Ejercicios Resueltos de Incertidumbre

EJERCICIOS DE PROPAGACIÓN DE LA INCERTEZA 1. Calcule el valor de la incertidumbre absoluta de A si: a=500.01±0.15 m 2 v =50.02±0.25m/ s 5

P=1.013x10 N / m

2

=1000 kg /m3 Utilizando la siguiente expresión: 2aP v= [a 2− A2]



SOLUCIÓN: Me están pidiendo  A Primero despejaremos A y calcularemos su valor (magnitud)



 2aP v =[ ] [ a2 −A2 ] 2

v2 =

 2aP [a 2− A2 ]

a 2− A2= a 2−

2

2aP  v2

2aP =A2 2 v



2

A= a −

2aP  v2



2500.01 m2 1.013x105 N /m2  A= 500.01 m  − 1000 kg /m350.02 m/ s 2 A=499.97 m

2 2

2

De la ecuación despejada podemos ver de que existen varias operaciones, iremos detallando cada operación: 1º Llamaremos

x=a 2 , entonces:

x=500.01 m2 2 ,

x=250010.00 m

4

x a =n x a

 x=[n

a ]∗x a

 x=[2

0.15 ]∗250010.00 m4 500.01

 x=150.00 m4 x =250010.00±150.00 m 4 y=

2º Llamaremos

a 2 v

500.01 m2 y= 50.02 m/ s 2 y=0.1998 s

2

 y a v =[ n ] y a v  y=[

a v n ]∗y a v

 y=[

0.15 0.25 2 ]∗0.1998 s 2 500.01 50.02

 y=0.002057 s 2 y= 0.20±0.02x10−1 s 2 3º Llamaremos

z =x−

z =[ 250010.00 m4−[ z =249969.48 m

2Py 

2 1.013x10 5 N /m20.20 s 2  ]] 1000 kg /m3 

4

 z= x− y

 z=150.000.02x10−1 m4  z=150.00 m4

z= 249969.48±150.00 m4 4º

A=  z , Comprobando su magnitud

A=  249969.48 m4 ;

A=499.97 m

2

A z =n A z  A=[n

z ]∗A z

1 150.00  A= [ ]∗499.97 m2 2 249969.48  A=0.150 m2 ,  A=0.15 m 2 R/

2. La fuerza ascensional que experimenta el ala del avión viene dada por: 1 2 2 F = aire Av 2−v 1 2 Si: F = 22500.07±9.21 N

A= 25.06±0.86 m2 v 2 =110.25±0.07m/ s aire =1.30 x10−3 gr /cm3 ¿Calcular  v 1 ? Despejaremos primero v 1 y calcularemos su valor: 1 2 2 F = aire Av 2−v 1 2

2F aire A

 

=v 22−v 21

2

v 1= v 2 −

2F aire A

v 1= 110.25 m/ s 2−

2 22500.07 N  1.30 kg /m3 25.06 m2 

v 1=103.7967 m/ s 1º Operación: x=v 22

x=110.25 m/ s2 ,

2

x=12155.0625 m / s

2

x  v2 =n x v2  x=[n

 v2 ]∗x v2

 x=2[

0.07 ]12155.0625 m2 / s 2 ,  x=15.435 m2 / s 2 110.25 2

x =12155.06±15.44 m / s

2

2º Operación: y=

F A

y=

22500.07 , 25.06

y=897.8479648

y F A =[  ] y F A  y=[

F  A  ]∗ y F A

 y=[

9.21 0.86  ]897.8479648 22500.07 25.06

 y=31.17953 y=897.85±31.18 3º Operación:



v 1= x− z =x−

2y aire

2y aire

z =12155.06−

2 897.85 1.3 kg /m3

z =10773.7523077  z= x y  z=15.4431.18 ,  z=46.62

z=10773.75±46.62 4º Operación La formula simplificada queda así: v 1=  z , v 1=  10773.7523077 , v 1=103.79668

Ahora encontraremos su incerteza:  v1 z z 1 46.62 ]∗103.79671448 =n ]∗v 1 ,  v 1= [ ,  v 1=[n 2 10773.75 v1 z z

 v 1=0.22457 m/ s  v 1=0.22 m / s R/

v 1=103.80±0.22 m/ s R/

3. Dada la siguiente ecuación de cinemática: 1 2 y= y ov oy t − g t 2 y o± y o si:

Calcular:

y=154.47±8.45m

v oy =45.48±0.31m/ s t=8.35±0.18 s

Despejando

y o tenemos:

1 2 y o= y g t −v oy t , calcularemos su valor 2

1 y o=154.47 m 9.8 m/ s 2 8.35 s2− 45.48 m/s 8.35s  2 y o=116.35225 m 1º Operación: z =t 2

z =8.35s2 ,

z =69.7225 s

2

z t =n z t  z=[n

t ]∗z t

 z=2[

0.18 ]∗69.7225 s 2  ,  z=3.006 s 2 8.35

z=69.72±3.01 s 2 La ecuación nos quedará así: 1 y o= y g z−v oy t 2

2º Operación x=v oy t x=45.48 m/s 8.35 s ,

x=379.758 m

 x  v oy  t =[  ] x v oy t  x=[

 v oy  t  ]∗x v oy t

 x=[

0.31 0.18  ]∗379.758 m ,  x=10.7749 m 45.48 8.35

x = 379.76±10.77 m La ecuación quedará así: 1 y o= y g z− x 2

3º Operación 1 w= g z− x 2

1 w= 9.8 m/ s 269.72 s 2 −379.76 m , w=−38.132 m 2  w= z  x ,  w=3.0110.77 ,  w=13.78 w=−38.13±13.78 La ecuación quedará así: y o= yw 4º Operación y o=154.47−38.13 ,

y o=116.34 meste valor , solamente nos sirve para comprobar 

 y o= y w  y o=8.4513.78 m ,  y o=22.23 m

y o = 116.35±22.23 m R/

4. Calcular T ± T  sí: Donde: H =72.05±0.25Watts

H = Ae  T 4 −T 4s 

A=1.20±0.03m2 T s=293.02±0.09 Kelvin e=1

W m2 K

=5.67 x10−8

Despejando T4 tenemos y calculando su valor H = Ae  T 4 −T 4s 

H =T 4−T 4s Ae  T 4=

H T 4s Ae 

 

T=4

H T 4s Ae 

T=4

72.05 W 293.02 K 4 −8 2 4 1.20 m 15.67x10 w / m K  2

T =303.028931 K

1º Operación x=

H A

x=

72.05 , 1.20

x=60.0416666

x H A =[  ] x H A  x=[

H A  ]∗x H A

 x=[

0.25 0.03  ]60.0416666 72.05 1.20

 x=1.70937

x = 60.04±1.71 2º Operación y=T 4s

y=293.024 y=7372063307.61

y T s =n y Ts  y=n [

T s ]∗y Ts

 y=4[

0.04 ]7372063307.61 293.02

 y=9057206.9849 y= 7372063307.61±9057206.98 La ecuación nos quedará así:



T=4 x[

1 ] y e

3º Operación z =x [

1 ] y e

z =60.04[

1 ]7372063307.61 15.67x10−8

z =8430969833.18

 z= x y  z=1.719057206.98  z=9057208.69

z=8430969833.189057208.69

La ecuación nos quedará así: T = 4 z 4º Operación 1

T =8430969833.18 4 T =303.01866 K

T z =n T z  T =[n

z ]∗T z

1 9057208.69 T= [ ]303.018931 K  4 8430969833.18  T =0.08138 K T = 303.02±0.08 K R/

5. Calcular

F ± F sí

F =P 1i n

Donde: P=500.34±0.15 $ i=0.25±0.03 n=2

Conoceremos la magnitud de F F =P 1i 

n

F =500.3410.252 F =$ 781.78

Simplificaremos la expresión para observar mejor cuantas operaciones realizaremos: F =P 1i 

n

2

F =P 1i

F =P 12ii 2  ,

2

F =P2iPi P

1º Operación 2

A=i P Calculando su magnitud:

A=0.252 500.34 ,

A=31.27125

A i  P =[n  ] A i P  A=[n

i  P  ]∗A i P

 A=[2[

0.03 0.15 ][ ]]31.27125 0.25 500.34

 A=7.514475 A= 31.27±7.51

2º Operación B=iP

B=0.25500.34 ,

B=125.085

 B i  P =[  ] B i P  B=[

i  P  ]∗B i P

 B=[

0.03 0.15  ]125.085 ,  B=15.0477 0.25 500.34

B=125.08±15.05

La expresión, nos queda así: F =P2B A

3º Operación  F = P B A  F = 0.1515.057.51 ,  F=22.71 F=$ 781.78±22.71 R/

6.

x=

−b±b2 −4ac 2a

Donde: a=3.26±0.12 , b=7.77±0.30 y c=2.05±0.09

Calcular:  x 1 ± x 1  y  x 2 ± x 2  1. Desarrollando b2 : 2

2

d=b =7.77 =60.37

 

d b =n d b

=>  d=n

[  ]

 

0.30 b 60.37=4.66 d =>  d= 2 7.77 b

d=60.37±4.66

2. Desarrollando ac : e=ac =3.262.05=6.68

[

e  a  c =  e a c

]

=>  e=

[

]

e=6.68±0.54

3. Ahora tenemos x=

−b±d−4 e 2a

4. Desarrollando d−4e : f =d−4 e=60.37−4 6.68=33.64  f = d e=4.660.54=5.20 f =33.64±5.20 

5. Ahora tenemos x=

−b±f −b±f 1/2  = 2a 2a

6. Desarrollando f 1/2 : g=f

1 /2

1/ 2

=33.64

=5.80

[

]

a c 0.12 0.09  e =>  e=  6.68=0.54 a c 3.26 2.05

 

g f =n g f

=>  g=n

[

 

]

1 5.20 f 5.80=0.45 g =>  g= 2 33.64 f

g=5.80±0.45

7. Ahora tenemos x =

−b±g 2a

8. Desarrollando −b±g : h=−bg=−7.77 5.80=−1.97  h= b g=0.300.45=0.75 h=−1.97±0.75 i =−b−g=−7.77 −5.80=−13.57  i= b− g=0.300.45=0.75 i =−13.57±0.75

9. Encontrando las dos posibles soluciones: x1 =

h −1.97 = =−0.30 2a 23.26 

[

 x1  h  a =  x1 h a

]

[

=>  x 1 =

]

[

]

h a 0.75 0.12  x 1 =>  x1 =  −0.30=0.10 h a −1.97 3.26

x 1=−0.30±0.10 R/ x 2=

i −13.57 = =−2.08 2a 23.26

[

 x2  i  a =  x2 i a

]

[

=>  x 2 =

x 2=−2.08±0.04 R/

]

[

]

i a 0.75 0.12  x 2 =>  x 2 =  −2.08=0.04 i a −13.57 3.26

2

2

v =v 0 2ad

7. Donde:

v =42.32±0.08m/ s

a=6.432±0.030 m/s 2 d=82.748±0.006 m

Calcular: v 0±v 0  1. Despejando v0 se obtiene v 0 =v 2−2ad 2. Desarrollando v 2 : x=v 2 =42.32 m/ s2=1790.98 m2 /s 2

  

 

x v v =n x => =>  x =n x v v 0.08m/s  x=2 1790.98 m2 / s2 =6.77 m2 / s 2 42.32m/s



2

x =1790.98±6.77m / s

2

3. Desarrollando ad : 2

2

y=ad=6.432m/ s 82.743m=532.235m / s

[

 y  a d =  y a d

[

 y=

]

[

=>  y =

2

]

a d  y => a d

]

0.030m/s 2 0.006 m  532.235 m2 /s 2  6.432m/s 2 82.748 m

 y=2.521m2 /s 2 y=532.235±2.521 m2 / s 2 4. Ahora tenemos v 0 =x−2y 5. Desarrollando x −2y : z =x−2y=[ 1790.98 m2 / s 2 – 2532.235 m2 / s2 ]=726.51 m 2 / s 2 2

2

2

2

2

 z= x y=6.77 m / s 2.521m / s =9.29 m / s

2

2

z =726.52±9.29m / s

6. Desarrollando v 0 =z

1/2

2

: 2 1/2

=726.52 m / s 

=26.95 m/ s

 

 

v 0 z =n v0 z  v0 =

z=z 1/2

2



=>  v 0 =n



z v 0 => z

1 9.29m2 / s2 26.95m/s =0.17 m/ s 2 726.52 m2 / s 2

v 0=26.95±0.17 m/ s R/