ejercicios resueltos del circulo de mohr

PROBLEMAS DE CÍRCULO DE MOHR 20. Una barra uniforme de sección 6x9cm esta sometida a una fuerza de tracción axial de 54000kg en cada uno de sus extremos determinar la tensión cortante máxima en la barra Datos: A=6x9cm2 P=5400Kg. 5400kg

5400kg

σx = P/A

σy =0

σx = 5400kg/6x9cm2

 xy =0

σx = 1000 Kg/ cm2 Cortante máximo:   y    J xy 2  máx = ±  x  2   máx = ±√ (5400-0)2/2+02 2

tmax= ±500 Kg/ cm2

21. En el problema 20 determinar la tensión normal y cortante que actual que actúan en un plano inclinado de 20º con la línea de acción de las cargas axiales. Datos:

 =20º σx = 1000 Kg/ cm2 σy =0

 xy =0 Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2  )/2+  xy Sen2  σn =( (1000+ 0) /2)-((1000-0) Cos40º )/2+0 Sen40º σn =116.98 Kg/ cm2

Esfuerzo cortante:

t= Sen2  (σx- σy)/2+  xy Cos2  t= Sen40º(1000- 0)/2+0 Cos40º t= 321.39 Kg/ cm2

22. Una barra cuadrada de 2 centímetros de lado esta sometida a una

carga de compresión axial de 2.24 kg. Determinar las Tensiones Normal y cortante que actúan en un plano inclinado Ѳ=30º respecto a la línea de acción de las cargas axiales. La barra es lo suficientemente corta para poder despreciar la posibilidad de pandeo. Datos: L=2cm P=-2240kg  =30º 2240kg

2240kg σx = P/A

σy =0

σx = -2240kg/2x2cm2

 xy =0

σx = -560 Kg/ cm2 Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2  )/2+  xy Sen2  σn =( (-560+ 0) /2)-((-560-0) Cos60º )/2+0 Sen60º σn =-140 Kg/ cm2

Esfuerzo cortante:

t= Sen2  (σx- σy)/2+  xy Cos2  t= Sen60º(-560- 0)/2+0 Cos60º t= -242.49 Kg/ cm2

23. Resolver nuevamente el problema 22 utilizando el círculo de

Mohr. Datos: σx = -560 Kg/ cm2 σy =0

 xy =0 θ=30º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=-280 a = (σx - σy)/2

R=280 2θ=60º

t

a=280 b=  xy =0 s n,t 280

280Sen60º 2

s min=-560

DEL GRÁFICO: σn =280Sen60º σn =242.49 Kg/ cm2

t= 280Cos60º t= -140 Kg/ cm2

C=-280

O

s max=0

s

24. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones , σx =

210

cm2,

Kg/

σy =0,

 xy =280 Kg/ cm2 ,

determinar

analíticamente las tensiones normal y cortante que existen en un plano inclinado  =45ºcon el eje X. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0

 xy =280 Kg/ cm2

 =45º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2  )/2+  xy Sen2  σn =( (210+ 0) /2)-((210-0) Cos90º )/2+280 Sen90º σn =385 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:

t= Sen2  (σx- σy)/2+  xy Cos2  t= Sen90º(210- 0)/2+280 Cos90º t= 105 Kg/ cm2

25. Determinar analíticamente, para el elemento del Problema 24, las

tensiones principales y sus direcciones, así como las máximas tensiones cortantes y las direcciones de los planos en que tiene lugar. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0

 xy =280 Kg/ cm2

 =45º a) Calculando los esfuerzos principales:

 1, 2 

 x  y 2

 x  y   2 

2

    2 XY 

σmax =( (210+ 0) /2)+ √ ((210- 0) /2+280

2

σmax =404.04 Kg/ cm2

σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 σ

min=-194.04

2

Kg/ cm2

b) Hallamos las direcciones:

tan2 p 

2 xy

 x  y

Tan2  p=-2x280/210 2  p=-2.667 IIQ, IVQ 90º-2  p=20.554 2  p1=20.554+90º  p1=55º16´

2  p2=20.554+270º  p2=145º16´

c) Cortante máximo:

 máx = ±

 máx =

 x  y   2

2

   J xy 2 

±√ (210-0)2/2+2802

tmax= ±299.04 Kg/ cm2 Tan2  c=(σx- σy)/2  xy

 c=10º16´41”

26. Resolver nuevamente el Problema 25 utilizando el círculo de

Mohr. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0

 xy =280 Kg/ cm2  =45º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=105

R=299.04

a = (σx - σy)/2

t

a=280 b=

210

 xy =280

t max=299.04kg/cm² s x,t xy

280

2qp2

s min=-194

O

C=105 R=299

280

s max=404.04

2qp1

2qc

s y,t xy

105

t max=-299.04kg/cm² DEL GRÁFICO: Sen2  c=105/299 2  c=20.55 2  p=20.55+90º

s

2  p=110.55 27. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones indicadas en la Figura adjunta. Determinar analíticamente: a) Las tensiones principales y sus direcciones. b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos en que tienen lugar. Datos:

280 kg/cm2

210kg/cm2

210kg/cm2 280 kg/cm2

 xy =-280 kg/cm2

σx =-210 kg/cm2

σy = 0

a) Calculando los esfuerzos principales:

 1, 2 

 x  y 2

 x  y   2 

2

    2 XY 

σmax =( (-210+ 0) /2)+ √ ((-210- 0) /2+-280

2

σmax =194.04Kg/ cm2 σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 σ

min-404.04Kg/

2

cm2

Hallamos las direcciones:

tan2 p 

2 xy

 x  y

Tan2  p=-2x-280/-210 2  p=-69.44 IIQ, IVQ 90º-2  p=20.554 2  p1=20.554+90º

2  p2=20.554+270º

 p1=55º16´

 p2=145º16´

b) Cortante máximo:

 máx =  máx =

±

 x  y   2

2

   J xy 2 

±√ (-210-0)2/2+-2802

tmax= ±299.04 Kg/ cm2 Tan2  c=(σx- σy)/2  xy

 c=10º16´41” 28. Para el elemento del Problema 27. Determinar las tensiones normal y cortante que actúan en un plano inclinado 30º con el eje X Datos:

 xy =-280 kg/cm2

σx =-210 kg/cm2 σy = 0

 =30º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2  )/2+  xy Sen2  σn =( (-210+ 0) /2)-((-210-0) Cos60º )/2+280 Sen60º σn =-294.99 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:

t= Sen2  (σx- σy)/2+  xy Cos2  t= Sen60º(-210- 0)/2+-280 Cos60º t= -230 Kg/ cm2

29. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σx =560kg/cm2, σy =560 kg/cm2 y

determinar analíticamente la tensión cortante

máxima que existe en el elemento. Datos:

 xy =0

σx =560 kg/cm2 σy =560 kg/cm2 Cortante máximo:

  y    J xy 2  máx = ±  x  2   máx = ±√ 560-560)2/2+02 2

tmax= 0 30. ¿Qué forma adopta el círculo de Mohr para las solicitaciones

descritas en el problema 29? Datos: σx =560 kg/cm2

 xy =0

σy =560 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2 C=560 a = (σx - σy)/2

-RADIO R2=a2+b2 R=0

t

a=0 b=  xy =0

El circulo forma un punto que esta ubicado en el eje horizontal a 560 del origen.

O

C=560

s

31. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σx =560 kg/cm2 y σy =-560 kg/cm2. Determinar analíticamente la tensión cortante máxima que existe en el elemento. ¿Cuál es la dirección de los planos en que se producen las máximas tensiones cortantes? Datos: σx =560 kg/cm2

 xy =0

σy =-560 kg/cm2 Cortante máximo:   y    J xy 2  máx = ±  x  2   máx = ±√ 560--560)2/2+02 2

tmax= ± 560 kg/cm2 Tan2  c=(σx- σy)/2  xy 2  c=45º

32. Para el problema 31 determinar analíticamente las tensiones

Normal y Cortante que actúan en un plano inclinado un ángulo de 30º con el eje x. Datos: σx =560 kg/cm2

 xy =0

σy =-560 kg/cm2

 =30º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2  )/2+  xy Sen2  σn =( (560+ -560) /2)-((560--560) Cos60º )/2+0 Sen60º σn =-280 Kg/ cm2

Esfuerzo cortante:

t= Sen2  (σx- σy)/2+  xy Cos2  t= Sen60º(560--560)/2+0 Cos60º t= 484.974 Kg/ cm2 33. Dibujar el circulo de Mohr para un elemento plano sometido a las tensiones σx =560 kg/cm2 y σy =-560 kg/cm2. Determinar el círculo de Mohr, las tensiones que actúan en un plano inclinado 20º con el eje X. Datos: σx =560 kg/cm2

 xy =0

σy =-560 kg/cm2

 =20º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=0

R=560

a = (σx - σy)/2

t

a=560 b=  xy =0 2  =40º

DEL GRÁFICO:

sn

s y,t xy

t =560sen40º t =-359.961 kg/cm2 σn =560cos40º σn =-428.985kg/cm2

-560

t

s x,t xy

40º R=560

O=centro

560

s

34. Un elemento plano extraído de una envuelta cilíndrica delgada,

sometido a torsión, soporta las tensiones cortantes representada en la figura, determinar las tensiones principales que existen en el elemento y las direcciones de los planos en que se producen. 560 kg/cm2 560kg/cm2

560 kg/cm2

560 kg/cm2 Datos:

 xy =560 kg/cm2

σx =0 σy =0

Calculando los esfuerzos principales:

 1, 2 

 x  y 2

 x  y   2 

2

    2 XY 

σmax =( (0+ 0) /2)+ √ ((0- 0) /2+560

2

σmax =560 Kg/ cm2 σmin =( (0+ 0) /2)-√ ((0- 0) /2+560 σ

min=-560

2

Kg/ cm2

t 560

DEL GRÁFICO:

s x,t xy

2  p=45º

2qp O=centro

-560

s y,t xy

s

35. Un elemento plano esta sometido a las tensiones indicadas en la

figura determinar analíticamente. a) Las tensiones principales y sus direcciones. b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan. 840 kg/cm2 560 kg/cm2

2

560kg/cm 1400 kg/cm2

1400 kg/cm2 560 kg/cm2

560 kg/cm2 840 kg/cm2

Datos:

 xy =-560 kg/cm2

σx =1400 kg/cm2 σy = 840 kg/cm2

a) Calculando los esfuerzos principales:

 1, 2 

 x  y 2

 x  y   2 

2

    2 XY 

σmax =( (1400+ 840) /2)+ √ ((1400- 840) /2+-560 σmax =1746.099 Kg/ cm2 σmin =( (1400+ 840) /2)-√ ((1400- 840) /2+-560 σ

min=493.901

Kg/ cm2

b) Hallamos las direcciones:

tan2 p 

2 xy

 x  y

Tan2  p=-2x-560/1400-840 2  p1=+63.435 (IIQ, IVQ) 2  p2=+63.435

 p2=31º43´03”

2  p1=+63.435 +180º

 p1=121º46´57”

2

2

c) Cortante máximo:

 máx = ±

 máx =

 x  y   2

2

   J xy 2 

±√ (1400-840)2/2+-5602

tmax= ±626.099 Kg/ cm2 Tan2  c= (σx- σy)/2  xy Tan2  c= (1400- 840)/2(-560) 2  c=-26.565 (IIQ, IVQ) 90º-26.565 /2

 c=76º43´03”

36. Resolver nuevamente el Problema 35 utilizando el círculo de

Mohr. Datos:

 xy =-560 kg/cm2

σx =1400 kg/cm2 σy = 840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=1120

R=626.099

a = (σx - σy)/2 a=280 b=  xy =-560

t t max=626.099kg/cm²

(8400,560)

2qp O

s min=493.9kg/cm²

C=1120

s max=1746.099kg/cm²

2qc

-560

(1400,-560)

s

37.

Considerar

nuevamente

el

problema

35.

Determinar

analíticamente las tensiones normal y cortante en un plano inclinado un ángulo de 20º con el eje X. Datos:

 xy =-560 kg/cm2

σx =1400 kg/cm2 σy = 840 kg/cm2

 =20º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2  )/2+  xy Sen2 

σn =( (1400+ 840) /2)-((1400-840) Cos40º )/2+-560 Sen40º σn =-280 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:

t= Sen2  (σx- σy)/2+  xy Cos2  t= Sen40º(1400-840)/2+-560 Cos40º t= -249 Kg/ cm2

38. Resolver nuevamente el Problema 34 utilizando el círculo de

Mohr. Datos: σx =1400 kg/cm2

 xy =-560 kg/cm2

σy = 840 kg/cm2

 =20º

MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=1120

R=626.099

a = (σx - σy)/2

2  =40º

a=280 b=  xy =-560

t t max=626.099kg/cm²

(8400,560)

s t

b

40º

a O

s min=493.9kg/cm²

C=1120

626.099

560

(1400,-560)

-560

senb=560/626.099 b=63.435

560

a=23.435

b=63.435 a=23.435

626.099cosb 626.099sena=249 626.099cosb=574.45

626.099sena

b senb=560/626.099 b=63.435

626.099

626.099sena

b

626.099

s max=1746.099kg/cm²

b=63.435 a=23.435

626.099

a=23.435

t =249kg/cm² s =R-574.45+493.9 s =545.54kg/cm²

626.099cosb 626.099sena=249 626.099cosb=574.45

t =249kg/cm² s =R-574.45+493.9

s

39. Un elemento plano esta sometido a las tensiones indicadas en la

figura, determinar analíticamente. a) Las tensiones principales y sus direcciones b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan. 840 kg/cm2 700 kg/cm2

2

700kg/cm 560 kg/cm2

560 kg/cm2 700kg/cm2

700 kg/cm2 840 kg/cm2

Datos:

 xy =700 kg/cm2

σx =-560 kg/cm2

σy = -840 kg/cm2

a) Calculando los esfuerzos principales:

 1, 2 

 x  y 2

 x  y   2 

2

    2 XY 

σmax =( (-560+-840) /2)+ √ ((-560--840) /2+700

2

σmax =13.863 Kg/ cm2 σmin =( -560+-840) /2)-√ ((-560--840) /2+700 σ

min=-1413.863

2

Kg/ cm2

b) Hallamos las direcciones:

tan2 p 

2 xy

 x  y

Tan2  p=-2x-700/-560--840 2  p=-78.69 (IIQ, IVQ) 90º-78.69=11.3099 2  p1=11.3099+90º 2  p2=11.3099+270º

 p1=50º39´18”

 p2=140º39´18”

c) Cortante máximo:

 máx = ±

 máx =

 x  y   2

2

   J xy 2 

±√ (-560--840)2/2+7002

tmax= ±713.863 Kg/ cm2 Tan2  c= (σx- σy)/2  xy Tan2  c= (-560--840)/2(700) 2  c=11.3099 (IIQ, IVQ)

 c=5º39´17.88”

40. Repetir el problema 39 utilizando el círculo de Mohr.

Datos:

 xy =700 kg/cm2

σx =-560 kg/cm2 σy = -840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=-700

R=713.86

a = (σx - σy)/2 a=140 b=  xy =700

t t max=713.86kg/cm²

s x,t xy

2qc R=713.86

2qp

700

2

s min=-1413.86

C=-700

s y,t xy t max=-713.86kg/cm² 840

O

s max=13.86

s