Ejercicios Resueltos Máximos y Mínimos
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CÁLCULO SUPERIOR Ejercicios resueltos de Máximos Máximos y mínimos 1. Determine y clasifique los puntos críticos de f de f , donde: f ( x, y ) Solución: 1 f x y 2 x 2 4 2
1 3
f y
y3
1
1 y 2x y 2 x 3 2 3
4x
y 2 yx 2 y
f y = 0 y 2 yx 2 y 0 y( y( y + y + x x – – 2) 2) = 0 y = y = 0, y 0, y = = - x - x + + 2 i.
y = y = 0 f x = 0 1 y 2 x 2 4 0 2 x2 – 4 4 = 0, x 0, x = = 2, x 2, x = = -2 Puntos: (2, 0) y (-2,0)
ii.
y = y = - x - x + + 2 1 2 1 y x 2 4 0 ( x 2) 2 x 2 4 0 2 2 1 ( x 2 4 x 4) x 2 4 0 2 x 2 4 x 4 2 x 2 8 0 2 3 x2 – 4 4 x – x – 4 4 = 0 x = x = 2, x 2, x = =
2 3
Puntos: (2, 0) y
Punto (2,0) (-2, 0) 2 , 8 3 3
+ + x - 2 f xx yy = 2y xx = 2x f
2 , 8 3 3
f xy = = y xy
2 = f xx [f xy xx f yy yy – [ xy ]
4 -4
0 -4
0 0
0 16
4
8
8
32
3
3
3
3
Tipo de punto Falta información Máximo Punto silla
2. De entre todos los rectángulos de área 8 dm 2, determine, usando Multiplicadores de Lagrange, las dimensiones del rectángulo cuya diagonal tenga el valor mínimo.
Solución: Sean x, y las medidas de los lados del rectángulo, entonces por la información x· y = 8, además, que la diagonal del rectángulo viene dada por
x 2
y 2
, se tiene que en
términos de Multiplicadores de Lagrange, la función a plantear sería:
F ( x, y, ) x 2 y 2 ( xy 8) , de donde: F x = 2 x + λ y Fy = 2 y + λ x F x = 0 2 x + λ y = 0 2 x (*) y Fy = 0 2 y + λ x = 0 2 y (**) x De (*) y (**) se tiene que: 2 x 2 y , de donde tenemos que 2 x 2 2 y 2 , o sea que x y y x Como x, y son medidas de un rectángulo, entonces son positivas y se cumple que x = y. De x· y = 8, obtenemos que x = 8 , y 8 Respuesta: Las medidas del rectángulo que cumplen las condiciones solicitadas son x = 8 , y
8
3. Sea f x y x 2 2 x y 4 2 y 2 , determine el punto o puntos (si existen) donde la función f alcanza un máximo relativo, mínimo relativo o un punto silla. (4 puntos) ,
Solución: F x =2 x – 2 F y = 4 y3 – 4y F x = 0 2 x – 2 = 0 x = 1 Fy = 0 4y3 – 4y = 0 y(4 y2 – 4) = 0 4 y( y – 1)( y + 1) = 0 y = 0; y = 1; y = -1 Puntos críticos: (1, 0); (1,1); (1, -1) Además: F xx = 2; F xy = 0; F yy = 12 y2 - 4 Punto (1, 0) (1, 1) (1, -1)
F xx = 2 2 2 2
Fyy = 12 y – 4 F xxF yy – (Fxy) = 24 y – 8 0 -8 8 16 8 16
Tipo de punto Punto de silla Mínimo local Mínimo local
Imagen -1 -2 -2
4. Determine los puntos pertenecientes a la curva de intersección entre las superficies de ecuación: 2 z 16 x 2
y2 ,
y x y
4 que estén más cerca al origen.
Solución: Si P = ( x, y, z ) denota el punto buscado y O = (0, 0, 0) las coordenadas del origen, entonces la distancia de P a O viene dada por: d(P, O) =
( x 0) 2
( y 0) 2 ( z 0) 2
=
x 2
y 2 z 2
Planteando la situación como un problema de multiplicadores de Lagrange, tendríamos que buscar los puntos críticos de: F ( x, y, z , , ) = x 2
y 2 z 2 ( x 2 y 2 2 z 16) ( x y 4)
Derivando parcialmente, tendríamos:
F 2 x 2 y x F 2 y 2 y y F 2 z 2 z F 2 x y 2 2 z 16 F x y 4 Resolvamos el sistema:
2 x 2x 0
(1)
2 y 2y 0
(2)
2 z 2 0
(3)
x 2
y 2 2z 16 0
x y 4 0
(4) (5)
Restando a la ecuación (1) la ecuación (2), se tiene que:
2 x 2 x 2 y 2y 0 (2 x 2 y) (2 x 2 y) 0 2( x y )(1 ) 0 x = y; = -1 i. Sea = -1, entonces por la ecuación (3) se tendría que z = 1. Entonces de las
ecuaciones (4) y (5) se obtendría el siguiente sistema:
x 2 y 2 14 x y 4 De x + y = 4 se obtiene que y = 4 – x, sustituyendo en x 2
x 2
y 2 14 , obtenemos:
(4 x) 2 14
x 2
16 8 x x 2 14
2 x 2 x 2 x
8x 2 0
4x 1 0 4 12 2
=
42 3 2
= 2 3
Si x 2 3 entonces y
42
3 = 2 +
3
Si x 2 3 entonces y
42
3 = 2 -
3
ii. Si x = y entonces, por la ecuación (5) , de x + y = 4, se tendría que x = y = 2, sustituyendo estos valores en la ecuación x 2
y 2 2z 16 0 , se obtiene que z = 6
Respuesta:
Los puntos buscados son: 2 3, 2 3,1 , 2 3, 2 3, 1 y (2, 2, 6)
5. Determinar la mínima distancia del origen a la hipérbola de ecuación
x 2
8 xy 7 y 2 225 .
Solución: Sea F ( x, y, z , ) = x 2
F x
2 x 2 x 8 y
F y
2 y 14 y 8x
y 2 x 2 8 xy 7 y 2 225, entonces:
Por lo que tenemos que resolver, el sistema:
x x 4 y 0 y 7 y 4 x 0
(1) (2)
Despejando “ x” en la ecuación (1):
x x 4y 0 x(1 ) 4 y 0 , si -1 x
4 y (3) 1
Note que en (3), debe ser diferente de – 1, por que si = -1, entonces por (1), se tendría que y = 0, sustituyendo = -1, y = 0 en (2) se tendría similarmente que x = 0. Sustituyendo los valores de x, y obtenidos en la ecuación x 2
8 xy 7 y 2 225 se
tendría una contradicción. Sustituyendo en (2), el valor de “ x” indicado en (3), se tendría:
y 7 y 4 x 0
4 y 0 1
y 7 y 4
y(1 ) 7 y(1 ) 16 y2
y 1 7 72 y = 0;
162 0
92 8 1 0
y = 0; = 1; i.
0
1 9
Si y = 0 , entonces por (3) se concluye que x = 0, pero como estos valores no satisfacen la ecuación x 2
ii.
8 xy 7 y 2 225 , por lo que y no puede ser cero.
Si = 1, entonces sustituyendo en (3) se tiene que x = -2 y (4) Por lo que:
x 2
8 xy 7 y 2 225
2 y 2 8(2 y) y 7 y 2 225
4 y 2
16 y 2 7 y 2 225
5 y 2 225 ¡Imposible! iii.
1 9
Volviendo otra a vez a (3) y sustituyendo el valor de , obtenemos que:
1 4 y 4 y 9 = x = 1 1 1 9
4 y 9 8
=
y
2
y = 2 x.
9
Sustituyendo, este valor de y en la ecuación de la superficie dada:
x 2
8 xy 7 y 2 225
x 2
8 x(2 x) 7(2x) 2 225
45 x 2
225
x 2
225 45
5
x 5 ; x 5
Por lo que los puntos obtenidos serían:
5, 2 5
y
5,
2
5
Respuesta: La menor distancia del origen a la hipérbola dada es de
5 2 5 2
2
=
5 20 = 5 (u.l.)
6. Una caja rectangular sin tapa debe tener un volumen de 32 unidades cúbicas. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie total sea mínima? (NO utilice Multiplicadores de Lagrange).
Solución: Si S denota la superficie total de la caja, entonces de la información dada se tiene que: i.
xyz = 32
ii.
S( x, y, z ) = xy + 2 xz + 2 yz (función a optimizar)
De xyz = 32 se tiene que z
32 xy
(*)
Sustituyendo (*) en (ii):
32 32 2 y xy xy
S( x, y, z ) = xy 2 xz 2 yz = xy 2 x = xy
64
y
64
x
Por lo que la función que debemos optimizar, expresada en términos de dos variables sería: S( x, y) = xy S x = y S x = 0 y S y = x
64 y 2
64 x 2
64 x 2
64
y
64
x
S y = x
64 y 2
, sustituyendo este valor en la ecuación
= x
64
64 2 x
x = 0; x 3
2
= x
64 x
4
(64)(64)
= x
x 4 64
=
64 x x 4 64
=
x64 x
3
64
= 0
64
x = 0; x = 4. La solución x = 0 debe descartarse ¿Por qué? Si x = 4, se obtiene que y = 4, y como el volumen es de 32 unidades cúbicas entonces z = 2. Queda como ejercicio, verificar que efectivamente para los valores obtenidos, la superficie total es mínima.
7. Determine el punto que está más cerca del origen y sobre la recta que resulta de la intersección de los planos: 2 x – y + z = 1; 3 x – 2 y + 3 z = 22.
Solución: Aplicando el criterio de Multiplicadores de Lagrange, se tiene que la función a analizar sería: G( x, y, z ) =
x 2
y 2 z 2 (2 x y z 1) (3 x 2 y 3z 22) ,
la cual para
efectos de buscar los puntos críticos, la podemos plantear como: F( x, y, z ) = x 2
y 2 z 2 (2 x y z 1) (3 x 2 y 3z 22)
Fx = 2 x 2 3 Fy = 2 y 2 Fz = 2 z 3
2 x 2 3 0 2 y 2 0 2 z 3 0
2 3 x 2 2 y 2 z 3 2
Sustituyamos los valores de x, y, z en las dos ecuaciones: 2 x – y + z = 1;
3 x – 2 y + 3 z = 22
i. 2 x – y + z = 1
2 3 2 3 1 2 2 2
2
4 6 2 3 2 6 11 2 (1)
ii.3 x – 2 y + 3 z = 22 Sustituyamos los valores de x, y, z en la ecuación anterior: 3 x – 2 y + 3 z = 22
2 3 2 2 3 3 22 2 2 2
3
6 9 2 4 3 9 44 11 + 22 = 44 + 2 = 4
(2)
Resolvamos el sistema de ecuaciones:
6 11 2 2 4 De la ecuación (2) tenemos que = 4 - 2, sustituyendo este valor en la ecuación (1) tenemos que: 6 + 11 = 2 6(4 - 2) + 11 = 2 24 - 12+ 11 = 2 24 - = 2; = 22 De = 4 - 2, se obtiene que = -40. Por lo que: x = x = z =
2 3 2
=
2 2
3 2
=
=
2(40) 3(22) 2
= -7
(40) 2(22) 2
40 3(22) 2
= -7
= 13
Respuesta: El punto buscado es (-7, -2, 13)
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