Ejercicios Resueltos de Maximos y Minimos

 

iRAZ0XA iRAZ 0XA9IIE 9IIEXT0 XT0 MATEMATICO MATEMA TICO

a i s   H¡S3

OBJETIVOS :  * En Enten tender der la importancia importancia de la optimización. * Aumen Aumentar tar la diversidad de recursos par para a maximizar o minimizar ciertas expresiones minimizar expresione s con co n teoría elementales. eleme ntales. * Agudizar el sentido de análisis frente a situaciones matemáticas que se presenten.

EVTRODUCCIÓN :  Una necesidad importante para cualquier persona en el desarrollo de sus actividades es la optimización de sus actividades, es decir, que con el mínimo esfuerzo alcancemos alcan cemos máxima eficiencia, por eje mp lo un ingeni ingeniero ero busca en sus diseños utilizar la menor cantidad de elementos sin que la seguridad del proyecto se vea afectada. Esto Estoss tipos tipos de problem as han sido una necesida d desde des de la antigüedad, por ejemplo en ¡696   Johanis Bemoulli publicó publi có una una ccarta arta en la que propuso prop uso el prob lema sobre la línea de deslizamiento deslizamien to más rápido o braquistócronas. braquistócronas. En En este problema se pide determinar la curva que une dos puntos pun tos dados A y B  que   que posea la propiedad de que una esfera se deslice desd e el punto punto A  hasta  hasta el B  en  en el menor tiempo posible.

M

A niuel superior  supe rior  es cost costumbre umbre comenz ar  e l estudio de    proble  pro blem m as de o p tim iza iz a d o r¡ r¡ju ju ftto ftt o co n   e l estudio de   , sin derivadas  sin yemba rgo , ésposzble tratar d e máximos m ínimos' con m étod osproblemas  simp simp lest     apoyándonos en criterios básicos básicos y teorem as de   desigualdades.

 M A X IM O S

*V-

T M IN IM O S 

En varias varias circunstanci circunstancias as para un ”jn B m o pro blem a existe exi sten n va vari rias as respue respuest stas, as, lo cu a íw e d é'lle va r a que lo pedido sea la solución máxima o mínima. No existiendo exist iendo un m étod o g eneralfíara resolver estos tipos tipos d e problemas, m o s t r a r e m o s l a s i t u a c i o n e s m á s conocidas ^

EN LA S EXPR ESIONE S CUá ám mtÁ ÁT TMC CA AS  EJEM PLO 1 : Calcular Calc ular el mínimo v alor de:

P ( x )    = x 2   + 7  

RESOLUCIÓN: ♦Como x 2 > 0    , es decir el mínim o valor de cualquie cualquierr cuadrado es cero, luego: +

• *

EXCICLOPEIHA 20121

7 >

 P(( x ) > 7   P

0 + 7 = =► ►

*Pór lo tant tanto o el mínimo valor que pue de tomar P ( x )   es 7 .

EJEMPLO 2 :

B  Una Un a de las primeras primeras respu estd& nos diría que es la recta, pero a pesar pesar qué la recta sea la cír^ a'd e menor longitu longitud d que une los puntos A   yy B  ,   , no es'Ja curva que cumple la condición del problema. '-'-J  J  La soluci solución ón del pr oblema d e la braquistócrona braquistócrona fue dado porl. Bemoulli , i. Bemoulli, Bemo ulli, G. Leibnilz, Leib nilz, 1. 1. Newt Ne wton on y G. LHopital, LHop ital, la línea de deslizamien desliz amien to más rápido resultó ser la cicloide.

Calculee el mínimo v alor de P - x 2Calcul 2 -   & r + 11 Para m aximizar o minimizar una expresión cuadr Para cuadráti ática ca la idea idea es com pletar cuadrados, es d ecir expresarlos de la forma ( a + b ) * + c   . Ento Entonces nces de la exp res ión:

P = x 2 — 6x   + 11 = > P = x 2 - 2 ((x x ))(( 3 )    + 3 2 + 2 = ( x - 3 ) 2 + 2   « ■■ ' > ' ’   trinomio   cuadrado perfecto 

♦ T e n i e n d o e n c u en en t a q u e : Entonces;

x 2 > 0 ;   V x £ R 

P minim inimo  o  = ( x - 3 ) 2 + 2   * ■ » •   debe eer   mínimo 

P m íín n im im o = 0 + 2 = 2  

éCuá l serí sería a ssu u má ximo valor? 

 

TORRES 

MUIMOS n  fflHMOS]   fflHMOS]

91 9

NOTA :

Una expresión cuadrática   ,  puede represen representar  tar   gráficamente gráficam ente como una parábola.

V alor de nx nx ” pa ra   ob tener el M áxim o o M ínim o d e* e* y " 

= X = 

- b 

2a 

r e l a c i ó n    e n t r e  

LA MED IA ARITMÉTICA  Y LA MED ÍA GEOMÉTRI GEOMÉTRICA  CA 

y=axJ+bx+c  

j jn teorem a impor important tante e se MA > > M H  En genera l: MA>

M H :  media y mí mímimo  mimo 

tiene ipinim ipinim o 

4ac- b  

MG 

arm

Para dos numérete " a " y " 6 " :

4a  *voJor d» x  

— 

 pm  pmr*V*y 

A 2a  E JE M P LO 1 :

tiene máximo 

Calcule Calc ule el mínimo mínimo val

y=ax*+bx+c 

> < :

R E s S j  jW   C IIQ QN :  Aplicando la' la' fela ció n d e la med ia aritmética aritmética y de la media geométrica geométrica ,a sí:

b 

a

X + 

i 

> j x x — => X + - > 2 X y f í  

2 

^v alor dax

1 => x + — > 2   x 

0 

 para que y   «MUMbrfMO

Es decir o   Analicemos 

y = ax*  +&r + c Completando cuad 

Si:  p   +  _ 6 _'* +— 2a  a o y  = o * +

=> y = a

2a 

Luego

b* ^  

Su mínimo  

990 

Máximo   66 Mínimo  

iogúntodmoo 

M á x i m o  ó M í n i m o   •egú n se desee

b s  +  + 4a 4ac  c  4a  

el

x + 

1

. X ) m í n i m o  

= 2 

q = k   ; k  : constante

máximo

cuando: p    —

Q 

4a 

•Esdecir:

=>y = a 

i 

ROTA 

imo o tiene máximo  'k 

y = a 

X 

X 

valor

de

«pq»   será

k 

2 

 p q = ^ x ^ = ^~ 

EJEM PJLO 1 :

Con 20m.  de malla metálica se cercó el jardín rectangular ubicado a un costado de la casa. Hallar jardín sea la máxima posible. ex»   para que el área de l jardín

 

[RAXO^VIIEXTO

91ATE91ATICQ 

LA EXCICLO EXCI CLOPED PEDIA IA 20T¿) 

«S O

com o un espejo y reflejamos reflejamos una una bol bola. a.

R E S O L U C IÓ N :  El cer co qu e se neces ita será *  El

a

m r -   T — 

[ X - • * >- .

=> 2a

+*=20 

|

a

:

•Sabemos que:

( 2 a   + x ) 2 — (2a   — x ) 2 = 4 ( 2 a ) ((xx )  

Del gráfico observamos que el triángulo RQQ* es isósceles. El camino 1pedido es PR   y RQ   pero de lo anterior (RQ=RQ\)t   es decir, el cam ino sería Pl? Pl? y RQ*   en otras otras palabras deb em os unir unir el puíitQjP con Q*   yy sabemos que e l cam ino más corto és la línea línea rect recta. a.

'*S'   . "

E J E M P L O 2 : 

■

Una arañita se encuentra en el vértice “M”   de un ladrillo ladri llo;; vd es ea llegar al al vértice op uesto “T “TV V”, ¿Cuáles ¿Cuáles la longinít^dé longinít^dé la men or distancia distancia que d eb e recorrer recorrer??

v ‘

*

M

Análogo a la identidad  identidad   de Legendre 

2 0 2 — (2 a — x ) 2 — 8 a x  Debe ser   Area  mínimo  máxima  * Se deduce que para que e l área sea máxima se d ebe cumplir que:

2a — x = 0 => 2a   = x  0  • P e r o : 2a   + x = 20 x + x = 20 => x   = 10 

R E S O L U C IÓ N : * La m eno r di distanc stancia ia será será cuando M N   sea una línea línea

PROBLEMAS GEOMETRICOS 

recta.

M

Es importante tener en dienta aspectos teóricos de geometría. v

EJEM PLO 1 : Imaginemos Imagine mos que en la m e s a re billar billar de la fig figur ura a que re m os gol g olpea pearr la bola Q  Cólí  Cólí la la bola P  realizando  realizando para ello una carambola, ¿qué criterio deberíamos seguirr para realizar el m en segui enor or recorrido?

* Lu ego levantando levantando la cara cara sup erior: M 

-----

n

8  12 

Para resolver este problema tomamos una banda

 

ÍL V I S R U B IX O S T O H K E S   • Por el Teorema de Pitágor Pitágoras: as:

12*+ 12* + 9*= M N m 2 ín  .

¿LUDIOS n NIMHOS) 

991

Como x 2 > 0   , es d ecir el m ínimo valor de cualquier cualquier

M N m(n= 15 

cuadrado es cero, luego: x 2   + 3 > 3 

P ( x ) > 3    RPTA :   “A "

PROBLEM A 3 : Calcular Calcul ar el máxim o valor que pue de tomar la siguie siguiente nte expresión: xz„*x+7 

PROBLEMA 1 ; En una caja se tiene 36   bolas de billar del mismo tamaño, pero una de ellas tiene mayor peso que las ot otra ras, s, que si si tienen el m ismo peso. Se desea reco noce r la más pesada usando una balanza de dos platillos platillos o de equilibrio^ Cuántas pesadas son indispensables com o mínimo para determinar esa bola?. bola?.

A )2 B) 317  R E S O L U C IÓ IÓ N :

A) 5 B) 3 RESOLUCIÓN:

( x-2 )  • L a ex e x p r e s i ó n te te n d r á un ma m a y o r v a I qj v el denominador denomina dor tome tome el menor valor valor pp stf^y ^S ón ces el denomina dor: ( x - 2 ) 7  + 3  tomáVáí'l m enor en or valor, valor, cuando el cuadrado ( x - 2 ) 2 tome t ome su Jaírdmo  Jaír dmo valor valo r que qu e  * es « 0»  cero.   cero.

C) 4

D) 1

E) 2 

Son necesarias 4  pesadas.

I o) Pesada  Pesada   : Se efectúa con 18  bolas e n cada ca da platillo. platillo.

C )1

D )3

E)  

* Completand o cuadrad 3 

~2~(2)x+22   J+ S

1

Entonces: * Si no hay equilibrio, la más pesada es aquella que está en el platillo hacia donde se inclinó la balanza con las 18   bolas. Se retiran las 18   bolas del platillo que queda elevada y se realiza realiza la :

MáJd Má Jdmo mo valor:

= 1

RPTA :   " C P RO B L .E ltf ltfjC jC '4 '4 :

el máxim o valor que alcanza la 2o) Pesa da :  :  Las Las 18  bolas que qu edan se reparten reparten en Determinar dos grupos de 9   bolas, se obtiene así un grupo grupo de 9   32  bolass donde se encuentra la más pesada (des pués de bola expresión: x^-ex+13  haber retirado las 9   bolas del platillo que quedó elevada). E)6  E) 6  A)8 B)16  04 D )3   m  3°) Pesada  Pesada   : Se toman las 9   bolas, grupos de 3 bo bolas las R E S O L U C I Ó N : en cada platillo quedando 3 sobre la mesa (conjuntamente con las 9  bolas restantes después de * De lo dado: 4r - 6 x + 9 + * * la 2da  pesada. * Si hay equilibrio, la más pesada es una de las que quedó en la'mesa. * •'   v

* Si no hay equilibrio se hac h ac e la :

4a) Pesada Pesad a :  Tomando # de los 3  que estuvieron estuvieron en el platillo platill o , hacia doníieC se inclinó inclin ó la balanza, y entonces; * Si hay hay equilibrio, equilibrio, la la*más pesad p esada a e s la que q ue qu ed edó ó fuera fuera de los platillos platillos * Si no hay equilibrio, la más pesad a es aqu élla, que está est á en el platill platillo o hacia dond e sé inclinó la la ba lan za.

• Dándole

la

forma de un cuad rado al 32 

denominador: ( x -3 -3 f + 4   * Como nos piden el valor máximo, entonces el denom inador de be ser una una cantidad mínima, mínima, de ahí ahí que ( x  - 3 )2 de d e be ser igu igual al a cero (su mínimo valor) valor) •Luego:

^¥7 ^¥ 7 = ^ R P T A :  “ A ”

PROBLEMA 5 : Lenin desea comprar un lote de terreno de forma

sabe doble de dell terreno. perímetro R P T A : “C “ C ”   rectangular. 168que m   alelancho terreno ter reno excedSe e en Hallar Haldel lar el área máxima del terreno que puede p uede com prar Lenin. Lenin. Calcular Calcu lar el m ínimo valo r de: P ((x x) - x2+   3   A) 588 m* B) 30 300 0 m* O 54 540 0 m* D ) 63 630 0 m*   A) A)3 3 B ))0 0 C )-l D ))-3 3 E ) 6  R E S O L U C IÓ IÓ N :

PROBLEMA 2 :

RESOL UCIÓN:

• Sea el terreno rectangular rectan gular el sig siguient uiente: e:

 

[RMOXAMIEXTO mTFJLXTKO 6

I

-------

LA EX EXCICIM CICIMPEB PEBM MA 201® 

1

* Construyendo el simétrico simétrico del punto “A” , la me nor distancia distanci a será cuand o r a *   es una línea recta.

Po Porr el dato dato sabemos qu e el doble del perímetro exced e 168  al en 168   al ancho d el rectángulo

2(2p+2b)-a=168 2(2p+2 b)-a=168 =>3a =>3a+4b +4b=168  =168   Nos piden el área máxima , para ello aplicamos la propiedad m a a m g   Para los números (3a) y (4b/  se tiene que. *  Para

2 

a v/Sox4b =$ 84 2 Jl2ab 

El Eleva evando ndo al cuadrado ob tenem os : 588 Z a b = > ab abm má3rimo=588  =58 8 

* Por el Teorema Teorema d étftagoras :

9* + 12* = R A ’2 => BA 1

=> El área m áxima es 58 588 8 m 2 

ti A

R P T A : “A ”  

PROBLEMA 6: 

PROBLEMA

Pf 

8 :

En la figura figura se muestra un recipie nte abierto en A , B  y  y C , c o r ^ bolas numeradas , Si Si'u 'una na operación consiste consiste a 2 +6J=3, ¿cuál es el menor valor que puede tomar  en: saó jfep ló una una bol bola a pbr B  ó  ó C  e   e inmediatamente ? introducirlo u&r A,  ¿ C u á n t a s o p e r a c i o n e s c o m o Si “a ” y “ó ” son dos números reales ta tale les s que  

A)-yÍ 66   

B)-2 B)-2>Í >Í2 2

C)-342

D) D)-2 -2>¡ >¡3 3

E ) - ^ & 

d eoeh real izarrarriba para para ;mínimo 3 ; 4 ; 5se   de  de abajorealiza hacia arr iba??obtener el ord en : 1 ; 2  

RESOLUCIÓN: Dato : a y b e X   además, a 2   + + 6 1 = 3   Nos piden (a + b )m )miñ iñíímo 

B ) 2 

( a + b ) 2 = ( a2 + b2J  + 2ab  mínimo

3

A

A ) 1 

mínimo 

C )3  D ) 9  E ) 7 

Se sabe que ma  a  a MG  para  para a s  y b 2  2 

q

^

2  

¿ yja2b yja2b 2 => => a 2  + b2 ¿ 2ab   , 2ab => 2a b - 3  -

mínimo 

R E S O L U C IÓ N :

Reemplazatáj^jí' „

(a  + b/2- h ^ J9 P \ í 2V a bJ  )minimo = *(a + b )x = 6 

1ro.

=> (a + b b)) = ±J ±J6 6 =* ((a a ± \ ) mínimo   = -^ 6  v PROBLEM A

7 : 

q* uSe e d a n dde o :be

R P T A : “A ”  

^

Según el gráfico, una persona pers ona Cfeb Cfebee ir de A  a B  tocando un punto del segmento M N .   ¿Cuál es la menor

ha cer la siguientes siguientes extracciones

2do.

©

©

©

©

©

©

©

QUEDA

QUEDA

QUEDA

QUEDA

QUEDA

QUEDA

QUEDA

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

dist distanc ancia ia que d ebe rec orre r.

 B

© ©

6km.

1

©

© © © © * Con© lo qu e©es necesario 7  operaciones  operaciones com o mínimo

Sk Skm  m .

M  i 

 A) 15  A)15 B) 21 RESOLUCIÓN:

RPTA: “E ” 

12km.

C) C)24  24 

D)10 

E ) 8 

P R O B LE M A 9 : Se dispone d e una balanza de dos brazos , una pesa d e 50  gramos   gramos y 1  kg de azúcar. ¿¿En En cuántas pesadas

 

[ L U I S K U B I Ñ O S T O R M Uü ü    S   

w

MAXIMOS   H MIXLMOS  1

I

com o mínimo se llogra ogrará rá obtener 300 g  de   de azúcar?

que d os regiones vecinas no tengan el m ismo col color? or?

A) 3

A) 3v 4  B ) 3 v 5   O 4 y 6   D ) 4 y 5 

B) 4

C) 6

D) 6

E) 7 

R E S O L U C IÓ N : * /“) /“) pesad a:

\ M => yo tenemos 50 g  

\ É U 

/

I

--------

* 2a) p e sa sa d a :

x

•

  ---------

A 

» »

R E S O L U C IÓ N :   Sea A , B , C y D  colores  colores diferentes, diferentes, lu eg o: *  Sea

=> y o tenem tenemos os 100 + 50 = 150 150 g 

*3*)  p  p e s a d a :

100g+~^

50,

|. ♦♦

3 colores

4 colores  

*4 A

99

P R O B L E M A 12 : Roxy de sea pintar la siguiente figu figurc rcfc fcde de mo do que no existan 2   regiones vecinas (corTun lado común) del mismo c olo r. ¿Cu ¿Cuál ál es el mínimo colores es 1># número de color que utilizará?

=> ya tenemos 100 + 50 + 150   = 300 g => Com o mínim o se requier en solo 3  pesadas.  pesadas.

RPTA: **A”  P R O B L E M A 10 : Elid Elida a dese a pintar la siguiente figura figura de m od o qu e no existan 2  cuadriláte  cuadriláteros ros contiguos contiguos (co n un lado com ún ) del mismo color. ¿Cuál es el mínimo número de colores q ue ella deb erá util utiliz izar ar??

A ) 3  B ) 5 

A ) 2  B ) 3 

C )4 

D ) 6  E ) 5 

R E S O L U C IÓ N : * Al ig igual ual que el problema an terior:

C )4 

D ) 2  E ) 6  i* * 

RESOLUCIÓN: *   Para qüe la cantidad de colores sea , mínimo, debemos pintar la máxima cantidad de regiones posible posi bless con un color/para luego pasar a otro co lor y así sucesivamente, sucesivamente, considerarem os cada núm ero un color.

1

* Luego:

2

2

1

1

3

3

1

1

2

P R O B L E M A 13 : De treinta treinta iinvit nvitados, ados, ninguno ninguno tiene m en os d e 15  años.  años. ¿C ¿Cuá uáll se será rá la máxima edad qu e 2  de  de ellos pued en tener para par a que el p rom edio de edades (considerando (considerando las edad es de todos los iinvitad nvitados) os) sea 18  años?.

2 1 R P T A : ““A A 

99

P R O B L E M A 11

99 

:

¿Cuántoss colore s diferentes , co m o m ínimo , son ¿Cuánto necesarios para pinta pintarr llos os siguientes siguientes mapa s de m od o

A ) 50 años B ) 36 años  C) 40 años D ) 70 años  E ) 60 años  R E S O L U C IÓ N : Sea x  la máxim a edad que pueden tene r 2  personas   personas

 

\RAZONAMI RAZONAMIENTO ENTO PLI PLITFJLA TFJLATI TICO CO

LA ENCIC EN CICLO LOPE PEDIA DIA 2012} 

30 incitad o* 

15 ;15 ; 15 ; . . . ;15;

x ; x 

28 invita do» con  con   la mínima edad  edad 

2 inv itad o» con la   máxima ed edad  ad 

Como

4

16(28)+2x   80  Resolvemos ux= 6 0 

Ro jos = I5 k S, 17 170  0  => * £ 11J3  Escogemos k = l l    porque es el ma yor que cumple las las 3  condiciones.   condiciones. => To ta l de lapic eros =41 (11) =451 =451

R P T A “B “B ”   P R O B L E M A 16 :

AÍA»18 

Para vend er sus sus producto s, un com erciante mayorista RP T A “E ”  de tubérculos sólo dispone de una balanza con dos platillos platil los y pesa pesass de 3 kg, 5 hjtjfy kg kg*  *  una  una de cada u una. na.

PROBLEMA 14:

¿Cuántos de los números de la figura, por lo menos, deben ser cambiados de ubicación para que la suma de los los tres números con tenidos en c írculos unidos por una línea recta sea la miBma y, además, la máxima suma posible?

¿Cuántass veces ¿Cuánta veces co como mo m ín ^ ^ u jiliza rá las pes pesas as p par ara a vender exactamente 26 fíg  de papas?

A ) 3 B) 4 C ) 2 D ) 8 [ E ) 5   R E S O L U C I Ó N :  ^ " Se debe obtener 26 k g  de  de papas , para e e

ran

las pesas pesas b * J u ¿ g 

A)2  B)4 

S e o b t i     fa lta ,

nnn

Primero   penada 

C)3  D )5  E)6  R E S O L U C I Ó N : 

Segunda 

 X

Se obtien e 10 kg   (10+15=25 kg, 

BIS

en enttonces onces faltan Ik g ) 

 pena  penada  da 

Se tiene tiene el arre glo ; La suma de   todos los   \exiremos   deben ser   iguales* 

c >

Se obtiene 1 k g con lo   que se se com pleta 26 kg 

Torcer    pe  pena nada  da 

Se ut ilizaro n 3 ve ces la6 pesa pesas. s.

R P T A : 4tA 9t   p a ra qu e la   suma constante   sea sea máxim a.

biar 2  números.  números.

Solo se de

PROBLEM A

17 :

Alonso pagó una deuda de S/*350  co  co n billete billetess de S/./0, Sí*20  y  y S/.50. ¿Cuá  ¿Cuáll fue lla a mínim a cantidad de billetes etes que utiliz utilizó ó en el p ago d e su deuda? R P T A 44A ’*   bill

A)9 B )8 )8 C )10 )10 D )íl E )7  PROBEEMÁ^iS-: IÓ N :  Jorg e qu iere ie re co m p rá fc fcó ó la pi ce ro s ne gr os p o r ca d a 5 R E S O L U C IÓ  P or dato , la deuda es Sf* 350  lapiceros rojos y 9   l a p i c e r o s n e g r o s p o r c a d a 4   *  P MBfto S MBfto lapiceros azules. azules. Si el b aza r tie n e 240  24 0 lapicer l apicer os negros, ► X  de s/,10  150  150  lapiceros  lapiceros ázules y 170  lapic  lapic ero s rojos, ¿cuál es la Asumimos de s/.20   ----- > y  cantidad máxima de lapicerd^pegros, azules y rojos que puede comprar? ■j:

A ) 533 533 B) 451 R E S O L U C IÓ N :

C ) 738 738

D ) 369 E ) 57 574  4  

De los los datos datos tenem os :

Negros  6x3*1 Rojos   ~5x3*J

Negros  9   x2*| x2 *J *J Azules ” 7 x2

Negros=18k  

• Azules=8k  

Rojos =15k   Tota To tall = 41k  Pero:

Negro Ne gros=1 s=18k 8k k kZ l 8,7 8,75 

de t / . 5 0

---------

z 

►

*  Entonces:   Entonces: 10x+20y+50z=350   => x + 2 y + 5 z = 3 5   Nos piden piden la m enor cantidad cantidad de billete; ento nc es, z  es  es máximo, además, se ha empleado por lo menos un billete de cada denominación. x   + 2y   + 5z   = 35  * Luego :

1i 2 i

6i (márimml 

=>Se =>Se empleó como mínim o 9  billetes   billetes

R P T A : 44A "  PROBLEMA 18: Cada lápiz cuesta Sl.0,30  y  y cada lapicer o, S/,1,50.  Si

 

[M j VMS r u b m ñ o s   t o r r e s  

turnios h

til

se compra al menos uno de cada clase ¿cuál es el máximo número de lápices y lapi lapiceros ceros que se puede comprar con S/^25,50?   .

A) 81 B) 85 C )8 0 D ) 82 R E S O L U C IÓ N : Sean : x  el núm ero de lápic lápices es y  el  el •número de lapicer os Entonces: ( o t 3 ) x + ( l, l , 5 ) y   = = 26,5 

10*

Primaria  12 12x  x 

n o r i i  pm rlt

Quinta pariw 

Inicial 

sea total de   alumnos —6Qx 

Secundaria Preuniversitario  lQ x 2V3x   (4:6:6) 

E ) 83 

itxtm itxtm pa rir 

Para que el número de alumnos del nivel preuniversitario Bea máximo entonces , x  es  es máximo. * Además , eox < leso 

x < 27,5 27,5 => x   = 1; 2; 3 ; 3x + 15y = 255   x + 5y = 85  i

(80

26; 27 

* Lueg o : 23x =23 (27) =62, =62,  T ? "

máxima cantidad de   lápices y lapiceros 

*E  RPTA  Cantida d má xim a es 81

RPTA: “A 

99

P R O B L E M A 19 : Un carpintero puede construir estantes para libros a un costo costo de SO  soles cad a uno. Si los ven de a soles la unidad , se estima que puede vender **480   estantess al año. ¿Cuá estante ¿Cuáll sería lla a ma yor gana ncia anual (en so les) del carpintero carpintero??

A) 49 B) 47 RESOLUCIÓN:

C)45

D T S f E) 55 

Sea el'fjgso el'fjgso d e cada barra: P Según laSond jción el peso de cada barra de chocolate debe ser máximo   y además en cada compartimiento de be n alcanzar llos os chocola tes en cantidades exact exactas as ; entonces el p eso de cada barra debe ser u un n divisor   común   d e 2115; 10575   yy 36495 .

A) 16 200 B) 28 800 C)14 400 400 D)20 D )20 000 000 E)24 E)2 4 300  300   => P= M C D (2115; 10575; 10575; 3649 36495)  5)   = 45  RPTA : “C ”  RESOL UCIÓN: P R O B L E M A 22 : *Par a un estante : P„ = S/.60 Pv  « SA x   Kike tiene una retícula de 4x 4  cuadrad  cuadrad os en los cuales Entonces : G - x --6 60  tratando de c olo ca r ta tanta ntass fichas fichas co m o le sea 480 - 2x)   ee sta nte s, entonces, la está tratando Si en un año ven de (480 posible. posibl e. N o se pued e co locar más d e una fi ficha cha en cada

ganancia anual será: (x - 60 60 ) -  2(240   -- x ) ( x   -- 60)  G  , = ( 4 8 0 - ^ 2 x ) (x Para que la, ganancia anual sea má xima entonces 204 - x - x - 6 0   160  * Luego Gmmm^ r n á x ir n a  * 2(240 -   16 0 )(150 -6 0 ) = 1620 16200  0 

A) 9

=> La mayor ganancia a nual es Sf.16 200.

R E S O L U C IÓ N :

 ___ 

RPTA  P R O B L E M A 20 : 

44 A

99

.. V•' / En un cole gio qu e tiene m enos Sé 1650  alum  alum nos, ssee sabe que la cuarta cuarta parte de l húmer o tot total al de alumnos está en nivel inicial, la quinta parte en primaria , la sexta parte en secundaria y el resto en el nivel preuniversitario. ¿Cuál es el máximo número de alumnos de este colegio , que pueden estar en nivel preuniversitario?

A ) 729 729 B ) 693 RESOL UCIÓN:

*“*g

cuadrado y ,no se pued co locar¿C muál ás de tres tres ffic ichas has en cad a fila colum na oen diagonal. ¿Cuál es el máxim o número de fichas fichas que Kike pued e colocar?

B) 10

C )ll

D ) 12

E) 13 

* Podrá colocar un máximo de 12   fichas , como muestra el siguiente diagrama:

&

♦

&

&

C ) 585 585 D ) 657 E ) 621

Del enunci enunciado, ado, tenem os total de alumnos < 1650 

& RPTA:  "Z>”

 

i

{RAZ0XA9DEST0 mTFJIATICO

L A EXCICIA>PEI>L\ 20 2012 12}  }  

PROB LEM A 23 :

dinero com o m ínimo pued o gas gasta tar? r?

Halla Hal larr el m eno r valor posible de:

A) SI.15   D)10 

(a-l)(a-3)(a-4)(a-6)+10 

Si teng o S/.30, ¿cuánto limon limon es

la € ii? ?

A)10 D) -2

B)1

0 1 2 

B) 20   E) 18 

C)0 

E )9

ENUNCIADO : 

Se desea pintar ñguras de modo qu e no existe dos zonas contig contiguas uas O 72  (con un lado común) del mismo color. ¿Cuál ¿Cuál es e l m ínimo núm ero de colprés q ue s e d eberá util utiliz izar ar??

com o máximo puedo co compr mprar ar??

R E S O L U C IÓ N :

A) 300 300 limones D ) 240

Asociando Asoci ando adecuadam ente:

ENUNCIADO 2 

•

B) 120 E ) 18 

( a - ll)) ( a - 6 ) ( a - 3 ) (a ( a - 4 )   + 10  En cada caso, determinar el valor =!)>(a2 >(a2-7 -7 a + 6 )(a 2+7a   + 12)  12 )   + 10  d e “ x ” ( x e R )   Haciendo: a2 a2-- 7a = x  (1 + x )  si “ M ”   es H¡^M=  ( x   + 6 ) ( x   + 12)  12 )  + 10  = x 2 + 18x  + 72 + 10 

mínimo.

= x 2 + 18x + 82 = ( x + 9 )2 + 1

A) -1 D) 4

B) 1  E )1 10 0 

Pa Para ra que la expresión sea mínima el cuadrad cuadrado o de be se r « 0 »   (cero). Lo mínim o será: « 1 » 

RPTA: ,(B** 

Si des eo 60  lim  lim on es , ¿cuántos ¿cuántos

kg  com  com o mínimo puedo comprar? comprar? A)3kg C )5  B)4 D) 2 El 2,5  2,5  Si de seo 120  lim  lim on es r ¿cuánto

kg  com  com o máximo pu edo comprar comprar?? A ) 8k 8k g B /6 /6 0 1 &  D ) 12 E ) 15  (j¡0 Si tengo S/J?0, ¿cuánto k g .d .d e lim o n e s c o m o m á x i m o p o d r é comprar?

0 8 

l i m o n e s c o m o m í n im im o p o d r é comprar?

B) 12 E) 8 

(x + 3 f + l  

es

 Jr-*  Jr-* i 

* •

maxima.

V.

A ) 2   D ) 6 

**■*

A ) 1  D ) 4 

B ) 2   E ) 5 

D ) 4 

E ) 5 

0

3

C )4

B) -3

es

A) 1 D) 3

B )   -- 1 E) 4 

O -2 

Q = - x * + 6 x + 5 ,   si si “ Q ” e s máximo.

A) 1 D) 6

B) 2 E )-3 

0 3 

+•

Determine el m ínimo valor de x 2 + 5 x + i 5 ; x e R 

A ) 2714 D ) 31/ 31/4

B ) 5114 E ) 41/4 

0 25 

^ S i d es e s e o 120  limones,  limones, ¿cuánto

AJ I  D )4 

B )2  E )5 

0 3

A) 1 D) 4

B ) 2  E) 5 

0

0 1 7 / 4 

Si : x ; y  6 R   tal q u e x + y = 1 entonces el valor valor máximo d e xy  es  es

A ) 3/4 D ) 31 31/4 /4

B ) 1/4 E ) 41/4 41/42  2 

0 1 / 8 

Si P  represe  representa nta el má ximo valor d e 4 x x   + 3 — x 2    y P   e l m í n i m o

Si tengo S/.50, ¿cuánto kg de

A) 10 D ) 20

44N n 

si

mínima.

Un kilogramo de limones tiene desde 12  a 20   limones y cada kilo cuesta cuest a desde S/.2  hasta  hasta S/.5.

¡3)5 E) 12 

0 2

P = x 2+ 2+ 4 x + 3  , si ''7> 7> ”

ENUNCIADO : 

A) A)4 4 D )10 )10

M = 

0 3

x2-12x+ 46; x  € R . valor de x2-12x+ Calcule P + p 

A ) 20 E ) 24

D) 12  B) 16 

O

1 7 

3

e n u n c i a d o  ::   Las figuras muestran redes de cam inos m ediante las cuales se se va de la ciudad ciudad la ciudad ciudad “B ” pasando a lo más una vez por la lass otras ciudades. Si los números representan las las horas que d emora ir de una ciudad a otr a, det determinar erminar el mínim o núm ero de hor horas as que

 

ÍM T

RURIÑOS TORRES 

tomará ir de “A” a “ f í ” (El senti tomará sentido do de la flecha signific significa a qu e si va de C a F (C^> F ),  se pued e ir de C a F   pero no de. F  a C )

BBI w

uvavos h   íuxvios  1

IB S

bolas verdes , 5   bolas azules y 4   bolas celestes , cuál es el mínimo núme ro de bola s q ue s e de be n sacar para tener la seguridad de haber extraíd o: Un a bola d e cada color. color.

A ) 16 D ) 20

O 18  

B) 4 E ) 19 

D os bolas de un mism o col color. or. (Q )   D

C)2 0  

B) 19  E ) 22  

A) 18  0 )2 1

C   <

A) 3 0 )9

A ) Sf. 100 100 B ) Sf. 50 O Sf. 200   O ) Sí. 150 E ) Sf. 120  120  Las figuras ( I )   y ( I I )   están forma da s por fic ha s c irc ula re s idénticas. ¿Por lo menos, cuántas fichas de la figura ( I )   de be n s e r trasladadas de posición para ser idéntica a la figura (II)? 

O 5  

B) 20 E) 7 

herm ano y una herman a. ¿Cu ¿Cuál ál es la máxima cantidad cantidad de dinero que podría recibir cada persona? .

A l menos una bola verde. verde.

A)1 12  2   D)16 

J

Más

B)14  E)17 

0 1 5 

bolas

blancas

B)Í5 E)22 

017 

que

celestes.

10  E

A)9 0)21

4

(II)

A) 5

B) 6

C) 7 - O ) 8

E) 9 

-i

 @ ) En una c a já se o b se rv an ficha fic hass triangularesyCuadradas, en tot total al se cuentan 46  lados.  lados. Calcule la mayo r 0 2 0  cantidad de triángulos que puede con tener la caja. caja.

( Q ) 6   bolas ve rdes y una bola azul.

A)22 D)19

B) 2 20  0   E) 23 

ENUNCIADO :  Si: a + b= 2y a t0 ;b t.0  Hallar

el

menor valor de

t£á - b ”   A ) -2 -2 D)-4 Halla Hal larr

el

ma yor

valor de

4ta *+ b u '  A ) 2   D ) 3 

(fh  (f h   Hallar A) 0 D ) 1/3

O

B ) 4   E ) 5 

 2 J   2.

el m enor valor de

B) 1 E )l¡4  )l ¡4 

0 2  9 

Hallar el mayor valor de **ab*\ 

A)) 1,5 25 D 1,

B E )) 3 0, 0,90  90 

O I 

(Q)U na señora señora preparó deliciosos deliciosos

A) 12 B) 10 O 11 11 0 )8

pa ne s : pa n de ye ma , pa n de aceitu na , pan de chirim oya . Por lo que decidió enviarlos a su hija , para ello los colocó en cajas distintas. Por error los nom bres han sido puestos en cajas que no corresponden al tipo de pan que c o ntie n e n . ¿Cuá nta ntass c a ja s s e deben abrir parasaber con

Una caja de naranjas contien e entre 20   yy 25  unidades.  unidades. Si el pre cio de com pra varía varía entre entre 10  y 15  soles  soles po r caja, y el prec io d e venta varía varía entre 20 y 25  soles   soles p or caja, ¿cuál será la m áxim a ganancia a obten er por la venta de 100  naranjas?   naranjas?

scon egu r i d acad d e al t u ip ipna? o ?d e tiene una

o o 

B )-l  E) 2 

B)21 B)21 E)18 

pan que

E) 9 

A ) Sf. 50 B ) Sf. 60 O Sf. 75  O ) SI. 80 ' E ) Sf. 70 

Un kilogramo de naranjas A )3 )3 B )2 )2 OI 0 ) 0   contiene entre 8 y 12   naranjas. El E)Falta información  precio de las más grandes varía entre 2   yy 3,5  soles  soles cad a kilo y el de las más pequeñas entre 1 y 1,5   soles el kilo. Si Isabel compra 4   Mc ” y " r ” s o on n m  Si “k'\   docenas pagando lo máximo números positivos de una cifra, po sible y Sil Silvia via la misma cantidad todos diferentes, ¿cuál ¿cuál es el m eno r con el mínimo posible de dinero, valor de 5? ¿c uá l e s la dife re nc ia e ntre lo S = ¡(k   + h ) - c ]    x r  pagado por ambas? ambas?

A) -27 O) -48

B) -32 E) -56 

O -04  -04 

Se va a repartir una herencia d e S/. 600   entre un abuelo, un ENUNCIADO :  pad re, un tío, tío, una madre, un nieto, En una caja ha y 6   bolas bolas blan cas, 8  dos hijos, un sobrino, una hija, un

m 

A ) Sf. 15 O ) Sf. 12

B ) Sf. 17

O SI. 8  

E ) Sf. 6 

Un a utomóv il c ons ume “jc ” s ole s de ga s olina e n s u prime r kilómetro de recorrido, recorrido, e “y ”  soles

 

 [RAZO  [RA ZONA NAM MIE IENT NTO O mT mTFJ FJLÍ LÍTI TICO  CO 

LA ENCICLO ENC ICLOPED PEDIA IA 2012) 

* * *   !IBH B) 15 a   E) 22 a 

O 40a  p u d i e n d o c o l o c a r l a s p e s a s e n

por cada kilóme tro adicional. ¿Cuál es la la máxima distancia distancia qu e pue de recorrer recorr er con “ z ” soles de gasoli gasolina? na?

Aj 20 s   D ) 31 a 

( * > * )   

de terreno de fo rm a rect rectangul angular. ar. Se sabe que e l doble del perímetro del terreno ter reno excede en 168 m  al ancho del terreno. Calcular el área máxima del terreno que puede com prar Lenin Lenin..

A)-+x 

y 

1+2-X 

D ) 

y

B ) -- x  

y 

y-z-x 

B) 

y 

U na na l i br br er er íía a ti ti een n e 9   tiendas

©

distribuidas en todo el país. Si en total cuenta con 100  em   em pleados y ninguna tienda tiene menos de 7 ni más de 13   de ellos, ¿cuál es el menor número de em pleados que puede haber en 3  tiendas?  tiendas?

A) 21 B) 22 C )2 3 D ) 24 E) 20   @

Una pe rs on a d e b e pa rt rtir ir d el

punto K , coger una piedra e ir inmediatamente a J,   con rapidez constante de 2 m/s. m/s. ¿Cuánto ¿Cuánto tiemp tiemp o com o mínimo demorará? demorará?

•vK O

J 

o

14 m  10 m 

10 m 

A  -

I

c 

20 m  B 

1

>

^

1 8 m ^ = p   y

f  Lata

T

16 m 

i

A) 6

B) 9

0 5

D) 7

E) 8 

 @ > En e l t r iá n g u lo r e c t á n g u lo mostrado, calcule el m áxim o valor valor d e “ f> f>” , S Í a , 6 e Z .

A) 588 m* B)300m * O 64 0m *   D ) 6 3 0 m  * E ) 6 7 2 m t   (Q t Se tiene tiene 6   candados: A , Bt C,  Agl41   B) 143 ^ O 145   E) 149  O, £ y F t  y 3   llaves: X, Y , Z.   Si se D) 147  sabe que cada llave sólo abre un ( Q )   En el sistema 4¿j§Borderiadas candado, ¿cuál es el mínimo r e c t ang u l ar e s í & í K d^ fé fii fii o s los núm ero de intento intentoss en que pued e puntos P ( - l i ¿ ~ 2 f i ; Q ( 4 ; 2 )    y determinarse con seguridad qué R ( l; l ; m )   dqJmanera que PR   + RQ  llave llave corresponde a qu é candado?

A ) 11 B) 10 O 12 D ) ISfrfE) ISfrfE) 9   @

sea míninHr míni>nHr & valor de “m Mes: es:

A j _ r vi vi

3   6  

B,_i

6  

C j -f -f

6  

D ) ~ !

6  

B ) i   6 

Le nin ni n di sp on e d e p e s á F d e ^ 2; 4\ 8\ 16   etc, kg  cad  cad a una. Si Si él d esea equilibra equilibrarr un un peso d e 341 341  kg  utiliza  utilizando ndo el mínimo nú mero d e pesas posibles, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Lenin lanzó un dado varias veces y en todas ellas obtuvo puntaj punt ajee m enor que 5 y mayor que /, haciendo un total de 49   puntos. ¿ C uá uá n ntt as as v e c e s c o m o m á x im im o habra lanzado el d ad o en tota total? l?

I )   Lenin debe utilizar 4   pesas en

A) 21 B) 24 0 22 D ) 23 E ) 25 

total. I I )   La pesa solución.

¿C ¿Cuá uáll es el m enor número de billete s d e 5/. 10  qu   qu e deb en darse darse para p agar una deu da d e S/. S/. 92, si el vuelto debe darse en monedas de S/. 2   y SJ.  5, y necesariamente el vuelto debe-tener por lo m enos

de 4 kg es  parte

de la

la solución.

 @ Un ju eg o cons co nsist istee e n lan lanza zarr una pelot pel ota a desde el lu g y indicado y hacer hac er que ésta ésta golpee lapa red A   yy luego la pared *B   hasta llegar a tumbar la lata. ¿Qué tieffiípo e m p l e a r a c o m o m í n iim m o pi pi a r a logra lograrlo rlo,, si si la la pelota de be sa tir ión rapidezz constante de 3 m/s?  rapide i 30 m i 

1:

( Q )   Lenin desea comprar un lote

O 12a  III)   La pesa de 8 kg  no  no es parte de

B i ll ll s   yE j 14 a 

A) 10a   D ) 13 a 

am bos platillos platillos de la b balanza? alanza?

A )S ó lo I B ) S ó lo I I D ) I I   vv I I I E) To Todo dos  s   @

O I v I I   

una m on ed a de S/. 5 5??

Un ve n d ed o r d e ab abar arro rote tess tien tienee

A) 12 B) 9

O 10 D ) 11 E l 13 

una balanza de dos platillos y tres p e s a s d e 5 ; 4   y 3 k g t   respectivamente. respectiv amente. Asimismo posee bolsas con capacidad para 5; 4   y 3   kg -   ¿ C u á n t a s p e s a d a s c o m o mínimo tendrá que realizar para vender 33 kg  de  de arro arroz? z?

Carlos tiene menos de /. 220   entre billetes billetes de S/. 10   y /. 20.  Si el n úm ero de billetes de 5/. 10  n  n o es m ayor que e l núm ero de billet billetes es tendría d e /. 20,  ¿cuántos billetes tendría d e /. 2 0 , si tuviera el máximo 10?  número d e billetes billetes de /. 10? 

A) 4

A) 9

B) 1

0 3

D) 2

E) 5 

@

B) 8

O 11 11 D ) 7

E) 10 

Se tiene una balanza de dos platillos y pesas de / g   ; 3 g; 33g;   33 g ; 3* g\ 3S g\ 34 g\ 3 7 g, g , una de

¿  Cuál  Cuál es el m enor núm ero de cada tipo. ¿Cuántas de ellas se paréntesis paréntesis que s e d eb e colocar, si sin n deben usar como mínimo para cambiar de posición los números p e s a r u n o b j e t o d e 15 1511 11 g f  ni cam biar los signos, signos, para que la igualdad:

 

i AJI AJIS Sí RUBMXOS T O H K I'S  3 0 - 1 0 - 1 5 - ¥ 2 0 - 2 5   + 5 = 45 sea correcta?

A) 4

B) 3

C) 1

D) 2

E)  5  5

En 5 kilos de naranjas vienen d e 10   a 15   naranjas. Entonces el máximo peso de 30  naranjas  naranjas sería:

A) 6 k ilo » D ) 15

B) 9 E ) 10 

C) 12 

Se tiene 5 canda dos: A. B , C, D   y E,  y 5 llaves: llave s: V, X, K, Z. Si se sabe que cada llave sólo abre un candado, ¿cuál es el mínimo número de intento intentoss en que puede determinarse con seguridad qué llave llave corresponde a qué candado?

A) 15 B) 14 C ) 13 D ) 12 E ) 10  Si A   tiene 5 cifras y B   tiene 4  cifras, cifras, ¿cuántas ¿cuántas cifras tiene c om o mínimo A2 x B3 B3?  ? 

A) 12 c ifr a » B) 14 D) 7 E) 8 

C) 13 

La estrella dada al girar en sentido horario y antihorario se comp orta de la siguiente manera:  2

1853 853 i f s

íírte

 

LENIN pagó una deuda d e 28   LENIN soless con m onedas de 1; 2  y sole  y 5 soles. ¿Cuál fue la máxima cantidad de mo nedas qu e utili utilizó zó en el pago de su deuda?

A ) 20 B) 18 O 22 D ) 23 E ) 24 

4 

El m enor núm ero de giros qu e dará la estrel estrella la para qu e sus sus valores de giro horario y antihorario sean iguales sería:

B) 16 E ) 12 

C) C)9  9  »

Se di dispone spone de pesas de 1\2\4;  8; m 16; 32;  etc kg   cada una. ¿Cuál será el mínimo número de pesas necesarias para equilibrar un un pes o de 393 kg? 

 A) 12 B) 5

 ]

w io s

/ al 6   dentro de los triángulos, teniendo en cuenta las siguientes condiciones * N o pued e repetir números números.. * No puede escribir el 6 en los triángulos grises.

A) 13 B) 10 0 9

D) 8

E ) 12 

En las siguientes expresiones, “n ” es u un n número número entero mayor qu e /. ¿Cuál ¿Cuál es el m eno r de todos?

A)—

n-1

B)í

n   

C)—  

íi + I

D) 

¿Cuál es el m enor número de ¿Cuál 4   dígitos que dividido sucesivamente entre 3 ; 7yJ3  deja  deja siempre com o resid residuo uo 5? 5?

R ET ET O 2 :  

Habíaunave unavezi zim m hombre que no teníareloj, ni de pulsera, ni de bolsillo, pero tenía un reloj de pared muy exacto {pie sólo se paraba para bacuandose olvidabade darlecuerda. cuerda. Cuando Cuan do esto ocurría, iba a casa casa de un amigo amigo suyo, suy o, pasaba pasaba la tarde con $ y al volver volver a casa ponía el reloj en hora. hora.Xómo es posible esto sin saber de antemano'el tiempo que tardaba en el camino?

R ET ET O s :  

En un lago de de ííorma orma exactament exactamentee circular, muy pro rofu fun ndo desd esde lla a orilla illa,, n na ada una B ) 1 087 O 1 122   y mu  jo  jov v e n c it ita a . Cu C u a n d o s e e n c u e n tra tr a ju jus s to en el E ) 1 092  centro observa la cercanía de un hombre, según las apariencias muy fuerte y muy b e   u P t i i m p m i t i   inteligente, pero también muy feo y con evidente mala intención, que afortunadamente no sabe nadar y puede correr corr er por la oriilaa cuatro veces veces más más rápido rápido que lo que ella ella puede nadar, nadar, pero que no corre tanrápido como ella el la ¿Q ¿Qué uédebe hacer C L i m DEL í SEGCXDA PR PRA ACTICA  TICA  la joven para escapar?

A ) 1 097 D ) 1 192

aires

- l * 2 x . 3 x 4 x5  

A) 8 g iro » D ) 14

s

Si dos números consecutivos no Si hubiera qu e reunir 7,50  soles  soles pue den estar junt juntos, os, enton ces en m onedas d e un sol, sol, de 50   y 10   ¿cuál es la mínima suma de dos c é n t i m o s , ¿ c u á l e s e l m e n o r triángulos opues tos? número de monedas que se A) 3 B)6 O 4  reuniría si debiera haber por lo D)5 E) 7  men os una moneda de cad a valo valor? r?

  S)C

5

x i

C ) 1 3 D) 8

E) 4 

p   2)E  S  S))C í>i 6)B!:)C|*)ii 9)0¡M 6)B!:)C|*)ii  9)0¡M lili ufCm  íl)i lijf  W   n m s  19)0

 9)E10)fj  S)EE Í)lt  j)C  j)C 6 ,su  9) Í)B S)  6))E m   ,su RETO i :   Lil Lila a traza un un hexá gon o dividido en seis triángulos , tres triángulos los colorea de gr gris is co m o muestra muestra la figura.

RETO*:  Roberto Penoura y Slneslo Cutre son dos vecinos que no se llevan muy bien. Tienen dos fincas pegadas y, en su afán de molestar al otro, Roberto compró 8 postes y doscientos cuarenta metros de alambre de espinos. Colocó los postes, a distancias iguales, \