Ejercicios Resueltos Dinámica-Singer

´ UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA ´ DE MINAS, GEOLOGIA ´ Y CIVIL FACULTAD DE INGENIERIA ´ PROFESIONAL DE INGENIERIA ´ CIVIL ESCUELA DE FORMACION

´ CINEMATICA ´ PRIMERA PRACTICA CALIFICADA ´ DE MECANICA ´ ´ SOLUCION VECTORIAL (DINAMICA) Ferdinand L.Singer Asignatura: ´ DINAMICA (IC - 244) Docente: ´ Ing. CASTRO PEREZ,Cristian Alumnos: CARBAJAL SULCA, Wilber ´ GOMEZ HUAZACCA, K´aterin Roxana ´ BONIFACIO, Daysy JAHUIN YUCRA AGUILAR, Samuel Semestre Acad´emico 2012 – II ´ AYACUCHO – PERU 2013

16105591 16105633 16105092 16110667

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UNSCH ´ CIVIL EFP: INGENIERIA

1.

PROBLEMA N-01

1.1.

Componente rectangular del movimiento curvil´ıneo

El pasador P se mueve por una trayectoria curva determinada por los movimientos de los eslabones ra´ de nurados A y B. En el instante mostrado por la figura, A tiene una velocidad de 30 cm/s y una aceleracion ´ de 12.5 25 cm/s2 , ambas hacia la derecha, mientras que B tiene una velocidad de 40 cm/s y una aceleracion cm/s2 , ambas verticalmente hacia abajo. Determinar el radio de curvatura de la trayectoria de P en ese instante.

Figura 1: Problema 01 ´ SOLUCION:

´ del problema 01 Figura 2: Solucion Tenemos: −−→ ˆ VA = −30icm/s − − → ˆ aA = −25icm/s2 −−→ ˆ VB = −40jcm/s − → 2 ˆ a = −12,5jcm/s B

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´ de P: La velocidad y aceleracion

→ − −−→ −−→ ˆ V = VA + VB = −30iˆ − 40jcm/s → − − − → − → 2 ˆ ˆ a = a + a = −25i − 12,5jcm/s A

B

´ normal est´a definida por: La aceleracion an =

V3 |V × a| V 2 = ⇒ ρ |V | |V × a|

Reemplazando en (1) obtenemos el radio de curvatura: ρ=

V3 |V ×a| 503 625

ρ= ρ = 200cm

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2.

PROBLEMA N-02

2.1.

Componente rectangular del movimiento curvil´ıneo

´ del pasador P en la ranura circular que se ve en la figura est´a controlada por la gu´ıa inclinada La posicion que se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 6.4cm/s en cada intervalo de movimiento ´ de P en la posicion ´ dada. .calcular la velocidad y la aceleracion ´ de la gu´ıa un corto tiempo t despu´es de la posicion ´ dada, obtener las Sugerencia: trazando la posicion coordenadas absolutas del movimiento (a lo largo de la gu´ıa) en t´erminos de tiempo. El movimiento absoluto de P en la ranura circular es igual a la suma Geom´etrica del movimiento de la gu´ıa m´as el de P a lo largo de la misma.

Figura 3: Problema 02 ´ SOLUCION:

´ del problema 02 Figura 4: Solucion De la figura se obtiene: x = Rcosθ  , y = Rs inθ x = 12,5 53 x = 7,5cm   y = 12,5 45 y = 10cm ⇒ x = 7,5cm ; y = 10cm ´ de la circunferencia: De la gr´afica se obtienes la ecuacion x2 + y 2 = 12,52 7

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´ para obtener la velocidad en y: Derivamos la ecuacion 2xx˙ + 2y y˙ = 0 si x˙ = 6,4 cm/s y˙ = − xyx˙ 7,5(6,4) y˙ = − 10 y˙ = −4,8 m/s2

´ en y: Volvemos a derivar para obtener la aceleracion 2xx˙ + 2y y˙ = 0 ˙ 2 + 2 (y) ˙ 2=0 2xx¨ + 2y y¨ + 2 (x) 2 2 ˙ + (y) ˙ =0 xx¨ + y y¨ + (x) x¨ = 0 ˙ 2 +(y) ˙2 (x) y 6,42 +(−4,8)2 =− 10

y¨ = − y¨

y¨ = −6,4 cm/s2

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3.

PROBLEMA N-03

3.1.

Componente rectangular del movimiento curvil´ıneo

´ Una varilla telescopica mostrada en la figura hace mover el pasador P a lo largo de la trayectoria fija 1 ´ de P son respectivamente x2 Cuando x = 15cm se sabe que la velocidad y la aceleracion dado por y = 22,5 v = 30i + 40jcm/s y a = 25i + 50jcm/s2 ´ angular de la varilla? ¿Cu´al es entonces la aceleracion

Figura 5: Problema 03 ´ SOLUCION:

´ del problema 03 Figura 6: Solucion

y=

  2 1 2 ˙ ˙ y) ˙ v¯ = x, x v¯ = (x, xx˙ = (30, 40) 22,5 22,5

Comprobamos que: ¨ x˙ = 3a = (x, ´ Derivando la ecuacion tgθ =

2 2 2 x ¨ x¨ = 25tgθ = x˙ + x˙ x) 22,5 22,5 30 − y

˙ (30 − y)x˙ − x(−y) x sec2 θ θ˙ = ......(1) 2 30 − y (30 − y)

˙ y = 10 Reemplazando en la ecuacion 1 θ˙ = 2,4567 Derivando una vez m´as la ecuacion ´ 1: Hallamos θ: 9

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˙ + x˙ y˙ + yx) ¨ − 2(30 − y)(y)(30 ˙ ˙ (30 − y)2 (30x¨ − (y˙ x˙ + x¨y) x˙ − y x˙ + xy) 2senθ θ˙ 2 ¨ 2 + θsec θ = 2 cos3 θ (30 − y) Para:

x˙ = 30 y˙ = 40 x¨ = 25 y¨ = 50 Obtenemos: La aceleracion angular es:

θ¨ = 3,30rad/s2 α = 3,30rad/s2

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4.

PROBLEMA N-04

4.1.

Componente radial y transversal del movimiento curvil´ıneo

La manivela AB de un mecanismo de un brazo oscilante de retroceso r´apido que se ve en la figura ,gira ´ con una rapidez constante en el sentido de giro de las manecillas del reloj a11,2rad/s .Calcular la aceleracion angular del brazo CD en el instante en que la manivela AB esta horizontal como se ve en la figura

Figura 7: Problema 04 ´ SOLUCION: Se observa que es movimiento en coordenadas polares donde

´ para la manivela AB: Hallamos la velocidad y la aceleracion Datos: θ˙ = 11,2rad/s, θ¨ = 0 rAB = 25cm , r˙AB = 0 , r¨AB = 0 Adem´as:

vr = r˙ → r˙AB = 0 = vr vθ = r θ˙ → vθ = 25 × 11,2 = 280

Luego: q v=

vr2 + vθ2 = 280cm/s

´ radial: Hallamos la aceleracion ar = r¨ − r θ˙ 2 → ar = 0 − 25 × 11,22 = −3136 aθ = r θ¨ + 2r˙θ˙ → aθ = 0 + 0 = 0 Luego: a=

q a2r + a2θ = 3136cm/s2

´ de β para el brazo rasurado De gr´afico se tiene: Hallamos la velocidad y la aceleracion 11

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´ del problema 04 Figura 8: Solucion

aθ = ar Cosθ vr = −vb Cosθ vθ = vb Senθ De donde se obtiene la velocidad angular: vr = r˙ → r˙CB = −280Cosθ ≈ −250,4 vθ = r θ˙ → r θ˙ = 280Senθ → θ˙ = 2,24rad/s ´ angular: Hallamos la aceleracion ar Cosθ = 2r˙CB + rCB θ¨ r˙CB θ¨ = ar rCosθ−2 rCB −3136Cosθ+2(250,4)(2,24) θ¨ = 55,4 θ¨ = −30,09rad/s2 ´ angular es de 30.09 rad/s2 girando en sentido de las manecillas del reloj. Esto indica que la aceleracion

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5.

PROBLEMA N-05

5.1.

Componente radial y transversal del movimiento curvil´ıneo

´ mostrada en la figura, el extremo de 60 cm/s A de la varilla tiene una componente de En la posicion ´ hacia arriba, de . determine la aceleracion ´ velocidad , hacia la derecha, de y una componente de aceleracion, ´ angular de la varilla en esta posicion.

Figura 9: Problema 05 ´ SOLUCION:

´ del problema 05 Figura 10: Solucion De la figura obtenemos: Vr = V cos  θ , Vθ = −V sin θ Vr = 60 45 Vr = 48 cm/s   Vθ = −60 35 Vθ = −36rad/s ´ las siguientes ecuaciones : Segun

Vr = r˙ ; Vθ = r θ˙ Vr = r˙ = 48cm/s Vθ = −36 Vθ = r θ˙ , r = 25 θ˙ = − 36 25 θ˙ = −1,44rad/s 13

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De la gr´afica se obtiene lo siguientes: Vr = V cos  θ , Vθ = −V sin θ Vr = 60 45 Vr = 48 cm/s   Vθ = −60 35 Vθ = −36rad/s Vr = r˙ ; Vθ = r θ˙ Vr = r˙ = 48cm/s Vθ = −36 Vθ = r θ˙ , r = 25 θ˙ = − 36 25 θ˙ = −1,44rad/s De la gr´afica se obtiene lo siguientes: Vr = V cos  θ , Vθ = −V sin θ Vr = 60 45 Vr = 48 cm/s   Vθ = −60 35 Vθ = −36rad/s Por formula se tienes :

Vr = r˙ ; Vθ = r θ˙ Vr = r˙ = 48cm/s Vθ = −36 Vθ = r θ˙ , r = 25 θ˙ = − 36 25 θ˙ = −1,44rad/s

De la gr´afica se obtiene lo siguientes: aθ = a cosθ  , ar = a sin θ aθ = 120 45 aθ = 95rad/s2 aθ = r θ¨ + 2r˙θ˙ = 95 r˙θ˙ θ¨ = 95−2 r 95−2(48)(−1,44) θ¨ = 25 θ¨ = 9,3696rad/s2

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6.

PROBLEMA N-06

6.1.

Cinem´atica de cuerpo r´ıgido

El cuerpo B hace que el tambor compuesto de la figura, rueda sin resbalar hacia arriba del plano. Si la ´ lineal de B es 0.6 m/s2 hacia abajo, calcular la aceleracion ´ lineal del cuerpo A. Suponga que la aceleracion cuerda que sostiene a A. Suponga que la cuerda que sostiene a A permanece vertical.

Figura 11: Problema 06 ´ SOLUCION: −→ Determinamos: − r− B/O − −→ ˆ ˆ r− B/O = 0,9Sen37i − 0,9Cos37j − − − → ˆ ˆ r = 0,54i − 0,72j B/O

aB = 0,6m/s2 − −→ ˆ ˆ r− B/O = 0,54i − 0,72j 2 aB = 0,6m/s

´ del problema 06 Figura 12: Solucion Hallamos − a→ B :

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Si: − a→ B − −−→ → − −−−→ −−−−→  −−−−→ −−−→ a→ B = aO +α × rB/O + ωOB × ωOB × rB/O  − ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a→ B = α k × 0,54i − 0,72j + ωk × ωk × 0,54i − 0,72j − 2 jˆ − 0,54ω2 iˆ a→ iˆ − 0,54α jˆ + 0,72ω B = 0,72α     − a→ = 0,72α − 0,54ω2 iˆ + 0,54α + 0,72ω2 jˆ B

Pero:

3ˆ 4ˆ − a→ B = 0,6 × i + 0,6 × j 5 5

Entonces:

´ final del problema 06 Figura 13: Solucion 0,72α − 0,54ω2 = 0,6 × 45 ....... (1) 0,54α + 0,72ω2 = 0,6 × 35 ....... (2) De (1) y (2): α = 0,667rad/s2 y ω2 = −0,00025rad/s2 Hallamos − a−→ A : − −−→ → − −−−−→ + − −−−→ ×  − −−−→ × − −−→ a−→ ω ω r−A/O A = aO +α × rA/O OA OA     − ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a−→ A = α k × −0,9i + ωk × ωk × −0,9i − 2ˆ ˆ a−→ A = −0,9α j + 0,9ω i − − → ˆ aA = −0,6j + 0,0025iˆ − a−→ = −0,6m/s2 A

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7.

PROBLEMA N-07

7.1.

Cinem´atica de cuerpo r´ıgido

Las varillas AB y CD est´an articuladas en B como se observa en la figura, y se mueven en un plano vertical con las velocidades angulares absolutas y . Determine las velocidades lineales de los puntos C y D.

Figura 14: Problema 07

´ SOLUCION:

´ del problema 07 Figura 15: Solucion

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De la figura tenemos:

→ ˆ ωAB = 4rad/s ⇒ − ω−− AB = 4krad/s − − − − → ˆ ωCD = 3rad/s ⇒ ωCD = 3krad/s − − − → ˆ ρAB = 15icm − −→ = 10jcm ˆ ρ−BC − − − → ˆ ρBD = −15jcm

De AB: → −−−→ ~B = − V ω−− AB × ρAB ~B = 4kˆ × 15iˆ V ˆ ~ VB = 60jcm/s De BC:

−−−→ × − −→ ~C = V ~C + − V ω ρ−BC CD ~C = 60jˆ + 3kˆ × 10jˆ V ~C = 60jˆ − 30iˆ V ˆ ˆ ~ −30i + 60jcm/s VC = V ~C = 75cm/s

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8.

PROBLEMA N-08

8.1.

Cinem´atica de cuerpo r´ıgido

Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las gu´ıas horizontales e inclinadas mostradas en la ´ dada ω = −4b figura. En la posicion krad/s y α = −5b krad/s2 , ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj. ´ de los puntos A, B y C. Calcular la aceleracion

Figura 16: Problema 08 ´ SOLUCION:

´ del problema 08 Figura 17: Solucion Por cinem´atica de cuerpos r´ıgidos: ˆ ω = −4krad/s α = −5b krad/s2 ´ El movimiento del cuerpo r´ıgido es un movimiento plano Para la aceleracion:

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˙ AB + ωx(ωxρAB ) aB = aA + ωxρ j)) i − 1,5sen37ob j) + −4b kx(−4b kx(−1,5 cos 37ob i − 1,5sen37ob aB = aA + −5b kx(−1,5 cos 37ob j) = −aAb i + 5,9898b j − 4,5136b i + 19,1673b i + 14,4436b j i − sen53ob aB (− cos 53ob j) = 20,4334b j aB (−sen53ob aB = 25,5854m/s2 ˆ aB = aB (− cos 53o iˆ − sen53o j) 2 ˆ aB = (−15,3977iˆ − 20,4334j)m/s

´ de A: Hallando aceleracion i) = −aAb i + 14,6537b i aB (− cos 53ob aA = 0,7440m/s2 aA = −0,7440b im/s2 ´ de C: Hallando la aceleracion ˙ CA + ωx(ωxρCA ) aA = aC + ωxρ kx(1,8b j) + −4b kx(−4b kx(−1,8b j)) −0,7440b i = aC + −5b −0,7440b i = aC + 9b i − 28,8b j aCb i = −9,7440b i

aC b j = −28,8b j aC = 30,4037m/s2 aC = (−9,7440iˆ − 28,8b j)m/s2

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9.

PROBLEMA N-09

9.1.

Cinem´atica de cuerpo r´ıgido

´ dada,la velocidad y aceleCuando el mecanismo biela-manivela mostrado en la figura , esta en la posicion ´ en C son vc = 4,8m/s , ar = 0,84m/s2 , ambas vertical hacia abajo. racion ´ angular en la manivela AB ? ¿ cual es la aceleracion

Figura 18: Problema 09 ´ mostrada: En la posicion De manera vectorial:

vc = 4,8m/s , ar = 0,84m/s2 ↓ , aAB =? − ˆ v→ c = −4,8j − → ac = −0,84jˆ

´ SOLUCION:

´ del problema 09 Figura 19: Solucion

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Hallamos la velocidad de B:

VB = VA + V h B/A  i VB = VA + −ωAB kˆ × 0,5iˆ − 0,4jˆ VB = −0,5ωAB jˆ − 0,4ωAB iˆ

Hallamos la velocidad de C: VC = VB + V h C/B  i VC = VB + ωBC kˆ × −1,19iˆ − 0,9jˆ h  i VC = −0,4ωAB iˆ − 0,5ωAB jˆ + ωBC kˆ × −1,19iˆ − 0,9jˆ VC = −0,4ωAB iˆ − 0,5ωAB jˆ − 1,19ωBC jˆ + 0,9ωBC iˆ VC = 0iˆ − 4,8jˆ Por lo tanto: −0,4ωAB = −0,9ωBC → ωBC = −0,5ωAB − 1,19ωBC = −4,8 ωBC = 2,07rad/s ωAB = 4,665rad/s

0,4 0,9 ωAB

Finalmente hallamos las aceleraciones: − −−→ −−−→ × − −→ + − → × − →× − −→ a→ r−B/A ω−− ω−− r−B/A AB B = aA + aAB AB       − ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a→ B = aAB k × 0,5i − 0,4j + −4,665k × −2,33j − 1,87i − ˆ ˆ a→ B = (0,4aAB − 10,87) i + (0,5aAB + 807) j − − → − → − − − → − − − → − − − → − − − → − −→ aC = aB + aBC × rC/B + ωBC × ωBC × r− C/B       − −→ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a−→ C = aB + aBC k × −1,19i − 0,9j + 2,207k × −2,47j + 1,86i − −→ ˆ ˆ ˆ ˆ a→ B = aB + 1,19aBC j + 0,9aBC i + 5,11i + 1,86j − − → ˆ ˆ aC = (0,4aAB − 10,87) i + (0,5aAB + 807) j + 1,19aBC jˆ + 0,9aBC iˆ + 5,11iˆ + 1,86jˆ − ˆ ˆ a−→ C = (0,4aAB + 0,9aBC − 5,76) i + (0,5aAB − 1,19aBC + 12,55) j 0,476aAB − 6,85 = 0 0,5aAB + 10,54 = 0 aAB = −3,98rad/s2 ´ gira en sentido horario de las manecillas del reloj. La aceleracion

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10.

PROBLEMA N-10

En el instante mostrado en la figura ,la placa ABC ,gira con una velocidad constante de 2rad/s alrededor de la arista AB que se mueve en un plano vertical. En e mismo instante ,A tiene una velocidad hacia la izquierda ´ de 3m/s2 .Calcule la velocidad y la aceleracion ´ absoluta en C . de 2,4m/s y una aceleracion

Figura 20: Problema 10 Se tiene como datos: −→ ˆ ← vA = 2,4m/s, → aA = 3m/s2 , ω = 2rad/s , − r− C/A = 2,4j ´ SOLUCION:

´ del problema 10 Figura 21: Solucion −−→ −−→ −−−−→ −−−→ VC = VA + ωAC × rC/A − −−−→ = 2kˆ ω AC − −→ ˆ r− C/A = 2,4j 23

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Adem´as se tiene que:

− −−−→ = − → ˆ ω ω−− AC AB = 2i   −−→ −−→ −−−−→ −−−→ VC = VA + ωAC × rC/A = −2,4iˆ + 2iˆ × 2,4jˆ −−→ VC = −2,4iˆ + 4,8kˆ −−→ VC = 5,37m/s

´ Hallando la aceleracion:

− −−→ −−−→ −−−→ −−−−→ ×  − −−−→ × − −→ a−→ ω r− C = aA + aAC × rB/A + ω AC AC C/A  − ˆ ˆ ˆ a−→ jˆ C = −3i + 2i × 2i × 2,4  − ˆ ˆ ˆ a−→ C = −3i + 2i × 4,8k − − → a = −3iˆ − 9,6jˆ C

aC = 10,058m/s2

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11. 11.1.

PROBLEMA N-11 Cinem´atica de cuerpo r´ıgido

La rueda de la figura gira libremente sobre el arco circular. Mostrar que : vA = rw y aAt = rα

Figura 22: Problema 11 ´ SOLUCION:

´ del problema 11 Figura 23: Solucion

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Se observa en la figura y se tienes que la velocidad en O como en A respecto al piso en que se encuentra la rueda de lo cual se tiene l siguiente : wo = θ˙ wA = θ˙ wo = wA = θ˙ = w De lo cual se obtiene y queda demostrado lo : vA = rw sabemos que : v = wr v˙ = at d (wr) v˙ = dt ˙ v˙ = r w˙ + rw de donde r = constante ⇒ r˙ = 0 v˙ = r w˙ w˙ = α at = rα De lo cual quedan demostrado las dos expresiones solicitadas vA = rw y at = rα

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12. 12.1.

PROBLEMA N-12 Cinem´atica de cuerpo r´ıgido

Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las gu´ıas horizontales e inclinadas mostradas en la ´ dada ω = −4b figura. En la posicion krad/s y α = −5b krad/s2 , ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj. ´ de los puntos A, B y C. Calcular la aceleracion

Figura 24: Problema 12 ´ SOLUCION:

´ del problema 12 Figura 25: Solucion Por cinem´atica de cuerpos r´ıgidos: ˆ ω = −4krad/s α = −5b krad/s2 ´ El movimiento del cuerpo r´ıgido es un movimiento plano Para la aceleracion:

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˙ AB + ωx(ωxρAB ) aB = aA + ωxρ j)) i − 1,5sen37ob j) + −4b kx(−4b kx(−1,5 cos 37ob i − 1,5sen37ob aB = aA + −5b kx(−1,5 cos 37ob j) = −aAb i + 5,9898b j − 4,5136b i + 19,1673b i + 14,4436b j i − sen53ob aB (− cos 53ob j) = 20,4334b j aB (−sen53ob aB = 25,5854m/s2 ˆ aB = aB (− cos 53o iˆ − sen53o j) 2 ˆ aB = (−15,3977iˆ − 20,4334j)m/s

´ de A: Hallando aceleracion i) = −aAb i + 14,6537b i aB (− cos 53ob aA = 0,7440m/s2 aA = −0,7440b im/s2 ´ de C: Hallando la aceleracion ˙ CA + ωx(ωxρCA ) aA = aC + ωxρ kx(1,8b j) + −4b kx(−4b kx(−1,8b j)) −0,7440b i = aC + −5b −0,7440b i = aC + 9b i − 28,8b j aCb i = −9,7440b i

aC b j = −28,8b j aC = 30,4037m/s2 aC = (−9,7440iˆ − 28,8b j)m/s2

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