Ejercicios Resueltos Analisis Real

EJERCICIOS RESUELTOS

ANALISIS REAL

Carmen María Gonzales

EJERCICIOS CAPITULO 1 Sección 1.1  Ejercicio Nº 1

Sea S= 𝟏 −

(−𝟏)𝒏 𝒏

/𝒏 𝜺 𝑵 . Determinar sup S e Inf S.

Desarrollo. Para determinar el Sup S e Inf S Probaremos cuando n es par y cuando n es impar, para esto se hará una tabla de valores. 1.- n es par 1−

2.- n es impar

(−1)𝑛

n par 2 4 6 8 10 . . . . +∞

1−

𝑛

Sn 1 3/4 5/6 7/8 9/10 . . . .

n impar 3 5 7 9 11 . . . . +∞

(−1)𝑛 𝑛

Sn 4/3 6/5 8/7 10/9 12/11 . . . .

Viendo la relación de la tabla anterior se puede determinar que el Sup S= 2 y el Inf S=1/2

 Ejercicio Nº 2 Demostrar que el conjunto S = 𝒙 ∈ 𝑹 / 𝒙 ≥ 𝟎 tiene cotas inferiores pero no superiores. El conjunto S= 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≥ 0 tiene cotas inferiores y el conjunto de las cotas inferiores es C= 𝑘 ∈ 𝑅/ 𝑘 ≤ 0 -∞

0

+∞

No está acotada superiormente por tanto no existe un 𝜇 ∈ 𝑅/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜇 ∀𝑥 ∈ 𝑆

 Ejercicio Nº 3 Sea𝑺 ⊆ 𝑹 𝒚 𝑺*= Sup de S suponiendo que 𝑺∗ es y que 𝝁 ∉ S demostrar que el supremo del conjunto S ∪ 𝝁 es el mayor de los dos números 𝑺 ∗y 𝝁. Si 𝑆 ∗∈ 𝑆 ………………………………. Por hipótesis Y 𝑆 ∗ = Sup S ………………………….. Por hipótesis Sea 𝜇 ∉ 𝑆 → 𝜇 > 𝑆 ^ 𝑆 ∗ ∈ 𝑆 → 𝜇 > 𝑆 ∗ Entonces 0⊆ 𝑆 ∗ < 𝜇 De esta forma demostramos que S ∪ 𝜇 tiene un Sup el cual sería Sup S ∪ 𝜇 =𝜇 ya que 𝜇 > 𝑆∗

 Ejercicio Nº 4 Sea 𝑺 ⊆ 𝑹 𝒚 𝝁 ∈ 𝑺 es cota superior de S. Demostrar que 𝜇 = 𝑆𝑢𝑝𝑆 0 𝑆 ∗𝜇 Supongamos que 𝜇 ∈ 𝑆, como hipótesis 𝜇 es la cota superior de S, implica que 𝜇 > 𝑘 ∀𝑘 ∈ 𝑆, lo cual contradice la hipótesis ya que 𝜇 es la cota superiorde S. Por tanto: Si 𝜇 ∈ 𝑆 → 𝜇 = 𝑆𝑢𝑝 𝑆

 Ejercicio Nº 5 Sea 𝑺 ⊆ 𝑹, 𝑺 ≠ ∅ Demostrar que 𝝁 ∈ 𝑺 es la cota superior de S ↔ 𝒕 ∈ 𝑹, 𝒕 > 𝜇 → 𝑡 ∉ 𝑆 i) Si 𝜇 es cota superior de S……………………………….por hipótesis Si 𝜇 es cota superior de S→ 𝑡 ∈ 𝑅, 𝑡 > 𝜇 ^ 𝑡 ∉ 𝑆 ….por definición Supongamos que 𝑡 ∈ 𝑆………………………………….por hipótesis𝜇 es cota superior. Implica que 𝑡 ⊆ 𝜇 y esto contradice la hipótesis que 𝑡 > 𝜇

ii)

𝑡 ∈ 𝑅, 𝑡 > 𝜇 → 𝑡 ∉ 𝑆 → 𝜇 es la cota superior de S 0

𝜇𝑡

 Ejercicio Nº 9 Sea 𝑺 ⊆ 𝑹 acotado, S0 ≤ 𝑺 , S0≠ ∅. Demostrar que: inf S ≤ inf S0≤ Sup S0≤ Sup S S0 0

S El conjunto S tiene cotas inferiores y superiores tales que: C= 𝐾 ∈ 𝑅/ 𝐾 ≤ 0 𝑦 𝑇 = 𝑚 ∈ 𝑅/𝑚 ≥ 0 El conjunto S0∈ 𝑆 por lo tanto el conjunto de las cotas inferiores seria N= 𝑦 ∈ 𝑅 /𝑦 ≤ 0 ^ 𝑦 ≥ inf 𝑆 El conjunto de las cotas superiores seria L= 𝑎 ∈ 𝑅 / 𝑎 ≥ 0 ^ 𝑎 ≤ 0 𝑆𝑢𝑝 𝑆 Si 𝑦 = inf 𝑆0 ^ 𝑎 = 𝑆𝑢𝑝 𝑆0 → 𝑦 ≥ inf ^ 𝑎 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆 → inf 𝑆0 ≥ inf 𝑆 ^ 𝑆𝑢𝑝 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆 → inf 𝑆 ≤ inf 𝑆0 ^𝑆𝑢𝑝 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 ≤ 𝑆𝑢𝑝𝑆 → inf 𝑆 ≤ inf 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆

 Ejercicio Nº 10 Sea 𝑺 ⊆ 𝑹, 𝑺 ≠ ∅, S es acotado. Para un dado 𝝁 ∈ 𝑹 considérese el conjunto 𝝁𝑺 = 𝝁𝑺 / 𝑺 ∈ 𝑺 a) Demostrar que si 𝑎 > 0 → inf 𝑎𝑆 = 𝑎 inf 𝑆, 𝑆𝑢𝑝 𝑎𝑆 = 𝑎 𝑆𝑢𝑝 𝑆 =/ 𝑎 > 0 → inf 𝑎𝑠 = 𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑆 Por el teorema 2, el infimo del conjunto a S existe probando que es 𝑎 inf 𝑆 Llamamos 𝜇 = inf 𝑆 𝜇 ≤ 𝑆, ∀ 𝑆 ∈ 𝑆………………………………………definición, teorema 2 𝑎𝜇 ≤ 𝑎𝑆……………………………………………….por 𝑎, 𝑎 > 0 𝑎𝜇 es cota inferior del conjunto 𝑎𝑆 Por tanto: 𝑎𝜇 ≤ inf 𝑎 𝑆 Probemos ahora que 𝑎𝜇 es la mayor de las cotas de 𝑎𝑆, si V es cualquier cota inferior del 𝑉 conjunto 𝑎 𝑆 → 𝑉 ≤ 𝑎𝑆 𝑎 = 𝑆, 𝑉 𝑎

≤ inf 𝑆 … … … … … . . … .. …………………………….sustitución 𝑉

Puesto que inf S es la mayor de las cotas inferiores de S 𝑎 ≤ inf 𝑆

𝑉

≤𝜇 𝑉 ≤ 𝑎𝜇 despejando 𝑎 > 0, 𝑎𝜇 es la cota mayor de las cotas inferiores del conjunto 𝑎𝑆 𝑖𝑛𝑓 = 𝑎𝑆 = 𝑎𝜇 = 𝑎 inf 𝑆. 𝑎

Sección 1.2  Ejercicio Nº 2 𝟏 Si 𝒚 > 0 probar que existen 𝒏 ∈ 𝑵 tal que 𝟐𝒏 ≥ 𝒚 Por reducción a lo absurdo 1 ≥ 𝑦 2𝑛 2−𝑛 ≥ 𝑦𝑥 = 𝑏 𝑦 𝑙𝑜𝑔2 2𝑛 ≥ 𝑦𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 𝑦 = 𝑥 −𝑛 ≥ 𝑙𝑜𝑔2 𝑦𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 (−1)(𝑛) ≥ 𝑙𝑜𝑔2 𝑦(−1) 𝑛 ≤ −𝑙𝑜𝑔2 𝑦 Si y > 0→ −𝑙𝑜𝑔2 𝑦 ∈ 𝑅 pero 𝑛 ∈ 𝑁 lo cual es una contradicción ya que un número natural es mayor que cualquier número real negativo.  Ejercicio Nº3 Si x es un numero racional diferente de cero y y es un numero irracional. Demostrar entonces que x+t, x-y, xy, x/y, y/x son todos irracionales 𝑎

Sea 𝑥 = 𝑏 ^ 𝑦 = 2 donde 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑎 𝑎+𝑏 2 + 2 = 𝑏 𝑏 𝑎 𝑎−𝑏 2 →𝑥−𝑦 = − 2= 𝑏 𝑏 𝑎 → 𝑥𝑦 = 2 𝑏 𝑥 𝑎/𝑏 𝑎 𝑎 1 → = = = ( ) 𝑦 2 𝑏 2 𝑏 2 →𝑥+𝑦 =

→

𝑥 = 𝑦

2 𝑎 𝑏

=

𝑏 2 𝑏 = 2 𝑎 𝑎

 Ejercicio Nº4 ¿Cuál es la suma o el producto de dos números irracionales, un numero irracional? Sea 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 2 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁 𝑦 =𝑐+𝑑 2 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑁

𝑥 ∙ 𝑦 = (𝑎 + 𝑏 2)(𝑐 + 𝑑 2) = (𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 2 + 𝑏𝑐 2 + 2𝑏𝑑) = (𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 2 𝑎´

+

b´ 2 𝑥+𝑦 = 𝑎+𝑏 2 + 𝑐+𝑑 2 = 𝑎 + 𝑐 + (𝑏 + 𝑑) 2

𝑎´ + b´ 2 ∴ la suma y el producto de dos números irracionales da un numero irracional.  Ejercicio Nº5 Un entero n se llama par si n=2m para cierto entero m y se llama impar si n=2m+1 para cierto entero m Demostrar que: a) Un entero impar no puede ser a la vez par e impar Por contradicción Supongamos que un entero puede ser par e impar, implica n=2m para algún 𝑚 ∈ 𝑍, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛 = 2𝑚 + 1, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 También es impar por lo que se tiene 2𝑚 = 2𝑚 + 1 lo que implica que 0=1 ∴es una contradicción.

c) La suma y el producto de dos enteros pares es par ¿Qué se puede decir acerca de la suma o del producto de dos enteros impares? Demostración: la suma de dos enteros pares es par. i) Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares…………………………………..hipótesis x es par → 𝑥 = 2𝑎……………………………………………. 𝑎 ∈ 𝑍 z es par → 𝑧 = 2𝑏……………………………………………. 𝑏 ∈ 𝑍. 𝑥 = 2𝑎 ^ 𝑧 = 2𝑏𝑎 → 𝑥 + 𝑦 = 2𝑎 + 2𝑏 = 2(𝑎 + 𝑏) ∴ 𝑥 + 𝑧 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃(𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑧 ii) Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares…………………………………..hipótesis Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares x es par → 𝑧 = 20…………………………………………….b ∈ 𝑧 𝑥 = 2𝑎 ^ 𝑧 = 2𝑏 → 𝑥 ∙ 𝑧 = 2𝑎 ∙ 2𝑏 = 2(2𝑎𝑏) → 𝑥 ∙ 𝑦 es par ya que∃(2𝑎𝑏) ∈ 𝑍 Demostrar la suma de dos enteros impares es impar Sea x y z dos enteros impares x es impar → 𝑥 = 2𝑎 + 1 … … … … … … . 𝑎 ∈ 𝑧 z es impar → 𝑧 = 2𝑏 + 1 … … … … … … . . 𝑏 ∈ 𝑧 𝑥 = 2𝑎 + 1 ^ 𝑧 = 2𝑏 + 1 → 𝑥 + 𝑧 = 2𝑎 + 1 + (2𝑏 + 1) =2(a+b)+2 =2(y)+2 y=(a+b) ∈ 𝑧 ∴ 𝑥 + 𝑧 no es un número impar ya que lo forma de un número impar es h=2m+1

Demostrar: el producto de dos enteros impares es impar Sea a ^ b dos enteros impares a es impar → 𝑎 = 2𝑚 + 1 … … … . . 𝑚 ∈ 𝑧 𝑏 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 → 𝑏 = 2𝑛 + 1 … … . … 𝑛 ∈ 𝑧 𝑎 = 2𝑚 + 1 ^ 𝑏 = 2𝑛 + 1 → 𝑎 ∗ 𝑏 = (2𝑚 + 1)(2𝑛 + 1) = 4𝑚𝑛 + 2𝑚 + 2𝑛 + 1 = 2 2𝑚𝑛 + 𝑚 + 𝑛 + 1 → 𝑎 ∗ 𝑏 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃(2𝑚𝑛 + 𝑛 + 𝑚) ∈ 𝑍 d) si 𝑛2 es par, también lo es n sea n un entero par 𝑛2 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 → 𝑛2 = 2𝑚 … … … … . 𝑚 ∈ 𝑧 → 𝑛2 = 2𝑚 2 … . . … 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 2 2 𝑛 = 4𝑚 …………algebra 𝑛2 = 2 𝑚2 … … … … . 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 Sea 𝑛2 un entero par 𝑛2 es par → 𝑛2 = (2𝑚)2 … … … … … … 𝑚 ∈ 𝑧 suponer n=2m+1 2

2

(2𝑚)2 n→ 2𝑚 + 1 → 𝑛2 = (2𝑚 + 1) n =2m ………………….simp. 𝑛2 = 4𝑚2 + 4𝑚 + 1 ∴ 𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃ 𝑚 ∈ 𝑍𝑛2 = 2 2𝑚2 + 2𝑚 + 1 𝑛2 = 2𝑘 + 1 lo cual contradice la e) Si𝑎2 = 2𝑏 2 , donde a y b son enteros, entonces a y b son ambos pares Demostración: 𝑎2 = 2𝑏 2 → 𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 → 𝑎 = 2𝑚 … … … … … … 𝑚 ∈ 𝑍 𝑎 = 2𝑚 ^ 𝑎2 = 2𝑏 2 → 𝑎2 = 2𝑏 2 → (2𝑚)2 = 2𝑏 2 → 4𝑚2 = 2𝑏 2 4𝑚2 → = 𝑏2 2 → 2𝑚2 = 𝑏 2 2 → 𝑏 = 2𝑚2 → 𝑏 = 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ∴ 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 →

𝑛2 =

𝑎

hipótesis

f) Todo número racional puede expresarse de la forma 𝑏 donde a y b son elementos uno de los cuales por lo menos es impar. Supongamos que a y b son pares a=2n y b=2m ∀ 𝑛, 𝑚 ∈ 𝑍 𝑎 𝑎 2𝑛 → → = 𝑐𝑜𝑚𝑜 ∃𝑚, 𝑚 = 0, 0∈𝑧 0 = 2(0) 𝑏 𝑏 2𝑚 2𝑛 2𝑛 = 2(0) 0 → 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 0 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

𝑎 =𝑏≠0 𝑏 ∴ 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟.  EJERCICIO Nº 6 Modificar el razonamiento empleado en la demostración del teorema 7 para demostrar los siguientes enunciados a) Existe un número real positivo y tal que 𝑦 2 = 3 Si tres números reales cualesquiera 𝑦 2 , 𝑥, 3/𝑥 > 0 satisface que 𝑥 3≤ 𝑦 2 ≤ 3 + 𝑛 ∀𝑛 ∈ 𝑛 ∈ 𝑛𝑘 Demostración: a) z 0, 𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 → 𝑦2 − 3 > 𝑛 𝑦 → 𝑦 2 > 3 + 𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑏  EJERCICIO Nº7 Demostrar la densidad del conjunto Q en el caso en que x≤ 𝟎 Si x0 Propiedad arquimidiana 1 1 ∃𝑛 ∈ 𝑁 ∗ / < 𝑦 − 𝑥 → 0 ∃𝑚 ∈ 𝑁 ∗ / 𝑚 − 1 ≤ 𝑛𝑥 < 𝑚 m≤ 𝑛𝑥 + 1 m≤ 𝑛𝑥 + 1 < 𝑛𝑦 ∃𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ / 𝑛𝑥 < 𝑚 < 𝑛𝑦 𝑚 →𝑥<