Ejercicios Resueltos Geometría Descriptiva

Geometría Fundamental y Trigonometría

SOLUCIÓN PRÁCTICA N° 2 Semestre 2010-I

PROBLEMAS 1. Construir gráficamente un triángulo isósceles ABC (AB=BC), conociendo hb y A . (4 p) FIGURA A UXILIAR

 ANÁLISIS L2

B

1.

Se supone el problema resuelto.

2.

Las rectas L1 y L2  son paralelas a una distancia hb.

3.

Si se fija el A  sobre L1  (un lado sobre L1), B  pertenece a L2  y al segundo lado

hb

del ángulo A. el vértice C  pertenece a L1 y dista AB ( AB (cc) de B. A

H

 A

C

CONSTRUCCIÓN (SÍNTESIS) 1. 2.

3.

L1

Conocidas las condiciones de los tres vértices, podemos pasar a la síntesis construcción.

Datos:

Se trazan dos rectas (L (L1 y L2) paralelas a una distancia hb. Se traza sobre L1  el punto A  y con

 A

vértice A se traza el A (un lado sobre L1). El vértice B se ubica en la intersección de dos lugares geométricos: Recta L2.

4.

El vértice C se ubica en la intersección de dos lugares geométricos: Recta L1. Circunferencia de centro B y radio AB.

5.

L2

B

●

do.

2  Lado del A.

hb

R= AB

hb

 A ●

 A

●

C

L1

Ubicados los tres vértices, se unen formando el triángulo pedido.

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Geometría Fundamental y Trigonometría

SOLUCIÓN PRÁCTICA N° 2 Semestre 2010-I 2. Construir gráficamente un triángulo ABC, conociendo a, b-c y B.

 ANÁLISIS

FIGURA A UXILIAR 1. 2.

 A

3.

c b 4.

b B

y B). El triángulo CAB’ es isósceles. En el triángulo CBB’, B  dista a de C y b-c de B’, además C y B’ pertenecen a los lados del (180°- B). Si se fija BC(a), B’  dista b-c de B y

pertenece al 2 lado del (180°- B). 5. El vértice A  equidista de C y B’ y pertenece a la prolongación del segmento B’B. Conocidas las condiciones de l os tres vértices, podemos pasar a la síntesis construcción.

180- B

C

Se supone el problema resuelto. No se puede analizar directamente el triángulo ABC por falta de datos (sólo a

do.

B

a

(4 p)

b-c

B’

CONSTRUCCIÓN (SÍNTESIS)

b-c

Datos: B

1.

Se traza sobre una recta el segmento BC(a). 2. El vértice B’  se ubica en la intersección de dos LGs: Circunferencia de centro B y radio b-c.

a

R1

B’

do.

2  Lado del (180°- B). 3.

El vértice A  se ubica en la intersección de dos LGs: Mediatriz del segmento CB’.

R=b-c

R1 180°- B

Prolongación del segmento B’B. 4.

Ubicados los tres vértices, se unen formando el triángulo pedido.

C

a

B

 A

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Geometría Fundamental y Trigonometría

SOLUCIÓN PRÁCTICA N° 2 Semestre 2010-I 3. Construir gráficamente un triángulo, conociendo bc, mc y hc. FIGURA A UXILIAR

(4 p)

 ANÁLISIS

C

1. 2.

L2

3.

Se supone el problema resuelto. Las rectas L1 y L2  son paralelas a una distancia hc. “m” es la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. O  es el centro de”m”. El

ACP= PCB, por lo que la medida del arco AQ   es igual a la medida del arco

hb O●

mc

4.

bc 5.

M P

 A

L1

B

Q

QB. La recta L3  es la mediatriz de AB  que contiene a Q  y a O. Si sobre la recta L2 que es paralela a L1, se fija C, M  dista mc de C y pertenece a L1. P  dista bc de C  y pertenece a L1. Q  pertenece a L3  y a la prolongación de CP. O equidista de Q  y C  y pertenece a L3.

A y B distan OC de O y pertenecen a la recta L1. Conocidas las condiciones de los tres vértices, podemos pasar a la síntesis construcción. 6.

L3

CONSTRUCCIÓN (SÍNTESIS) 1. 2.

Se trazan dos rectas (L1 y L2) paralelas a una distancia hc. Se traza sobre L2 el punto C. M se ubica en la intersección de dos LGs: Recta L1. Circunferencia de centro C y radio mc.

3.

P se ubica en la intersección de dos LGs: Recta L1. Circunferencia de centro C y radio bc.

4. 5.

Se traza una recta perpendicular a L1 y que pasa por M(se llama L3). Q se ubica en la intersección de dos LGs: Recta L3. Prolongación de segmento CP.

6.

O se ubica en la intersección de dos LGs: Recta L3. Mediatriz de CQ.

7.

A y B se ubican en la intersección de dos LGs: Recta L1. Circunferencia de centro O y radio OC.

Ubicados los tres vértices, se unen formando el triángulo pedido.

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Geometría Fundamental y Trigonometría

SOLUCIÓN PRÁCTICA N° 2 Semestre 2010-I

Datos: L2

C R2 mc

bc

hb

mc R1

●

O

hb bc

M P

 A

L1

B R2

Q L3

R1

TEORÍA 4. Para el caso en que el ángulo inscrito no contiene al centro de la circunferencia, demuestre que su medida es igual a la mitad de la medida de su arco correspondiente. (3 p Dem.: El centro O es exterior al ángulo. M

V

a1 a2

 N

ˆ = aˆ1 - aˆ 2 = a

1 2

arco MP -

1 2

arco NP =

1

arco MN 

2

Lqqd. O

P

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Geometría Fundamental y Trigonometría

SOLUCIÓN PRÁCTICA N° 2 Semestre 2010-I 5. Enuncie y demuestre el primer paso de la demostración del teorema de Thales. Mencione alguna utilidad. (3 p) Dem.: Paso 1) Si dos segmentos de r son iguales, los 2 homólogos de r' también lo son (hay correspondencia en la igualdad). r m

r’

M

Trazando por M y P paralelas a r' obtenemos los triángulos MNN'' y PQQ'' que son congruentes (MN = PQ, α y ß son iguales a α' y ß' por correspondientes).

M’ α

n

 N’

 N  N”

 p

α’ '

q

Luego MN'' = PQ''; luego M' N' = P' Q' Corolario: Dividir un segmento en n partes iguales.

P’

P

Q’ Q”

Es útil para dividir gráficamente un segmento en “n” partes iguales.

Sea MN = PQ (hipótesis). Demostraremos que M'N' = P'Q' (tesis).

6. Demostrar que la suma de distancias de un punto cualquiera interior de un triángulo equilátero a sus tres lados es constante. (2 p)

Dado el triángulo equilátero de lado: l. Su área es:

l

l a

c O

 A 

l

2

4

3

1 2

 a b c 

l.c 

l

2

1 2

l.a 

1 2

l.b 

1 2



l. a  b  c



3

y dicha suma es constante ya que la longitud del lado no cambia. Lqqd.

●

b l

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