Ejercicios Resueltos de L Gica

Ejercicios Resueltos de Lógica.

1. Simplicar las siguientes proposiciones utilizando las leyes del algebra Proposicional. a)

∼ [∼ (p ∧ q) →∼ q] ∨ q

Solución:

∼ [∼ (p ∧ q) →∼ q] ∨ q≡∼ [∼ (∼ (p ∧ q))∨ ∼ q] ∨ q ← por ley p → q ≡∼ p ∨ q ≡∼ [(p ∧ q)∨ ∼ q] ∨ q← por ley de la doble negaci´ on ∼ (∼ p) ≡ p ≡[∼ (p∧q)∧ ∼ (∼ q)]∨q ← por leyde De Morgan ∼ (p∨q) ≡∼ p∧ ∼ q ≡[∼ (p ∧ q) ∧ q] ∨ q ← por ley de la doble negaci´ on ∼ (∼ p) ≡ p ≡[(∼ p∨ ∼ q) ∧ q] ∨ q ← por leyde De Morgan ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q ≡ q ← ley de absorci´ on (a ∧ b) ∨ b = b b)

[(∼ p ∧ q) → (r∧ ∼ r)] ∧ ∼ q

Solución:

[(∼ p ∧ q) → (r∧ ∼ r)] ∧ ∼ q≡ [(∼ p ∧ q) → F ] ∧ ∼ q ← por ley l´ ogica p∧ ∼ p = F, una contradicción ≡ [∼ (∼ p ∧ q) ∨ F ] ∧ ∼q←ley p → q ≡∼ p ∨ q ≡ [∼ (∼ p ∧ q)] ∧ ∼ q ←ley p ∨ F ≡ p ≡ (p∨ ∼ q)∧ ∼ q ←De Morgan ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q ≡∼ q ← ley de absorci´ on (a ∨ b) ∧ b ≡ b c) Demuestre que la siguiente proposición es una Tautología

[(p∨ ∼ q) ∧ q] → p Solución:[(p∨ ∼ q) ∧ q] → p≡∼ [(p∨ ∼ q) ∧ q] ∨ p ley p → q ≡∼ p ∨ q ≡ [(∼ p ∧ q)∨ ∼ q] ∨ p ← porley asociativa del ∨ ≡ (∼ p ∧ q) ∨ (∼ q ∨ p) ≡ (∼ p ∧ q)∨ ∼ (q∧ ∼ p)← por ley conmutativa del∧ ≡ (∼ p ∧ q)∨ ∼ (∼ p ∧ q)← P or ley p∨ ∼ p ≡ V ≡V

← por

d) Demuestre que las siguientes proposiciones son equivalentes. I)

p → (r∨ ∼ q)

Solución:

I)

II)

(q →∼ p) ∨ (∼ r →∼ p)

p → (r∨ ∼ q) ≡ ∼ p ∨ (r∨ ∼ q)← por ley p → q ≡∼ p ∨ q

Ahora simplicando la expresión II, obtenemos

(q →∼ p) ∨ (∼ r →∼ p)≡ (∼ q∨ ∼ p) ∨ (∼∼ r∨ ∼ p) ≡ (∼ q∨ ∼ p) ∨ (r∨ ∼ p)← por ley distributiva ≡ ∼ p ∨ (r∨ ∼ q) II)

1

las expresiones simplicadas son iguales, entonces equivalentes.

(p →∼ q) ∨ (∼ r → s) p∧ ∼ q)∨ ∼ q b)[(∼ r ∨ q) ∧ q] ↔ [(∼ q ∨ r) ∧ s]

2. De la falsedad de

deducir el valor de verdad de

a)(∼

Solución: Que la proposición

(p

(p →∼ q) ∨ (∼ r → s) →

sea falsa signica que

∼ q) es F also y (∼ r → s) es F also

(p →∼ q) sea f also implica que p es verdadero y que ∼ q es f also→ q verdadero. Del mismo modo que (∼ r → s) sea f also implica que ∼ r es verdadero y s es f also. En resumen tenemos los siguientes valores p verdadero, q verdadero, r f also, s f also.

entonces que

con estos valores tenemos

p∧ ∼ q)∨ ∼ q≡ (∼ V ∧ ∼ V )∨ ∼ V ≡ (F ∧ F ) ∨ F ≡ F f also r ∨ q) ∧ q] ↔ [(∼ q ∨ r) ∧ s]≡ [(∼ F ∨ V ) ∧ V ] ↔ [(∼ V ∨ F ) ∧ F ]≡ [(V ∨ V ) ∧ V ] ↔ [(F ∨ F ) ∧ F ]≡ V ↔ F ≡ F , f also.

a)(∼

b)[(∼

3. Si se sabe que

(p ∧ q)

y

(q → t)

son falsas .¾ Cuáles de las siguientes

proposiciones son verdaderas ?. a)∼

[p ∧ (∼ q∨ ∼ p)] p ∨ (q∧ ∼ t)] ↔ {(p → q)∧ ∼ (q ∧ t)}

b)[∼

Solución : Que

(p ∧ q)

sea falso signican tres casos , por lo que conviene analizar

(q → t) que es falsa en un solo caso , cuando q es vert falso, con q verdadero entonces (p ∧ q) falso se reduce a un solo → p f also, conocidos los valores de p, q, t, entonces es facil vericar

primero la sentencia dadero y caso

los valores de verdad de las sentencia a) y b) que ambas son verdaderas .Verifícalo como ejercicio.

p : Cesar Estudia, q : Cesar trabaja.Demuestre [(p ∨ q) ∧ (∼ p → q)] →∼ q equivale a  Cesar no trabaja

4. Considere las proposiciones que el esquema Solución: Simplicamos la expresión

[(p ∨ q) ∧ (∼ p → q)] →∼ q≡ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ q)] →∼ q≡(p ∨ q) →∼ q≡∼ (p ∨ q)∨ ∼ q≡∼ [(p ∨ q) ∧ q]≡∼ q siendo ∼ q : cesar notrabaja

2

5. Determine el valor de verdad de

∼ (p → q) ∧ (r ∨ q)

p, q, r

sabiendo que la proposición

es verdadera

Solución:

∼ (p → q) ∧ (r ∨ q) sea verdadera signica que ∼ (p → q) es verdadero (r ∨ q) es verdadero que ∼ (p → q) sea verdadero implica que (p → q) es falso, entonces p es verdadero y q es falso, con q falso y (r ∨ q) verdadero necesariamente r es Que y

verdadero.

6. Cuales de las siguientes proposiciones son equivalentes .? I. El café es agradable a menos que se le añada azucar. II, El café es agradable si no añadimos azucar. III.Si añadimos azucar entonces el café es agradable. IV. El café es con azucar o el café es agradable. Solución: Simbolizamos cada una de las frases deniendo

p : El caf e´ es agradable,

q : El caf e´ tiene tiene azucar I. p ∧ q II. ∼ q → p ≡ q ∨ p III. q → p ≡∼ q ∨ p IV. q ∨ p Como se puede apreciar II y IV son equivalentes.

7. De el valor de verdad de las siguientes proposiciones :

(∀h ∈ H)(∃p ∈ H)(p es padre de H) (∃p ∈ H)(∀h ∈ H)(p es padre de H) Solución: Discútalo con su profesor si

8. Sea

A = {0, 1, 2, 3}

el dominio de

H

x, y

es el conjunto de humanos

.Señalar el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

∀x, ∃y : (x2 − y 2 < 10) ∨ (x2 < y + 1) 2 2 2 II. ∀x, ∀y : (x − y > −10) ∧ (x > y + 1) 2 2 III.∃x, ∃y : (x > y ) I.

Solución: I. Observe que la sentencia I , tiene el conectivo

3

∨ que la hace verdadera si

al menos una de las componentes es verdadera,analizamos la componente

(x2 − y 2 < 10).

primera

− y 2 < 10). para cada uno los valores de x ∈ {0, 1, 2, 3} y al menos un valor de y ∈ {0, 1, 2, 3} 2 2 para x = 0 existe y = 0 tal que 0 − 0 < 10← V erdadero 2 2 para x = 1 existe y = 0 tal que 1 − 0 < 10← V erdadero 2 2 para x = 2 existe y = 0 tal que 2 − 0 < 10← V erdadero 2 2 para x = 3 existe y = 0 tal que 3 − 0 < 10← V erdadero por lo tanto si una de las componentes es verdaera del conectivo ∨,

debemos chequear el valor de verdad de(x

2

de

es

verdadera la composición completa siendo innecesario estudiar el valor de verdad de la otra componente

x2 < y + 1.

II. La sentencia II tiene el conectivo

concluyendo que I es verdadera.

∧

el cual hace falsa la proposi-

ción si una de las componentes es falsa , veremos que la componente

x2 > y + 1 x = 0, y = 0

no es verdadera Para TODO se tiene

02 ≯ 02 + 1← F also,

x

y para TODO

y,

pues si

concluyendo que II es falso.

x2 > y 2 para al menos un valor el valor x = 3,para el valor y = 0

III. Hay que hallar el valor de verdad de de

x

y

al menos un valor de

se tiene

32 > 02 ← V erdadero,

y

Para

concluyendóse que III es verdadero.

9. Represente mediante funciones Booleanas los siguientes circuitos. q p

≈p Solución:

p ∧ (q∨ ∼ p)

p

q

≈ p

≈q r

Solución :

(p ∧ q)∨ {[(∼ p) ∨ r] ∧ ∼ q}

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Ejercicios resueltos de lógica por Osvaldo Carvajal 4