Ejercicios - Propuestos Elasticidad 2015 2016

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras

ELASTICIDAD Grado en Ingeniería Mecánica

EJERCICIOS PROPUESTOS

CURSO 2015/16

 Departamento de Mecánica Mecánica de Medios Medios Continuos y Teoría de Estructuras Estructuras Grado en Ingeniería Mecánica  ELASTICIDAD

Curso 2015/2016

Ejercicios propuestos Tema 1. Equilibrio del sólido deformable PROBLEMA 1.1 Dado el tensor de tensiones (referido a un sistema cartesiano de referencia) en un punto de un sólido:

12 [T ] =  4  2

2

4 −

8

−

1

  6 

−

1

MPa

Se pide: - Dibujar sobre un prisma elemental, y en las caras más alejadas del origen de coordenadas, la dirección y sentido de cada una de las componentes tensionales que sobre dichas caras actúan. -

Determinar el valor de las tensiones normal y tangencial que actúan sobre un plano paralelo al plano x+y+z=0 que pasa por las proximidades (distancia infinitesimal) del punto considerado.

Solución: σ n=6.67 MPa ; τ =9.39 =9.39 MPa

PROBLEMA 1.2 El tensor de tensiones de un punto P del sólido referido a un sistema de referencia xyz es:

0 0 0  [T ] = 0 50 0   M Pa 0 0 10 Se pide: a) Las componentes intrínsecas del vector tensión en P para un determinado plano son y . Determinar dicho plano. r

Solución: n

=

  2 , 1 ,0    5     5

PROBLEMA 1.3 Suponiendo la ausencia de fuerzas internas, determinar los posibles valores de las constantes C 1, C 2 y C3 para que la siguiente distribución de tensiones pueda existir en un sólido en equilibrio: σ   x

2 ⋅ C 1 ⋅ x ⋅ y

= −

σ   y

=

C 2 ⋅ z

σ   z

=

0

Solución: C1=C3=0, C2=Cte

2

C 1 ⋅ (C 2

τ  xy

=

τ  xz

= −C 3 ⋅ y

τ  yz

=

0

−  y

2

) + C  x ⋅ z 3

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Curso 2015/2016

Ejercicios propuestos Tema 1. Equilibrio del sólido deformable PROBLEMA 1.1 Dado el tensor de tensiones (referido a un sistema cartesiano de referencia) en un punto de un sólido:

12 [T ] =  4  2

2

4 −

8

−

1

  6 

−

1

MPa

Se pide: - Dibujar sobre un prisma elemental, y en las caras más alejadas del origen de coordenadas, la dirección y sentido de cada una de las componentes tensionales que sobre dichas caras actúan. -

Determinar el valor de las tensiones normal y tangencial que actúan sobre un plano paralelo al plano x+y+z=0 que pasa por las proximidades (distancia infinitesimal) del punto considerado.

Solución: σ n=6.67 MPa ; τ =9.39 =9.39 MPa

PROBLEMA 1.2 El tensor de tensiones de un punto P del sólido referido a un sistema de referencia xyz es:

0 0 0  [T ] = 0 50 0   M Pa 0 0 10 Se pide: a) Las componentes intrínsecas del vector tensión en P para un determinado plano son y . Determinar dicho plano. r

Solución: n

=

  2 , 1 ,0    5     5

PROBLEMA 1.3 Suponiendo la ausencia de fuerzas internas, determinar los posibles valores de las constantes C 1, C 2 y C3 para que la siguiente distribución de tensiones pueda existir en un sólido en equilibrio: σ   x

2 ⋅ C 1 ⋅ x ⋅ y

= −

σ   y

=

C 2 ⋅ z

σ   z

=

0

Solución: C1=C3=0, C2=Cte

2

C 1 ⋅ (C 2

τ  xy

=

τ  xz

= −C 3 ⋅ y

τ  yz

=

0

−  y

2

) + C  x ⋅ z 3

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PROBLEMA 1.4 El tensor de tensiones en los puntos de un sólido elástico, cuando las coordenadas se expresan en metros, es:

 4 x + 3 y [T ] = − 6( x + y + z )   y + z

−

6( x + y + z )  y + z 

3 x  ⋅1×10 7 Pa

10( y − z )

 5 z 

3 x

Se pide: 3

a) Calcular las fuerzas de volumen en el sistema internacional (N/m ). b) Hallar las matrices esférica y desviadora en el punto P(0,1,-1). Solución: a) X=10 MN/m3 Y=-40 MN/m3 Z=-50 MN/m3; b)

σ  hidrostáti ca

=

60 MPa

PROBLEMA 1.5 Dadas todas las componentes excepto una del tensor de tensiones T, referidas a un sistema de coordenadas cartesianas, correspondiente a un punto de un sólido elástico cargado, determinar el valor de σ de forma que exista un plano, que pase por las proximidades del punto considerado, sobre el que no actúe ninguna tensión. Obtener las componentes de un versor normal al citado plano.

σ   2 1 [T ] =  2 0 2 MPa  1 2 0 Solución:

n= r

1 3

⋅

( 2, −1, −2 ) o n=1/3(-2, 1, 2)

PROBLEMA 1.6 El tensor de tensiones correspondiente al plano xy de la pla ca cuadrada, delgada y de 3 metros de lado, representada en la figura es el siguiente (siendo λ  una  una constante expresada en GPa): y

15 − 5 x 5 y + 1 -3 [T ] =  ⋅ 1× 10 ⋅ λ    y  x 5 1 13 + +  

C

D

E (0;3/2)

F (3;3/2)

x A

B

Imponiendo Imponiendo la condición condición de Cauchy Cauchy en el contorno contorno ( = [T]· ), calcular calcular las tensione tensioness a las las que está sometida la placa en sus cuatro lados. Representar su evolución en dos diagramas, uno que contenga las tensiones normales y otro las tensiones tangenciales. Solución: lado AB (-1;-(13+x)); (-1;-(13+x)); lado BC (0;5y+1); ladoCD (16;13+x); (16;13+x); lado DA (-15;-(5y+1)) (-15;-(5y+1))

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PROBLEMA 1.7 El punto elástico de la figura se encuentra sometido al estado tensional mostrado en la misma. Los ejes x y x´ son coincidentes y el eje y´ forma un ángulo de 30º con el eje y. Determinar para el punto en estudio. a) Las componentes del tensor de tensiones referidas a los ejes {x,y,z} indicados en la figura y dibujarlas sobre el punto elástico correspondiente a dichos ejes. b) Las tensiones principales, así como sus direcciones, y dibujarlas en el punto elástico correspondiente a los ejes principales.

Solución: a)

0 0  − 20   0 60 30 3 MPa [T ] =  −  30 3 0   0

b) Tensiones: (30, -20, -90) MPa      I  =  0; 1 ; 3  2     2  II  = (1;0;0 )    III  =  0; 3  

 

2

;− 1  2 

PROBLEMA 1.8 El tensor de tensiones en un punto de un sólido viene definido, respecto de un sistema de coordenadas cartesianas, por la siguiente matriz:

 50 [T ] = − 20  0

−

20

20 0

0

  0

0 MPa

Determinar de forma analítica: a) b) c) d)

Los dos primeros invariantes del tensor de tensiones. Los valores de las tres tensiones principales. Los tres vectores unitarios que definen las tres direcciones principales. La tensión tangencial máxima que se produce en las proximidades del punto considerado.

Solución: a) I 1=70, I 2=600 b) 60, 10, 0 c) u 1=(0.8943, -0.4473, 0) y u2=(0.4473, 0.8943, 0); o u1=(-0.8943, 0.4473, 0) y u2=(-0.4473,- 0.8943, 0); u3=(0,0,1) d)30 MPa

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PROBLEMA 1.9 Un punto P de un sólido elástico está sometido a la suma de los dos estados tensionales que se indican en la figura: Estado A

Estad o B

z

Z

10

10 10 10

y

y

x

α

= 30º

x

Unidades MPa

Se pide, para el estado tensional suma de los dos anteriores: a) Dibujar el elemento diferencial en ejes principales con las tensiones principales y convenientemente orientadas respecto a los ejes { x,y,z} . Todos los cálculos se deben hacer analíticamente. b) Calcular analíticamente el vector tensión, en coordenadas { x,y,z},  que actúa sobre el plano cuya normal está contenida en el plano I-III y forma ángulos iguales con los ejes I y III. r

r

Solución: a) Dirección I:(0;0.9659;0.2588) Dirección II:(1;0;0) Dirección III:(0;0.2588;-0.9659) b)

σ   = 5 j r

+

8,68k 

PROBLEMA 1.10 El punto elástico representado en la figura está sometido al estado tensional indicado. 25 MPa

Z τ

100 MPa

10 MPa

25 MPa

Y

X

Calcular: a) Tensiones y direcciones principales. b) Componentes intrínsecas del vector tensión asociado al plano paralelo al eje X y cuya normal forma 60º con el eje Y en sentido antihorario. Solución: a) Tensiones: (100, 35, 15)MPa ; Dirección I:(0;1;0) Dirección II: b) σ   = 43.74 Mpa τ 

=

33.61 MPa

1     1 ,0, Dirección   III: 2     2

1     1 ,0,−   2     2

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Ejercicios propuestos Tema 2. Cinemática del sólido deformable PROBLEMA 2.1 En un pilar vertical de sección cuadrada hueca, tal como se indica en la figura (cotas en metros) el tensor de deformaciones viene dado por [D]

(−2 x + 3 y ) 0  3 x + 4  [ D] = (−2 x + 3 y) 0 0 ⋅ 10 - 4   0 0 2

Calcular: a) La variación de longitud del pilar, indicando si éste se alarga o se acorta, sabiendo que su altura inicial era de 5 m. b) La variación del ángulo en el plano x,y, que se produce en el vértice de la sección de coordenadas (2,2), indicando si el ángulo final en dicho vértice (que inicialmente era recto) aumenta o disminuye respecto a su valor inicial. c) El cambio de volumen que experimenta el pilar, indicando si aumenta o disminuye el volumen inicial del mismo. -3

-4

-4

3

Solución: a) 10 m (alargamiento) b) 4 10 rad (disminuye) c) aumenta 360 10 m • 

• 

PROBLEMA 2.2 En un sólido elástico lineal, el estado de deformaciones viene expresado en ejes {x,y,z} por el tensor:

3 ⋅ y + 1 0  2 ⋅ x [ D ] = 3 ⋅ y + 1 4 ⋅ x + 2 ⋅ y 0 ⋅10-3  0 0 0 a) Demostrar que este estado de deformaciones es compatible. b) Calcular el campo de desplazamientos (u,v), sabiendo que en el punto (0,0,0) los movimientos están restringidos y que en el punto (1,0,0) el movimiento en dirección y es nulo. El desplazamiento w=0. Solución: b) u

=

 x 2

+

 y 2

+

2 y ; v = 4 xy + y 2

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PROBLEMA 2.3 Sobre el bloque paralelepípedo que se muestra en la figura actúa una solicitación que lo deforma de tal manera que sus caras siguen siendo normales entre sí. Sabiendo que en todo punto las deformaciones longitudinales unitarias de las aristas son εa=0.05, εb=0.04, εc=0.03. Calcular la deformación unitaria experimentada por la diagonal.

-2

Solución: 3.68  10 • 

PROBLEMA 2.4 En las proximidades de un punto P de un sólido se han medido, por medio de t res bandas extensométricas espaciadas entre sí 120º, las deformaciones longitudinales según las direcciones de las bandas (ver figura), con el siguiente resultado: εa=0.00108, εb=0.00064, εc=0.00009. Se pide a) Tensor de deformaciones en el punto P. b) Deformaciones principales y sus respectivas orientaciones. c) Longitudinal final que tendrá un segmento de longitud unitaria con origen en P que forma un ángulo de 40º antihorarios con la banda A.

Solución: a)

 10.8 [ D] = − 3.18  0

−

3.18 0 1.3 0

0 ⋅ 10 -4

 0

b)

εI =

θ  1

-4

11.8  10  , εII = 0.33 10

=

• 

16.9º ;θ  2

• 

=

73.1º

-4

c) l=1.0003743

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PROBLEMA 2.5 Una placa rectangular de pequeño espesor se encuentra sometida a un estado de carga que la deforma tal como se muestra en la figura. Suponiendo que no se produce desplazamiento ni deformaciones según el eje z, y que el estado de tensiones que se produce es homogéneo. Determinar: a) Las funciones del campo de desplazamiento, considerando que:

b)

c) d) e)

Donde: a1 , b1 , c1 , d 1 , a2 , b2 , c2 y d 2 , son constantes a determinar. A partir de la figura determinar las deformaciones longitudinales y angulares. Comprobar que coinciden con las que se obtienen del campo de desplazamiento determinado en el apartado (a). El tensor de deformaciones. El valor de las deformaciones principales. Las direcciones principales. y

3 mm

6 mm

1,5 m x 1m

Solución: a ) u

0.002 ⋅ y

= −

v = −0.004 ⋅ y

c)

 0 [ D] = − 0.001  0

−

0.001 0

 0 − 0.004  0 0

d) y e) ε 

=

n1 n2 n3

(0.000236,0,−0.004236 )

(0.9733,−0.2297,0 ) = (0,0,1) = (− 0.2297,−0.9733,0 )

=

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Ejercicios propuestos Tema 3. Ley de comportamiento PROBLEMA 3.1 El vector desplazamiento en un punto genérico de un sólido cargado viene dado (referido a un sistema cartesiano de referencia) por:

δ  =  B( x 2 + ay )i + B(ax +  y 2 ) j + Bz 2 k  r

r

r

r

Donde B y a son constantes desconocidas. Conociendo los valores del módulo de elasticidad a cortadura G y la constante de Lamé , se pide (justificando las hipótesis empleadas): 1.- Hallar las fuerzas volumétricas, en el sistema internacional, a las que el sólido se encuentra sometido, en función de los parámetros del problema ( a,B,G, ). 2.- Dibujar el punto elástico correspondiente al punto P(-½; ½; 0). Para dicho punto, hallar el valor de a y las direcciones principales en deformaciones sabiendo que el 2º invariante del 2 2 tensor de tensiones es  I 2 = −16G  B 3.- ¿Qué valor debería tener a para que el punto elástico sólo experimentara cambios en el volumen, justifique la respuesta? 4.- Hallar las tensiones principales si el punto elástico considerado girara alrededor del eje X, 60º en sentido antihorario. Solución: 1 )  X  = −2 B(2G + λ ) (N/m ) 3

2) a = ± 3

n1

Y  = −2 B(2G + λ ) (N/m )

n2

 Z  = −2 B (2G + λ ) (N/m )

n3

3

3

(0.5,0.87,0) = (0,0,1) = (− 0.87,0.5,0 )

=

3) a = 0

PROBLEMA 3.2 Una probeta cúbica de 0,10 m de lado está confinada entre dos paredes rígidas paralelas quedando una holgura total de 0,01 mm. Si se somete, en estas condiciones y tal como se representa en la figura, a un ensayo de compresión, determinar la curva tensión-deformación que se obtendría en el supuesto de que el material se comportase durante todo el ensayo como un material elástico-lineal e isótropo. (E=35 GPa, ν=0.2).

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PROBLEMA 3.3 Considérese el bloque de material de la figura, sobre el que actúan tensiones normales de compresión tanto en la dirección x cono en la y, y que se encuentra confinado entre dos paredes rígidas (indeformables) según la dirección z. La razón entre las tensiones aplicadas al bloque es constante, de manera que σy=λσx. El material del bloque, que presenta un comportamiento elástico-lineal, es bronce (E=101 GPa y ν=0.35). Si las tensiones aplicadas al bloque son σx=60 MPa y σy= 100 MPa, determinar: a) La tensión actuante en la dirección z, indicando si es de compresión o de tracción, sabiendo que el contacto bloque-pared es liso. b) Las deformaciones longitudinales según las direcciones x e y, indicando si corresponden a alargamientos o acortamientos. c) El modulo de elasticidad aparente, tanto en función de λ   como su valor numérico, en la dirección x.

Solución: a) σ  z = −56.01 MPa b)

−5

ε  x

= −5.343 ⋅ 10 c) E´=1124 GPa

ε  y

= −5.88 ⋅ 10

−4

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PROBLEMA 3.4 Un elemento mecánico de dimensiones  ×  ×   se quiere instalar en el orificio de dimensiones ( − ) × ( − ) que hay en una chapa de espesor 2a (Figura 1). Para ello se utiliza un proceso industrial que reduce el tamaño del elemento (sin permitir que plastifique) hasta que se pueda introducir en el orificio. La configuración tras la instalación se puede ver en la Figura 2. Si el coeficiente de rozamiento entre la placa y el elemento mecánico (una vez instalado) es µ, se pide conocer la carga perpendicular a la placa que permitiría extraerlo (Fext). Datos e hipótesis: - Propiedades del elemento mecánico (material elástico lineal): E,  ν. - La chapa se puede considerar indeformable (E→∞) - δe) que contiene gas, sabiendo que la tensión de plastificación del material de la vasija es “σe”. Aplicar el criterio de Tresca y de Von Mises. Solución: C.Tresca: P <

σ   e

⋅e

2 R

,

V.Mises: P <

σ   e

⋅e

3 R

PROBLEMA 6.3 Una barra de sección rectangular a x b = 50 x 25 mm y longitud L= 1 m se encuentra sometida a compresión y confinada en una cavidad de la misma forma y dimensiones, cuyas paredes son indeformables y el contacto barra-pared es perfectamente liso. Se pide hallar la máxima fuerza de compresión que se puede aplicar para que el material no plastifique, sabiendo que la tensión a la que el material plastifica es σe= 200 MPa y que una barra de las mismas dimensiones y el mismo material experimenta un alargamiento ∆L=1mm y una contracción lateral ∆a=-0.014 mm cuando se la somete a una tracción de F=250 KN. NOTA: Suponer que el material presenta el mismo comportamiento sometido a tracción y a compresión.

Z X Solución: Fmax=409 KN usando C.Tresca o V.Mises

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PROBLEMA 6.4 Se considera un prisma de medidas a x b x c  cuyo material de aluminio tiene un módulo de = 0.3. En ambas bases del prisma se elasticidad E = 70.2 GPa  y un coeficiente de Poisson colocan dos placas perfectamente lisas y rígidas, de peso despreciable, unidas entre sí 2 mediante seis cables de longitud c, sección y módulo de elasticidad E1 = 200 1 = 1 cm GPa, simétricamente dispuestos, como indica la figura 1. z

c p

p

y b a Figura 1

x

Sobre las caras opuestas del prisma y paralela al plano xz, se aplica una fuerza de compresión uniforme p = 300 MPa . Determinar:

1) Tensión σ en los cables. 2) Tensiones principales en el prisma. 3) Para el estado tensional del prisma recto, determinar el factor de seguridad frente a plastificación según el criterio de Tresca y de Von Mises, conociendo e = 412 MPa. ¿Qué indica la diferencia en los resultados? 4) Variación de volumen experimentada por el prisma 5) Densidad de energía elástica almacenada en el bloque, indicando sus correspondientes unidades. Medidas del prisma: b = 0.2 m a=5b Solución: 1) σ  

=

254 . 23 MPa 2)

c = 1.5 b 0 MPa

σ   1

=

σ   2

= − 0 . 726  MPa

σ   3

= − 300  MPa

3) n Tresca n VM 

=

=

1 . 3733

1 . 375

4) ∆ V 

= − 102

. 6 cm

3

5) U=639286.425J/m^3

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PROBLEMA 6.5 En la compactación unidireccional de materiales cerámicos se emplea una prensa formada por dos bloques de aluminio de sección transversal 4 x 3 cm y una altura de 2 cm como la que se muestra en la figura. Dichos bloques se alojan en una cavidad de las mismas dimensiones y cuyas paredes son de un material lo suficientemente rígido para poder suponerlo indeformable. Sabiendo que no existe rozamiento entre los bloques y el material a compactar, así como entre los bloques y la cavidad que los contiene. Determine para una fuerza de compactación de 50 kN: a) El tensor de tensiones en cualquier punto de los bloques de aluminio, referido al sistema representado en la figura. b) El tensor de tensiones en direcciones principales en cualquier punto de los bloques. c) Las fuerzas ejercidas por las paredes de la cavidad en los bloques de compactación. d) El cambio en las dimensiones de los bloques. e) Utilizando el criterio de Tresca, determinar si se produce la plastificación de los bloques. f)

Si para el apartado anterior no se produce la plastificación, determinar la fuerza mínima que la produciría.

Datos para el aluminio: E=70 GPa  ν=0,3

Límite elástico σe= 520 MPa z 50 kN

Material rígido

Bloque de aluminio

z

Material Cerámico

Bloque de aluminio y 2 cm 4 cm

x

Material rígido

3 cm

y

Material rígido x

Bloque de aluminio

4 cm

3 cm

Solución: a y b) σ  1 σ   3

=

σ   2

= − 17 . 9 MPa

= − 41 . 7 MPa

c) F  X  F Y 

= − 1 . 07 ⋅ 10 = − 1 . 43 ⋅ 10

4 4

 N  d) ∆ l  z

 N 

= − 8 . 84 ⋅ 10

−6

m e)no plastifica f) F>R2, como la que se muestra en la figura, se pide: 1) ¿Cuál es la máxima variación del radio externo que se puede conseguir (expresada en función del radio interno), en régimen elástico, aplicando una presión en el interior de la tubería? Para el diseño de la tubería se debe tener en cuenta que el material obedece al criterio de plastificación de Von Misses y un coeficiente de seguridad n=1,5. 2) Demuestre la relación que debe existir entre R1 y R2 para que el incremento del radio interno sea igual al incremento del radio externo al aplicar una presión en el interior de la tubería.

DATOS del material: Límite elástico = 200 MPa, Coeficiente de Poisson= 0.3 -3

Solución.-1)  ∆ R2max= 1·10 ·R1 ;2)R1=R2

Módulo de elasticidad= 70 GPa,

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PROBLEMA 9.4

Un tubo de radio interior R 1=20 cm y radio exterior R 2=30 cm se encuentra en el interior de un macizo elástico de grandes dimensiones. Por el interior del tubo circula un gas a presión P 1 desconocida. Sabiendo que el aumento del diámetro exterior del tubo es 0.02 mm, se pide (justificando las hipótesis que se realicen en la resolución del ejercicio): 1) Calcular la presión en el contacto entre el tubo y el macizo elástico. 2) Calcular la presión P1 a la que circula el gas por el interior del tubo. 3) Suponiendo que el material del tubo obedece al criterio de plastificación de Tresca, comprobar si se produce plastificación en algún punto del tubo.

DATOS: Etubo= 210 GPa;  νtubo= 0.3 Emacizo= 10 GPa;  νmacizo= 0.25 Límite elástico del tubo: σe= 100 MPa Solución:a) P

=

0 . 27 MPa b) P 1 = 5 . 26 MPa

c) No Plastifica

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PROBLEMA 9.5

Se tiene una placa plana de gran espesor, cuadrada, de 5 m de lado y con un taladro circular de 5 cm de radio. Sobre el contorno de la placa actúan unas tensiones, de valor σ tal y como se indica en la figura. Y σ

σ X

σ

+ B

σ

Se pide, justificando adecuadamente todas las hipótesis empleadas, determinar en el punto B (-10, 0) cm: 1. Las tensiones principales y sus direcciones, esta últimas expresadas en ejes {X,Y,Z}. 2. El mínimo valor de σ para que se produzca plastificación en el punto B utilizando el criterio de Von Mises. Datos: σe=200 MPa; E=70 GPa;

 ν

Solución.- 1) σ  1

=

σ  θ 

n1

=

( 0 ,1, 0 )

σ  2

=

σ  Z 

=

n2

=

( 0 , 0 ,1)

σ  3

=

σ  r 

= − 0 . 1875 ⋅ σ 

n3

=

(1, 0 , 0 )

=

1 . 1875 ⋅ σ  0 . 3 ⋅ σ 

=0.3 2) σ 

≤ ± 165

. 66 MPa

PROBLEMA 9.6

Una tubería de radio interior 10 cm y radio exterior 0.2 m conduce un gas con una presión P. La tubería está enterrada en un terreno rígido tal que se puede considerar que la superficie exterior de la tubería está empotrada en el terreno. Suponiendo condiciones de deformación plana, se pide: a) Teniendo en cuenta que el material obedece al criterio de plastificación de Tresca, determinar la mínima presión del gas que provocará la plastificación en algún punto de la tubería. b) Calcular, para la presión obtenida en el apartado anterior, cuál es la energía elástica almacenada en el tubo por unidad de longitud (en dirección perpendicular al plano del papel). DATOS del material: Límite elástico = 200 MPa, Coeficiente de Poisson= 0.3 Solución.- a) P

=

162 . 5 MPa

b)

U   L

=

6223 . 12 J/m

Módulo de elasticidad= 80 GPa,