Ejercicios resueltos de Dinámica

1) (15.11) En el problema 15.10 determine la velocidad y aceleración de la esquina B, suponiendo que la velocidad angular es de 9 rad/s y que aumenta 2

a razón de 45 rad/s . Problema (15.10) La varilla doblada ABCDE gira alrededor de una línea que une

los puntos A y E con una velocidad angular constante de 9 rad/s. Si se sabe que la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj según se observa desde E, determine la velocidad y aceleración de la esquina C Datos:



 = 9

 = 45

� �2

Se observa desde E que gira en dirección de las manecillas del reloj Incógnitas:

Determinar:



 =?  =?

Análisis gráfico:

Cálculos:

Unitario del vector



  ⃗  ⃗   =

400 + 400 + 200

MENESES 6466

    ⃗  ⃗    ∗  � ∗  ⃗  ⃗    ⃗  ⃗  �   ⃗  ⃗  � =

 =

1

400 + 400 + 200

600

Cálculo de la velocidad angular en forma vectorial =

1

=9

400 + 400 + 200

600

9

=

600

400 + 400 + 200

=

6 +6 +3

Cálculo de la aceleración angular en forma vectorial

    ∗ ⃗ �2 ∗  ⃗  ⃗  ⃗  ⃗  ⃗  �2 ⃗  ⃗  ⃗  �2 ⃗  ⃗  ⃗  �2 = 1

 = 45  =  =

600

45

600 45 600  =

400 + 400 + 200

400 + 400 + 200 400 + 400 + 200

30 + 30 + 15

Cálculo del radio en forma vectorial

  �   ⃗�  ⃗  ⃗  ⃗  ⃗�  ⃗  ⃗    �  ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ �   ⃗  ⃗      ⃗  ⃗  ⁄ =

(400 )

= 0 + 150 + 200 =

Velocidad:

=

=

=

6 +6 +3

6 400

6 150

400 + 150 + 200

3  = 200

750 + 0 + 1500

  ⃗   ⁄ =

Aceleración:

400 + 150 + 200

.

+ .

  �    � =

+

MENESES 6466

⃗ ⃗ ⃗�    ⃗� ⃗  ⃗  ⃗  �2  ⃗  ⃗    ⃗  ⃗⃗  ⃗ �  ⃗  ⃗  ⃗⃗    ⁄ ⃗     ⃗ ⃗ ⃗ ⃗    ⃗ ⃗   ⃗   �2  =

 =

+

30 + 30 + 15

+

400 + 150 + 200

6 +6 +3  =

30 400

750 + 0 + 1500

6 15 + 750 200

30 150

 = 3750 + 7500

6 0

3 1500

+ 9000 + 11250

4500

 = (12750 + 11250 + 3000 )

  ⃗  ⃗  � =(

.

+

.

+

)

2) (15.22) Las dos poleas que se muestran pueden operarse con la banda V en cualquiera de tres posiciones. Si la aceleración angular del eje A es 6 rad/s 2 y si el sistema está inicialmente en reposo determine el tiempo requerido para que el eje B alcance una velocidad de 400 rpm con la banda en cada una de las tres posiciones. Datos:

 �2 0  = 6

 = 0

 →    ∗  ∗    

Incógnitas:

 =?

 = 400

 = 400 2

1 1

60

 =

40

3

Con la banda en cada una de las tres posiciones. Análisis Gráfico:

Primera posición de la banda:

    ∗ ∗ ∗       ∗       =  =

 =

40  = 3

1

2

MENESES 6466

     0 ∗ ∗       2       =

20

( )

3

 =

 +

 =

( )

 =

  

Ecuación ( )

( ):

20  = 3 6  =

10

9

 = .

Segunda posición de la banda:

    ∗ ∗ ∗        ∗      0 ∗ ∗       2       =  =

 =

40  = 3  =

1.5

1.5

40

( )

3

 =

 +

 =

( )

 =

  

Ecuación ( )

( ):

40  = 3 6  =

20

9

 = .

Tercera posición de la banda:

    ∗ ∗ ∗     =  =

 =

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     ∗     ∗  0 ∗          2      40  = 3  =

2

1

80

( )

3

 =

 +

 =

( )

 =



Ecuación (1)

(2):

80  = 3 6  =

 =

40

9

.

 

3) (15.57) Una cremallera recta descansa sobre un engrane de radio r y está fija

a un bloque B en la forma que se indica. Si se denota con

  la velocidad

angular en el sentido de las manecillas del reloj del engrane D con el ángulo que forma la cremallera y la horizontal. Obtenga expresiones para la

 

velocidad del bloque B y la velocidad angular de la cremallera en términos de r,  y

.



   

Datos

Incógnitas

Radio = r Velocidad angular = Ángulo =

Obtener expresiones para  en términos de r,  y

  



y

MENESES 6466

Análisis Gráfico

ENGRANAJE D



  ∗∢  ∗ ∢  =



 =

CREMALLERA CB

  





Análisis vectorial de las velocidades



 90

 �  ∗ =

�

  �

(1)

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ANÁLISIS DE LA LONGITUD CB



   

tan  =

 tan �  ∗    ∗  (2)

 =

Ecuación (2) en (1)

=

cos  =



tan

 =

∗

=

   � �   � ∗ ∗  � ∗ ∗   �  ∗ ∗  sin  = =

=

 sin

sin

cos

tan

=

 =

 =



tan

tan

   ∗ ↺ =

MENESES 6466

4)

(15.68) En la posición mostrada, la barra DE tiene una velocidad angular constante de 10rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. Si h = 500mm, determine:

a. La velocidad angular de la barra FBD, b. La velocidad del punto F. Datos

 �↺ ℎ     = 10

 = 500

Incógnitas

 =?

 =?

Análisis gráfico



BARRA ED

 BARRA AB

 

  ∗  � ∗   ⁄  =

 = 10

223.61

 = 2.2361

  ∗   ∗   =

 =

420

MENESES 6466

BARRA BD De la barra BD se calcula los ángulos y las longitudes CD y CB

 

 −1                    = tan



100 300

 = 18.435°

 = 90 + 18.435

 = 108.435°

 = 63.435°



18.435°

 = 45°

 = 180



45°

108.435°

 = 26.565°



Ley de senos para calcular las distancias BC y DC

               ∗    ⁄

sin(45)

 =

316.228

sin(26.565)

 = 500

 = 0.5

sin(108.435)

 =

316.228

sin(26.565)

 = 670.822

Calcular la velocidad



 = 0.671

con la distancia CD y la velocidad angular

:

 =

 =

 =

2.236

0.671

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   � = .

Ya obtenida la



 se puede calcular la



:

  ∗  ∗  ⁄  =

 = 3.33

0.5

 = 1.665

BARRA FB





Realizar el triángulo de velocidades vectorialmente





 

71.57°

� � � 2 ∗ ∗ ∗  ⁄  � 

�



= 3.33

Usando la ley de cosenos para calcular el literal b)

2

2

 = 1.665  + 1.905

Calcular el ángulo

=

 ∗ � ∗  ⁄ 0.527

= 1.905

2 1.665 1.905 cos(71.57)

 = 2

sin( )



=

sin(71.57)

MENESES 6466



sin( ) 1.905



 =

=

sin(71.57)

∗

2

1.905 sin(71.57)



2

 = 64.64

  ⁄ ∢  =

.



 = 1.665

64.64°

  ⁄  =

°

⁄

71.57°



�

= 1.905

⁄

5) (15.103) Con el método de la sección 15.7, retome el problema 15.65

�

(15.65) En la posición mostrada, la barra AB tiene una velocidad angular de 4  en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la velocidad angular de las barras BD y DE.

Datos

 � ↻  =  4

Incógnitas



 =?  =?

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BARRA AB Cálculo de ángulos

 −1            2  2   ∗     � ∗ ⁄  = tan

800

400  = 63.435°  = 180 90  = 26.565°



Cálculo de la distancia AB



 = 800  + 400  = 894.43

 =

 = 4 894.43  = 3577.71

BARRA ED Cálculo de ángulos

 

  −1   2      = tan

500

400  = 51.34°  = 90  = 38.66°



Cálculo de la distancia ED



 =

 = 640.31

500  + 400

2

BARRA BD

65.25



63.44

Cálculo de distancias

51.34





 = sin 51.34 sin 65.23 sin 51.34  = 800 sin 65.23  = 687.99  688

  ∗ ≈   MENESES 6466

    ∗     ∗  ⁄   

 = sin 63.435 sin 65.23 sin 63.435  = 800 sin 65.23  = 788  =  =

3577.71

   � ↻  =

688

 = .

  � ∗    ∗⁄   ∗�  =

 = 5.2 788  = 4097.6





 =

 =

    �

4097.6

640.21

= .



6) (15.114) Un tambor de 3 pulg de radio está rígidamente unido a otro tambor de 5 pulg de radio en la forma que se indica. Uno de los tambores rueda sin deslizarse sobre la superficie mostrada, y se enrolla a una cuerda alrededor

�

�

del otro tambor. Si en el instante que se ilustra el extremo D de la cuerda tiene una velocidad de 8

  y una aceleración de 30

, ambas

dirigidas hacia la izquierda, determine las aceleraciones de los puntos A, B y C de los tambores.

MENESES 6466

Datos

   �� ←2 ←   

Incógnitas

 = 5  = 3

 = 8

 = 30

 =

  

 =?  =?  =?

VELOCIDAD ANGULAR

  ∗    �  �  =

 =

 =

2

8

2

 = 4

 SECCIÓN AB

 



     �    � �  � � ←  ∗ →  �2  ∗  2 ∗�2  ∗   =

 =

 +

 +

 +

:

 +

0 = 30 0=

�

 +

 +(

30

2)

+ (

2)

 = 15

 =  = 16 3

 �2 ↑ = 48

SECCIÓN GA





   ∗       �2∗ →  �2  =

 =

 = 15

3

 = 45

MENESES 6466

TRAMO GB



   � 



   �         �  �     2∗ →2 ∗2 ∗ ∗↑ ∗ ←  2 ∗�2     �2 ∗  �2  =

 = (

 +

 =

 +

)

 +(

 +

)  +(

)

 = (

 =

)

(

)

30

 =

 = 16

5  = 80

Cálculo de la aceleración

  2 2  �2  =



 +

 = 85.44

   ↖   =

.

.

 = tan



−1 

 = 69.44°

°

TRAMO GC









   �   → �2 ← � ↓  �2 →  ∗ ←∗  ↓  �2  ∗ �   �2   ∗  �2   �2  =

 =

 = 45

 �

 +

 +

 +

 +(

)

 = 45

 +(

)

16 5

 =

 =

 =

35

15 5 75

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Cálculo de la aceleración

  2 2  �2  =



 +

 = tan

 = 82.76

   ↙    =

 �

.

.



−1  

 = 64.98°

°

7) (15.149) En el problema 15.148, demuestre que la trayectoria de P es una línea recta cuando

 =

. Obtenga expresiones para la velocidad y la

aceleración correspondientes en cualquier momento t.

(15.148) Una rueda de radio r gira sin deslizarse a lo largo del interior de un cilindro fijo de radio R con una velocidad angular constante . Al denotar con P el punto de la rueda en contacto con el cilindro en t=0, obtenga expresiones para las componentes horizontal y vertical de P en cualquier momento t. (La curva que describe el punto es un hipocicloide).



Datos:

  =

2

Incógnitas:

Obtener expresiones para la velocidad y la aceleración en cualquier momento de la trayectoria.

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Análisis gráfico

  ∗ ̇  ̈  =

=

=0

Sabiendo que la rueda de radio r gira sin deslizarse, se puede concluir que el arco PC es igual al arco OC

       ∗    ∗  ∗   ∗       ∗  ̇ ̇   ̈ ̈  =

 +

 =

 =

(  + ) =



Si  =

2

entonces

(  + ) = 2  +  = 2  =

Al conocer que los ángulos son iguales entonces podemos decir que  =

Trayectoria de la partícula: Componentes x:

 =

 =

=

 =

=0

   ∗   ∗   = (

) cos

r cos

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   ∗   ∗    ∗   ∗   ) cos

 = (2

 =

cos

cos

cos

 = 0

Se puede concluir que la trayectoria de la partícula está en el eje y Componentes y:

     ∗   ∗      ∗   ∗    ∗      ∗     ̇  ∗  ∗̇  ̇  ∗∗̇ 2  ∗̈ ↓↑     ∗ ∗   ∗    ∗2 ∗  (

 =

) cos

 =

cos

cos

 =

2

 =

 =

cos

cos

cos

(1

cos )

Derivando para obtener la velocidad:  =

 =

=

sin

(

 =  =

cos

 =

)

sin

cos

 ∗ ∗  ∗ ↓↑  =

(

)

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