Ejercicios Resueltos de PL

DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE TALCA

FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PROFESORES: MARCELA GONZÁLEZ A., ALFREDO CANDIA V.

LISTA DE EJERCICIOS RESUELTOS FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Y PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA 1. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DE UN NOTICIERO El director de programación del Canal 14 quiere determinar la mejor manera para distribuir el tiempo dedicado a diferentes tipos de noticias en el noticiero nocturno, transmitido entre 11:00 y 11:30 de la noche Específicamente, a él le gustaría establecer la cantidad de minutos del noticiero destinados a presentar las noticias nacionales, internacionales, deportes y pronóstico del tiempo. Dentro de los 30 minutos destinados al noticiero, debe haber 10 minutos para propagandas. Por lo tanto, el tiempo para programar las noticias es aún menor. Además, la política del canal establece que: − Por lo menos el 15% del tiempo de transmisión de noticias debe ser dedicado a la cobertura de noticias nacionales; − El tiempo destinado a noticias nacionales e internacionales (en conjunto) debe ser de a lo menos 50% o del tiempo de transmisión; − El tiempo dedicado a entregar la previsión del tiempo debe ser menor o igual que el tiempo dedicado a la sección deportiva; − El tiempo asignado a la sección de deportes no debe ser mayor que el tiempo dedicado a la presentación de las noticias nacionales e internacionales (en conjunto); y − Por lo menos el 10% del tiempo del noticiero debe ser destinado a presentar la previsión del tiempo. Los costos de producción por minuto de emisión son los siguientes: $300 para las noticias nacionales, $200 para las noticias internacionales, $100 para la previsión del tiempo y $100 para los deportes. Formule el problema de programación lineal que permita al director de programación determinar el tiempo de transmisión destinado a cada sección. 2. PROBLEMA DE CORTE DE LÁMINAS METÁLICAS Un fabricante de láminas metálicas recibe un pedido para producir 2.000 láminas de tamaño 2 metros × 4 metros y 1.000 láminas de tamaño 4 metros × 7 metros. Se dispone de 2 láminas estándar de tamaño 10 metros × 3.000 metros y de 11 metros x 2.000 metros. El personal del Departamento de Ingeniería decide que los 4 siguientes patrones de corte son adecuados para satisfacer el pedido: Patrón 1 4 m. 7 m. 2 m. 4 m. 2 m. Patrón 3 2 m. 2 m. 7 m.

Pérdida

Patrón 2 1 m. 2 m. 7 m.

Patrón 4 2 m. 4 m.

4 m.

2 m. 4 m. 2 m.

Si la lámina de tamaño de 10 m. x 3.000 m. permite obtener 750 láminas de 10 m. x 4 m. y la lámina de tamaño de 11 m. x 2.000 m. permite obtener 500 láminas de 11 m. x 4 m. Formule el problema como programación lineal para satisfacer el pedido y minimizar el desperdicio.

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3. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DE TURNOS Para una jornada de 24 horas, una cafetería necesita para atender la demanda en cada turno del día, un número mínimo de mozos. Se sabe que cada mozo trabaja 8 horas consecutivas al día y recibe un salario de $1.000 diarios. Además, si el número de mozos en un determinado turno excede el mínimo necesario, hay un costo adicional por cada mozo extra. En la siguiente tabla se presentan los datos pertinentes: Turno 1 2 3 4 5 6

Duración de cada turno 2:00 a 6:00 6:00 a 10:00 10:00 a 14:00 14:00 a 18:00 18:00 a 22:00 22:00 a 2:00

Número mínimo de mozos necesarios por turno 4 8 10 7 12 4

Costo adicional por cada mozo extra por turno $450 $370 $220 $390 $180 $450

Formule el problema como un modelo de programación lineal, de manera que sea minimizado el costo diario total en que se incurre por la contratación de los mozos. 4. PROBLEMA DE INVERSIONES Un inversionista puede invertir en dos proyectos, A y B, al principio de cada uno de los cinco años siguientes. Cada peso invertido en el proyecto A al inicio de un determinado año, retribuye $1,40 dos años más tarde (pudiéndose reinvertir inmediatamente). Cada peso invertido en el proyecto B al inicio de un determinado año, retribuye $1,70 tres años más tarde. Además, en el futuro estarán disponibles los proyectos C y D. El inversionista podrá decidir si invierte en el proyecto C, a partir del inicio del año 2 y podrá decidir si invierte en el proyecto D, a partir del inicio del año 5. Cada peso invertido en C al inicio de un determinado año, retribuye $1,90 tres años más tarde. Cada peso invertido en D al principio de un dado año, retribuye $1,30 un año más tarde. El inversionista cuenta con un capital inicial de $20.000 y desea saber cuál debería ser su plan de inversiones, de modo a maximizar la cantidad de dinero a acumular hasta el inicio del año 6. Formule el modelo de programación lineal que permita resolver este problema. 5. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DE LA PRODUCCIÓN CONSIDERANDO VARIOS PERÍODOS Una empresa desea programar la producción y venta de su principal artículo en cada uno de los meses del próximo trimestre, dadas las siguientes estimaciones y consideraciones: Mes 1 2 3

Demanda Mínima (unidades) 80 100 75

Capacidad Máxima de Producción (unidades) 130 150 100

Costo de Producción ($/unidades) 1.500 1.800 1.600

Precio de Venta ($/unidad) 2.000 2.200 2.300

El costo mensual de almacenaje por unidad es de $30 y al inicio del trimestre no hay unidades en proceso ni unidades almacenadas. Las unidades que se venden en el mismo mes de producción no tienen costo de almacenaje. Formule el problema de programación lineal que maximice el beneficio de la empresa. 6. PROBLEMA DE GESTIÓN DE INGRESOS La empresa Aerolíneas del Pacífico es una línea aérea nacional que realiza vuelos diarios entre las ciudades de Iquique, La Serena, Santiago, Concepción y Punta Arenas. Para llevar a cabo su servicio cuenta con dos aviones Airbus 320; uno, cuya base está en Iquique y el otro, cuya base está en Punta Arenas. Ambos aviones tienen una capacidad de 240 pasajeros. Cada mañana el avión con base en Iquique vuela a Concepción haciendo una escala en Santiago, mientras que el avión con base en Punta Arenas vuela a La Serena, haciendo escala en Santiago también. Por lo tanto, sólo se debe colocar atención en los vuelos Iquique-Santiago, Santiago-Concepción, Punta Arenas-Santiago y Santiago-La Serena (ver Figura 1).

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Iquique

La Serena

Santiago

Punta Arenas

Concepción

FIGURA 1. RUTAS MATINALES DE AEROLÍNEAS DEL PACÍFICO

Para la venta de sus pasajes, Aerolíneas del Pacífico utiliza dos clases de tarifas: la clase económica Q y la clase ejecutiva Y. Para acceder a la clase económica Q, un pasajero debe realizar su reserva con por lo menos 14 días de anticipación a la fecha de viaje y, además, debe pasar por lo menos una noche de sábado en la ciudad de destino. Las reservaciones en la clase ejecutiva Y pueden ser realizadas en cualquier momento y no existe multa si la fecha de viaje es cambiada para una fecha posterior. Con el fin de determinar el itinerario y las tarifas alternativas que Aerolíneas del Pacífico puede ofrecer a sus clientes, se debe considerar no sólo el origen y el destino de cada vuelo, sino también la clase de tarifa seleccionada. Por ejemplo, un pasajero puede volar Iquique-Santiago en clase económica Q y volar Santiago-Concepción en clase ejecutiva Y. De esta forma, deben ser generadas todas las combinaciones posibles en la elección de las tarifas para cada vuelo. Aerolíneas del Pacífico ha establecido los precios de los pasajes según cada clase y ha realizado una previsión de la demanda de sus vuelos para el día 22 de diciembre de 2005. Estos datos se muestran en la Tabla 1. TABLA 1. TARIFAS Y PREVISIÓN DE DEMANDA PAR EL DÍA 22/12/2005

Origen Iquique Iquique Iquique Iquique Iquique Iquique Punta Arenas Punta Arenas Punta Arenas Punta Arenas Punta Arenas Punta Arenas Santiago Santiago Santiago Santiago

Destino Santiago Concepción La Serena Santiago Concepción La Serena Santiago La Serena Concepción Santiago La Serena Concepción La Serena Concepción La Serena Concepción

Clase

Tarifa ($)

Q Q Q Y Y Y Q Q Q Y Y Y Q Q Y Y

75.000 98.000 76.000 104.500 128.700 88.000 87.000 107.000 77.000 120.000 145.000 99.000 25.000 34.000 41.000 53.000

Demanda Estimada (Nº de Pasajeros) 33 44 45 16 6 11 26 56 39 15 7 9 64 8 46 10

Formule el problema de programación lineal que permita a Aerolíneas del Pacífico determinar cuántos asientos de la clase Q e Y debe destinar en cada avión, con el fin de obtener los mayores ingresos posibles. 7. PROBLEMA DE LA COOPERATIVA AGRÍCOLA Una cooperativa agrícola administra 3 parcelas que tienen productividad similar entre sí. La producción total por parcela depende fundamentalmente del área disponible para la plantación y del agua para irrigación. La cooperativa busca diversificar su producción, por lo que este año va a plantar tres tipos de cultivos en cada parcela, siendo éstos: maíz, arroz y trigo. Cada tipo de cultivo demanda una cierta cantidad de agua. Para reducir el conflicto generado por el uso de las máquinas cosechadoras, las cuales son arrendadas, fueron establecidos límites para el área de producción de cada tipo de cultivo. Además, para evitar la competencia entre los socios de

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la cooperativa, se llegó al acuerdo de que el área cultivada sea la misma para cada una de las parcelas. Las Tablas 2 y 3 resumen los datos tecnológicos. TABLA 2. AGUA DISPONIBLE Y ÁREA DE CULTIVO POR PARCELA

Parcela 1 2 3

Área Total para Cultivo (hectáreas) 400 650 350

Agua Disponible (litros) 1.800 2.200 950

TABLA 3. ÁREA DE CULTIVO, CONSUMO DE AGUA Y LUCRO POR PARCELA

Cultivo Maíz Arroz Trigo

Área Máxima de Cultivo (hectáreas) 660 880 400

Consumo de Agua (litros/hectárea) 55 40 35

Lucro (Millones de Pesos/hectárea) 27 19 22

Formule un programa de programación lineal que defina el área de cada cultivo que será plantado en cada parcela, buscando maximizar el lucro total de la producción de la cooperativa. 8. PROBLEMA DE ARRIENDO DE ESPACIO PARA ALMACENAMIENTO La empresa Web Mercantil vende muchos productos para el hogar a través de catálogos on-line. La empresa necesita mucho espacio de almacenamiento para guardar sus productos, por lo que está planificando arrendar bodegas donde almacenar estos productos durante los próximos 5 meses. Web Mercantil sabe con precisión cuánto espacio requerirá en cada uno de los próximos meses. Sin embargo, como estos requerimientos de espacio son bastante diferentes, es posible que no resulte económico arrendar en cada mes sólo la cantidad necesaria para ese mes específico. Por otro lado, el costo del espacio arrendado para los meses subsiguientes es mucho menor que para el primer mes de arriendo (mes en que se hace el contrato), de modo que puede ser menos caro arrendar la cantidad máxima de espacio necesaria para los 5 meses. Otra opción es una solución intermedia, donde es posible cambiar la cantidad total de espacio arrendado, ya sea, haciendo un nuevo arriendo, y/o teniendo el vencimiento del arriendo del mes anterior. Esto puede ser hecho al menos una vez en los 5 meses, pero no todos los meses. El requerimiento de espacio (en metros cuadrados) y los costos de arriendo acumulado (en pesos) para los diversos períodos de arrendamiento son: TABLA 4. REQUERIMIENTOS DE ESPACIO PARA LOS PRÓXIMOS 5 MESES

Mes 1 2 3 4 5

Espacio Requerido (m2) 30.000 20.000 40.000 10.000 50.000

TABLA 5. COSTOS DE ARRIENDO ACUMULADO SEGÚN TIEMPO DE DURACIÓN DEL CONTRATO DE ARRIENDO

Tiempo de Duración del Contrato de Arriendo (Nº de Meses) 1 2 3 4 5

Costo de Arriendo Acumulado ($/m2) 450 700 950 1.150 1.300

Los datos de la Tabla 5 se interpretan de la siguiente manera: si se realiza un contrato de arriendo por tres meses, el costo del espacio arrendado será de 950 $/m2 en cada mes de arriendo; si se realiza un contrato de arriendo por cinco meses, el costo del espacio arrendado será de 1.300 $/m2 en cada mes de arriendo; etc.

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Formule un programa de programación lineal que minimice el costo total del arriendo, sujeto al cumplimiento de los requerimientos de espacio para los próximos 5 meses.

SOLUCIÓN A LA LISTA DE EJERCICIOS DE FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Y PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA 1. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DE UN NOTICIERO Variables de Decisión:

- Xi : la cantidad de minutos dedicados a la noticia i, i = { N (nacionales), I (internacionales), D (deportes), P (pronóstico) }

Tenemos que el tiempo total para el noticiero es de 30 minutos, dentro de los cuales se incluyen 10 minutos para propagandas, por lo tanto el tiempo total disponible para programar las noticias es: 30 min - 10 min = 20 min Función Objetivo: Ya que la idea del problema es minimizar los costos de la emisión del noticiero, tenemos que:

- F.O.:

=

Min Z

300 XN + 200 XI + 100 XD + 100 XP

Restricciones: - Tiempo Total Noticiero: - Noticias Nacionales : - Noticias Nac. e Inter. : - Tiempo y Deporte : - Dep., Nac. e Internac. : - Pronóstico Tiempo :

XN + XI + XD + XP XN XN + XI XD XN + XI XP

= ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

20 0,15 * 20 0,5 * 20 XP XD 0,1 * 20

Restricción de No Negatividad: XN , XI , XD , XP

≥ 0

A modo de ejemplo, se incluirá la formulación matemática del problema: Formulación Matemática: Min Z

=

300 XN + 200 XI + 100 XD + 100 XP

s.a. XN + XI + XD + XP XN XN + XI XD XN + XI XP XN , XI , XD , XP

= ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

20 0,15 * 20 0,5 * 20 XP XD 0,1 * 20 0

2. PROBLEMA DE CORTE DE LÁMINAS METÁLICAS Variables de Decisión: - Xi : cantidad de láminas cortadas usando el patrón de corte “ i ”, i = 1, 2, 3, 4.

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Función Objetivo: Ya que la idea del problema es minimizar la pérdida y desperdicio de material en m2, se tiene que:

- F.O.:

Min Z

=

4 X2 + ( 2 X1 + X2 + 2 X3 + 5 X4 – 2000 ) * 8 + ( X1 + X2 + X3 – 1000 ) * 28

Perdida Patrón 2

Desperdicio lam. 2 x 4

Desperdicio lam. 4 x 7

Restricciones: - Demanda: 2 X1 + X2 + 2 X3 + 5 X4 ≥ 2000 ≥ 1000 X1 + X2 + X3 - Nº máximo de láminas (nº máx. de lam. que se pueden extraer de las 2 láminas grandes que existen): + X2

X1

X3 +

X4

≤ 500 ≤ 750

Restricción de No Negatividad: X1 , X2 , X3 , X4 ≥ 0 y enteras 3. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DE TURNOS Variables de Decisión: - Xi : número de mozos contratados en el turno i , i = 1,…., 6. - Si : corresponde a la holgura (mozos extras) en el turno i , i = 1,…., 6. Función Objetivo: El objetivo es minimizar el costo total diario, debido a la contratación de los mozos, por consiguiente:

- F.O.:

Min Z

= 1000 * ( X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ) + 450 S1 + 370 S2 + 220 S3 + 390 S4 + 180 S5 + 450 S6

Restricciones: - Por cada turno Turno 1) Turno 2) Turno 3) Turno 4) Turno 5) Turno 6)

X1 X2 X3 X4 X5 X6

+ + + + + +

X6 X1 X2 X3 X4 X5

-

S1 S2 S3 S4 S5 S6

= = = = = =

4 8 10 7 12 4

Restricción de No Negatividad: Xi ≥ 0 , i = 1,…, 6 Si ≥ 0 , i = 1,…, 6

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4. PROBLEMA DE INVERSIONES Año 1

Año 2

0 A0 B0

Año 3

1 A1 B1 C1

2 A2 B2 C2

Año 4 3 A3

Año 5 4

5

D4

Variables de Decisión: - Ai : dinero invertido en el año i , i = 0,…., 3, en el proyecto A. - Bj : dinero invertido en el año j, j = 0,1,2, en el proyecto B. - Ck : dinero invertido en el año k, k = 1, en el proyecto C. - Dh : dinero invertido en el año h, h = 4, en el proyecto D. - Nn : dinero no invertido al inicio del año n , n = 0,…., 4. Función Objetivo: El objetivo del inversionista es maximizar el retorno de todas sus inversiones hasta el inicio del año 6, de tal modo:

- F.O.:

Max Z

= 1,9 C2 + 1,7 B2 + 1,4 A3 + 1,3 D4

Restricciones: Año 1) A0 + B0 Año 2) A1 + B1 + C1 Año 3) A2 + B2 + C2 Año 4) A3 + Año 5) D4

+ + + +

N0 N1 N2 N3

= = = = =

20000 N0 1,4 A0 + N1 1,4 A1 + 1,7 B0 + N2 1,4 A2 + 1,7 B1 + 1,9 C1 + N3

Restricción de No Negatividad: Ai , Bj , Ck , Dh , Nn

≥ 0 , para todo i, j, k, h, n.

5. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DE LA PRODUCCIÓN CONSIDERANDO VARIOS PERÍODOS Variables de Decisión:

- Xi : cantidad de unidades a producir en el mes i , i = 1, 2, 3. - Ij : cantidad de unidades en inventario en el mes año j, j = 2,3,4. ( I1 = 0 ) Función Objetivo: Como se esta buscando el máximo de beneficio para la empresa, hacemos el total de ingresos menos el total del costos ( de producción + inventario o almacenaje), es decir:

- F.O.:

Max Z

= 2000 * ( X1 – I2 ) + 2200 * ( X2 + I2 – I3 ) + 2300 * ( X3 + I3 – I4 ) – 1500 X1 – 1800 X2 – 1600 X3 – 30 I2 – 30 I3 – 30 I4

Restricciones: - Demanda Unidades por mes: Mes 1) Mes 2) Mes 3)

X1 – I2 ≥ 80 X2 + I2 – I3 ≥ 100 X3 + I3 – I4 ≥ 75

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- Capacidad máxima de producción por mes: Mes 1) X1 Mes 2) X2 Mes 3) X3

≤ 130 ≤ 150 ≤ 100

Restricción de No Negatividad: Xi ≥ 0 y entera, i = 1, 2, 3. Ij ≥ 0 y entera, j = 2, 3, 4. 6. PROBLEMA DE GESTIÓN DE INGRESOS Variables de Decisión: - Qij : cantidad de asientos asignados para la clase Q entre la ciudad de origen i, i = { I (Iquique), P (Punta Arenas), S (Santiago) } y la ciudad de destino j, j = { S (Santiago), C (Concepción), L (La Serena) }, con i ≠ j. - Yij : cantidad de asientos asignados para la clase Y entre la ciudad de origen i, i = { I (Iquique), P (Punta Arenas), S (Santiago) } y la ciudad de destino j, j = { S (Santiago), C (Concepción), L (La Serena) }, con i ≠ j. Función Objetivo: Como el objetivo de la empresa es maximizar los ingresos, la función objetivo queda como sigue:

- F.O.:

Máx Z

=

75.000 QIS + 98.000 QIC + 76.000 QIL + 87.000 QPS + 107.000 QPL + 77.000 QPC + 25.000 QSL + 34.000 QSC + 104.500 YIS + 128.700 YIC + 88.000 YIL + 120.000 YPS + 145.000 YPL + 99.000 YPC + 41.000 YSL + 53.000 YSC

Restricciones: - Capacidad del Avión: Ruta Iquique – Santiago: Ruta Punta Arenas – Santiago: Ruta Santiago – Concepción: Ruta Santiago – La Serena:

QIS + QIC + QIL + YIS + YIC + YIL ≤ 240 QPS + QPL + QPC + YPS + YPL + YPC ≤

240

QIC + QSC + QPC + YIC + YSC + YPC ≤

240

QPL + QSL + QIL + YPL + YSL + YIL ≤

240

- Demanda: QIS QIC QIL QPS QPL QPC QSL QSC

≥ 33 ≥ 44 ≥ 45 ≥ 26 ≥ 56 ≥ 39 ≥ 64 ≥ 8

YIS YIC YIL YPS YPL YPC YSL YSC

≥ 16 ≥ 6 ≥ 11 ≥ 15 ≥ 7 ≥ 9 ≥ 46 ≥ 10

Restricción de No Negatividad: Qij ≥ 0 y entera, para todo i, j Yij ≥ 0 y entera, para todo i, j

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7. PROBLEMA DE LA COOPERATIVA AGRÍCOLA Variables de Decisión: - Xij : cantidad de hectáreas que la parcela i, i = 1, 2, 3, destina al cultivo j, j = { M (Maíz), A (Arroz), T (Trigo)}

Función Objetivo: Como la empresa desea maximizar los beneficios (lucro), la función objetivo sería:

- F.O.: Máx Z = 27 * ( X1M + X2M + X3M ) + 19 * ( X1A + X2A + X3A ) + 22 * ( X1T + X2T + X3T ) Restricciones: - Área disponible en cada parcela: Parcela 1: X1M + X1A + X1T ≤ 400 Parcela 2: X2M + X2A + X2T ≤ 650 Parcela 3: X3M + X3A + X3T ≤ 350 - Agua disponible en cada parcela: Parcela 1: 55 X1M + 40 X1A + 35 X1T ≤ 1800 Parcela 2: 55 X2M + 40 X2A + 35 X2T ≤ 2200 Parcela 3: 55 X3M + 40 X3A + 35 X3T ≤ 950 - Área máxima para cada cultivo: Maíz: X1M + X2M + X3M ≤ 660 Arroz: X1A + X2A + X3A ≤ 880 Trigo: X1T + X2T + X3T ≤ 400 - Restricción asociada a la proporción de área cultivada en cada parcela: X1M + X1A + X1T 400

::::_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

=

X2M + X2A + X2T 650

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

= X3M + X3A + X3T 350

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Restricción de No Negatividad: Xij ≥ 0, para todo i, j

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8. PROBLEMA DE ARRIENDO DE ESPACIO PARA ALMACENAMIENTO Variables de Decisión: - Xij : el espacio (en m2 ) a ser arrendado en el mes i, i = 1,…,5, para un periodo de j meses, j = 1,…,5. Además, j ≤ ( 5 – i + 1 ). Función Objetivo: Ya que la empresa desea minimizar los costos de arriendo, la función objetivo se puede plantear como sigue:

- F.O.:

Min Z

= 450 * ( X11 + X21 + X31 + X41 + X51 ) + 700 * ( X12 + X22 + X32 + X42 ) + 950 * ( X13 + X23 + X33 ) + 1150 * ( X14 + X24 ) + 1300 X15

Restricciones: - Requerimiento de espacio (en mts2 ) para cada mes : Mes 1: X11 + X12 + X13 + X14 + X15 ≥ 30.000 Mes 2: X12 + X13 + X14 + X15 + X21 + X22 + X23 + X24 ≥ 20.000 Mes 3: X13 + X14 + X15 + + X22 + X23 + X24 + X31 + X32 + X33 ≥ 40.000 Mes 4: + X23 + X24 + + X32 + X33 + X41 + X42 ≥ 10.000 X14 + X15 + Mes 5: X15 + + X24 + + X33 + + X42 + X51 ≥ 50.000 Restricción de No Negatividad: Xij ≥ 0, para todo i, j

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