Ejercicios Resueltos de Media

ESTADISTICA DESCRIPTIVA. Problemas resueltos de media, mediana y moda. Ing. Ramón Morales Higuera 2013

EJERCICIOS RESUELTOS DE MEDIA, MODA Y MEDIANA Y OTROS 1. Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla datos Xi 61 64 67 70 73

frec. Absoluta fi 5 18 42 27 8 100

Calcular : la media , medina y moda Solución: primero se calcula las columnas de: Xi.fi y de las frecuencias acumuladas Fa frec. datos Absoluta Xi fi 61 5 64 18 67 42 70 27 73 8 100

Frec acumu Fa 5 23 65 92 100

Xi.fi 305 1152 2814 1890 584 6745

El total de datos de la muestra es de

y la suma de Xi.fi = 6745, con esta ∑

información y usando la fórmula :

calculamos la Media o el promedio

aritmético Para calcular la mediana

, usamos la expresión

central , por lo tanto

para calcular el término

esto nos indica que la mediana esta entre el

lugar 50 y 51 ,observando la tabla anterior podemos observar que los datos que están en los lugares 50 y 51 es el número 67. Por lo tanto la Como la moda

es el dato que más se repite la moda

2. Calcular la media, la mediana y la moda de los siguientes datos : 5

3

6

5

4

5

2

8

6

5

4

8

3

4

5

4

8

2

5

4

Pag. 1

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Solución. Como los datos se encuentran desordenados, el primer paso es ordenar los datos y agruparlos en frecuencias : Datos ordenados de menor a mayor 2 2 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 8 8 8 Estos datos se agrupan en frecuencias y se calcular los valores de Xi.fi y la frecuencia acumulada Fa. datos agrupados en frecuencias frec Frec datos absol acum Xi fi Xi.fi Fa 2 2 4 2 3 2 6 4 4 5 20 9 5 6 30 15 6 2 12 17 8 3 24 20 20 96 El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 96, con esta información y usando la fórmula :

Para calcular la mediana

∑

calculamos la Media o el promedio aritmético

, usamos la expresión

central , por lo tanto

para calcular el término

esto nos indica que la mediana esta entre el

lugar 10 y 11 ,observando la tabla anterior podemos observar que los datos que están en los lugares 10 y 11 es el número 5. Por lo tanto la Como la moda

es el dato que más se repite la moda

3. Hallar la media, mediana y moda en la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla: clases o intervalos [10----15) [15----20) [20----25) [25----30 ) [30 ----35)

frec. Abs 3 5 7 4 2 21

Solución: Pag. 2

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Hay que calcular el punto medio de cada clase o intervalo (marca de clase) que lo representamos por Xi, después calculamos el producto de Xi.fi y por último calculamos la columna de frecuencias acumuladas Fa.

clases o intervalos [10----15) [15----20) [20----25) [25----30 ) [30 ----35)

frec. Abs 3 5 7 4 2 21

marca de clase xi 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5

El total de datos de la muestra es de información y usando la fórmula :

Xi.fi 37.5 87.5 157.5 110 65 457.5

Frec. Acumulada Fa 3 8 15 19 21

y la suma de Xi.fi = 457.5, con esta ∑

calculamos la Media o el promedio

aritmético Para calcular la mediana

, usamos la expresión

se encuentra la mediana, por lo tanto

para localizar la clase donde esto nos indica que la mediana

se encuentra en el intervalo o clase [20----25), Utilizando la formula Y sustituyendo los valores :

En

tenemos:

Para calcular la moda, primero calculamos en que intervalo o clase se encuentra la moda, observando en la tabla, tenemos que los datos que más se repiten están en el intervalo [20----25), Una vez que hemos determinado la clase o intervalo donde está la moda . Usamos la formula

Y sustituyendo los valores : en Tenemos :

4. Hallar la media, mediana y moda en la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

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clases o intervalos [0----5) [5----10) [10----15) [15----20 ) [20 ----25) [25 ----∞)

frec. Abs 3 5 7 8 2 6 31

Solución:

Hay que calcular el punto medio de cada clase o intervalo (marca de clase) que lo representamos por Xi, después calculamos el producto de Xi.fi y por último calculamos la columna de frecuencias acumuladas Fa.

frec. Abs

marca de clase xi

Xi.fi

Frec. Acumulada Fa

[0----5)

3

2.5

7.5

3

[5----10)

5

7.5

37.5

8

[10----15)

7

12.5

87.5

15

[15----20 )

8

17.5

140

23

[20 ----25)

2

22.5

45

25

[25 ----∞)

6

clases o intervalos

31

31 No se puede calcular la media , porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.

Para calcular la mediana

, usamos la expresión

se encuentra la mediana, por lo tanto

para localizar la clase donde esto nos indica que la mediana

se encuentra en el intervalo o clase [15----20), Utilizando la formula Y sustituyendo los valores :

En

tenemos:

Para calcular la moda, primero calculamos en que intervalo o clase se encuentra la moda, observando en la tabla, tenemos que los datos que más se repiten están en el intervalo [15----20), Una vez que hemos determinado la clase o intervalo donde está la moda . Usamos la formula

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Y sustituyendo los valores : en Tenemos :

5. La altura de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dados por la tabla: clases o intervalos

frec. Abs

[1.70 ----1.75)

1

[1.75 ----1.80

3

[1.80 ----1.85)

4

[1.85 ----1.90)

8

[1.90 ----1.95)

5

[1.95 ----2.00)

2 23

Hallar la media, mediana y moda Solución: Hay que calcular el punto medio de cada clase o intervalo (marca de clase) que lo representamos por Xi, después calculamos el producto de Xi.fi y por último calculamos la columna de frecuencias acumuladas Fa

clases o intervalos [1.70 ----1.75) [1.75 ----1.80 [1.80 ----1.85) [1.85 ----1.90) [1.90 ----1.95) [1.95 ----2.00)

marca de clase xi frec. Abs 1 1.725 3 1.775 4 1.825 8 1.875 5 1.925 2 1.975 23

Xi.fi 1.725 5.325 7.3 15 9.625 3.95 42.925

Frec. Acumulada Fa 1 4 8 16 21 23

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El total de datos de la muestra es de

y la suma de Xi.fi = 42.925, con esta ∑

información y usando la fórmula : aritmético

calculamos la Media o el promedio

.

Para calcular la mediana

, usamos la expresión

para localizar la clase donde

se encuentra la mediana, por lo tanto

esto nos indica que la mediana

se encuentra en el intervalo o clase [1.85----1.90), Utilizando la formula

Y sustituyendo los valores :

En

tenemos:

Para calcular la moda, primero calculamos en que intervalo o clase se encuentra la moda, observando en la tabla, tenemos que los datos que más se repiten están en el intervalo [1.85----1.90), Una vez que hemos determinado la clase o intervalo donde está la moda .

Usamos la formula

Y sustituyendo los valores : en Tenemos :

6. El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de bachillerato es el siguiente: 42

42

27 18

27 18

8 5

8

5 60

63

66

69

72

75

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a) Formar la tabla de la distribución b) Calcular la media. Mediana y moda Solución: a) La tabla de frecuencias absolutas es : clases o intervalos [60----63) [63----66) [66----69) [69----72) [72----75)

frec. Abs 5 18 42 27 8 100

b) Para calcular la media. Mediana y moda; hay que calcular el punto medio de cada clase o intervalo (marca de clase) que lo representamos por Xi, después calculamos el producto de Xi.fi y por último calculamos la columna de frecuencias acumuladas Fa.

clases o intervalos [60----63) [63----66) [66----69) [69----72) [72----75)

frec. Abs 5 18 42 27 8 100

marca de clase xi 61.5 64.5 67.5 70.5 73.5

El total de datos de la muestra es de información y usando la fórmula : aritmético Para calcular la mediana

Xi.fi 307.5 1161 2835 1903.5 588 6795

Frec. Acumulada Fa 5 23 65 92 100

y la suma de Xi.fi = 6975, con esta ∑

calculamos la Media o el promedio

. , usamos la expresión

se encuentra la mediana, por lo tanto

para localizar la clase donde esto nos indica que la mediana se

encuentra en el intervalo o clase [66----69), Utilizando la formula

Y sustituyendo los valores :

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En

tenemos:

Para calcular la moda, primero calculamos en que intervalo o clase se encuentra la moda, observando en la tabla, tenemos que los datos que más se repiten están en el intervalo [66---69), Una vez que hemos determinado la clase o intervalo donde está la moda . Usamos la formula

Y sustituyendo los valores : en Tenemos :

7. Complete los datos que faltan en la siguiente tabla considerando una muestra de 50 datos y además calcules Calcular la media. Mediana y moda

datos Xi 1 2 3 4 5 6 7 8

frec absol

Frec acum

frec relativa

fi 4 4

Fa

Fr 0.08

16

0.16 0.14

7 5 7

28 38 45

50

Solución: para calcular los datos que hacen falta en la tabla anterior hacemos lo siguiente: En el caso de la frecuencia acumulada del primer renglón se repite la frecuencia absoluta del primer renglón o primer dato esto es Fa = 4, Para la frecuencia acumulada del segundo renglón, sumamos la frecuencia acumulada del primer renglón ( 4) la frecuencia absoluta del segundo renglón (4) el resultado es 8. Pag. 8

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Para calcular la frecuencia relativa dividimos la frecuencia absoluta de cada renglón entre el número de datos ; asi , de tal manera que para calcular la frecuencia relativa del segundo renglón hacemos la siguiente operación

, es decir dividimos

la frecuencia absoluta absoluta del segundo renglón que es 4 entre 50 datos de la muestra. Para calcular la frecuencia acumulada del cuarto renglón sumamos la frecuencia acumulada del tercer renglón la frecuencia absoluta del cuarto renglón esto es 16+7= 23. Para calcular la frecuencia absoluta del renglón 6, restamos a la frecuencia acumulada del renglón 6 la del renglón 5, esto es 38-20 = 10. Para calcular la frecuencia absoluta del renglón 8, al total de datos le restamos la frecuencia acunulada del renglón 7, esto es 50-45 = 5 A continuación tenemos la tabla con los datos que faltan:

datos

frec absol

Frec acum

frec relativa fi/n

Xi

fi

Fa

Fr

1

4

4

0.08

2

4

8

0.08

3

8

16

0.16

4

7

23

0.14

5

5

28

0.10

6

10

38

0.20

7

7

45

0.14

8

5 50

50

0.10 1.00

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c) Para calcular Calcular la media. Mediana y moda, determinamos los valores Xi.fi datos

frec absol

Frec acum

frec relativa fi/n

Xi

fi

Fa

Fr

Xi.fI

1

4

4

0.08

4

2

4

8

0.08

8

3

8

16

0.16

24

4

7

23

0.14

28

5

5

28

0.10

25

6

10

38

0.20

60

7

7

45

0.14

49

8

5 50

50

0.10 1.00

40 238

El total de datos de la muestra es de

y la suma de Xi.fi = 238, con esta ∑

información y usando la fórmula :

calculamos la Media o el promedio

aritmético

.

Para calcular la mediana

, usamos la expresión

central , por lo tanto

para calcular el término

esto nos indica que la mediana es igual al dato

que esta en el lugar 26 y este dato corresponde al dato con numero 5, Por lo tanto la . Como la moda es el dato que más se repite la moda

8. Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez. datos meses Xi 9 10 11 12 13 14 15

frec absol niños fi 1 4 9 16 11 8 1 50

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a) Calcular la media. Mediana y moda Solución . calcular los valores de Xi.fi y la frecuencia acumulada Fa. datos meses Xi 9 10 11 12 13 14 15 suman

frec absol niños fi 1 4 9 16 11 8 1 50

Xi.fi 9 40 99 192 143 112 15 610

El total de datos de la muestra es de información y usando la fórmula :

Frec acum Fa 1 5 14 30 41 49 50

y la suma de Xi.fi = 610, con esta ∑

calculamos la Media o el promedio

aritmético Para calcular la mediana central , por lo tanto

, usamos la expresión

para calcular el término

esto nos indica que la mediana esta entre el

lugar 25 y 26 ,observando la tabla anterior podemos observar que los datos que están en los lugares 25 y 26 es el número 12. Por lo tanto la Como la moda

es el dato que más se repite la moda

9. . Los datos que se dan a continuación corresponden a los pesos en Kg. de ochenta personas: (a) Obténgase una distribución de datos en intervalos de amplitud 5, siendo el primer intervalo [50; 55]. (b) Calcúlese el porcentaje de personas de peso menor que 65 Kg. (c) ¿Cuántas personas tienen peso mayor o igual que 70 Kg. pero menor que 85?

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a) Distribución de los datos agrupados en clases o intervalos de amplitud= 5 clases o intervalos [50----55) [55----60) [60----65) [65----70 ) [70 ----75) [75 ----80) [80 ----85)

frec. Abs 2 9 20 29 12 6 2 80

frec acum Fa 2 11 31 60 72 78 80

frec relat en % fr 2.50 11.25 25.00 36.25 15.00 7.50 2.50 100

frac relat acumul Fra en % 2.5 13.75 38.75 75.00 90.00 97.50 100.00

b) Observando la columna de frecuencias acumuladas se deducen que existe 31 individuos cuyo peso es menor que 65 Kg. Que en términos de % corresponden a 38.75% o calculados también dividiendo 31 entre el total de la muestra multiplicado por 100, esto es c) El numero de individuos con peso comprendido entre 70 y 85 Kg. Son 12+6+2= 20 individuos que representan.

:

10.Dada la distribución siguiente, constrúyase una tabla estadística en la que aparezcan las frecuencias absolutas, las frecuencias relativas y las frecuencia relativas acumuladas.

datos Xi

frec. Abs fi

1 2 3 4 5 6

5 7 9 6 7 6 40

La tabla que se obtiene es la siguiente:

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datos Xi

frec. Abs fi

frec relat en % (fi/40)*100 fr

1 2 3 4 5 6

5 7 9 6 7 6 40

12.50 17.50 22.50 15.00 17.50 15.00 100.00

frac relat acumul Fra en % 12.50 30.00 52.50 67.50 85.00 100.00

11. Las edades de los empleados de una determinada empresa son las que aparecen en la siguiente tabla: edad Xi

No de empleados frec acumulada Fa

Menos de 25 menos de 35 menos de 45 menos de 55 menos de 65

22 70 121 157 184

Sabiendo que el empleado más joven tiene 18 años, escríbase la distribución de frecuencias acumuladas decrecientes ( o más de ). Solución en principio hay que obtener , las frecuencias absolutas.

edad Xi

[18--- 25) [25--- 35) [35--- 45) [45--- 55) [55--- 65)

No de empleados frec. Abs frec fi acumulada Fa 22 48 51 36 27 184

22 70 121 157 184

En relación a la tabla anterior, la distribución pedida es : Pag. 13

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edad Xi

No de empleados frec acumulada Fa

mas de 18 más de 25 más de 35 más de 45 más de 55

184 162 114 63 27

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