Ejercicios Resueltos de Teoria de Colas

 

b)

¿Cu´al ¿Cu a´ l es el tiempo esperado total de salida de un programa?

c)

¿Cu´al al es el n´u umero mero medio de programas esperando en la cola del sistema?

´  El sistema Soluci´ Soluci on.

 M/M/11  con  λ   = 10  trabajos por minuto y  µ   = 12  trabajos por minuto. Se es  M/M/

10//12   <   1, el sistema asumir´a que el sistema es abierto y que la capacidad es infinita. Como  ρ   = 10 alcanzar´a´ el estado estacionario y se pueden usar las f  alcanzar f ´ormulas o´ rmulas obtenidas en clase. a)

El ser servido vidorr estar´ estara´ desocupado  1

−

5/6 = 1/6  del total, esto es, 10 segundos cada minuto (ya

×

que el ordenador est´ esta´ ocupado 5 10 = 50  segundos por minuto). 1   1 b) Ti  W    = µ  (1   = 12(1   = 1/2  minuto por programa. Tiempo empo medio medio total total es W  (1− −ρ) 12(1− −5/6) c)

2

El n n´umero u´ mero medio de programas esperando en la cola es  Lq   =  1ρ−ρ   = 4.16  trabajos.

4. La ventanilla ventanilla de un banco banco realiza las transaccion transacciones es en un tiempo medio de 2 minutos. minutos. los clientes clientes llegan con una tasa media de 20 clientes a la hora. Si se supone que las llegadas siguen un proceso de Poisson y el tiempo de servicio es exponencial, determina a)

El porce porcentaje ntaje de tiempo tiempo en el que el cajero cajero est est´a´ desocupa desocupado. do.

b)

El tiempo medio de eestancia stancia de los clientes clientes en la cola.

c)

La fracci´ fracci´on on de clientes que deben esperar en la cola.

´  Sistema M/M/  M/M/11 con  λ =  λ  = Solucion. Soluci´ a)   P ( P (cajero ocioso) b)   W q   =

20  y  µ =  µ  = 30.

=  p 0  = 1 − ρ  = 1/3. El 33 % de tiempo el cajero cajero est´ esta´ ocioso.

1/15 = 4  minutos.

c)   L   =

2,   Lq   = 4/3, por tanto la fraccion o´ n de clientes que deben esperar en la cola es   Lq /L   = 2/3 ≡ 66. 66.6 %.

5. Una tienda tienda de alimen alimentac taci´ i´o on n es atendida por una persona. Aparentemente el patr´on on de llegadas de clientes durante los s´ sabados a´ bados se comporta siguiendo un proceso de Poisson con una tasa de llegadas de 10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO y debido al prestigio de la tienda, una vez que llegan est´an an dispuestos a esperar el servicio. Se estima que el tiempo que se tarda en atender a un cliente se distribuye exponencialmente, con un tiempo medio de 4 minutos. Determina: a)

La pro probabi babilidad lidad de que que haya haya l´ l´ınea ınea de espera.

b)

La lon longitud gitud media media de de la l´ l´ınea ınea de espera.

c)

El tiempo medio que un cliente permanece permanece en cola.

´  Sistema M/M/ Soluci´ Soluci on.  M/M/11 con  λ =  λ  = a)   P ( P (l´ınea ınea

10  y  µ =  µ  = 15.

de espera) = 1 − p0 − p1  = 4/9.

b

)   Lq   = 4/3  personas en cola. c)   W q   = 2/15  horas = 8 minutos de media en cola.

2

 

´ brica existe una oficina de la Seguridad Social a la que los obreros tienen acceso durante 6. En una una f aabrica las horas de trabajo. El jefe de personal, que ha observado la afluencia de obreros a la ventanilla, ha solicitado que se haga un estudio relativo al funcionamiento de este servicio. Se designa a un ´n especialista para que determine el tiempo medio de espera de los obreros en la cola y la duracio on media de la conversaci on o´ n que cada uno mantiene con el empleado de la ventanilla. Este analista llega a la conclusion o´ n de que durante la primera y la  ultima u´ ltima media hora de la jornada la afluencia es muy reducida y fluctuante, pero que durante el resto de la jornada el fen omeno o´ meno se puede considerar estacionario. Del an´ anaalisis ´ lisis de 100 periodos de 5 minutos, sucesivos o no, pero situados en la fase estacionaria, se dedujo que el n´ numero u´ mero medio de obreros que acud acud´´ıan ıan a la ventanilla era de  1  1..25  por periodo y que el tiempo entre llegadas segu´ segu´ıa ıa una distribuci´ distribucion o´ n exponencial. Un estudio similar sobre la duraci´ duracion o´ n de las conversaciones, llevo´ a la conclusi´ conclusion o´ n de que se distribu´ distribu´ıan ıan exponencialmente con

 3..33  minutos. Determina: duraci´on duraci o´ n media de 3 a)

Numero u´ mero medio de obreros en cola.

b)

Tiemp Tiempo o medio de espera en la cola.

c)

Comp Compara ara el tiempo tiempo perdido por los obreros obreros con el tiempo tiempo perdido por el oficinista oficinista.. Calcula el coste para la empresa, sin una hora de inactividad del oficinista vale 250 euros y una hora del obrero 400 euros. ¿Ser´ ¿Ser´ıa ıa rentable poner otra ventanilla?

Soluci´ Soluci on. ´  Sistema M/M/  M/M/11 con  λ =  λ  = a)   Lq   = b)   W q   = c)

0.25  y  µ =  µ  = 0.3.

4.166  obreros. 16. 16.66  minutos.

Durante cada h hora ora hay, hay, en media, L q   = 4.166  clientes haciendo cola. Es decir, el coste horario por obreros ociosos es de  4  4..166 × 400 = 1666. 1666.66  euro. Por otro lado,  1 − ρ  = 0.166, de forma

 2500 × 0.166 = 41. 41.5  euros horarios, que el coste del tiempo que el oficinista est a´ ocioso es de  25 que es mucho inferior. Si se pusiera otra ventanilla, el sistema ser´ ser´ıa ıa M/M/  M/M/22. En ese caso,  p 0   = 0.411  y  p1   = 0.34, de

 2 p  p0  + p  +  p1   = 1.166 forma que el tiempo tiempo de oficinista oficinista que se perder´ perder´ıa ıa cada hora ser´ ser´ıa, ıa, en media,  2 horas. Lo que supone un coste de   291 habr´ııa, a, en 291..5  euros cada hora. Por otro lado, cada hora habr´ media, Lq   = 1.01  obreros en la cola. De forma que el tiempo perdido por los obreros tendria un coste de 400 × 1.01 = 404  euros la hora. La suma de los dos costes es mucho menor en este segundo caso, de forma que s´ s´ı ser´ ser´ıa ıa rentable poner otra ventanilla. 7. Una entidad entidad bancaria conside considera ra la posibilid posibilidad ad de instalar instalar una red de cajeros cajeros en una de sus oficinas. oficinas. Dado que se desconoce la afluencia de p ublico u´ blico que va a demandar dicho servicio, coloca un  unico u´ nico cajero durante un mes. Diariamente se recogen datos sobre los tiempos de llegadas de los clientes, as´ as´ı como de los tiempos de servicio. Suponiendo que la sucursal se encuentra emplazada en un barrio dende no existe otro servicio semejante, el cliente que llega prefiere esperar a poder utilizar el cajero, cuando  ´este cuando ´ este est´ este´ ocupado. ocupado. Tras el oportuno an´ analisis a´ lisis de los datos recogidos, se estima que: (i) las llegadas siguen un proceso de Poisson; (ii) la distribuci´on on del tiempo de servicio es exponencial; (iii) el tiempo medio transcurrido 3

 

 7..5  minutos; (iv) el tiempo medio de servicio es de 5 minutos entre dos llegadas consecutivas es de  7 por cliente. Calcula: a)

Tiemp Tiempo o medio de espera espera que debe sufrir cada cada cliente en cola.

b)

Tama˜ aman no ˜ o medio de la cola y probabilidad de que al acudir al cajero ya haya alguna persona en la cola.

Soluci´ Soluci on. ´  Sistema M/M/  M/M/11 con  λ =  λ  = a)   W q   = b)

1/7.5 y  µ =  µ  = 1/5.

10  minutos.

El n´ numero u´ mero medio de las colas es de Lq   = 1.33  personas, y la probabilidad de que haya al menos dos personas en el sistema es de  1 − p0 − p1   = 4/9.

8. Los trabajado trabajadores res de una f abrica a´ brica tienen que llevar su trabajo al departamento de control de calidad antes de que el producto llegue al final del proceso de producci on. o´ n. Hay un gran numero u´ mero de empleados y las llegadas son aproximadamente de 20 por hora, siguiendo un proceso de Poisson. El tiempo para inspeccionar una pieza sigue una distribuci on o´ n exponencial de media 4 minutos. Calcula el n umero u´ mero medio de trabajadores en el control de calidad si hay: a)

2 in inspec spectores tores..

b)

3 in inspec spectores tores..

´ Soluci´ Soluci on. a)

Sis Sistem temaa M/M/  M/M/22  con λ =  λ  = 20  y  µ =  µ  = 15. Entonces L =  L  = 2.4  empleados.

b)

Sis Sistem temaa M/M/  M/M/33  con λ =  λ  = 20  y  µ =  µ  = 15. Entonces L =  L  = 1.87  empleados.

9. Un avi´o on n tarda unos 4 minutos de media en aterrizar a partir del momento en que la torre de control le da la se˜ senal n˜ al de aterrizaje. Si las llegadas de los aviones se producen por t ermino e´ rmino medio, a razon o´ n de 8 por hora y siguiendo un proceso de Poisson, ¿cu´ ¿cuanto a´ nto va a esperar el piloto dando vueltas al aeropuerto antes de recibir la se˜nal nal de tierra? ´  Sistema M/M/ Soluci´ Soluci on.  M/M/11 con  λ =  λ  = 8  y  µ =  µ  = 15. Por tanto,  W q   = 4.56  minutos. 10 10.. Una compa˜ compa˜n´ nıa ı´a de ordenadores ordenadores posee un ordenador central al que pueden acceder los clientes a trav´ traves e´ s de unos terminales (de distintos tipos) que se alquilan. Un cliente desea determinar la velocidad ´ ptima del terminal que deber´ optima o deber´ııaa alquilar. Los trabajos del cliente se generan seg un u´ n un proceso de Poisson Pois son con una tasa de 50 programa programass por d´ıa ıa de 8 horas. horas. El tama˜no no medio de un programa es de 1000 sentencias. Se sabe que el tiempo de lectura de sentencias es exponencial. El cliente estima en 10 euros el coste de retrasar un programa un d´ d´ıa. ıa. La compa˜ compan˜ ´ıa ıa estima que una velocidad de 100 sentencias por minuto, y cualquier aumento semejante, incrementa el precio del alquiler diario del terminal en 100 euros. Determina la velocidad  optima o´ ptima del terminal. Soluci´ Soluci on. ´  Sistema  M/M/  M/M/11   con  λ   =

d´ııaa y   µ   =?  programas ejecutados 50  programas mandados al d´

por d´ d´ıa ıa (variable de decision). o´ n). El coste por retrasar un programa un d´ d´ıa ıa es de 10 euros. Como 100

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sentencias por minuto equivalen a 48 programas por d´ d ´ıa, ıa, entonces el coste por programa por unidad de incremento de µ  y por d´ d´ıa ıa es de 100  100//48 = 2. 2.083  euros. Por tanto, el coste total es igual a

10 10L L + 2. 2.083 083µ µ  µ  = 52 52..19  programas le´ que se maximiza en µ = le´ıdos ıdos al d´ d´ııa. a. 11 11.. Una compa compa˜n˜ ´ııaa ferroviaria pinta sus propios vagones, seg un u´ n se vayan necesitando, en sus propios talleres donde se pinta a mano de uno en uno con una velocidad que se distribuye seg un u´ n una exponencial de media un cada 4 horas y un coste anual de 4 millones de euros. Se ha determinado que los vagones pueden llegar segu un ´ n un proceso de Poisson de media un cada 5 horas. Adem as a´ s el coste por cada vag´ vagon o´ n que no est´ esta´ activo es de 500 euros la hora. Se plantean otras dos posibilidades. Una es encargar dicho trabajo a una empresa de pintura que lo har´ıa ıa con aerosol con el consiguiente consiguient e ahorro de tiempo. tiem po. Sin embargo el presupuesto pres upuesto para esta segunda alternativa es de 10 millones de euros anuales. En este caso, el proceso se aproxima a uno de Poisson con una tasa de uno cada 3 horas. La otra opci on o´ n es poner otro taller exactamente igual al que hay actualmente, con igual tasa de servicio y coste anual que permita pintar dos vagones a la vez. En todos los casos el trabajo se considera ininterrumpido, esto es, se trabajan  24 × 365 = 8760  horas anuales. ¿Cu´ ¿Cuaal ´ l de los tres procedimientos es preferible? ´   Taller Soluci´ Soluci on.

tanto,

con pintura a mano: sistema  M/M/  M/M/11  con  λ   = 1/5   y   µ   = 1/4  vagones/hora. Por

 4 × 106 C T  = T  = 500L 500L +   = 2456 2456..62  euros por vag´o on n. 8760

 M/M/11  con λ =  λ  = 1/5 y  µ =  µ  = 1/3 vagones/hora. Por tanto, Taller con pintura con aerosol: sistema  M/M/  1  100 × 106 500L +   = 1891 1891..55  euros por vag´ C T  = T  = 500L vago on ´ n. 8760 Dos talleres con pintura a mano: sistema  M/M/  M/M/22 con  λ  λ =  = 1/5 y  µ =  µ  = 1/4 vagones/hora. Por tanto,

 8 × 106 C T  = T  = 500L 500L +   = 1389 1389..43  euros por vag´ vago on ´ n. 8760  2456..62 . Coste con aerosol =  1891  1891..55  . Coste con dos servidores =  1389  1389..43  . Coste anual por hora =  2456 Por tanto, es preferible poner dos talleres. 12. Una empresa empresa de reparaci reparaci´on o´ n de ordenadores recibe una media de 10 solicitudes de reparacion o´ n al d´ d´ıa, ıa, que se distribuyen seg´ segun u´ n un proceso de Poisson. Se supone que  µ  es la velocidad de reparaci´ reparacion o´ n de la persona reparadora en ordenadores/d´ ordenadores/d´ıa, ıa, y el tiempo de reparaci´on on es exponencial. Cada unidad de velocidad de reparaci´ reparacion o´ n supone un coste de 100 euros por semana. Adem as, a´ s, se ha estimado que el coste de tener ordenadores no reparados supone 200 euros por ordenador y semana, siendo este coste proporcional al tiempo. Suponiendo que una semana tiene cinco d´ıas ıas laborables, l aborables, se pide: a)

Que determin determines es la velocidad velocidad de reparaci reparaci´o on  ´ n  optima. o´ ptima. b) Qu Quee de dete term rmin ines es si ser ser´ıa ıa mas a´ s econ econ´omic o´ mico o tene tenerr do doss pers person onas as,, cada cada una una con con la mita mitad d de la vel eloc ocid idad ad determinada en el apartado anterior. 5

 

´  Sistema M/M/  M/M/11 con  λ =  λ  = Soluci´ Soluci on. a)

10  y  µ =?  µ  =? .

 20µ µ + 40L 40L  euros diarios. Por tanto, la tasa  optima  14..47  ordenadores por El co coste ste total total es 20 o´ ptima es de  14  378..43225  euros. d´ıa, ıa, con c on un coste diario de 378

b)

 395..184  euros, que es En este ca caso so se trata de un sistem sistemaa M/M/  M/M/22. Por tanto, el coste diario de  395 peor que el anterior.

13. Una base de mantenim mantenimiento iento de aviones aviones dispo dispone ne de recursos recursos para revisar revisar   u unicamente ´ nicamente un motor de avion avi´ o´ n a la vez. Por tanto, para devolver los aviones lo antes posible, la pol´ pol´ııtica tica que se sigue consiste en aplazar la revisi´on on de los 4 motores de cada avi´on. on. En otras palabras, solamente se revisa un motor del avion o´ n cada vez que un avio on ´ n llega a la base. Con esta pol pol´´ıtica, ıtica, los aviones llegan seg seg´u un ´n una distribuci´ distribucion o´ n de Poisson de tasa media uno al d´ d´ıa. ıa. El tiempo requerido para revisar un motor (una vez que se empieza el trabajo) tiene una distribuci on o´ n exponencial de media 1/2 d d´´ıa. ıa. Se ha hecho una propuesta para cambiar la pol´ pol´ıtica ıtica de revision o´ n de manera que los 4 motores se revisen de forma consecutiva cada vez que un avi on o´ n llegue a la base. A pesar de que ello supondr supondr´´ıa ıa cuadruplicar el tiempo esperado de servicio, cada avi´on on necesitar´ necesitar´ıa ıa ser revisado revisado unicamente u´ nicamente con una frecuencia 4 veces menor. Utilizar la teor´ teor´ıa ıa de colas para comparar las 2 alternativas. ´  En los dos casos se trata de colas M/M/1, puesto que tanto los tiempos entre llegadas como Soluci´ Soluci on.

los tiempos de servicio son variables aleatorias con distribucion o´ n exponencial. exponencial.

 λ  = 1 avi  µ  = 2  aviones En la situaci´ situacion o´ n actual, la tasa de llegadas es  λ =  avi´on o´ n al d´ d´ıa ıa y la tasa de servicio es  µ = al d´ıa. ıa. Con estos par´ parametros, a´ metros, ρ   = 0.5   <   1, y por tanto existe el estado estacionario. Los valores de las cantidades de inter´ interes e´ s son:

L = 1  avi  avi´o on ´ n, Lq   = 1/2  avi  avi´o on ´ n, W   = 1  d´  d´ııaa, W q   = 1/2  d´  d´ııaa Si se siguiera la propuesta para cambiar la pol´ıtica, ıtica, la cola seguiria siendo una M/M/1, pero ahora las tasas de llegada y de servicio serian  λ   = 0.25  aviones al d´ d´ıa, ıa, y  µ   = 0.5  aviones al d´ d´ıa, ıa, respec-

 0..5   y por tanto sigue existiendo el estado estacionario. Los tivamente. En este caso,  ρ  sigue siendo  0 valores de las cantidades de inter´es es son:  avi´o on ´ n, Lq   = 1/2  avi  avi´o on ´ n, W   = 4  d´  d´ııas as, W q   = 2  d´  d´ııas as L  = 1  avi Con la configuracion o´ n propuesta, cada vez que un avi on o´ n vaya a ser revisado pasar a´ en el sistema el cu´adruple adruple del tiempo que pasaba con el sistema anterior, pero como cada avi´on on va a ir con una frecuencia cuatro veces menor, el tiempo perdido en el taller a largo plazo va a ser igual. En este caso, la decisi´ decision o´ n entre una configuraci configuracion o´ n y la otra deber´ deber´ıa ıa ser tomada en funcion o´ n de los costes de operacion. o´ n.

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