Ejercicios Resuelto de Cuerpos Rigidos
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EJERCICIOS RESUELTOS DE MECANICA DE CUERPOS
|| 60 || 80
∝
2.1. Se tiene las magnitudes , el Angulo es de 45 grados. Determine gráficamente la magnitud de la suma de las fuerzas F =FA +FB y el Angulo entre FB y F. SOLUCION: Aplicando la ley de los cosenos cosenos
135 REMPLAZANDO VALORES
60 80 60∗80135 Y el Angulo entre Y
: F= 129.6N
Aplicando la ley de senos
. ∝
∝ 19
|| 60 || 80
∝
2.2. Se tiene las magnitudes , el Angulo es de 45 grados. Determine gráficamente la magnitud de la fuerza F =2FA -3FB y el Angulo entre FB y F. SOLUCION:
60 cos cos 45 45 60 sen sen 45 45 80 FB = 80 FA =
SUMANDO AMBAS FUERZAS PARA DETERMINAR LA FUERZA F F=
60 60 cos cos 45 45 80 80 60 sen sen 45
SACANDO SU MÓDULO DE LA FUERZA F
60 cos cos 4545 80 60 sen 45 = 176.84N 2.3. Se 2.3. Se tienen tienen las las magnitudes F A = 100 lb y FB = 140 lb. El ángul ulo o α es de 40 40°. °. Use la trigonometría par a determinar la mag magnititud ud de de la suma de las las fu fuerzas erzas F = lass leyes de los los se seno noss y FA + FB Yel ángulo entre FB y F .Es Est t r rat a t eg eg ia: ia: Use la cossen co enos os para ana analizar los triángul triángulos f ormados por la regla del paralelogra paralelogramo mo para la suma de las fuer zas como lo hic hicimos en el eje ejemplo 2. 2.1 1. Las leye leyess de los los senoss y cosenos se incluy seno inclu yen en la se sección cción A A..2 del del apéndice A.
SOLUCION:
Aplicando la ley de los cosenos.
100 140 2100140 cos140 22 2266 .. 100
Y el Angulo entre FB y F
Donde: U= 100lb U+V=F; 100/senα= 226/sen140 DÓNDE: α=16.5 2.4. Se tienen las magnitudes F A = 60 N y FB= 80 N. N. El áng ángulo α es de 45 °. Use Us e la trigonometría para determinar la mag m agnitud nitud de la fuer za F =2 =2F A -3FB Yel ángulo entre FB y F. SOLUCION:
60cos45°̂ 60sin45°̂ 80̂ 2 3 260cos45°̂ 60sin45°̂ 380̂ 120cos45°240̂120sin45°̂ =
Sacando su magnitud tenemos: lFl=
12045°240 12045° 176.84
EL ÁNGULO ENTRE FB Y F =
.
Dónde: α=13.9 2.5. Se dan las magnitudes F A = 100 lb y FB = 140 lb. Si α puede ten er cualquier valor, ¿cuáles son los valores mínimo y máximo posibles de la magnitud de la suma de las fuer zas F =FA + FB y cuáles son los valores correspondientes de α. SOLUCION: FB
F= 229 lb
tan tan− 35.5° 100 140 2100∗140cos35° 225.88 → 229 129 89 100 < > 140 ∝: 35° ∝54° F= 100 +140 = 240 lb
2.6. Se tienen las magnitudes de F A = 60 N y el ángulo α es de 45°. Si la magnitud de la suma de las fuer zas F A+ FB= 180 N, ¿cuál es la magnitud de FB?
90º
45º
180N
45º
180 60→ 120 2.7. Se tienen las magnitudes FA = 100 lb y FB= 140 lb. Suponga que el sopor te sobre el que actúan las dos fuer zas puede resistir con seguridad una fuerza total de 240 lb. ¿Cuál es el inter valo de valor es aceptable par a el ángulo
α?
∅
45º
45º
240 lb
∅⇒ ≮ ∝90° LEY DE SENOS
° ° ∅ °∗ ∝∗ °∗ °∗ sin ∝ . ∝sin−.
∝60°
2.8. La fuer za F de magnitud 8 kN de la f igur a se encuentra en el plano def inido por las líneas L A y LB que se intersecan. Suponga que se quier e separar F en una componente vectorial F A paralela a L A y en una componente vector ial FB paralela a LB' Determine las magnitudes de FA y FB (a) gráficamente y (b) usando la trigonometría.
120º
30º
30º 20º
POR TRIGONOMETRIA
° ° ° ° ° ° ° . ∗ . .∗ ………………..1
2.10 Los vectores Ra y Rb tienen magnitudes Ra =30 m y Rb =40 m. Determine la magnitud de su suma, Ra + Rb (a) si Ra y Rb tienen la misma dirección, (b) si Ra y Rb son perpendicular es. SOLUCIÓN: a) 30m 40m
R=30+40
R=70m
b)
30 40 2∗40∗30cos90 50 2.11 Un tanque de almacenamiento esférico está soportado por cables. El torque está sometido a tres fuerzas: las fuerzas Y F ejercidas por los cables el peso W. El peso del tanque es 600 lb. La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el tanque es igual a cero. Determine las magnitudes de F B' (a) gráficamente (b) usando la trigonometría. SOLUCIÓN: a)
cos20
sin20 W=600
b)
∑sin20sin20 ∑ cos20cos20600 319..25 2.12. La cuerda ABC ejerce fuerzas FBA Y FBC sobre la polea en B. Sus magnitudes son IFBAI = IFBC I = 800 N. Determine IF B A + F BCI, (a) gráficamente (b) con trigonometría. SOLUCIÓN: a)
b)
√ 800 800 2∗800∗800cos70 917.7 2.13. Dos tractores remolcan una unidad habitacional hacia una nueva localidad en la base McMurdo de la Antártica (se muestra una vista aérea. Los cables son horizontales). La suma de las fuerzas F A Y FB ejercidas sobre la
unidad es paralela a la línea L, y │F A│= 1000 lb. Determine │FB│y │ FB + F A│, (a) gráficamente y (b) usando la trigonometría.
SOLUCION. a) Solución gráfica: b) Solución trigonométrica:
α 180°80° ⇒ α 100° 1000 F ⇒ F sin− 1000sin50° 1532.09 lb sin30° sin50° sin30° 1000 L ⇒ L sin− 1000sin100° 1969.62 lb sin30° sin100° sin30° 2.14 .Un topógrafo determina que la distancia horizontal del punto A al B de la figura es de 400 m y que la distancia horizontal de A a C es de 600 m. determine la magnitud del vector horizontal de B a C y el ángulo α, (a) gráficamente y (b) usando la trigonometría.
SOLUCION. a) Solución gráfica: b) Solución trigonométrica:
FR 400 600 2400600cos40° FR 390.25 m 390.25 400 ⇒ θ sin− 400sin40° 41.2° sin40° sinθ 390.25 α 41.2°20° ⇒ α 21.2° 2.15 El vector r va al punto A de la figura al punto medio del segmento definido por los puntos B y C. Demuestre que:
r 12 r rC. r r r ……….. Ec.1 rC r r r rC r……… …..Ec.2 Remplazamos la Ec. (2) en Ec. (1)
r r r r r rC r r 12 r rC 2.16 Esbozando los vectores, explique por qué:
U VW UVW SOLUCION.
U VW UX,UY,UZ [VX,VY,VZ WX,WY,WZ]
U VW UX,UY,UZ [VX WX, VY WY , VZ WZ ] U VW [UX VX WX, UY VY WY, UZ VZ WZ] U VW [UX VX, UY VY, UZ VZ WX,WY,WZ] U VW UVW 2.21: Si 4.5 y 2 2 , ¿cuál es la magnitud de la fuerza 6 4 ? SOLUCION:
4.5 2 2 6 4 64.5 42 2 (6 27 )8 8 [2 35 ]
2.22: dos vectores perpendiculares U y V se encuentran en el plano . El vector ¿Cuáles son las componentes escalares de V? y
6 8 || 20
SOLUCION:
6 8 || 20 || 20 20 20
200 sobre la vara de pescar. Exprese F
2.23: un pez ejerce una fuerza F de en términos de componentes escalares.
SOLUCION:
200cos60 100 200sin60 173.21 {1173,21}
60
2.24: se ejerce una fuerza F de para meter un cajón en un camión. Exprese F en función de componentes escalares.
60cos20 56.38 60sin20 20.52 {56.3820.52} 2.25. Un motor de cohete ejerce una fuerza F de 40kN. Exprese F en función de componentes escalares.
SOLUCION Fx = 40° cos (70°)i =13,68kN Fy = 40° sen (70°)j =37,60kN En función a sus componentes
{ } F ={13,6 9 37,60 } F=
2.26. Se muestran las coordenadas de los puntos A y B de una armadura. Exprese el vector de posición de A y B en función de sus componentes escalares.
SOLUCION
6 --------------------------- B
2 ---- ---- A 1
4
̂ ̂ 4 1 ̂ 6 2̂ 3̂ 4̂ N 2.27. El vector de posición del punto A al punto B de la figura es rAB = 12i - 16j (a) ¿Cuál es la distancia del punto A al punto B? (b) ¿Cuál es el vector de posición del punto B al punto A? SOLUCION:
̅ 12̂16̂ ̅ PORCION DE B A A
B
a) Distancia de A B
|| 12 16 √ 1 44256 || √ 4 0020 b)
12̂16̂ 2.28. (a) Exprese el vector de posición del punto A al punto B de la figura en función de componentes escalares. (b) Expr ese el vector de posición del punto B al punto en función de componentes escalares. c) Use los r esultados de las partes (a) y (b) para determinar la distancia del punto A al punto C.
SOLUCION: a) 50--------------------- B
35 -------- A
50 pul
98
r AB = (XB – X A) i+ (YB -Y A) j r AB = (98-50)j+ (50-35) j r AB = (38i+15j)pulg b) 55---------C------------
50----A---
B
45
98
r BC = (XC – XB) i+ ( YC -Y A)j r BC = (45-98)j+ (55-50)j rBC = -53i+50 b)
53i
C
43°
50j B
64°
21° A
15j
38i
| | 40.35 || 72.86 | | 40.85 72.86 240.8572.86 ∗ 67° | | 66 2.33. Se muestran las coordenadas x y y de los puntos B Y C del velero. (a) Determine un vector unitario paralelo al cable A Y que vaya De A a C (b) Determine un vector unitario paralelo al cable que vaya De B a C.
SOLUCION: A= (9, 1.2) m B= (0, 0.8) m C= (5.3, 12) m
Uac = || rAC = rc – ra = (-3.7 i + 10.8 j )
−. . .
UAC = .
UAC = -0.3 i + 0.95j Rpta. UAB =
√ ..+. +.
UAB = 0.04i + 0.08j Rpta.
2.34 .Considere el vector fuer za F = 3i - 4j (kN) mostrado. Determine un vector unitario e que tenga la misma dirección Que F. SOLUCION: F = [3i-4j] kN UF =
UF = 0.6i + 0.8j Rpta 2.35 .El vector de posición que va del punto A al punto B es r = -8i + 6j (pies). (a) Determine el vector unitario que apunta de A a B. (b) Determine el vector unitario que apunta de B a A. A
B
SOLUCION: RAB = [-8i+6j] pies −+ U AB = [√ −+ U AB = -0.18i+ 0.14j Rpta.
]
UBA =
[√ −+ +] +
UBA = √ + UBA = 0.18i + 0.14j Rpta.
2.36. Dos automóviles, A y B, se encuentran en una pista circular de 1000pies de radio. La distancia entre los dos automóviles, Medida a lo largo de la pista, es de 2000 pies. ¿Cuál es el Vector de posición que va del automóvil A al automóvil B según El sistema coordenado que se muestra?
SOLUCION: L=
∅∗
∗1000 2°
2000 =
COMVIRTIENDO A RADIANES:
2°∗ R 115°
RAB =
1000 1000 21000∗1000cos115°
RAB = 1687 m Rpta
2.37. Se encuentra que la longitud de la línea OA es de 1500 metros y que la longitud de la línea OB es de 2000 metros. (a) Exprese el vector de posición de A a B en función de sus componentes escalares. (b)Use el resultado de la parte (a) para determinar la distancia de A a B.
SOLUCION: r OA = 1500 cos 60i + 1500 sin 60j r OA =750i +1299j m Los puntos de A es (750, 1299) (m) r OB = 2000 cos 30 i + 2000 sin 30 j m r OB = 1732i + 1000j m Los puntos de B es (1732, 1000)
a) El vector unitario desde A y B es r AB = (xB _ x A) i +(yB - y A) j r AB = 982i -299j m b) el vector unitario e AB es:
299j || 982i1026. 6
2.38 .La distancia del Sol (S) a Mercurio (M) es de 57 x 10 6 km, la distancia del Sol a Venus (V) es de x km y la distancia del Sol a la Tierra (E) es de 150 x 106 km. Suponga que los planetas están localizados en el plano x -y . (a) Determine las componentes del vector de posición r M del Sol a Mercurio, del vector de posición r y del Sol a Venus y del vector de posición r E del Sol a la Tierra. (b) Use los resultados de la parte (a) para determinar la distancia de la Tierra a Mercurio y la distancia de la Tierra a Venus.
=(−) 10810401081040 15010201501020 15010 10810 18410 15010 5710 16010 2.39. Una cuerda ejerce las fuerzas F A Y FB sobre una polea. Sus magnitudes son IF Al = IFBl = 80 lb. ¿Cuál es la magnitud de la suma vectorial de las fuerzas?
SOLUCION:
||40º ||90 8040º8090º131.4 131.4 2.40. La cuerda ABC ejerce las fuerzas FBA Y FBC sobre la polea en B mostrada. Sus magnitudes son IFB AI = IFBCI = 920N. Determine la magnitud de la suma vectorial de las fuerzas descomponiendo las fuerzas en sus componentes, y compare su respuesta con la del problema 2.12.
2.41. Las magnitudes de las fuerzas mostradas son F 1=IFzl = F3 = 5 KN. ¿Cuál es la magnitud de la suma vectorial de las tres fuerzas?
SOLUCION: F =Fx + FY Fx = (F1 – F3 =cos 30 + F2 cos 45) i FY= (-F2 sen 45 – F3 sen 30) FX= (4.20 I – 6.03j) KN 2.42. Las cuatro fuerzas concur re ntes mostr adas tienen una suma vecto r ial igual a cero. Si IFBI = 800 lb, IFcl = 1000lb Y IFDI = 900 lIJ, ¿cuál es la magnitud de FA y el ángulo α?
SOLUCIÓN:
∑ F=0 ∑ FX=0 ∑ FX= -800 cos70º + 1000 cos30º+900 cos 20º
- FA cos α FA cos α=1438, 13…….. (α)
∑ FY=0 ∑ FY= -900 sen90º - FA sen α + 800 sen 70º + 1000 sen30º FA sen α=943.94…………. (β) DIVIDIENDO:
β . β .
943.94 Tgα 1438. 13 943.94 αarctg 1438. 13 α33.28 FA × sen (33.28) = 943.94
.
FA= . FA = 1720.22l 2.43. El empuje total e jercido sobre el impulsor por los motores princip ales de un cohete es de 200 000 lb Y es paralelo al eje y. Cada uno de los dos pequeños motores "vernier" ejerce un empuje de 5000 lb en las direcciones mostradas. Determine la magnitud y dirección de la fuerza total ejercida por los motores sobre el impulsor.
SOLUCIÓN:
∑FX = 500 sen 30º - 500 sen 15º ∑FY= 200000 + 500 cos 30º + 500 sen 15º F= FX + FY F=
F= (120.59 i + 200562.42j) lb
√ 120.59 200562.42
F=200562.45lb
2.44. Las magnitudes de las fuer zas que actúan sobre el soporte son IF1I = IF2 I = 100 lb. El sopor te fallará si la magnitud de la fuerza total que actúa sob r e él excede de 150 lb. Determine el intervalo de valor es aceptables para el ángulo
α.
SOLUCIÓN: FR=
√ 100 100 2ABcosα
150= 100 +100 - 2(100) cos α 22500=2(100 ) cos α -1/8= cos α
α= 97.19 FBC = F (cos 20i + sin 20j) FBA = F (-j) FBC + FBA= ( Fcos 20i + (sin 20-1))j (920 N)2 = F2 (cos2 20° + [sin 20° -1]2)
F = 802 N
2.45, Tres f uerzas actúan sobre la esfera mostrada. La magnitud de FB es de 60 lb. La suma vector ial de las tres fuerzas es igual 2.4 ¿Cuáles son las magnitudes de FA Y FC? SOLUCION
F0 Fx0 FAFc.cos30° >FAFc.cos30° ………………. 1 Fy0 FB …...2 Fc x sen 30° FB 0 > Fc x sen 30° FB >Fc sen30° Calculando la fuerza C
60lb Fc sen30°
Fc120 Reemplazando en la ecuación 1:
FA Fc x cos30° FA 120 x cos30° FA 103,92 lb 2.46. Cuatro fuerzas actúan sobre una viga. La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero.|F | 10KN y |F | 5KN Determine las magnitudes de F y F .
SOLUCION:
F0 Fx0 F x cos30°F > F x cos30° F ……...1 Fy0 F x sen 30° F Fc0 >F x sen 30° 5kN10KN Calculando la fuerza
5KN F sen30° F 10KN En la ecuación 1: 10KN xcos30° F F 8.66KN
F
2.47. Seis fuer zas actúan sobre una viga que forma parte de la estr uctura de un
|F| |F| 5Klb, |F | y |F|.
edificio. La suma vectorial de las f uer zas es igual a cero. . Determine las magnitudes de
|F | 4klb y |F | 2klb SOLUCION; DATOS:
|F| |F| 5Klb, |F| 4klb y |F| 2klb F0 Fx0 F x cos40° FG cos50° Fc cos40° F cos70° 0 2 xcos40° FG cos50° 4 cos40° F cos70° 0 FGcos50° F cos70° 1,53klb……..1 Fy0 F sen 70°Fc sen 90°F sen 40° FG sen 50°F F 0 F sen 70°4 sen 90° 2 sen 40°FG sen 50°55 0 F sen 70°FG sen 50° 6,14 klb………2 Sumando la ecuación 1 y 2: FGcos50° F cos70° 1,53klb F sen 70°FG sen 50° 6,14 klb Calculando la fuerza FG 3,54 FG sen50° FG 10,41klb F 3,37 klb 2.48. El peso total de un hombr e y su paracaídas es La fuerza D de arrast r e es Perpendicular a la f uerza de elevación. Si la suma vectorial de las tres f uerzas es igual a cero, ¿cuáles son las magnitudes de y D? SOLUCION:
|w| 230lb,
F0 Fx0 Dcos20° L cos60° 0……………1 Fy0
L sen70° D sen20° 230lbs 0 L sen70° D sen20° 230lbs………2 Igualando o reemplazando1 en 2: L Dcos20° cos70° L sen70° D sen20° 230lbs Dcos20° sen70° D sen20° 230lbs cos70° D sen20° x tg 70° D sen20° 230 D sen 20° x tg 70°sen 20° 230 D sen 20° x tg23070°sen 20° D 1,23028 D 179,69 lbs sen 20° L 230 179.69 sen 70° L179.30lb 2.49. Dos cables AB y CD se extienden desde la estr uctura de lanzamiento de un cohete hasta el suelo. El cable AB ejerce-una f uer za de 10 000 lb sobre la tor re y el cable CD ejer ce una fuerza de 5000 lb. (a) Usando el sistema coordenado que se muestra, exprese cada una de las dos fuerzas ejercidas sobre la torre por los cables en f unción de componentes escalares. (b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables sobre la estructura?
SOLUCION: 6427.87
8927.87
7660.12
4330.12
8927.87
11990.56
11990.56 8927.87 √ 223480391.9 1494.26 2.50 .Los cables A, B C ayudan a soportar una columna de una estructura . Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son iguales : IFAI= IFBI IFe!. La magnitud de la suma vectorial de las tres fuerzas es de 200 kN. ¿Qué valor tiene IF Al?
SOLUCION:
41.55 41.55 cos∅
41.55 sen∅
cos∅ 46 sen∅ 64 = . =.
= . =.
|| 27.7 62.3 68.2 2.51 .La tensión en el cable A C del velero mostrado es de 300lb. La suma vector ial de las fuerzas ejercidas sobre la parte superior del mástil C por el cable A C y el cable BC del velero está dirigida hacia abajo. (a) ¿Cuál es la tensión en el cable BC? (b) ¿Cuál es la fuerza vertical total que los dos cables ejercen sobre el mástil?
SOLUCION:
tanβ) = 120.8 5.30 tan 11.5.32 64.67
F
tan 121.3 5.399 tan 10.3.78 77.8
38º TBC
25º
T AC
→ → 300 90 90 0.42 0.22 157.14 → 300 38.25 90 0.61 0.42 435.71
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