Ejercicios-Resueltos 2 algebra lineal vectores en r2 y r3

Facultad de Ingeniería UCV

Álgebra Lineal y Geometría Analítica (0250)

Ciclo Básico

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dado Q ( 2, 3, 2) y las rectas L 1 : x  3 - 2t, 2t, y  4  3t, 3t, z  -3  2t  y L 2 : x  3y  2, z  2  a) Halle la ecuación del plano

x 

3 

Dados L 1: y 

4 

z 

t  3 

L 2 :

y

x - 2 

y , z  2 

3 

2 

ó

x 

2

L 2: y 

0

r  1

z 

2

0 

- 3 

3 

3



- 2 

- 3 

2

v 1

que pasa por Q y es paralelo a las rectas L1 y L2 .



1

, v 2

2



, Entonces hacemos n



v 1 v 2  (normal del plano)

0 

ˆ i  

ˆ  j  k 

2 3

n 

3

2 6 , y con el punto Q( 2, 3, 2) , obtenemos

2

1 0

7

: - 2x - 6y  7z  0 

ó 

2x  6y - 7z  0 

b) Calcular la distancia distancia entre L1 y L 2 .

2

1 P1(3, 4, - 3) y

P2 (2, 0, 2) , por tanto P 2P 1

4 





v 1 v 2

;



n 

6 7

- 5  

P 2P 1  n 

d (L 1, L 2 )



n 

2

24

35

61

4

36

49

89

c) Calcular la distancia entre Q  y  L 1 .

5  QP 1

1



QP 1 v 

y



ˆ i 

 j 

ˆ k 

17

5

1

5

0

- 5 

2 3

2

17



QP 1 v 

d (Q , L 1 )

17 2



v 

17

34

2. Los puntos  A(1, 3,  –1), B(2, 0, 2) y C (4, (4,  –1,  –3) son vértices consecutivos de un paralelogramo. a) Halle el vértice D y el centro del paralelogramo. Sean A (1, 3, - 1) , B (2, 0, 2) , C (4, - 1, - 3)  y D (a , b, c) .

BC

c 1

AD  entonces

5

c

6.

2 

a  1

- 1

b  3

- 5 

c  1

Por tanto

a - 1

2 

a  3 , b - 3  -1

b  2 ,

 D(3, 2, - 6) .

1

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b) Calcule el área del triángulo generado por  ABD.

2 

Sean v 

1 

1 ,

AD 

u 

AB 

5 



u  v 

- 3  . 3 



ˆ i 

 j 

ˆ k 

18

1

3

3

11

2

1

5

5

El área del triángulo es : 

A 

3. Dados el plano



u  v 

324

2

121

25

470

2

2

0 , la recta L :

: x  2y  z  3

x  y  z  1 2x  y  z  2

y punto Q(1,1,0). Encuentre:

a) El punto intersección entre la recta L y el plano . Para verificar si existe intersección entre la recta y el plano tenemos que encontrar primero la recta L, la cual viene dada por la intersección de los planos dados, esto será, aplicando operaciones elementales y llevando a una matriz escalonada reducida: 1 1 2

1 : 1

1 1 : 2

 f 2  f 2 2 f 1

1

1

1 : 1

0

1

1 : 0 x  = 1,

, de donde obtenemos la ecuacion de la recta como:

y  =  –t  ,

1

z=t

Para encontrar la intersección entre la recta y el plano, sustituimos las coordenadas de la recta en la ecuación del plano dado y así se obtiene:

(1) 2( t ) (t ) 3

t 

0

2

3  Al sustituir el valor de t  en 1 tenemos que el punto de intersección tiene coordenadas:

x  1 ; y 

2

; z 

2

3 3 b) La ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto Q y es paralelo plano .

Dado que el plano buscado es paralelo al plano dado podemos asegurar que  Así la ecuación del plano que deseamos viene dado como:

c) La distancia del punto Q al plano

.

2

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d) El área del triángulo cuyos lados adyacentes están dados por el vector director de la recta L y el vector normal al plano . 0

1



Sean d 

1

el vector director de la recta L y n  

el vector normal al plano .

2

1

1



ˆ i 



ˆ k 

1

0

1 1

1

1

2 1

1



d  n 

 j 

Entonces el área del triangulo cuyos lados adyacentes son estos vectores, esta dado por: 

A 



d  n 

1 1 1

2

2

3 2 x  1 5t 

4. Dados el plano

1 : 2x  3y  6z  25

0  , las rectas L 1 :

x  1

y  1

z  2

4

2

3

;

1

L 2 : y  z 

2

4t  3t 

y el

punto Q(1,1,1). Encuentre: a)

Las coordenadas del punto intersección entre la recta L1 y el plano

1

.

 x  1 4 L1 : y 

Expresando la recta L1 de forma paramétrica tenemos:

del plano para encontrar (si existe) el valor de

2(1 4 ) 3( 1 2 ) 6(2 3 ) 25

z 

1 2 2

 y sustituyendo en la ecuación

3

obtenemos:

0

2 8

3 6

12 18

Entonces tenemos que las coordenadas del punto intersección son: x = 7 ;

b)

25

2

y = 5

; z  = 4

La ecuación cartesiana del plano que contiene a las rectas L1 y L2 . El vector normal al plano se obtiene del producto cruz entre los vectores directores de las rectas L1 y L2 .  Así

i   j  k  

n 

4 2

3

5

3

4

2 3 i  4 3

4 3  j  5 3

4 k  5

2 4

Y la ecuación cartesiana del plano buscado será:

:

6 6i  3 j  6k 

:

2

3

3 1

6

2

2(x  1) (y  1) 2(z  2)

0

2x  y  2z  1 3

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c)

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La ecuación cartesiana de los planos paralelos a

 que estén a 5 unidades del origen.

1

Los planos son de la forma: 2x  3y  6z  k  0 , así d (P ,

de los planos buscadas son

d)

k 

5 7 2x  3y  6z  35

punto P es el origen se tiene d (P ,

1)

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2x 0

3y 0

6z 0

7

k 

 y como el

35 , de donde se tiene que las ecuaciones

k 

0

1)

y

2x  3y  6z  35

0

La ecuación de la recta perpendicular a L2  que pasa por el punto Q. 5 



Sean P(1, 1, 2) un punto y d 

4  un vector director de la recta L2  , el vector

k  PQ  Pr oy d  PQ  

3 

será un vector perpendicular al vector d , por ende será el director de la recta buscada, así tendremos:

0



k  PQ  Pr oy d  PQ  

2 1

1 10

5

1

4

16

10

3

L 3

5

:

 y la recta solicitada estará dada por:

13

x 

1

5

y 

1

16

z 

1

13

4

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