Ejercicios Resueltos de Probabilidad

4.- En cuantas formas puede llenarse las 5 posiciones iniciales de un equipo de baloncesto con 8 jugadores que puedan ocupar cualquiera de ellas? 5.- Encuentre el numero de formas en que 6 profesores se pueden asignar a 4 secciones de un curso introductorio de psicología, si ningún profesor se asigna a mas de una sección. 6.- De entre 20 tanques de combustible fabricados para el trasbordador espacial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente 4 tanques: a.- cual es la probabilidad de que ninguno de los tanques sea defectuoso b.- Cual es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos. Solución 4. Como influye el orden son variaciones: V(8,5) = 8·7·6·5·4= 6720 5. Es análogo: V(6,4) = 6·5·4·3 = 360 6a. Los casos favorables son combinaciones de 17 tomados de 4 en 4 y los posibles combinaciones de 20 tomados de 4 en 4. Pr = C(17,4)/C(20,4) = 17·16·15·14/(20·19·18·17) = 28/57 6b. Es el suceso contrario del anterior (se entiende de que "al menos uno tenga defectos") Pr = 1- 28/57 = 29/57

4.- ¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con el conjunto S= {a,b,c,d}? Describa cada una de las permutaciones posibles. abcdbacdcadbdabc abdcbadccabcdacb adbcbdaccbdadbac adcbbdcacbaddbca acdbbcadcdabdcab acbdbcdacdbadcba Rta: se pueden hacer 24 permutaciones 5.- ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de la palabra PROBABILIDAD? S= [PROBABILIDAD] Rta: Con las letras de la palabra PROBABILIDAD se pueden formar 742 Permutaciones.

- Sea P(A) = 0.6 P (AB) = 0.25 P (B´)= 0.7 a.- Encontrar P (B/A) b.- Son A y B independientes, compruebe? c.- Encontrar P( A´ ) P(A) = 0.6 P(A/B) = 0.25 P(B´) = 0.7 FORMULA: Pn = P(A) . P(B)

P(A/B) = P (AnB) P (B) P (0.6) = P (0.6 X 0.3) (0.3) P (0.3)

P (A´) = 0.4 P (B) = 0.3 P (AnB) = P(A) . P(B) P (AnB) = P(0.6) . P(0.3) = 0.18 P (A/B) = P (AnB) = 0.6/0.3 = P(0.6 X 0.3) P (B) 3) P (AnB) = P(0.6) . P(0.3) = 0.18 4) (A/B) = P (0.18) = P= 0.6 (0.3)

6- En la tabla aparecen 1000 estudiantes universitarios clasificados de acuerdo con los puntajes que obtuvieron en un examen de admisión a la universidad. También muestra la clasificación de los colegios en donde se graduaron de bachilleres: Puntaje COLEGIO Total Inferior (I) Regular ( R ) Superior (S) Bajo (B) 100 50 50 200 Medio (M) 75 175 150 400 Alto (A) 25 75 300 400 Total 200 300 500 1000 Calcular la Probabilidad de que un estudiante escogido al azar: a) haya obtenido un puntaje bajo en el examen. b) Se haya graduado en un colegio de nivel superior c) haya obtenido un puntaje bajo en el examen y se haya graduado en un colegio de nivel superior d) haya obtenido un puntaje bajo en el examen dado que se haya graduado en un colegio de nivel inferior e) si el estudiante escogido termino en un colegio de grado regular encontrar la probabilidad de que tenga un puntaje alto en el examen. a) Haya obtenido un puntaje bajo en el examen: B = Bajo P (B) = Probabilidad de B Entonces, B = 200 P (B) = 50

Rta: La probabilidad de que un estudiante escogido al azar haya obtenido un puntaje bajo en el examen es de 50 es decir, 0.5. b) Se haya graduado en un colegio de nivel superior: S= Superior P (s) =Probabilidad de s Entonces, S= 500 P (S) = 20 Rta: La probabilidad de que un estudiante escogido al azar se haya graduado en un colegio de nivel superior es de 20 es decir, 0.2 c) Haya obtenido un puntaje bajo en el examen y se haya graduado en un colegio de nivel superior. Se emplea la siguiente fórmula:

Rta: La probabilidad de que un estudiante escogido al azar haya obtenido un puntaje bajo en el examen y se haya graduado en un colegio de nivel superior es de 10 ó 0.1. d) Haya obtenido un puntaje bajo en el examen dado que se haya graduado en un colegio de nivel inferior. I = Inferior P (I) = Probabilidad de I I = 200 P (I) = 50

Rta: La probabilidad de que un estudiante escogido al azar haya obtenido un puntaje bajo en el examen dado que se haya graduado en un colegio de nivel inferior es de 0.25

e) Si el estudiante escogido termino en un colegio de grado regular encontrar la probabilidad de que tenga un puntaje alto en el examen. R= Regular P (R) =Probabilidad de R

R= 300 P (R) = (100/300) =0.33

Rta: La probabilidad de que un estudiante escogido al azar terminó en un colegio de grado regular encontrar la probabilidad de que tenga un puntaje alto en el examen, es de 0.33 A = 400 =P(A/R) = P(A) * P(R) =P(0.25) * P(0.33) P(A) = 0.25 =0.08

8. Cuatro amigos se dirigen a un lugar y toman 4 rutas diferentes de acuerdo al riesgo de tener un accidente. Las probabilidades de riesgo de cada ruta son 0.2, 0.15, 0.25, 0.10 respectivamente. Cuál es la probabilidad de que ninguno sufra un accidente. P (A) = 0.2 + 0.15 + 0.25 + 0.10 = 0.52 La probabilidad de que sufran o no un accidente es de 48%

7- probabilidad-3. Fabián y Pilar estudian en un mismo curso. La probabilidad de que Fabián no pierda ninguna? es del 85% y la de Pilar es del 90%. a) Cual es la probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia. b) Cual es la probabilidad de que Fabián pierda una materia y Pilar ninguna. C) Cual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia. P(F)=0.85 ---> Prob. no pierda Fabián P(P)=0.90 ---> Prob. no pierda Pilar a) P(F)*P(P) = 0.85*0.90 = 0.765 b) (1-P(F))*P(P) = (1-0.85)*0.90 = 0.135 c) (1-P(F))*(1-P(P)) = (1-0.85)*(1-0.90) = 0.015

8. Cuatro amigos que se dirigen a un lugar , toman cuatro rutas diferentes de acuerdo al riesgo que se corre de tener algún accidente. Si se le asignan las posibilidades de riesgo para cada ruta: 0,2 ; 0.15 ; 0.25 ; 0.10 ¿Encuentre la probabilidad: a) Que ninguno sufra accidentes b) Que los cuatro sufran accidentes c) Que los dos primeros sufran accidentes y los restantes no.

) (0.80)(0.85)(0.75)(0.90)=0.459 b) (0.20)(0.15)(0.25)(0.10)= 0.075% c) (0.20)(0.15)(0.75)(0.90)= 0.02025

12.- En una empresa, la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga más de 30 años es de 0.55. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga 30 años o menos?

RTA: A= 0,55 A'= 0,45

18.- Una compañía encontró que el 82% de las personas seleccionadas para su programa de entrenamiento de vendedores termino el curso. De estos solamente 60% se convirtieron en vendedores productivos. Si un aspirante nuevo llega al curso cual es la probabilidad de que termine el curso y se convierta en un vendedor productivo. 82% Termino el curso 60% Vendedores productivos P(c) = 0.82 P (v) = 0.60 P(C^V) = P(C^V) = 0.492 = 49.2% Rta: La probabilidad de que el aspirante nuevo, termine el curso y se convierta en un vendedor productivo es de: 49.2%.

20.- Un investigador de una clínica de especialistas ha descubierto que durante un periodo de varios años, el 20% de los pacientes que llegaron a la clínica tenían la enfermedad D1, el 30% la enfermedad D2, y el 50% la enfermedad D3. El investigador descubrió también que un conjunto de síntomas bien definidos al que denomino S, se encontraba en un 25% de los pacientes con la enfermedad D1, 60% de los que tenían la enfermedad D2, y 80% de los que tenían la enfermedad D3. El investigador quiere utilizar esta información para hacer rápidamente el diagnostico a los pacientes recién llegados. Supongamos que ha sido admitido un paciente con el conjunto de síntomas S, cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D3, cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D1. D1= 20% D2= 30% D3= 50% S= SINTOMAS S1= 25% = 0,25 S2=60% = 0,6 S3= 80% = 0.8 Se aplica el teorema de bayes P( Ai/B) = P(Ai) P(B/A)¬¬¬¬¬¬______________

P(Ai) P(B/A) + P(A2) P(B/A2) P(D1) =0,2 P(D1/S1) = 0,2 *0,25 = 0,05 P(D1) = P(D2/S1) *P(D2)+P(D3/S3) *P(D3)

24.- Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y, de estos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%. Se pide: a.- Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco. b.- Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón? El 70% Varones 60% llevan casco El 30% Mujeres 40% llevan casco

L1 = Evento par el cuál un varón lleve casco es de 0.6 L2 = Evento par el cuál una mujer lleve casco es de 0.4 P (L1) = P (L2) = P (A) = P (L1) + P(L2) = 0.42+0.12 = 0.54 = 54%

9- El consejero escolar de un colegio estimó las probabilidades de éxito en la universidad para tres alumnos de último año en 0.9, 0.8 y 0.7 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres tengan éxito en la universidad? Bueno es natural suponer que las probabilidades de éxito son independientes (salvo es claro que formen una pandilla en la que cada uno estudie 1/3 del programa y que luego se sienten próximos y se copien) por lo que la probabilidad de que los tres tengan éxito es: 0,9*0,8*0,7=0,504

10- . Una máquina que produce un determinado artículo fue adquirida bajo la condición de que el 3%? de los artículos producidos son defectuosos. Si el proceso se realiza bajo control, es decir independiente cual es la probabilidad de que a.- dos artículos seguidos sean defectuosos, b.- dos artículos seguidos no sean defectuosos, c.- el primero sea defectuoso y el segundo bueno Mmm... no estoy 100% seguro (estoy cursando estadística), pero me parece que tenes que usar la distribución de Bernoulli. Esta dice que dado un experimento, tenemos 2 posibilidades unicamente: exito (p) o fracaso (q = 1 - p) En este caso, la probabilidad que ya te estan dando es p = 0.03 (equivale a 3%), pero por lo mismo, podemos inferir a q = 1 - 0.03 = 0.97 Resolvamos: a) la distribución a usar es: p (X) = p^X * q^(x-1) Si te dicen que halles la probabilidad de que 2 sean defectuosos: p (2) = 0.03^2 * 0.97^1 = 0,000873 b) en este caso, vamos a tener que decir que p = 0.97 y q = 0.03 (exactamente al reves del anterior, fijate que la consigna es la contraria). Entonces:

p (2) = 0.97^2 * 0.03^1 = 0,028227 c) En este caso, tendriamos que averiguar la probabilidad del defecto para el primer caso, y la probabilidad de exito para el segundo. Tomo las formulas anteriores: p1 (1) = 0.03^1 * 0.97^0 = 0.03 p2 (1) = 0.97^1 * 0.03^0 = 0.97 Ahora, tenemos que ver que ambas se cumplan a la vez, esto es: P (p1 interseccion p2) = 0.03 * 0.97 = 0,0291

11. Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente lo demande? La probabilidad de que un doctor diagnostique en forma correcta una determinada enfermedad es de 0,7. Dado que hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que un paciente presente una demanda es de 0.9. Por favor si alguien puede ayudarme en esto, se lo agradeceré C: el doctor hace un diagnostico correcto C' : el doctor hace un diagnostico incorrecto D: el paciente presenta demanda D': el paciente no presenta demanda Datos La probabilidad de que un doctor diagnostique en forma correcta una determinada enfermedad es de 0,7: P( C )= 0,7 P( C' ) = 1 - P(C) = 1-0,7 = 0,3 Dado que hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que un paciente presente una demanda es de 0.9 P( D/C ) = 0,9 la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente lo demande es: P ( C' ∩ D ) pero sabemos que P ( C' ∩ D ) = P( C' ) . P( D/C' ) ...por probabilidad condicional reemplzamos P ( C' ∩ D ) = = 0,3 * 0,9 = 0,27 luego la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente lo demande es 0,27 16- El 70% de los estudiantes aprueba una asignatura A y el 60% aprueba otra asignatura B. Sabemos además, que el 35% del total de los estudiantes aprueba ambas. Elegido un estudiante al azar, calcular las probabilidades de: a.- haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la A b.- haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la A c.- no haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la A d.- no haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la A 4) A --> aprueba A B --> aprueba B P(A)=0.70 P(B)=0.60 P(A y B) = 0.35 a) P(B|A) = P(A y B) / P(A) = 0.35 / 0.70 = 0.5 b)

P(B| no A) = P(no A y B) / P(A) **P(no A y B) = P(B) - P(AyB) = 0.60 - 0.35 = 0.25 /// P(no A) = 1-P(A) = 1-0.70 = 0.30 P(B| no A) = P(no A y B) / P(no A) = 0.25 / 0.30 = 0.8333 --> 83.33% c) P(no B|A) = P(A y no B) / P(A) **P(A y no B) = P(A) - P(AyB) = 0.70 - 0.35 = 0.35 P(no B|A) = P(A y no B) / P(A) = 0.35 / 0.60 = 0.5833 --> 58.33% d) P(no A|no B) = P(no A y no B) / P(no B) **P(no B) = 1-0.60 = 0.40 **P(no A y no B) = 1-P(AoB) = 1 - ( P(A) + P(B) - P(AyB)) = 1 - (0.70 +0.60 - 0.35) = 0.05 P(no A|no B) = P(no A y no B) / P(no B) = 0.05/0.40 = 0.125 --> 12.5%

17- P(p > 2.000) = 1 - P(p