Ejercicios Resueltos de Automatización

Ejercicio Nº 1: Dibujar el lugar de las raíces de los sistemas cuyas funciones de transferencia en lazo abierto son las siguientes:

>> n1=[1 5];d1=conv([1 0],[1 9 27 27]);sis1=tf(n1,d1); >> n2=[3 -18 0];d2=conv([1 3],[1 8 17]);sis2=tf(n2,d2); >> n3=[1];d3=conv([1 3 0],[1 6 58]);sis3=tf(n3,d3); >> n4=[1 4 5];d4=conv([1 0],[1 2 10]);sis4=tf(n4,d4); >> n5=[1 -2 1];d5=conv([1 5 6],[1 4 13]);sis5=tf(n5,d5); >> rlocus(sis1) >> rlocus(sis2) >> rlocus(sis3) >> rlocus(sis4) >> rlocus(sis5)

Root Locus

Root Locus

10

2

8

1.5 6

1

0.5

2

Imaginary Axis

Imaginary Axis

4

0 -2

0

-0.5

-4 -6

-1

-8

-1.5

-10 -12

-10

-8

-6

-4

-2

Real Axis

0

2

4

6

-2 -12

-10

-8

-6

-4

-2 Real Axis

0

2

4

6

8

Root Locus

Root Locus

30

5 4

20

3 2

Imaginary Axis

Imaginary Axis

10

0

1 0 -1

-10

-2 -3

-20

-4 -30 -30

-20

-10

0

10

20

-5 -12

30

-10

Real Axis

-8

-6

-4

-2

0

2

Real Axis

Root Locus 40

30

20

Imaginary Axis

10

0

-10

-20

-30

-40 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Real Axis

Ejercicio Nº 2: Sea el sistema de la figura:

Se pide determinar la ganancia K, por el método del lugar de las raíces, tal que los polos en lazo cerrado posean un amortiguamiento de 0,5.

Root Locus 3 0.5 System: sis Gain: 2 Pole: -1 + 1.73i Damping: 0.501 Overshoot (%): 16.2 Frequency (rad/sec): 2

2

Imaginary Axis

1

0

-1

-2

0.5 -3 -4

-3

-2

-1 Real Axis

0

1

2

De Matlab puede verse que la intersección de la línea de 60º, correspondiente e ezeta=0.5, con el lugar de las raíces es: √ De la condición de módulo: |

|

√

Ejercicio Nº 3: Dibujar el lugar de las raíces del sistema en función del parámetro K.

Se obtuvo el lugar de las raíces para k de 0.2 a 1000 y se unieron los puntos de inicio para obtener el lugar de las raíces de la función de transferencia del diagrama simplificado. >> k=0.2; n=[10 10];d=[1 8 10*k 70*k]; sis=tf(n,d);rlocus(sis); >> hold; >> k=1; n=[10 10];d=[1 8 10*k 70*k]; sis=tf(n,d);rlocus(sis); >> k=2; n=[10 10];d=[1 8 10*k 70*k];sis=tf(n,d);rlocus(sis); >> k=3; n=[10 10];d=[1 8 10*k 70*k];sis=tf(n,d);rlocus(sis);

>> k=4; n=[10 10];d=[1 8 10*k 70*k];sis=tf(n,d);rlocus(sis); >> k=5; n=[10 10];d=[1 8 10*k 70*k];sis=tf(n,d);rlocus(sis); >> k=10; n=[10 10];d=[1 8 10*k 70*k];sis=tf(n,d);rlocus(sis); >> k=20; n=[10 10];d=[1 8 10*k 70*k];sis=tf(n,d);rlocus(sis); >> k=50; n=[10 10];d=[1 8 10*k 70*k];sis=tf(n,d);rlocus(sis); >> k=100; n=[10 10];d=[1 8 10*k 70*k];sis=tf(n,d);rlocus(sis); >> k=200; n=[10 10];d=[1 8 10*k 70*k];sis=tf(n,d);rlocus(sis); >> k=500; n=[10 10];d=[1 8 10*k 70*k];sis=tf(n,d);rlocus(sis); >> k=1000; n=[10 10];d=[1 8 10*k 70*k];sis=tf(n,d);rlocus(sis);

El sistema en ninguno de los casos tiende a la inestabilidad, ya que el cero al estar más cerca del origen es dominante. Ejercicio Nº 4: Dibujar el lugar de las raíces del siguiente sistema en lazo abierto:

Donde el parámetro z varía desde cero hasta infinito. Se pide contestar razonadamente: a) ¿Se puede dejar el sistema con amortiguamiento 0,5? b) ¿Existe algún cero que afecte la respuesta temporal? En caso que si existiera: c) ¿Se podría intentar anular su efecto? Nota: No hay puntos de ruptura.

a-El sistema se puede dejar con amortiguamiento 0.5 constante, pero va a cambiar la frecuencia del sistema. Por lo tanto, el polo cambiará la posición. Y se deberá ajustar el valor de k. b-Esta variación se debe a que hay un cero, que al cambiar su valor, modifica el lugar de s, con lo cual, la respuesta del sistema también cambiará.

>> z=1 num=[4 (4*z)]; den=[1 4 3 0]; rlocus(num,den) v=[-2.5 0.5 -3 3]; axis(v) sgrid(0.5,[])

>> z=1.1 num=[4 (4*z)]; den=[1 4 3 0]; rlocus(num,den) v=[-2.5 0.5 -3 3]; axis(v) sgrid(0.5,[])

>> z=2 num=[4 (4*z)]; den=[1 4 3 0]; rlocus(num,den) v=[-2.5 0.5 -3 3]; axis(v) sgrid(0.5,[])

>> z=5 num=[4 (4*z)]; den=[1 4 3 0]; rlocus(num,den) v=[-6 1 -6 6]; axis(v) sgrid(0.5,[])

En este último gráfico, se observa que el sistema se vuelve inestable. Esto es debido a que el cero se aleja del origen y pasa al último polo, con lo cual deja de ser dominante, y su efecto se reduce cada vez más a medida que se aleja del origen c-El efecto del cero se puede anular matemáticamente si se multiplica G(s) por 1/(s+z), lo cual, equivale a haber colocado un compensador a la planta. Dando lugar al siguiente grafico de las raíces que ya no se modificara con el valor del cero.

Ejercicio Nº 5:

La función de transferencia de una planta es:

a) Dibujar el lugar de las raíces. b) Elegir una ganancia de forma que el amortiguamiento de la planta sea de 0,5. c) Indicar la posición de todos los polos en lazo cerrado e indicar cuáles son los dominantes. d) Calcular el error en régimen permanente del sistema en lazo cerrado ante una entrada escalón. e) Dibujar de forma aproximada la respuesta de la planta en lazo cerrado con la ganancia anteriormente calculada. Indicar claramente cómo afectan los polos adicionales con respecto a la respuesta de la planta considerando sólo los polos dominantes. f) Se desea que el error ante una entrada escalón sea nulo (conservando en lo posible el comportamiento anteriormente calculado). Para ello se sustituye la ganancia por un cierto controlador. Indicar qué controlador es el adecuado, cuál es su ecuación y calcular los valores de sus parámetros para esta planta particular. Nota: Para hacer algunos apartados no hace falta conocer los anteriores a y b)

Root Locus 10 0.5 8 6

Imaginary Axis

4 2 0 -2 -4 -6 -8 0.5 -10 -16

-14

-12

-10

-8

-6 Real Axis

-4

-2

0

2

4

Root Locus 6

4 System: sis Gain: 16.4 Pole: -1.06 + 1.83i Damping: 0.501 Overshoot (%): 16.3 Frequency (rad/sec): 2.11

0.5

Imaginary Axis

2

0

-2 0.5

-4

-6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Real Axis

Se ve que para ezeta=0.5, k=16.4 c) La posición de los polos son: >> roots([1 8 17 26.4 ]) ans = -5.8701 -1.0649 + 1.8339i -1.0649 - 1.8339i Los polos dominantes son los complejos conjugados debido a que el cociente entre el tercero y la parte real de los dominantes es mayor a 5 d) ( )

( )

e) Dibujar de forma aproximada la respuesta de la planta en lazo cerrado con la ganancia anteriormente calculada. Indicar claramente cómo afectan los polos adicionales con respecto a la respuesta de la planta considerando sólo los polos dominantes. Respuesta de la planta en lazo cerrado ante una entrada escalón:

Step Response 0.8

0.7

0.6

Amplitude

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

1

2

3

4

5

6

Time (sec)

Para reducir el sistema, dejando solo los polos dominantes, buscamos una ganancia k, de forma tal que el sistema posea el mismo error en estado estacionario. La función de transferencia del sistema en lazo cerrado, reducido, es: ( )

(

)(

)

Luego: ( )

( )

( )

La función de transferencia, reducida, en lazo cerrado, es: ( ) Aplicando una entrada escalón tenemos:

( )

Step Response 0.8 sis sis1 0.7

0.6

Amplitude

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

1

2

3

4

5

6

Time (sec)

De donde puede verse que al sacar un polo el sistema es más rápido y con menos sobreimpulso, lo que equivale a decir que el agrado de un polo al sistema lo hace más lento y con mayor sobreimpulso. f) Se desea que el error ante una entrada escalón sea nulo (conservando en lo posible el comportamiento anteriormente calculado). Para ello se sustituye la ganancia por un cierto controlador. Indicar qué controlador es el adecuado, cuál es su ecuación y calcular los valores de sus parámetros para esta planta particular. Se debe colocar un control integral, de la forma 1/s, y ajustar el valor de ganancia hasta que el factor de amortiguamiento sea 0.5, haciendo esto nos queda: Root Locus 2 0.5

1.5

System: sis Gain: 4.38 Pole: -0.301 + 0.518i Damping: 0.502 Overshoot (%): 16.1 Frequency (rad/sec): 0.599

1

Imaginary Axis

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

0.5 -2 -3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Axis

De donde se observa que el factor de amortiguamiento será de 0.5, para una ganancia de 4.38, pero wd será de 0.518, contra 1.83 que tiene el sistema original, por lo que podemos inferir, que el nuevo, será más lento. La función de transferencia en lazo cerrado será;

( )

(

)(

)(

)

Aplicando step, queda:

Step Response 1.4

1.2

1

Amplitude

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Time (sec)

En donde se observa que el sobreimpulso es el mismo que el original, dado que el factor de amortiguamiento es de 0.5, pero como era de esperar, el sistema es 3 veces más lento, aproximadamente. El error u offset es 0, para la entrada escalón. Si se quiere mejorar la respuesta será necesario agregar un compensador de adelanto a este nuevo sistema. n2=4.38;d2=[1 8 17 10 4.38];sis2=tf(n2,d2); roots(d2) ans = -4.9224 -2.4751 -0.3013 + 0.5184i -0.3013 - 0.5184i Ejercicio Nº 6: Para un proceso específico se dispone de su lugar geométrico de las raíces. A partir del mismo es necesario realizar lo siguiente.

Calcule para qué valor o valores de ganancia es posible tener unos polos dominantes del sistema a lazo cerrado cuya frecuencia natural amortiguada sea igual a 4. (wd = 4). Se observa que los polos en lazo abierto son: 0, -4, -6, y los ceros son: -5 y -8, con estos datos la función de transferencia en lazo abierto es: >> n=conv([1 5],[1 8]); >> d=conv([1 0],conv([1 4],[1 6])); >> sis=tf(n,d) Transfer function: s^2 + 13 s + 40 ------------------s^3 + 10 s^2 + 24 s >> rlocus(sis) Root Locus 8

System: sis Gain: 5.73 Pole: -5.21 + 4i Damping: 0.794 Overshoot (%): 1.66 Frequency (rad/sec): 6.57

6

4

System: sis Gain: 5.79 Pole: -5.31 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 5.31

Imaginary Axis

2

0

System: sis Gain: 5.74 Pole: -5.22 - 4i Damping: 0.794 Overshoot (%): 1.66 Frequency (rad/sec): 6.57

-2

-4

-6

-8

-20

-15

-10

-5 Real Axis

0

5

>> k=5.75 >> n1=[k 13*k 40*k];d1=[1 10+k 24+13*k 40*k];sis1=tf(n1,d1) Transfer function: 5.75 s^2 + 74.75 s + 230 ------------------------------s^3 + 15.75 s^2 + 98.75 s + 230 >> roots(d1) ans = -5.2199 + 4.0081i -5.2199 - 4.0081i -5.3103 >> k=16 k= 16 >> n1=[k 13*k 40*k];d1=[1 10+k 24+13*k 40*k];sis1=tf(n1,d1) Transfer function: 16 s^2 + 208 s + 640 -------------------------s^3 + 26 s^2 + 232 s + 640 >> roots(d1) ans = -10.4454 + 4.0198i -10.4454 - 4.0198i -5.1091 Todos los polos en lazo cerrado son dominantes. Ejercicio Nº 7: Compruebe, razonadamente, si ante un escalón unitario sería posible tener una respuesta a lazo cerrado de tipo exponencial con un tiempo de establecimiento al 2% igual al de los polos mencionados en el ejercicio Nº 6. De ser afirmativa su respuesta, indique el valor de dicho o dichos polos. En caso de haber más de una posibilidad, cuál de los dos casos tendría un menor error.

La respuesta ante un escalón será exponencial, si los polos en lazo cerrado son reales. De la gráfica del lugar de las raíces esto ocurre cuando y . Para el primer caso, en el que el tiempo de establecimiento es ts=0.77 seg. Para k=0.01, ts=234 seg y para k=0.955, ts=2.09 seg, por lo que está muy lejos de ts=0.77 seg. Para el segundo caso, en el que k=16, el tiempo de establecimiento es ts=0.425 seg, en este caso debemos encontrar un tiempo similar para valores de , ts=0.364 y a partir de este valor de k, el tiempo de establecimiento es menor de 0.364, por lo que no vamos a tener una respuesta exponencial con el tiempo de establecimiento calculado en el ejercicio 6.