ejercicios resueltos de Lugar de raices
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algunos ejercicios de como resolver lugar de raices....
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Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 6.1.
Trazar el lugar directo e inverso de las raíces para el sistema cuya FTLD es la siguiente: G (s)
5000K ; s(s 50)(s 100)
H(s) 1
1) Ecuación característica: 1 K
5000 0 s(s 50)(s 100)
2) Número de ramas: 3. 3) Puntos de inicio: s = 0; s = -50; s = -100; Puntos de finalización: 3 en infinito. 4) Lugar en eje real:
jw 50
-100
Re
-50
-50
5) Simetría. 6) Asíntotas: Directo: a
180( 2q 1) 180( 2q 1) 60º ; 180º ; 300º PZ 3
Inverso: a
180( 2q ) 180( 2q ) 0º ; 120º ; 240º PZ 3
1
Lugar de las Raíces
7) Centroide: o
Polos Zeros 50 100 50 PZ
3
jw
50
-100
-50
Re -50
9) Llegada y/o salida del eje real: K
s(s 50)(s 100) s 3 150s 2 5000s 5000 5000
1 dK 3s 2 300s 5000 0 ds 5000 s1 78.8 ; s 2 21.1
10) Corte con los ejes imaginarios: Ec. característica: s3 150s 2 5000s 5000K 0 s3 s
2
s1 s0
1
5000
150 5000K 5000 150 5000K
5000K
a) K 0 s 0 b) K 150 s j70.7
2
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
jw
50
-21.1
-78.8 -100
-50
Re
-50
Con lo que el lugar de las raíces quedará:
70.7
-78.8
-21.1
-70.7
Aparece en línea continua el lugar directo de las raíces y en discontinua el lugar inverso.
3
Lugar de las Raíces
EJERCICIO 6.2.
Trazar el lugar de las raíces para el sistema cuya FTLA es la siguiente: G (s)H(s)
1) Ecuación característica: 1 K
K (s 3) s(s 5)(s 6)(s 2 2s 2)
(s 3) 0 s(s 5)(s 6)(s 2 2s 2)
2) Número de ramas: 5. 3) Puntos de inicio: 0; -5; -6; -1j; Puntos de finalización: -3; 4 en infinito. 4) Lugar en eje real:
jw
j
-6
-5
-1
-3
-j
Re
5) Simetría. 6) Asíntotas: Directo: a
7) Centroide: o
180( 2q 1) 180( 2q 1) 45º ; 135º ; 225º ; 315º PZ 4
Polos Zeros 1 1 5 6 (3) 2.5 PZ
4
4
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
jw
j
-6
-1
-3
-5
-j
Re
8) Angulos de salida de polos complejos:
ceros polos 180(2k 1) jw
p2 p5 -6
j
p4
p1 z1
-5
-1
-3
Re -j
p3
p1 180 arctg1 135º p3 90º p 4 arctg1 / 4 14.036º p5 arctg1 / 5 11.31º z1 arctg1 / 2 26.56º
26.56 135 p 2 90 14.036 11.31 180 p 2 43.78º
5
Lugar de las Raíces
9) Llegada y/o salida del eje real: Entre -5 y -6: (-5.5)
1 1 1 2(a 1) 1 a a 5 a 6 (a 1) 2 12 a 3
1 1 1 2(5.5 1) 1 2 2 5.5 a 5 a 6 (5.5 1) 1 5.5 3 a
4.28 No 5.52 Si
10) Corte con los ejes imaginarios: Ec. característica: s5 13s 4 54s 3 82s 2 (60 K )s 3K 0 s5
1
54
60 K
s s3
13 47.7
82 60 0.77 K
3K
s2
65.64 0.21K
3K
s
a
0
3K
4
s
a
(65.64 0.21K )(60 0.77K ) 143.1K 65.64 0.21K
a) K 0 s 0 b) a 0 s 1.35 j
jw
1.35j j -5.52 -6
-5
-1
-3
Re
-j -1.35j
6
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Y el lugar de las raíces completo:
EJERCICIO 6.3. Dibujar el lugar de las raíces para el sistema de la figura siguiente:
R(s) +
k
G(s)
G(s)
Y(s)
10(s 3) s(s 2)(s 2 8s 25)
Y calcular el valor de k para que la respuesta sea similar a la de un sistema de segundo orden con un sobreimpulso del 20% ante una entrada escalón unidad (sin tener en cuenta el cero de lazo cerrado).
1) Número de ramas = 4. 2) Puntos de comienzo: 0; -2; -4+3j; -4-3j; Puntos de Fin: -3;
7
Lugar de las Raíces
3) Lugar de las raíces en el eje real: De - a -3; De -2 a 0. 4) Asíntotas: a
180(2k 1) ; 60º; 180º; 300º pz
5) Corte de las asíntotas con el eje imaginario: s j2.33 tg 60º j4.03 6) Centroide: 0
polos ceros 2 4 4 (3) 2.33 4 1
pz
7) Puntos de bifurcación en eje real: p
z 1 1 a p a z i 1 i j1 i
1 1 2(a 4) 1 2 2 a a 2 (a 4) 3 a 3
De 0 a -2:
1 1 2(1 4) 1 2 2 a a 2 (1 4) 3 1 3
a= 9.7 (No válido) y a= -1.09 (válido). De -3 a menos infinito:
1 1 2(4 4) 1 2 2 a3 4 4 2 (4 4) 3
a= -4.4 (válido) 8) Puntos de corte con el eje imaginario: Ecuación característica: 1 k
10(s 3) 0 s(s 2)(s 2 8s 25)
s 4 10s 3 41s 2 (50 10k )s 30k 0
8
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
s4 s3 s2
1 10 36 K 1800 10K 10K 2 36 K 30K
s s0
41 30K 50 10K 30K
En s: k=-12,92.No válida porque es lugar inverso. k=13,92.Válida. Puntos correspondientes: (36 13.92)s 2 30(13.92) 0 s 4.35 j 0
En s : k= 0.Válida. Puntos correspondientes:
1800 10(0) 10(0) 2 s 0 s=0
9) Angulos de salida de los polos complejos: p
z
z p j1
i
i 1
i
180º
180º arctg3 180º arctg 3 180º arctg 3 90º 180º
4
68.4º
-68.4
9
2
Lugar de las Raíces
Dos curvas posibles:
Forma 1
Forma 2
Comprobación aproximada sobre si es la forma 1: El centro del circulo en s = - 2.745. El punto más alto es: s = - 2.745-j1.655. Deberá cumplir el criterio del argumento: El cero : 1.655 z arctg 81.24º 3 2.745 Los polos: 1.655 p 2 180 arctg 114.23º 2.745 2 1.655 p 0 180 arctg 148.91º 2.745 3 1.655 pcs arctg 46.98º 313.02º 4 2.745 3 1.655 pcs arctg 74.91º 4 2.745 La fase total será:
ceros polos 81.24º (114.23º 148.91º 313.02º 74.91 569.83º 150.17º 180º No existe lugar de las raíces en el punto observado puesto que no cumple el criterio del argumento.
10
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Luego el lugar de las raíces definitivo será:
Para que la respuesta sea similar a la de un sistema de segundo orden con un sobreimpulso del 20% se tiene: Mp e
1 2
0.2
0.45; arc cos() 62º Gráficamente sobre el lugar de las raíces representado se busca el punto que cumple dicha condición.
P
11
Lugar de las Raíces
Aproximadamente su valor será: P = -1.1+j 2.1. Se calcula ahora el valor de k aplicando el criterio del módulo: 1 (1.1 j2.1)(1.1 j2.1 2)((1.1 j2.1) 2 8(1.1 j2.1) 25) k k G (s) s 1.1 j2.1 10(1.1 j2.1 3) K 3.41
EJERCICIO 6.4. Sea el sistema: R(s) +
k
G(s)
Y(s)
-
G (s)
Donde:
s 3 s s 4 2
Dibujar el lugar de las raíces de los polos del sistema en lazo cerrado al variar el parámetro K desde 0 a infinito. Y calcular el valor de K para que la respuesta sea similar a la de un sistema de segundo orden con un sobreimpulso del 20% ante una entrada escalón unidad (sin tener en cuenta el cero de lazo cerrado).
1) Puntos de comienzo:
. j193 . s1,2 05
2) Puntos de finalización: s 3 3) Lugar en el eje real: (-,-3 4) Asíntotas: a
180º (2q 1) 180º (2q 1) 180º 2 1 pz
5) Centroide: a
polos ceros 1 3 2 pz
12
2 1
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
6) Ángulos de salida desde polos complejos conjugados: -0.5+j1.93
2
p1
1
z1 0
-3
p2
-1
-2
-0.5-j1.93 -3
-2.5
-2
-1.5
-1
1.93 z1 arctg 37.66º 2.5 p 2 90º
z p 180º 37.66º 90º p1 180º p1 180º 52.34º 232.34º 7) Puntos de corte con el eje imaginario: 1 K
s3 0 s s4 2
s 2 s 4 Ks 3K 0
s 2 (K 1)s 4 3K 0 s2
1
s1
K+1
s0
4+3K
4+3K
K 1 0 K 1
13
-0.5
0
Lugar de las Raíces
4 3K 0 K K 1
Luego será:
4 3
K 133 .
8) Puntos de llegada al eje real: 1 K
s 3 0 s s 4 2
K
s2 s 4 s 3
dK (2s 1)(s 3) (s 2 s 4) 2s2 7s 3 s 2 s 4 s2 6s 1 0 ds (s 3) 2 (s 3) 2 (s 3) 2 6.16 s1, 2 0.16 No válido Y el lugar de las raíces completo: 4 3 2
-0.5+j1.93
1 0
-6.16
-3
-1 -0.5-j1.93
-2 -3 -4 -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Para que la respuesta sea similar a la de un sistema de segundo orden con un sobreimpulso del 20% se tiene: Mp e
1 2
0.043
1
2
14
ln 0.043
2 2 9.9(1 2 )
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
2 (2 9.9) 9.9
2 0 .5
0.707
arccos 45º
ts
n
n
n 1
1 0.707
n 1.41
Se puede observar que la restricción está fijada sólo por el máximo sobreimpulso. El punto de funcionamiento se calcula a partir del lugar de las raíces, donde de forma aproximada será: s1, 2 3.3 3.3 j 4 3.3j
3 2 1
45º
0
-3.3
-1 -2 -3 -4 -8
-7
Como K G (s) 1
K
-6
-5
-4
K
-3
1 G (s) s s
-2
-1
0
1
2
1
s2 s 4 (3.3 j3.3) 2 (3.3 j3.3) 4 0.7 j18.48 18.49 87.83º 5.58 s3 (3.3 j3.3) 3 0.3 j3.3 3.3195.19º K 5.58
15
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 6.6. Para el sistema que se muestra en la figura siguiente: 2 R(s) + _
K1
K2
+
R2(s)
G2(s)
s+7
+ _
s+13
Y(s)
+
K2 H(s)
Diseñar mediante la técnica de lugar de las raíces, los reguladores K1 y K2 de forma adecuada para que el lazo interno tenga un comportamiento similar a un sistema de segundo orden subamortiguado con un máximo sobreimpulso del 11%, cuando se produce un escalón unidad en su señal de entrada R2(s) y para que el sistema total en lazo cerrado tenga un comportamiento similar a un sistema de segundo orden subamortiguado con un máximo sobreimpulso del 14%, cuando se introduce una entrada escalón unidad en la entrada R(s).
Se dibuja a continuación el lugar de las raíces para el lazo interno: s4 (s 2s 5)(s 7)
s+9
+_
2
K2
1) Ecuación característica:
1+G(s)·H(s)=0
1 K 2 (s 9)
s4 0 (s 2s 5)(s 7) 2
2) Nº de ramas: 3 3) Puntos de inicio: -1j2, -7 Puntos de finalización: -9, -4, 4) Lugar en el eje real: [-4,-7] y [-9, -] 5) El lugar de las raíces es simétrico respecto del eje real. 6) Asíntotas:
a
180º (2q 1) 180º (2q 1) 180º pz 32
19
Lugar de las Raíces
a
7) Centroide:
Polos Ceros 7 1 1 (9 4) 4 pz
32
8) Ángulos de salida de los polos complejos conjugados: 3 -1+j2
2
p1
1
p3
z2
0 -9
z1
-7
-4
-1
p2
-2 -3 -10
-1-j2
-8
-6
-4
-2
p 2 90º p3 arctg
2 18.43º 7 1
z1 arctg
2 33.69º 4 1
z 2 arctg
2 14.04º 9 1
z1 z 2 (p1 p 2 p3 ) 180º 33.69º 14.04º (p1 90º 18.43º ) 180º p1 240.7º 119.3º Al ser el lugar de las raíces simétrico respecto al eje real: p 2 240.7º 119.3º
20
0
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
9) Punto de confluencia:
(s 2 2s 5)(s 7) s3 2s 2 5s 7s 2 14s 35 s3 9s 2 19s 35 K2 (s 9)(s 4) s 2 13s 36 s 2 13s 36 dK 2 (3s 2 18s 19)(s 2 13s 36) (s 3 9s 2 19s 35)(2s 13) ds (s 2 13s 36) 2 dK 2 s 4 26s 3 206s 2 578s 229 0 ds (s 2 13s 36) 2 s1 0.47 s 2 14.41 s 3, 4 5.56 j1.70 Luego el punto de confluencia es en s = - 14.41 Cuando el grado de la función de transferencia de lazo abierto es elevado, otra posible forma de obtener los puntos de dispersión es mediante iteración: 1 2(a 1) 1 1 2 2 a 7 (a 1) 2 a4 a 9 Inicialmente se da al parámetro a el valor -14 como primera aproximación. Este valor se sustituye en todas las fracciones menos en las correspondientes a los polos o ceros de lazo abierto que limitan el punto de dispersión a calcular. 1 2(14 1) 1 1 2 2 14 4 a 9 14 7 (14 1) 2 1 1 1 26 7 173 10 a 9 a 9 5.177
0.1931
1 a9
a 14.18
Haciendo una segunda iteración: 1 2(14.18 1) 1 1 2 2 14.18 4 a 9 14.18 7 (14.18 1) 2 1 1 1 26.36 7.18 177.71 10.18 a 9 a 14.28
21
Lugar de las Raíces
En una tercera iteración: 1 2(14.28 1) 1 1 14.28 7 (14.28 1) 2 22 14.28 4 a 9 a 14.34
En la cuarta iteración: 1 2(14.34 1) 1 1 2 2 14.34 4 a 9 14.34 7 (14.34 1) 2 a 14.37
10) No existe intersección con el eje imaginario. La figura muestra la forma del lugar de las raíces: 6 4 -1+j2
2 0
-9
-7
-4 -1-j2
-2 -4 -6 -15
-10
-5
0
La condición que se pide es que el máximo sobreimpulso sea del 11%:
Mp e
1 2
0.11
2.0258 2 1 2
1 2
2.2073
3.0258 2 1
1.4233 1 2
1 0.5749 3.0258
Por tanto, se necesita conocer la posición de las raíces para un coeficiente de amortiguamiento de 0.5749.
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Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
arccos 54.9º
El punto de trabajo será de la forma: p1, 2 n j n 1 2 n (0.5749 j.8182)
Para calcular el punto del lugar de las raíces que cumple tener 0.5749 , se traza la recta correspondiente a este coeficiente de amortiguamiento, es decir, una recta con el ángulo: arccos 54.9º
y se lee de la gráfica el valor del punto de corte con el lugar de las raíces. 6 4 2
4.5 55º
0
2.6
-2 -4 -6 -15
-10
-5
0
En este caso puede verse que la distancia desde el origen al punto de corte representa la frecuencia natural n y toma un valor de 4.5. Con el valor de y n se obtiene el punto de trabajo: p1, 2 n jn 1 2 4.5 0.5749 j 4.5 8182 2.59 j 3.68
Aplicando el criterio del módulo se obtiene el valor de la ganancia correspondiente a ese punto: K2
(s 2 2s 5)(s 7) 2.69 (s 9)(s 4) s 2.59 j3.68
Pasamos ahora al sistema total. Una vez calculado el valor de K2 calculamos la función de
23
Lugar de las Raíces
trasnferencia equivalente al lazo interno: s4 (s 9)(s 4) (s 2s 5)(s 7) M 1 (s) 2 s4 (s 2s 5)(s 7) 2.69 (s 9)(s 4) 1 2.69 (s 9) 2 (s 2s 5)(s 7) (s 9)
2
M 1 (s)
(s 9)(s 4) s 3 11.69s 2 53.97s 131.84
M1 (s)
(s 9)(s 4) (s 6.51)((s 2.59) 2 3.68 2 )
El sistema completo quedará de la forma mostrada en el diagrama de bloques:
+_
K1
2.69
(s 9)(s 4) s 11.69s 2 53.97s 131.84 3
s+13
2 s 24s 169 2
Se dibuja el lugar de las raíces: 1) Ecuación característica: 1 K 1 2.69
1 K1
(s 9)(s 4) 2 (s 13) 2 0 2 s 11.69s 53.97s 131.84 s 24s 169 3
5.38 (s 9)(s 4)(s 13) 0 (s 11.69s 2 53.97s 131.84)(s 2 24s 169) 3
2) Nº de ramas: 5 3) Puntos de inicio: -6.51,-2.59j3.68, -12j5 Puntos de finalización: -4,-9, -13, 4) Lugar en el eje real: [-4,-6.51] y [-9, -13] 5) El lugar de las raíces es simétrico respecto del eje real. 6) Asíntotas:
a
180º (2q 1) 180º (2q 1) 90º ,270º pz 53
7) Centroide:
a
Polos Ceros 6.51 2.59 2.59 12 12 (4 9 13) 4.845 pz
53
24
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
8) Ángulos de salida de los polos complejos conjugados:
ceros polos 180º (2q 1) Para los polos complejos conjugados en –2.59j3.68:
p4
6
-2.59+j3.68 4
p1
-12+j5 2 0
z3 -9
-13
z1
p3
z2 -6.51
-4
-2
p2
-4
p5 -12-j5
-6 -14
-2.59-j3.68
-12
-10
-8
-6
-4
z1 arctg
3.68 69.04º 4 2.59
z 2 arctg
3.68 29.86º 9 2.59
z3 arctg
-2
3.68 19.47º 13 2.59
p 2 90º p3 arctg
3.68 43.19º 6.51 2.59
p 4 360 arctg p5 arctg
5 3.68 352.01º 12 2.59
5 3.68 42.69º 12 2.59
z1 z 2 z 3 (p1 p 2 p3 p 4 p5 ) 180º
25
0
Lugar de las Raíces
69.04º 29.86º 19.47º (p1 90º 43.19º 352.01º 42.69º ) 180º
p1 589.52º 130.48º Al ser el lugar de las raíces simetrico respecto al eje real:
p 2 589.52º 130.48º Para los polos complejos conjugados en –12j5: 6
-12+j5 p4
-2.59+j3.68
4
p1
2 0
z2
z3
-9
-13
z1
p3 -6.51
-4
-2
p2 p5
-4 -6 -14
-2.59-j3.68 -12-j5 -12
-10
-8
-6
-4
z1 180º arctg
5 147.99º 12 4
z 2 180º arctg
5 120.96º 12 9
z3 arctg
5 78.69º 13 12
p1 180º arctg
5 3.68 172.01º 12 2.59
p 2 180º arctg
5 3.68 137.31º 12 2.59
p3 180º arctg
5 137.67º 12 6.51
p5 90º
26
-2
0
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
z1 z 2 z 3 (p1 p 2 p3 p 4 p5 ) 180º 147.99º 120.96º 78.69º (172.01º 137.31º 137.67º p 4 90º ) 180º
p 4 369.35º 9.35º Al ser el lugar de las raíces simétrico respecto al eje real:
p 2 369.35º 9.35º 9) Punto de confluencia: K
(s3 11.69s 2 53.97s 131.84)(s 2 24s 169) 5.38 (s 9)(s 4)(s 13)
s 5 35.69s 4 503.53s 3 3402.73s 2 12285.09s 22280.96 K 5.38s 3 139.88s 2 º 1102.9s 2517.84
(5s 4 142.76s 3 1510.59s 2 6805.46s 12285.09)(5.38s 3 139.88s 2 1102.9s dK ds
2517.84) (s 5 35.69s 4 503.53s 3 3402.73s 2 12285.09s 22280.96)(16.14s 2 279.76s 1102.9) 5.38s 3 139.88s 2 º 1102.9s 2517.84
10.76s 7 611.6522s 6 14396,23s 5 182803.8s 4 1337946s 3 dK 5478242s 2 10901740s 6358220 ds 5.38s 3 139.88s 2 º 1102.9s 2517.84 dK 0 ds s1 0.9324 s 2 10.623 s 3 17.449 s 4,5 5.663 j1.845
s 6,7 8.258 j5.310 El punto de dispersión, será aquel en el que existe lugar en el eje real (para el lugar directo de las raíces) y corresponde con : s 2 10.623 Otra posible forma de obtener el punto de dispersión será utilizando el método iterativo: 1 2(a 2.59) 2(a 12) 1 1 1 2 2 2 2 a 6.51 (a 2.59) 3.68 a 4 a 9 a 13 (a 12) 5
27
Lugar de las Raíces
Inicialmente se da al parámetro a el valor del punto medio entre los dos que limitan la rama. Este valor se sustituye en todas las fracciones menos en las correspondientes a los polos o ceros de lazo abierto que limitan el punto de dispersión a calcular. a=-11 1 2(a 2.59) 2(a 12) 1 1 1 2 2 2 2 a 6.51 (a 2.59) 3.68 a 4 a 9 a 13 (a 12) 5 1 2(11 2.59) 2(11 12) 1 1 1 2 2 2 2 11 4 a 9 a 13 11 6.51 (11 2.59) 3.68 (11 12) 5 0.220148
a 13 a 9 (a 9)(a 13)
a 2 31.0848a 216.93 0 a 10.6 a 20.50
Luego el punto de dispersión será –10.6 ya que en ese punto existe lugar en el eje real. Si se desea una mayor precisión se debería seguir iterando. 10) No existe intersección con el eje imaginario. La siguiente figura muestra la representación completa del lugar de las raíces.
25 20 15
Eje Imag
10 5 0 -5
-12+j5
-2.59+j3.68
-13
-9
-6.51
-4
-2.59-j3.68
-12-j5
-10 -15 -20 -25 -14
-12
-10
-8
-6 -4 Eje Real
28
-2
0
2
4
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
La condición que se pide ahora es que el máximo sobreimpulso sea del 14%:
Mp e
1 2
0.14
2.5532 2 1 2
1
2
1.9661
3.5532 2 1
1.5979 1 2
1 0.5305 3.5532
Por tanto, se necesita conocer la posición de las raíces para un coeficiente de amortiguamiento de 0.5305. arccos 57.96º 58º El punto de trabajo será de la forma: p1, 2 n j n 1 2 n (0.5305 j0.8477)
Para calcular el punto correspondiente del lugar de las raíces se traza una recta con el ángulo definido por las especificaciones. El punto de corte de dicha recta con el lugar de las raíces definirá el punto de funcionamiento. 10 8 6
Eje Imag
4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10
-12
-10
-8
-6 -5 Eje Real
-4
-2
De la gráfica puede leerse que el punto de funcionamiento corresponde con: p f 5 j 8
Aplicando el criterio del módulo se obtiene el valor de la ganancia K1:
29
0
Lugar de las Raíces
K1
(s3 11.69s 2 53.97s 131.84)(s 2 24s 169) 12.3 5.38 (s 9)(s 4)(s 13) s 5 j8
Luego los valores de los reguladores son: K1 12.3
K 2 2.69
EJERCICIO 6.7. La figura representa el lugar de las raíces de un sistema de control que tiene realimentación unitaria. 2.236
-10.477
Obtener la función de transferencia de la planta e indicar los valores de K para los cuales el sistema pasa por distintos modos de funcionamiento.
La función de transferencia será de la forma: G (s)
k (s a ) s( s b )
No existe ninguna otra configuración de polos y ceros posible para ese lugar. Corte con el eje imaginario: Ecuación característica: 1
k (s a ) 0 s( s b )
s 2 ( k b)s ka 0 Por Routh: s2
1
s1
k-b
s0
ka
30
ka
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Igualando a cero el término de la segunda fila: k-b = 0
k=b
Ecuación auxiliar: s 2 ka 0
s 2 ab 0
s j ab ab 2.236 ab 5
Puntos de bifurcación: s(s b ) k (s a )
dk ( 2s b)(s a ) s(s b) 0 ds (s a ) 2
2s 2 2as bs ab s 2 bs 0
s
s 2 2as ab 0
2a 4a 2 4ab a a 2 ab 10.477 2
Como ab = 5: a a 2 5 10.477 a - 10.477 a 2 5 a 2 20.954a 10.477 2 a 2 5
10.477 2 5 5 a 20.954 b 1
G (s )
k(s 5) s(s 1)
El corte con el eje imaginario es para k= b =1 Para 0 < k < 1 Inestable Si se hace: k
s(s 1) 21.9 s 5 s 10.477
Para 1 < k < 21.9 Subamortiguado Para k > 21.9 Sobreamortiguado
31
Lugar de las Raíces
EJERCICIO 6.8. Para el sistema del ejercicio 1.12., cuyo diagrama de bloques se indica en la figura, dibujar el lugar de las raíces. Bomba
Amplificador e(t)
r(t) +_
v(t)
K
Émbolo p(t)
1 .2 2s 1
c(t)
x(t)
0.25 2 5s 2.5s 1
Transductor 10
G (s ) H (s )
1) Puntos de inicio:
3 3
2
10s 10s 4.5s 1
3 2
((s 0.25) 0.3708 2 ))(s 0.5)
s1, 2 0.25 j0.3708
s3 0.5
Puntos de finalización: 2) Lugar en el eje real: (,0.5] 60º 180(2q 1) 180º 3 300º
3) Asíntotas:
0.25 0.25 0.5 1 3 3
4) Ángulos de salida de los polos complejos conjugados: 0.4
p1
-0.25+j0.3708
0.3 0.2 0.1
p3
0
-0.5
-0.1 -0.2 p2
-0.3 -0.25-j0.3708 -0.4 -0.7
-0.6
-0.5
-0.4
32
-0.3
-0.2
-0.1
0
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
p 2 90º p3 arctg
0.3708 56.01º 0.5 0.25
Ceros Polos 180º (p1 p 2 p3 ) 180º (s 90º 56.01º ) 180º p1 326.02º 33.98º p 2 326.02º 33.98º 5) Cortes con el eje imaginario: La ecuación característica del sistema es: 1 K G (s) H(s) 0 1 K
0 .3 10 0 10s 10s 2 4.5s 1 3
10s3 10s 2 4.5s 1 3K 0
s3
10
4.5
s2
10
1+3K
s1
3.5-3K
s0
1+3K K
1 3K 0
3.5 3K 0
luego
1 3
K 1.167
0.333 K 1.167
El punto de corte con el eje imaginario es para K=1.167 Construimos la ecuación auxiliar: 10s 2 1 3 1.167 0
s j0.67
33
Lugar de las Raíces
La figura muestra la representación del lugar de las raíces de sistema: 2 1.5 1 -0.25+j0.3708
Eje Imag
0.5 0
-0.5
-0.5
-0.25-j0.3708
-1 -1.5 -2 -1
-0.5
0 Eje Real
0.5
1
EJERCICIO 6.9. Para el sistema del ejercicio 4.12., cuyo diagrama de bloques se indica en la figura, dibujar el lugar de las raíces e indicar los distintos modos de funcionamiento del sistema completo al variar la ganancia del amplificador A. Vref(s)
E(s)
A
Vm(s)
0 .1 s
+_
(s)
Vh(s)
2 s 1
1) Ecuación característica: 1 K
0.1 0.1 2 0 s s 0.1 s 1
1 K
0.02 0 s(s 0.1)(s 1)
2) Nº de ramas: 3 3) Puntos de inicio: 0, -0.1, -1 Puntos de finalización: 4) Lugar en el eje real: (-,-1] y [-0.1, 0].
34
0 .1 s 0 .1
H(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
5) El lugar de las raíces es simétrico respecto del eje real. 6) Asíntotas: 60º 180º (2q 1) 180º (2q 1) a 180º pz 3 300º
7) Centroide: a
Polos Ceros 0 0.1 1 0 0.367 30
pz
8) Punto de dispersión: s3 1.1s 2 0.1s s(s 0.1)(s 1) K 0.02 0.02 dK 3s 2 2.2s 0.1 0 ds 0.02 3s 2 2.2s 0.1 0 s1 0.049 s 2 0.685
No pertenece al lugar en el eje real.
Por tanto el punto de dispersión estará en –0.049 9) Intersección con el eje imaginario: 1
0.02K 0 s(s 0.1)(s 1)
s 3 1.1s 2 0.1s 0.02K 0
s3
1
0.1
s
2
1.1
0.02K
s
1
0.11 0.02K 1.1
s0
0.02K
a) 0.11 0.02K 0 K 5.5 La ecuación auxiliar será: 1.1s 2 0.11 0 b) 0.02K=0
K=0
La ecuación auxiliar será: s=0
35
s j0.316
Lugar de las Raíces
1
0.5
0
-0.1
-1
0
-0.5
-1 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Modos de funcionamiento: El valor de la ganancia K para el punto de dispersión es: K s 0.049
(0.049)3 1.1(0.049) 2 0.1(0.049) 0.119 0.02
La posición del polo que parte de s=–1, según va aumentando el valor de K, se mueve por ele eje real alejándose cada vez más del origen. Por la distancia existente entre los polos dominantes y éste, se puede considerar despreciable su influencia. 0 K 0.119
Sobreamortiguado
K 0.119
Críticamente amortiguado
0.119 K 5.5
Subamortiguado
K 5 .5
Oscilante
K 5 .5
Inestable
36
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