2 Funciónaintegrar: 2 (1−

I =

∫ 0

3 2



2 x  3

(3 − 2x 2 ) dx = 3x −



3 0



Area =

4

3

u

2

2

3 2

= 2

3 2

 

6

10.-Calculaeláreadelrecintolimitadoporlacurvadeecuación y = 2 x ylarecta y=x. Solución: Límitesdeintegración: 2 x = x ⇒ 4x = x 2 ⇒ x 2 − 4x = 0 x (x − 4 )= 0 ⇒  x = 0;  x = 4

Funciónaintegrar: 2  x − x

4

 4 x 3  x 2  = 8 ; −  I = ∫ ( 2 x − x)dx = ∫ ( 2x 2 − x )dx =  0 0 3 2  3  0 4

4

Area= 8 u 2 3

1

11.-Hallaeláreadelrecintolimitadoporlasgráficasdelasfunciones y=Ln y= Ln(x (x) ), ,

y y=1 =1y yl los os ej ejes esd de eco coor orde dena nada das. s.

Solución: Observandoeldibujo,eláreapedidaserá ladiferenciaentrelasintegrales e

∫ 0

I1 =

e

I2

y

1.dx

e

e

∫Lx.dx 1

∫1.dx = [x] 0

e 0

=e

  e = ∫Lxdx = [xLx  −x  ]1 = (e − e)  − (0 −1) = 1 (porpartes)

1

Area=I1

I2

e

1 u2

 

7

12.- 12. - Hallael Hallael área área del del recint recinto o limita limitadopor dopor laparábola laparábola y = x 2 ,larectade ecuación y =−x + 2 ye yel l ejeOX ejeOX Solución:

Puntodecortedelaparábolayeleje OX: x 2 =0⇒x = 0

Puntodecortedelarectayeleje =OX:

−x + 2 = 0  ⇒ x = 2 Puntodecortedelaparábolayla recta: 2

x

= − x + 2⇒ x  2 + x − 2  = 0

= −1±

2

1+ 8

= − 1 ± 3 = 1 2 − 2

Lasoluciónx=-2estáfueradele Lasoluciónx= -2estáfueradelejeOX,portant jeOX,portanto,sólohemos o,sólohemosdeconsiderarel deconsiderarel valor x=1 Observandoeldibujo, Observandoel dibujo,hemosde hemosderesolver resolverlasintegral lasintegralessiguientes: essiguientes: 1

1

0

3

∫

I1 = x 2 dx =

13.13 .-

;

I2 =

2

∫ 1

(−x + 2) dx =

1 2

;

Area =

1 3

+

1 2

5

= u2 6

Encu Encuen entr treelá eeláreaa reaaco cota tadap daporl orlapa apará rábo bolay= lay=2 2-x -x2 ylarectay=-xque

semuestraenlafigura.

 

8

Paraencontrarlaintersecció Paraencontrar laintersecciónentre nentreambascurvasresolvemosla ambascurvasresolvemoslaecuación: ecuación: 2-x2 =-x.   ⇒ x2 –x –x+ +2 2 = 0 (x (x- -2) 2)(x (x+ +1 1) ) = 0   ⇒

x=-1

y=-2

y=1 2

2 2

Area= −1 (2 −x   + x)dx

∫

14.14 .-

x=2   ∨

 1 3 1 2  4-8/3+2 +2+2 +2-1/3 -1/3-1/2 1/2 = 2x − 3 x   + 2 x  −1 = 4-8/3

= =5 5-1 -1/2 /2= =9/ 9/2 2 [UnidadesdeÁrea ].

Ha Halllleeláreaac eeláreaacot otad adaaladerec aaladerechapo haporlarect rlarectay= ay= x-2a laiz laizqu quie ierda rda

porlaparábolax=y2 ydebajoporelejex.

y=y2 –2   ⇒ y2 –y –y-2 -2 =0

⇒ (y-2)(y+1)=0   ⇒ y=2   ∨ y=1 x= 2 2 2

2

Area =   ∫(y +  2  − y )dy 2

0

x=1

1 1  =   y 2 + 2y  − y 3  =2+4-8/3 3 2 0

 

9

= 10/3 [UnidadesdeArea ]

15.-

Busque Busquee eláreae láreaencer ncerrada radapor porlas lascurv curvas: as:y= y=9-x 9-x2;x=-3;x=3;y=0.

3

∫(9 −x 

2

)dx = 9x −

−3

 x

3

3

3

= 27–9 27–9+27 +27-9 -9=36 =36[[UnidadesdeArea ] −3

x

17.-Halleeláreaencerradaporlascurvas:y=

4

∫(x 1

1 / 2 

−x

−1 / 2

)dx

=

2 3

4

x

  − 2x

3/ 2

1/ 2

= 1

2 3

8–4-

  1

−

x

2 3

;x=1; ;x =1; x=4;y=0. x=4;y=0.

+2=8/3[UnidadesdeArea ]

x

18.-Halleeláreaencerradaporlascurvasy=

(x 2  + 1) 2

;x=-2;x=3;y=0.

 

10

0

-

=

∫(

− 2 x

11 21

3

x 2

−

dx

+ 1) 2   11 25

−

x

+ ∫ 0

1 1

11

+

2 10

+ 1) 2

(x 2

dx

=

−

1

1

du

1

10

du

∫   + 2 ∫

2

5

u

2

1

u

2

=

1 1 2

u

1

1 1

− 5

2

u

10

1

=1/2–1/10–1/20+1/2=17/20[UnidadesdeArea ]

21

19.-Halleeláreaencerradaporlascurvas:4y=x3 e y=x; x ≥ 0

 x 3  ∫0 x −  4 dx 4

2

=

2

2

4

x

x

−

=2–1-0=1[UnidadesdeArea]

16

0

20.-Halleeláreaencerradaporlascurvasy=x2 -7x+ -7x+6;el 6;elejeX ejeX ylasrecta ylasrectas: s: Verticales x= =2 y x=6. 6.

6

-

∫(

x

2

−  7 x + 6)dx

=

−

x

3

2

=-72+126–36+

8 3

3

-

+

28 2

7x 2 2

6

− 6x

+12=

2

56 3

[UnidadesdeArea]

 

11