Ejercicios Resueltos #1

 

UNIVERSIDAD DEL BIO BIO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA GUIA DE EJERCICIOS RESUELTOS

ASIGNATURA: CALCULO VECTORIAL CONTENIDO: INTEGRALES INTEGRALES DE LINEA EN UN CAMPO ESCALAR. Ejercicio 1 Evaluar la integral de línea ❑

∫ ( x x +cos  z ) ds  2

C: r ( t )=sen ( t ) i + cos  ( t ) j + t k , con t ∈ [ 0 , 2 π ]

C 

Solución: dx  = cos  ( t ) dt  dy  y ( t ) =cos t ⇒  =− sen ( t ) dt  dz  z ( t )=t  ⇒ =1 dt 

 x ( t )= sent ⇒

Por lo tanto, 2

∫ ( x x +cos  z ) ds=∫ ( sen ( t )+ cos t ) √ ( cos t ) +(− sent ) +1 dt   ❑

π 

2

C 

2

2

2

2

0

2 π 

¿ ∫ ( sen ( t ) + cos2 t ) √ 2 dt = π √ 2 0

Respuesta: ❑

∫ ( x x +cos  z ) ds = π √ 2 2

C 

Ejercicio 2 Evaluar la integral de lineal ❑

curva C de ecuaciones ecuaciones ∫ z (2 +√  x x + y ) ds   sobre la curva 2

2

C 

r ( t )=( t  cos t , t  sen sen t ,t ) 0 ≤ t ≤ 4 π  2

Solución: 2

 x ( t )=t 

cos t ⇒

dx  =  =¿¿ 2 tcost −t 2 sent ¿ dt 

2

 y ( t ) =t  sent ⇒

 z ( t )=t ⇒

dz =1 dt 

dy  = 2 tsent + t 2 cos t  dt 

2

 

UNIVERSIDAD DEL BIO BIO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ds =√ ( 2 tcost − t  sent )

2

2

2

+ ( 2 tsent + t  cos t ) + ( 1 ) dt  2

2

¿ √ t t  + 4 t  + 1 dt  4

2

Por lo tanto: ❑

∫ z (2 +

√ 

C 

 x

4 π 

√  4

2

2

0 t ( 2 + t  + y ) ds =∫

2

4

2

cos t + t  sen t 

)(

√  4

2

t  + 4 t  +1 ) dt 

4 π 

¿ ∫ t   ((2 + t 2) ( √ tt  4 + 4 t 2+ 1 ) dt  0

4 π 

¿ ∫ ( 2 t + t 3 ) ( √ tt  4 + 4 t 2+ 1 ) dt  0

Resolver la integral úlma mediante el cambio de variables. u =t  + 4 t  + 1 ⇒ du=( 4 t  + 8 t ) dt = 4 ( t  + 2 t ) dt  4

2

3

3

4

2

256 π  + 64 π  + 1

4 π 

∫ ( 2 t + t  ) (√ t t  +4 t  +1 ) dt =   ∫ 3

4

√ u

2

0

1

=

1 6

[( + 1

 du 4

 

3 2

64 π 

+ 256 π  ) −1 4 2

❑

]

❑

Ejercicio 3. Evaluar

∫ ( 2+ x  y ) ds donde C es la mitad suprior de la circunferencia unitaria 2

C  2

2

 x + y = 1 Solución: Ecuaciones paramétricas de la circunferencia circunferencia unitaria:  x ( t )= cos t ⇒ dx =−sen sen t  dt  dx  y ( t ) =sent ⇒  = cos t  dt  0≤t≤π  ds =√ (− sent ) ❑

2

2 2 + ( cos t ) dt =√ sen sen t + cos t dt =dt  2

π 

∫ ( 2+ x  y ) ds =∫ ( 2 + cos t∙sent ) dt =2 π + 23 2

2

C 

0

Ayuda: La integral se resuelve sustución. u =cos ( t ) du =− sen ( t ) dt .

 

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UNIVERSIDAD DEL BIO BIO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Ejercicio 4 Evaluar la integral de línea

∫ ( x + y ) ds  siendo C elel triángulo de vérces C 

O ( 0,0 ) , A ( 1,0 ) , B ( 0,1 ) Solución: C =OA + AB + BO Ecuaciones paramétricas segmento OA : r 1 ( t ) :

}

 x = t     y =0

t ∈ [ 0 , 1 ] 

dy dx  = 1  = 0 ⇒ ds = dt  dt  dt 

Por lo tanto:

❑

1

OA

0

∫ ( x x + y ) ds =∫ t dt = 12

  x =t    Ecuaciones paramétricas segmento  AB : r 2 ( t ) : 1  y = −t 

t ∈ [ 0 , 1 ]

}

dx dy  = 1  =−1 ⇒ ds =√ 12+ (−1 )2 dt = √ 2 dt  dt  dt 

Por lo tanto ❑

1

1

 AB

0

0

∫ ( x x + y ) ds =∫ ( t + ( 1−t ) ) √ 2 dt =∫ √ 2 dt = √ 2

}

 x = 0    y = t 

Ecuaciones paramétricas segmento BO : r 3 (t ) :

t ∈ [ 0 , 1 ] 

dx dy  = 0 =1 ⇒ ds = √ 02 + 12 dt =dt  dt  dt 

Por lo tanto ❑

1

BO

0

∫ ( x + y ) ds =∫ t dt = 12  Finalmente ❑

❑

❑

❑

C 

OA

 AB

BO

∫ ( x + y ) ds  = ∫ ( x + y ) ds + ¿ ∫ ( x + y ) ds +∫ ( x + y ) ds = 12 +√ 2 + 12 =1 + √ 2 ¿