Ejercicios resueltos Dinamica

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA

DINÁMICA EJEMPLO. Un cuerpo D, el cual tiene una masa de 12 lb, se encuentra sobre una superficie superficie cónica lisa ABC y está girando alrededor del eje BB’ con una velocidad  angular de 10 rev/min. Calcular: a) La velocidad lineal del cuerpo, b) La reacción de la superficie sobre el cuerpo, c) La tensión en el hilo, y  d) La velocidad angular necesaria para reducir la reacción del plano a cero.

SOLUCIÓN: DATOS: mD = 12 lb ω = 10 rev/min

D.C.L.

a) Velocidad lineal: Donde: rev  2π  rad  1 min ⋅ ⋅ ω = 10 min 1 rev  60 s

CALCULAR: a) vD = ? b) ND = ? c) T = ? d) ω’ = ? → ND ≈ 0

 rad   s 

π 

ω=

3

vD = Rω... Donde: R = 15 [pies] sen 60º R = 12.99 [pies] vD = (12.99[pies]· π/3 [rad/s])

 pies   s 

vD = 13.6

Resp.

b) Cálculo de la reacción sobre la superficie cónica:

∑ Fy  = 0 ∑ Fx = m

⇒ D

T ⋅ cos 60 + mD ⋅ g + N D ⋅ cos 30 = 0

⋅a

⇒

− N D ⋅ sen30 + T ⋅ sen 60 = mD

 = mD ⋅ g    2  N D mD ⋅ v D  3 T  + = 2 2 R    T  = 2 ⋅ mD ⋅ g − 3 ⋅ N D 2 2 ⋅ mD ⋅ v D 3 ⋅ T  − N D = T  3 + N D 2 2

   .....( 2' ) 

.....(1' )

R 

De ec.(1’) reempl. T en ec.(2’)

(

3 2 mD g  ⋅

3N D N D

−

⋅

N D

2

3 N D ⋅

2 mD v D ⋅

=

3 =

−

⋅

)

−

⋅

⋅

=

R 

−

2 3 m D g 

mD v D

⋅

2

⋅

−

⋅

2

⋅

R 

mD g 

N D

2 mD v D

2 R  ⋅

Donde: mD·g = WD → mD

=

W D g 

⋅

2

   .......( 2) 

.......(1) V D

2

R 

3 W D 2

−

W D ⋅ v D

2

N D

=

N D

   pies    (12 ⋅ [lbf ]) ⋅ 13.6       s 3       = (12 ⋅ [lbf ]) − 2    pies   ⋅ (12.99[ pies ]) 2 ⋅  32.185  2     s       

......( 3)

2 ⋅ g ⋅ R 

2

N D = 7.738 [lbf] …

Resp.

c) Cálculo de la Tensión de la cuerda: De ec(1’): T 

=

2 mD g 

T 

=

2 W D

T 

⋅

⋅

⋅

−

3 N D

−

⋅

3 N D ⋅

2 (12[lbf ]) 3 (7.738[lbf ]) T = 10.598 [lbf] … Resp. =

⋅

−

⋅

d) Cálculo de la velocidad angular si N D = 0  De ec(3), si N D = 0 ; g = 32.185 [pies/s 2  ]  3

N D =

0=

2 3

2

W D −

W D −

W D ⋅ ( v D ' )

2 ⋅ g  ⋅ R  v D ' =

2

=

W D ⋅ v D

2

2 ⋅ g  ⋅ R 

W D ⋅ ( v D ' )

2

2 ⋅ g  ⋅ R  3 2

W D

3 ⋅ g  ⋅ R  =

3 ⋅ (32.185[ pies / s 2 ]) ⋅ (12.99 )

v D’ = 26.91 [pies/s]  Donde: V D’ = R·ω’  v D ' 26.91 [ pies / s ] = ω’ = R  12.99 [ pies ] ω’ = 2.07 [rad/s] … Resp.

EJEMPLO. La figura muestra dos bloques m A = 5 kg. y m B = 3,6kg cuales están unidos por una cuerda de masa despreciable e inextensible. La polea es de masa despreciable, sin roce y la superficie horizontal es rugosa. Sobre el bloque A actúa una fuerza F, de modo que el bloque B está a punto de descender. Si el  coeficiente de roce estático es 0,5. Calcular:

a) El módulo de la fuerza F., b) El coeficiente de roce cinético y la tensión de la cuerda, si deja de actuar la fuerza F y el bloque B desciende inmediatamente 4(m) en 2(s).

SOLUCIÓN: DATOS: m A = 5 kg mB = 3.6 kg μk = 0.5

CALCULAR: a) F = ? b) μc , T, ? d = 4 [m]; t = 2 [s]

D.C.L.

a) Cálculo de la fuerza F: Del DCL (I), tenemos:

∑ Fx = 0 ∑ Fy  = 0

⇒ ⇒

F R  =  µ k  ⋅ N 

T  − F R  − F cos 37 = 0 N − m A ⋅ g − Fsen 37 = 0

....(1) ....( 2)

....( 3 )

Del DCL (II), tenemos:

∑ Fy  = 0

⇒

T  − mB ⋅ g  = 0

Reempl. N en ec(3) de ec(2) F R  = μ c  (m A·g + F·sen37)

…..(3’)

Reempl. F R  en ec(1) de ec(3’)

⇒

T  = mB ⋅ g 

T – μ c  (m A·g + F·sen37) – F·cos37 = 0  T – μ c·  m A·g – μ c·  F·sen37 – F·cos37 = 0  F (μ c·  sen37 + cos37) = T – μ c·  m A·g  F (μ c·  sen37 + cos37) = m B·g – μ c·  m A·g  Donde: mB·g = W B

;

m A·g = W  A

F (μ c·  sen37 + cos37) = W B  – μ c·  W  A W B −  µ C  ⋅ W  A 3.6[kgf ] − 0.5 ⋅ (5[ kgf ]) = F  =  µ C  ⋅ sen 37 + cos 37 0.5 ⋅ sen 37 + cos 37 F = 1 [kgf] … Resp.

b) Cálculo del coeficiente de roce cinético: Del DCL (I), tenemos:

∑ Fx = m ∑ Fy  = 0

 A

⋅a

⇒ ⇒

F R  =  µ C  ⋅ N 

T  − F R  = m A ⋅ a N − m A ⋅ g  = 0

⇒

 µ C 

=

....( 4)

⇒ N  = m A ⋅ g 

F R 

....( 5)

....( 6)

N 

Del DCL (II), tenemos:

∑ Fy  = m

B

⋅a

⇒

mB ⋅ g − T  = mB ⋅ a

 Análisis del bloque B: en d = 4 [m] ; t = 2 [s]

⇒

T  = mB ⋅ (g − a )

...(7)

; v o = 0 

d = v o·t + ½ a·t 2  2 ⋅ d  2 ⋅ ( 4[m]) a= 2 = t  (2[s ]) 2 a = 2 [m/s 2  ]  De ec(6) Reempl. F R  y N de ec(4) y ec(5) y reempl. T de ec(7)

 µ C 

=

T  − m A ⋅ a

=

mB ( g − a ) − m A ⋅ a

m A ⋅ g   μ C  = 0.376 … Resp.

m A ⋅ g 

=

Cálculo de la tensión de la cuerda: De ec(7), tenemos: T = 3.6 (9.81-2)

3.6[ kg ](9.81[m / s 2 ] − 2[m / s 2 ]) − 5[ kg ] ⋅ 2[m / s 2 ] 5[kg ] ⋅ 9.81[m / s 2 ]

T = 28.116 [N] … Resp.