Ejercicios Resueltos 1

 

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL OBRAS CIVILES

GUIA DE

EJERCICIOS

1) Se tiene un canal rectangular de hormigón (n=0,014) de 1,25 m de ancho, cuya pendiente es de 0,5%, y que portea un caudal 3 de 1,5 m /s. h

a) Calcule las alturas normal y crítica.  b) Es el flujo uniforme en este canal subcrítico o supercrítico?

1,25 m

c) Calcule la pendiente crítica del canal.

a) La altura normal (escurrimiento uniforme) se calcula empleando la ecuación de Manning:

V = 1 /n R En que: n R i

2/3

i

1/2

es el coeficiente de rugosidad es el radio hidráulico es la pendiente del canal

Por lo tanto:  A = 1,25 h P = 1,25 + 2 h R = A / P = (1,25 h) / (1,25+ 2 h)

Reemplazando en la ecuación de Manning se tiene: Q=VA

(ecuación de continuidad)

 

1

(1,25 h)

Q=VA= 0,014

Como

(5/3)

(1,25+ 2 h)

0,005

(2/3)

(1/2)

3

Q = 5 m /s

(5/3)

5 = 5,05076

(1,25 h) (2/3) (1,25+ 2 h)

Q (h)

En el lado derecho de la ecuación se tiene el caudal que pasaría por el canal para una altura de aguas “h”. Haciendo una iteración se tiene: Para h = 1 m

3

Q(h) = 3,34 m /s 3

h debe ser mayor para que el caudal sea igual a 5 m /s. Por lo tanto hay que usar  otros valores de h h (m)

Q 3

(m /s)

1,000

3,34

2,000

7,70

1,500

5,49

1,400

5,05

1,300

4,62

1,350

4,83

1,370

4,92

1,390

5,01

1,387

5,00

Entonces después de iterar encontramos que la altura normal es:

 

hN = 1,387 m

La altura crítica (corresponde a un escurrimiento con energía mínima) se puede calcular con: 2

Q B

2

Fr =

3

=1

g  A

La cual se deduce de derivar la energía específica con respecto a h dE dh

=0

En este caso el canal es rectangular: B=b  A = bh Por lo que: hc = 0,4671

hc = 0,4671

  5

Q

(2/3

b

(2/3

= 1,177

1,25

Por lo tanto la altura crítica es: hc = 1,177 m

b) Como hN > hc el escurrimiento es subcrítico o de río.

 

hN = 1,387 m

V hc = 1,177 m

c) La pendiente crítica es aquella para la cual

hN = hc

La velocidad crítica es: V = Q / A = 5 / (1,25x1,177) = 3,40 m/s Reemplazando en la ecuación de Manning 3,40 =

1

0,014

  (2/3

(1,25x1,177) (1,25 + 2 1,177)

i (1/2)

La única incógnita es la pendiente “i” , la cual se puede despejar directamente La pendiente crítica es: ic = 0,0075 con lo cual: hN = 1,177 m hc = 1,177 m

(0,75%)

 

3

2 En un canal rectangular de 1,5 m de ancho, que conduce 4 m /s, la rugosidad del canal es 0,013, y la pendiente longitudinal es 3%. Se pide: a) b) c) d)

La altura normal del flujo La altura crítica del flujo ¿Qué tipo de escurrimiento se tiene? Si en el canal se coloca una compuerta que produce un chorro de 0,5 m de altura, qué altura se tendrá aguas arriba de la compuerta? e) Indique en la figura dónde se produce resalto hidráulico y calcule que alturas tiene.

Compuerta Plana Vertical

Pend ien te

F uert e

a) La altura normal (escurrimiento uniforme) se calcula empleando la ecuación de Manning:

V = 1 /n R En que: n R i

2/3

i

1/2

es el coeficiente de rugosidad es el radio hidráulico es la pendiente del canal

Por lo tanto:  A = 1,5 h P = 1,5 + 2 h R = A / P = (1,5 h) / (1,5+ 2 h)

Reemplazando en la ecuación de Manning se tiene:

 

Q=VA

(ecuación de continuidad) (5/3)

1

Q=VA=

Como

(1,5 h)

0,013

(2/3)

(1,5+ 2 h)

0,03

(1/2)

3

Q = 4 m /s

(5/3)

4 = 13,3235

(1,5 h) (2/3) (1,5+ 2 h)

Q (h)

En el lado derecho de la ecuación se tiene el caudal que pasaría por el canal para una altura de aguas “h”. Haciendo una iteración se tiene: Para h = 1 m

3

Q(h) = 8,18 m /s 3

h debe ser menor para que el caudal sea igual a 4 m /s. Por lo tanto hay que usar  otros valores de h Q

h (m) 1,000

3

(m /s) 11,36

0,800

8,49

0,600

5,76

0,400

3,26

0,450

3,86

0,500

4,48

0,450

3,86

0,461

4,00

 

Entonces después de iterar encontramos que la altura normal es: hN = 0,461 m b) La altura crítica (corresponde a un escurrimiento con energía mínima) se puede calcular con: 2

Q B

2

Fr =

=1

3

g  A

La cual se deduce de derivar la energía específica con respecto a h dE dh

=0

En este caso el canal es rectangular: B=b  A = bh Por lo que: hc = 0,4671

hc = 0,4671

Q

  4

(2/3

b

(2 (2//3

= 0,898

1,50

Por lo tanto la altura crítica es: hc = 0,898 m

c) Como hN < hc el escurrimiento es supercrítico o de torrente

 

Si en el canal se coloca una compuerta que deja una abertura de 0,5 m, qué altura se tendrá aguas arriba de la compuerta? C o m p u e rta P la n a V e r t ic a l

h1 h2 a a d ie nt e

F u e tr

e

1,5 m

Inmediatamente aguas debajo de la compuerta se produce una contracción con una altura de aguas: h1 = Cc a Considerando un coeficiente de contracción Cc = 0,6 se tiene que: h1 = 0,6 x 0,5 = 0,3 m En una contracción se puede asumir que la pérdida de energía es despreciable por lo que: E1 = E2

V12 E1 = h1 + En la sección 2 se tiene

= h2 +

2g

h2 = 0,3 m

E2 = h2 +

V2

V22

por lo tanto

2

2g

V2 = Q / A = 4 / (1,5 x 0,3) = 8,89 m/s 2

2g

E2 = 0,3 + (4 / (1,5x0,3)) / (2x 9,81) = 4,027 m

 

E1 = h1 +

h1 +

V1

2

2g

= 4,027

(4 / (1,5 x h1)) 2 x 9,81

2

= 4,027

Obviamente la solución correspondiente es de una ecuación cúbica. Procediendo por  iteraciones se puede calcular. Con h1 = 3 m se tiene

E1 = 3,04 m

h1

4,004

Iterando con otros valores se llega a h1 = 4,004 m

3

3,040

3,5

3,530

4

4,023 4,027

 

e) Indique en la figura dónde se produce resalto hidráulico y calcule que

alturas

tiene.

El resalto hidráulico es un fenómeno que ocurre cuando el flujo pasa de régimen de torrente a régimen de río.

h2 h1

Como el flujo es supercrítico o de torrente el resalto se producirá aguas arriba de la compuerta, lugar en que el flujo pasa de régimen supercrítico a régimen subcrítico. C o mp u e rta P la n a V e r tic a l

h1 hconj

h2

hN

a P e

ndi e tn e

F u et

a r e

1,5 m

La altura de entrada del resalto será la altura normal del canal, pues el flujo del canal es de torrente. La altura de salida del resalto se calcula con la ecuación de las alturas conjugadas.

 

h2

h1 =

2

(1 + 8 Fr  2

2

(1/2)

)

-1

2

En que Fr  es el número de Froude 2

Q B

2

Fr  =

3

g  A Con

A = 1,5 h2 = 1,5 x 0,3 = 0,45 B = b = 1,5 m 3

Q = 4 m /s Se tiene 2

Fr2 = 7,378 h1 = 1,557 m

C o mp u e rta P la n a V e r t ica l

4,004

hc

1,557

0,3

0,461

0,5 P e

ndi e n t e

F u et r

e

0,898

hN