Ejercicios resueltos de condensadores.

CAPACIDAD PROBLEMA PROBLEMA 1: Calcule la capacidad de una esfera metálica cargada de radio R que se encuentra aislada. Analice el resultado. Determine la capacidad eléctrica de l a Tierra Se define la capacidad como "la cantidad de carga que hay que agregar a un conductor para elevar su potencial en 1 voltio" voltio" Capacidad

2

  Carga

=

εo :=

Potencial

−  12 coul 8.85 10

⋅

2

 N ⋅ m

El potencial de una esfera conductora es

V ( r )

=

Q 4 ⋅ π ⋅ εo⋅ r 

Y la capacidad será entonces

C( r )

:= 4 ⋅ π ⋅ εo⋅ r 

Como puede verse, la capacidad depende de la geometría Radi adio := 6370 6370⋅ km

Si el radio de la Tierra es C(Radio)

−4 10 F = 7.084 × 10

Cuánto debería valer el radio de la Tierra para que su capacidad sea de 1 F? r :=

Es decir,

1F

6

r = 8.992 × 10 km

4 ⋅ π ⋅ εo

r  Radio

= 1411.586

veces el radio terrestre

PROBLEMA PROBLEMA 2: Calcule la capacidad de a) Un condensador plano b) Un condensador esférico c) Un condensador cilíndrico (UN BUEN EJERCICIO DE REPASO SERIA DETERMINAR POR GAUSS EL CAMPO ELECTRICO, LUEGO EL POTENCIAL Y LUEGO LA CAPACIDAD) a) Recordamos que el cam po eléctrico entre dos placas paralelas es Eσ

=

σ εo

Luego el potencial vendrá dado por  Vσ

y la capacidad

Cσ

Cσ

=

=

Q

 σ ⋅ d   εo   S⋅

εo d

=

Eσ ⋅ d

=

como

σ ⋅d εo σ

=

Q S

es decir, la capacidad aumenta al aumentar el area S y/o al disminuir la distancia de separacion entre placas

b) Para calcular la capacidad de un condensador esférico, procedemos del mismo modo del problema anterior. El campo electrico creado por un conductor circular es Ec( r )

Q

=

2

4⋅ π ⋅ε o⋅r 

Luego, el potencial entre dos placas de radio R1 y R2 R 

Vc

=

⌠  1 Q dr  −  2  4⋅ π ⋅εo⋅r  ⌡R  2

Vc

=

Vc

=

1 4 ⋅ R 1

1 4

⋅ Q⋅

⋅

Q

π ⋅ εo

−

1 4 ⋅ R 2

Q

⋅

π ⋅ εo

( R 2 − R 1 ) R 1 ⋅ π ⋅ εo⋅ R 2

y la capacidad sera Cc

=

Cc

=

Q

 1 ( R 2 − R 1 )  ⋅ Q⋅ 4 R 2 ⋅ π ⋅ εo⋅ R 1   4

( R 2 − R 1 )

⋅ R 2⋅ π ⋅ εo⋅ R 1

PROBLEMA 3: Calcule la capacidad de un condensador pl ano de superficie cuadrada, si la longitud de lado es de 1cm y la separación entre placas es 1mm. Calcule de nuevo la capacidad si a) cambia al doble el lado y deja fija la separación. b) Cambia al doble l a separación y deja fijo el lado. Haga un análisis de los resultados L := 1cm

d := 1mm

Vimos en el ejercicio anterior que la capacidad de un condensador de placas paral elas A separadas una distancia d, viene dada por  Capacidad

=

Area⋅ ε o distancia

Para el primer caso 2

C1 :=

L

⋅ εo

d

− 13 F

C1 =  8 .85 × 10

Para el caso a Ca :=

Para el caso b

( 2 ⋅ L)

2

d

2

⋅ εo C b := 2⋅d L

⋅ εo

− 12 F

Ca =  3 .54 × 10

− 13 F

C b =  4 .425 × 10

PROBLEMA 4: Un condensador esférico tiene radio interno R1 = 1 cm y radio externo R2 = 2 cm, calcule la capacidad. Repita el cálculo si el radio externo es R2 = 1.1 cm y analice el resultado comparándolo con la capacidad de un condensador plano R 1 := 1cm

C1 :=

R 2 := 2cm 4

( R 2 − R 1 )

Si C2 :=

⋅R 2⋅ π ⋅εo⋅ R 1

C1 =  2.224 pF

R 2 :=   1.1cm 4

( R 2

− R 1 )

⋅ R 2⋅ π ⋅ εo⋅ R 1

C2 =  12.233 pF

Si las placas en este condensador están muy próximas entre si, podemos considerar que 4.π.R1.R2 es un area intermedia entre las dos esferas, y siendo R2 - R1 la distancia de separación entre las dos esferas llegamos a que la capacidad de un condensador esférico es aproximadamente A⋅ ε o Valor aproximado al de un capacitor plano. C d =

PROBLEMA 5: Considere un condensador plano con una de sus placas móviles. Inicialmente se encuentra cargado y aislado. Se se separan las placas al doble de la distancia original ¿Cuál es el nuevo valor del potencial y del cam po? Haga una balance energético entre los dos estados La energía almacenada por un condensador viene dada por la expresión U

=

1 2

⋅ C⋅ V

2

y la capacidad

C

=

A⋅ ε o d

y la ddp

Con esto, inicialmente la capacidad vendrá dada por 

U1

=

U1

=

1 A⋅ εo 2

⋅

d

1 A 8

⋅

εo

2

Q ⋅   ⋅ d   2⋅ ε o  

⋅d⋅ Q

2

Si se separan las placas al dobl e de la distancia original

U2

=

U2

=

1 A⋅ εo

2

Q ⋅ ⋅   ⋅ 2 ⋅d  2 2⋅ d  2⋅ ε o   1 A 4

⋅

εo

⋅d⋅ Q2

Es decir que la energía se incrementó en un factor 2 de acuerdo a

V

=

Q 2 ⋅ ε o

⋅d

1 A U2 U1

4 =

⋅

εo

1 A 8

⋅

εo

⋅ d⋅ Q 2 ⋅ d⋅ Q

U2 U1

2

=

2

Energéticamente, esto significa que se tuvo que realizar un trabajo externo para separar las placas que se traduce en un aumento de energía PROBLEMA 6: Considere un condensador plano con una de sus placas móviles que se encuentra conectado a una fuente de diferencia de potencial constante, si se acercan las placas a la mitad de la distancia original. Encuentre la expresión de la carga y del campo en l a nueva configuración. Haga el balance energético entre los dos estados

La energía almacenada por un condensador viene dada por l a expresión U

=

1 2

⋅ C⋅ V 2

y la capacidad

C

=

A⋅ ε o d

y la ddp

V

=

Q 2 ⋅ ε o

⋅d

Con esto, inicialmente la capacidad vendrá dada por 

U1

=

U1

=

1 A⋅ εo 2

⋅

d

1 A 8

⋅

εo

2

Q ⋅   ⋅ d   2⋅ ε o  

⋅ d⋅ Q 2

Si se acercan las placas a la mitad de la distancia original y sabiendo que la diferencia de potencial debe ser constante, implica que la carga debe aum entar en la misma proporción, es decir, duplicarse. Esto hace que se duplique el campo eléctrico dentro del condensador.

U2

=

1 A⋅ ε o 2

⋅

d 2

U2

=

1 A 4

⋅

εo

2

2 ⋅Q d ⋅  ⋅    2⋅ ε o 2  

⋅ d⋅ Q 2

 Al igual que en el caso anterior, la energía se aumento en una cantidad igual al trabajo que se tuvo que realizar para acercar las placas.

PROBLEMA 7: Considere el conjunto de condensadores del circuito que se observa en l a figura. a( Encuentre la capacidad equivalente entre los puntos a y b. b) Determine la carga en cada c ondensador cuando la diferencia de potencia entre a y b es de 20 V

C1 := 8 µF C2 := 2 µF C3 := 2 µF C4 := 2 µF

∆V := 20V Para hallar el capacitor equivalente, empezamos a "simplificar" nuestro problema de los puntos más alejados de la fuente hacia la fuente. Cuando decimos simplificar, estamos diciendo hallar el capacitor equivalente por parte C12 := C1

+ C2

C12

= 10 µ F

 Ahora encontramos el capacitor equivalente de l os tres

1 Ceq

=

1 C3

+

1 C12

+

1 C4

Ceq := C3 ⋅ C 12⋅ (C12⋅ C 4

C4

+ C3⋅ C 4 + C3⋅ C12)

Ceq =  0.909 µF

b) Calcularemos la carga de cada capacitor. La carga total es Q T := Ceq⋅ ∆V

− 5C

Q T =  1 .81 8 × 10

Esta carga se almacena en cada uno de los capacitores (cuando están en serie, comparten o tienen en común la carga). Por l o tanto, las caídas de potencial en cada capacitor será

∆V3 :=

QT C3

∆V 3 =  9.091 V

∆V4 :=

QT

∆V 4 =  9.091 V

C4

∆V12 :=

QT C12

∆V 12 =  1.818 V

Cuando los condensadores están asociados en paralelo, tienen en común la diferencia de potencial

− 5C

Q 1 := C1 ⋅ ∆ V 12

Q 1 =  1 .455 × 10

Q 2 := C2 ⋅ ∆ V 12

Q 2 =  3 .636 × 10

− 6C

PROBLEMA 8: Calcular la capacidad de cada uno de los siguientes circuitos si la capacidad de cada condensador es de 1 µ F i := 1 .. 7 C

i

:= 1 µ F

Calculo primero el capacitor C567 (en serie) 1 C567

=

1 C

+

5

1 C

6

+

1 C

7

C C567 := C ⋅ C 5

⋅ 6

7

(C6⋅ C 7 + C5⋅ C 7 + C5⋅ C 6)

C567 =  0.333 µF

Calculo ahora el capacitor C4567 (en paralelo) C4567 := C

4

+ C 567

C4567 =  1.333 µ F

Calculo ahora el equivalente de C2 con C3 y con C4567 (en serie) 1 C234567

=

1 C

+

2

C234567 := C ⋅ C 2

1 C

⋅

3

+

1 C 4567 C4567

(

3 C ⋅ C 3 4567

+ C2⋅ C 4567 + C2⋅ C 3)

Y a este lo resuelvo con C1

Ceq := C

1

+ C234567

Ceq =  1.364 µF

C234567 =  0.364 µ F