Ejercicios Propuesto Completos Tema 1 y 2

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” AREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE GERENCIA UNIDAD CURRICULAR: INVESTIGACION DE OPERACIONES TEMA 1 Y 2 PROBLEMAS PROPUESTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Y METAS PROFESOR: Lcdo. WILFREDO DÍAZ. TEMA 1: PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete en bolívares. ¿En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga, al menos, 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N?. MARCA A B

K 4 1

P 6 10

N 1 6

Precio 15 24

2. En una mueblería se planea la producción de mesas y sillas. Cada mesa requiere 2 horas de máquina y 1 hora de mano de obra. Cada silla requiere 6 horas de máquina y 4 horas de mano de obra. La maquina tiene un máximo disponible de 12 horas. La mano de obra tiene un máximo disponible de 8 horas. La ganancia de cada mesa es de 300 Bs. y la de cada silla es de 200 Bs. Halle la mejor combinación de mesas y sillas que puedan producirse para obtener una ganancia máxima, sabiendo que diariamente se venden por lo menos 8 mesas y 32 sillas, Formule el problema como un modelo de programación lineal. 3. Una compañía de aparatos de televisión debe decidir el número de televisores de 32” y 21”, producidos en una de sus fábricas, la investigación de mercado indica ventas a lo más de 400 televisores de 32” y 100 de 21” cada mes. El número máximo de horas-hombre disponible es de 500 por mes, un televisor de 32” requiere 10 horashombre y uno de 21” requiere 5 horas-hombre, cada televisor de 32” produce una ganancia de 1.200 bolívares y cada uno de 21” da una ganancia de 800 bolívares. Formule el modelo de programación lineal. 4. Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de C. Si se venden las tartas T1 a 100 bolívares la unidad y las T2 a 230 bolívares. ¿Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos? 5. Una compañía petrolífera requiere diariamente 9 Ton, 12 Ton y 24 Ton de petróleo de calidad alta, media y baja respectivamente. La compañía tiene dos refinerías. La refinería A produce diariamente 1 Ton, 3 Ton y 4 Ton de calidades alta, media y baja respectivamente. La refinería B produce 2 Ton de cada una de las tres calidades. El costo diario de cada una de las refinerías es de 20 mil bolívares ¿cuántos días debe de trabajar cada refinería para que el costo sea mínimo?

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6. Un frutero necesita al menos 16 cajas de naranjas, 15 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas a un costo de Bs. 600. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de manzanas a un costo de Bs. 840. Calcular cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista. Formule un MPL. 7. Un autobús Punto Fijo - Caracas ofrece puestos para compradores mayoristas al precio de 150 Bs y a compradores minoristas al precio de 115 Bs. Al mayorista se le deja llevar 50 kgs. de peso y al minorista 20 kgs. Si el autobús tiene 90 asientos y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de asientos de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el ingreso y ocupar la totalidad de los asientos? 8. Una empresa de ventanas tiene solo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas: con marco de madera y con marco de aluminio, la ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Manuel hace marcos de madera, y puede terminar 6 al día, José hace 4 marcos de aluminio al día, Leonardo forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día, cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada de aluminio usa 8 pies cuadrados de vidrio. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo producir al día para maximizar la ganancia total. Formule el modelo de programación lineal. 9. La empresa FORD lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1,5 millones de bolívares y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 autos del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos de esa campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones ¿Cuántos automóviles de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos? 10. Una compañía produce dos dispositivos para las lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricas. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas, por cada unidad del producto 2 se requieren 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas, la compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricas, cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades da una ganancia de $2, cualquier exceso de 60 unidades no tiene ganancia por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración. Formule el modelo de programación lineal. 11. Una compañía de transportes tiene 10 camiones con capacidad de 40 ton y 5 camiones de 30 ton. Los camiones grandes tienen un costo de 130 Bs/Km y los pequeños de 125 Bs/Km. En una semana debe transportar la empresa 400 toneladas en un recorrido de 800 km. La posibilidad de otros compromisos recomienda que por cada dos camiones pequeños deba usarse por lo menos uno de los grandes. ¿Cuál es el número de camiones de ambas clases que deben movilizarse teniendo en cuenta las restricciones descritas? 12. Un granjero posee 2.000 hectáreas de terreno donde puede sembrar maíz, trigo y soya. Cada hectárea de maíz tiene un costo de preparación de 2.500 Bs, requiere 7 horas-hombre de trabajo y proporciona una ganancia de 1.900 Bs. Cada hectárea de trigo tiene un costo de preparación de 2.400 BsF, requiere 10 horas-hombre de trabajo y proporciona una ganancia de 1.600 Bs. Para cada hectárea de soya se necesitan 1.000 Bs en preparación, 6 horas-hombre de trabajo y da una ganancia de 1.300 Bs. Si el granjero tiene 2.000.000 Bs para la preparación y puede contar con 8.000 horas-hombre. Formule el modelo lineal para maximizar las ganancias.

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13. Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 asientos y 10 con 50 asientos, pero sólo habrán 9 conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 800 bolívares y el de cada uno de los pequeños, 600 ¿cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? 14. La empresa McDonald’s vende hamburguesas de un cuarto de libra y hamburguesas con queso. La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente utiliza ¼ de libra de carne y la hamburguesa con queso sólo utiliza 0,2 libras. El restaurante empieza cada día con 200 libras de carne. La utilidad neta es la siguiente: 20 bolívares por cada hamburguesa de cuarto de libra y 15 bolívares por cada hamburguesa con queso. El gerente estima además que no venderá más de 900 hamburguesas en total. Formule un MPL para determinar la máxima utilidad que obtiene McDonald's. 15. Un ama de casa, típico ejemplo de la economía informal, hace en sus ratos domésticos libres dos tipos de salsa de tomate que vende en frascos de vidrio al supermercado de la zona. La primera salsa, requiere utilizar 3 Kg. de tomates y 4 tazas de vinagre por cada frasco de salsa. La segunda requiere 5 Kg. de tomates y 2 tazas de vinagre. La primera salsa le produce un beneficio de 40 bolívares por frasco y la segunda 50. El supermercado que remite su producción casera hacia los circuitos comerciales (no sabemos con qué beneficio relativo) le impone a la ama de casa las siguientes condiciones: Que produzca como mínimo 3 frascos de salsa a la semana, que le compre como máximo 24 kg de tomate y 3 botellas de vinagre a la semana. Sabiendo que una botella de vinagre equivale a 16 tazas y que el supermercado monopoliza la venta de tomate y vinagre en la región. Formule un MPL. 16. Cierta persona dispone de 10 millones de bolívares como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones para optimizar el rendimiento global? Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B. 17. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900 barriles de G, 800 barriles de C y 500 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo. 18. Un inversionista está interesado en construir almacenes en tres estados del país. El costo por cada sitio es el siguiente: Estado A, 200.000 Bs; Estado B, 300.000 Bs y Estado C, 240.000 Bs. El inversionista tiene pensado construir por lo menos 15 almacenes. Sin embargo, le gustaría que el número de almacenes en A sea el doble del número de almacenes en B. Adicionalmente, solo puede contratar 400 empleados; cada almacén en A empleará 50, en B cada uno empleará 100 y en C empleará 75. Se desea construir el mayor número de almacenes a un costo mínimo. Formule el modelo. 19. Una planta armadora de radios produce dos modelos, HiFi-1 y HiFi-2, en la misma línea de ensamble. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo son:

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Minutos por unidad de Estación de trabajo HiFi-1 HiFi-2 6 4 1 5 5 2 4 6 3 Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3, respectivamente. La compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán de HiFi-1 y HiFi-2 a fin de minimizar la suma de tiempos no ocupados (inactivos) en las tres estaciones. 20. Un surtidor de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albóndigas con una combinación de carne molida de res y de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, le cuesta a la tienda 80 centavos/libra. La carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, costando 60 centavos/libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albóndiga, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor al 25%? 21. Una compañía manufactura y vende dos productos. La compañía obtiene una utilidad de $12 por unidad del producto 1 y $4 por unidad del producto 2 que se vendan. Las horas de trabajo que se requieren para los productos en cada uno de los tres departamentos de producción se sintetizan en el siguiente cuadro: Producto Departamento 1 2 3

1 1 1 2

2 2 3 3

Los supervisores de estos departamentos han estimado que durante el próximo mes estarán disponibles las siguientes horas de trabajo: 800 en el departamento 1, 600 en el departamento 2 y 2000 en el departamento 3. Suponiendo que la compañía quiere maximizar las utilidades, formule un MPL. 22. J.J. es el presidente de una firma de inversiones personales, que maneja cartera de valores de cierto número de clientes. Un cliente nuevo ha solicitado recientemente que la firma le maneje una cartera de $ 100.000. Al cliente le gustaría limitar su cartera a una combinación de las tres acciones que se muestran en la siguiente tabla. Formule un MPL para determinar cuantas acciones de cada clase debería comprar J.J. para maximizar el beneficio total anual estimado. Acción

Precio por acción $

Gofer crude Can oil Sloth petroleum

60 25 20

Utilidad anual estimada Máxima inversión posible por acción $ $ 7 60.000 3 25.000 3 30.000 4

23. La compañía MINAS XX opera tres minas en Virginia, el mineral de cada una se separa antes de embarcarse en 2 grados. La capacidad de producción de las minas así como los costos diarios de operación son: Minas I II III

Mineral grado alto Ton/dia 4 6 1

Mineral grado bajo Ton/día 4 4 6

Costos de operación $/día 20 22 18

La compañía se comprometió a entregar 54 ton de mineral de grado alto y 65 ton de grado bajo para fines de la siguiente semana. Determine el número de días que cada mina deberá operar durante la siguiente semana. Si MINAS XX a de cumplir su compromiso a un costo mínimo. 24. Una pequeña fábrica de muebles produce mesas y sillas. Tarda dos horas en ensamblar una mesa y 30 minutos en armar una silla. El ensamblaje lo realizan cuatro trabajadores sobre la base de un solo turno diario de 8 horas. Los clientes suelen comprar cuando menos 4 sillas con cada mesa, lo que significa que la fábrica debe producir por lo menos cuatro veces más sillas que mesas. El precio de venta es de $135 por mesa y $50 por silla. Determine la combinación de sillas y mesas en la producción diaria que maximizaría el ingreso total diario de la fábrica. 25. Una compañía de productos electrónicos produce dos modelos de radio, cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y la de la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelo utiliza 10 piezas de cierta componente electrónica, en tanto que cada unidad del segundo modelo requiere 8 piezas de la misma componente. La disponibilidad diaria máxima de la componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de los modelos 1 y 2 es $30 y $20, respectivamente. Determinar la producción diaria optima de cada modelo de radio. 26. Una empresa produce dos líneas de equipo pesado. Una de estas líneas de productos (llamada equipo para remoción de escombros) se destina esencialmente a aplicaciones de construcción. La otra línea (llamada equipos forestales) está destinada a la industria maderera. El miembro más grande de la línea de equipos para remover escombro (E-9) y el miembro mayor de equipos forestales (F-9) se producen en el mismo departamento y con el mismo equipo. Haciendo uso de las predicciones económicas para el próximo mes, el gerente de mercadotecnia de la empresa juzga que durante ese periodo será posible vender todos los E-9 y F-9 que la empresa puede producir. La administración debe ahora recomendar una meta de producción para el próximo mes. Es decir, ¿cuántos E-9 y F-9 deben producirse? En la toma de esta decisión, los principales factores a considerar son los siguientes: 1. La compañía tendrá una utilidad de $5.000 por cada E-9 que se venda y $4.000 por cada F-9. 2. Cada producto pasa por operaciones mecánicas tanto en el departamento A como en el departamento B. 3. Para la producción del próximo mes, estos dos departamentos tienen disponibles 150 y 160 horas, respectivamente. Estos datos se resumen en la siguiente tabla:

Departamento A B

Horas Para los E-9 Para los F-9 10 15 20 10 5

Total disponible 150 160

4. Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de horas de trabajo que se dedicarán a la verificación de los productos terminados del próximo mes no puede ser menor en 10% a una meta establecida de 150 horas. Esta verificación se realiza en un tercer departamento que no tiene relación con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 requiere 30 horas de comprobación y cada F-9 requiere 10 horas. 5. Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado que para la política de operación es necesario construir al menos un F-9 por cada tres E-9. 6. Un consumidor importante ha ordenado un total de por lo menos cinco aparatos (en cualquier combinación de E-9 y F-9) para el próximo mes.

27. Un fabricante produce tres modelos (I, II y III) de cierto producto. Utiliza dos tipos de materia prima (A y B), de los cuales se dispone de 4000 y 6000 unidades, respectivamente. Los requisitos de materias primas por unidad de los tres modelos son:

Materia prima A B

Requisitos por unidad del modelo dado I II III 2 3 5 4 2 7

El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces mayor que el del modelo II y tres veces mayor que el del modelo III. Toda la fuerza de trabajo de la fábrica puede producir el equivalente de 1500 unidades del modelo I. Un estudio del mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos es 200, 200 y 150 unidades, respectivamente. Sin embargo, las razones del número de unidades producidas deben ser igual a 3:2:5. Supóngase que la ganancia por unidad de los modelos I, II y III es $30, $20 y $50, respectivamente. Formule el modelo como un modelo de programación lineal para determinar el número de unidades de cada producto que maximizarán la ganancia. 28. La Constructora Casas Ltda., se ha adjudicado la construcción de 100 casas. El contrato la obliga a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen el mismo costo, pero para Constructora Casas, éstas tienen un margen de utilidad diferente, así las casas tipo campo arrojan 5,1 millones de bolívares y las de tipo rancho 5 millones de bolívares. El contrato obliga a entregar las casas dentro de los nueve meses de firmado el contrato. Otra información relevante se resume en la siguiente tabla: Recurso por tipo de casa Campo Rancho 200 100 50 120

Disponibilidad de horas 12000 13000

Carpintero Albañil

A) Formule el problema de programación lineal. B) Suponga que se desea agregar un nuevo tipo de casa denominada “Española” que da un margen de utilidad de 4,9 millones de bolívares y requiere de 150 hr. de carpintería y 80 hr. de albañilería por casa. Reformule el modelo.

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29. Una compañía tiene dos plantas y tres almacenes. La primera planta puede abastecer un máximo de 100 unidades y la segunda un máximo de 200 del mismo producto. El potencial de ventas del primer almacén es de 150, del segundo de 200 y del tercero de 350. Las utilidades que se obtienen por las ventas en los tres almacenes son: $12 en el primero, $14 en el segundo y $15 en el tercero. En la tabla se da el costo de la manufactura en las dos plantas y del transporte a los almacenes. La compañía desea determinar cuántas unidades debe transportar de cada planta a cada almacén para maximizar la utilidad. Almacén Planta 1 2 3 8 10 12 1 7 9 11 2

30. Una pequeña empresa tiene dos procesos para el mezclado de cada uno productos, liquido para encender carbón de leña y líquido para encendedores de cigarrillo. La empresa está intentando decidir cuantas horas debe correr cada proceso. A continuación se presentan los insumos y los resultados de realizar los procesos durante una hora: Insumos (unidad/hora) Proceso Querosén Benceno 3 9 1 12 6 2

Proceso 1 2

Producciones (unidad/hora) Liquido para encender carbón Líquido para encendedor de cigarrillos 15 6 9 24

Debido a un programa del gobierno, las cantidades máximas disponibles de querosén y benceno son 300 y 450 unidades respectivamente. Los compromisos de ventas requieren que se produzcan por lo menos 600 unidades del líquido para encender carbón y 225 unidades del líquido para encendedor de cigarrillos. Las utilidades por hora que se obtienen de los procesos 1 y 2 son P1 y P2 (Bs./hr.) respectivamente. Formule esto como un MPL. 31. Una tienda de autoservicio que funciona 24 horas tiene los requerimientos mínimos para los cajeros: Periodo 1 2 3 4 5 6 3 - 7 7 - 11 11 - 15 15 - 19 19 - 23 23 - 3 Hora (24 h) 7 20 14 20 10 5 Nº Mínimo Requerido El periodo 1 sigue inmediatamente a continuación del periodo 6, un cajero trabaja 8 horas diarias consecutivas, empezando al inicio de uno de los 6 periodos. Determine que grupo diario de empleados satisface las necesidades con el mínimo de personal. 32. Del Monte C.A. produce dos salsas para carne, agridulce y picante. Ambas salsas se hacen mezclando 2 ingredientes A y B. Se permite un cierto nivel de flexibilidad en las fórmulas de estos productos. En la siguiente tabla se presentan los porcentajes permisibles, junto con datos de ingresos y costos. Se pueden 7

comprar hasta 40 cuartos de A y 30 cuartos de B. La compañía puede vender toda la salsa que produzca. Elabore un MPL cuyo objetivo sea maximizar el ingreso neto proveniente de las ventas de las salsas.

Ingrediente Salsa

A

Precio de venta ($/cuarto) 3,35 2,85

B

Agridulce Por lo menos 25% Por lo menos 50% Picante Cuando mucho 75% * 1,60 2,59 Costo ($/cuarto) * No existe un porcentaje máximo o mínimo explicito

33. En un albergue para cachorros, la comida de los perros se prepara mezclando tres productos granulados, con lo cual se obtiene una dieta bien balanceada para los canes. La información sobre los tres productos se muestra en la siguiente tabla. Si el albergue quiere asegurarse de que cada uno de sus perros ingiera diariamente cuando menos 8 onzas de proteínas, 1 onza de carbohidratos y no más de 0,5 onzas de grasas. ¿Qué cantidad de cada producto en grano deberá incluirse en el alimento de los perros a fin de minimizar los costos? (NOTA: 16 onzas = 1 libra) Producto en grano A B C

Costo por libra Proteínas $ % 0,45 62 0,38 55 0,27 36

Carbohidratos % 5 10 20

Grasas % 3 2 1

34. El superintendente de edificaciones y jardines de una universidad, está planeando poner fertilizante a la grama en el área de patios a la entrada de la primavera. La grama necesita nitrógeno, fósforo y potasio al menos en las cantidades siguientes: Mineral Nitrógeno Fósforo Potasio

Peso mínimo (lb.) 10 7 5

Están disponibles tres clases de fertilizantes comerciales con las siguientes composiciones y precios:

Fertilizante I II III

Contenido (lb.) de mineral por cada 1.000 lb. de fertilizante Nitrógeno Fósforo Potasio 25 10 5 10 5 10 5 10 5

Precio (Bs./lb.) 10 8 7

Se puede comprar todo el fertilizante que se quiera de cada precio y mezclarlos antes de aplicar al pasto. Formule un modelo de programación lineal para determinar cuánto debe comprar de cada fertilizante para satisfacer los requerimientos a un costo mínimo.

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35. Se va a mezclar mineral proveniente de 4 minas diferentes para fabricar bandas para un nuevo producto de la GMC. Los análisis han demostrado que para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe contar con 3 elementos básicos: A, B, C. En particular, cada tonelada de mineral debe contener, por lo menos, 5 libras de elemento básico A, por lo menos 100 libras del elemento B, y al menos 30 libras del elemento C. El mineral de cada una de las 4 minas contiene los 3 elementos básicos, pero en distintas proporciones. Sus composiciones en libras/toneladas, y los costos de extracción de los minerales de cada mina son: Elemento Básico A B C

1 10 90 45

MINA 2 3 3 8 150 75 25 20

4 2 175 37

MINA 1 2 3 4

Costos en $/Ton de mineral 800 400 600 500

La GMC desea hallar la combinación (mezcla) de costo mínimo para fabricar la banda. Plantee el problema como un MPL. 36. Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencia, al menos 500 litros de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguiente ¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo? Jugo de Jugo de Jugo de Existencia Costo Naranja Toronja Arándano [l] [Bs./l] Bebida A 40 40 0 200 1,50 Bebida B 5 10 20 400 0,75 Bebida C 100 0 0 100 2,00 Bebida D 0 100 0 50 1,75 Bebida E 0 0 0 800 0,25 Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una determinada bebida. 37. En una planta se pueden fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C y D) en cualquier combinación. El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro máquinas, es el siguiente: Producto Tiempo de Máquina (min./lb.) Demanda Máxima 1 2 3 4 10 5 3 6 100 A 6 3 8 4 400 B 5 4 3 3 500 C 2 4 2 1 150 D Cada máquina está disponible 80 horas a la semana. Los productos A, B, C y D se pueden vender a 8.000, 6.000, 5.000 y 4.000 Bs./Lb. respectivamente. Los costos variables de trabajo son 3.000 Bs./hr. para las máquinas 1 y 2 y de 1.000 Bs./hr. para las máquinas 3 y 4. El costo del material por cada libra del producto A es de 3.000 Bs. El costo del material es de 1.000 Bs./lb. de productos B, C y D. Formule un modelo de P.L. que maximice la utilidad para este problema. 9

38. Una empresa dedicada a la fabricación de electrodomésticos tiene dos fábricas que producen, a lo sumo 500 y 800 piezas mensuales de cierto producto respectivamente. Estas piezas deben ser transportadas a tres tiendas que necesitan como mínimo 300, 600 y 400 piezas, respectivamente. Los costos de transporte en dólares por pieza son los que se muestran en la tabla, formule un MPL que permita determinar cuántas piezas se deben transportar de cada planta a las tiendas para minimizar los costos. Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 1 6 7 Fabrica 1 3 2 6 Fabrica 2 39. Una empresa proporciona albergues para cachorros. El alimento para perros se hace mezclando dos productos de soya para obtener una dieta bien balanceada. A continuación se muestran los datos para los dos productos: Producto de soya 1 2

Costo por onza (Bs/Oz) 600 150

Proteína (%) 50 20

Grasas (%) 10 20

Si la empresa quiere producir no más de 500 onzas del alimento y asegurar de que sus perros reciban al menos 8 onzas de proteínas y exactamente 1 onza de grasa diariamente. ¿Cuál sería la mezcla de costo mínimo de los dos alimentos para perros? 40. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por maquina asignado a los dos productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son: Minutos por unidad Producto Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Ganancia ($) 10 6 8 2 1 5 20 15 3 2 Determine la combinación óptima de los productos. 41. Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son, respectivamente, 8, 12 y 9 unidades. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando dos productos A y B, cuyos contenidos por Kg son los que se indican en la tabla. ¿Cuántos Kg de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo. Productos Proteínas Hidratos de carbono Grasas Costo / Kg 2 6 1 700 A 1 1 3 450 B 42. Una empresa tiene 14.000 galones de una mezcla de gasolina y alcohol almacenada en su planta 1 y 16.000 galones almacenadas en la planta 2. Desde estas plantas la compañía debe surtir dos distribuidores. El distribuidor 1 requiere 10.000 galones y el distribuidor 2 necesita 20.000 galones. El costo de embarcar 1 galón desde cada planta hasta los distribuidores es: Hacia De

Distribuidor 1

Distribuidor 2

Planta 1

$0,04

$0,06

10

$0,05 $0,03 Planta 2 Formule un modelo de programación lineal para determinar el plan de embarque de costo mínimo que satisfaga las restricciones de provisión y demanda. 43. Una empresa productora de pepinos envasados que dispone de dos plantas ubicadas en distintos puntos geográficos del país debe satisfacer los pedidos diarios de tres comerciantes en distintas zonas. Los costos de transporte de cada planta a cada cliente por paquete de envasados se resumen en la siguiente tabla: Planta 1 4$ Comerciante A 6$ Comerciante B 5$ Comerciante C

Planta 2 7$ 5$ 8$

Las cantidades diarias requeridas por los tres clientes es respectivamente de 50, 60 y 40 paquetes, plantee el problema de optimización que se le presenta al empresario en términos de PL, si cada planta, produjera 50 y 100 paquetes respectivamente. 44. Una empresa puede enviar un total de hasta 200 automóviles en camión y 600 en avión desde su fábrica a sus distribuidores en Colombia, Venezuela y Brasil. El costo de enviar un carro a cada uno de los distribuidores por camión y por avión y las demandas de los distribuidores se muestra en la siguiente tabla. Formule un modelo de transporte para la empresa para que el costo sea mínimo. Por Camión Avión Demanda (Carro)

Colombia Venezuela Brasil 300 200 500 450 300 750 400 150 250

TEMA 2: PROGRAMACIÓN DE METAS 1. Una compañía produce dos tipos de bicicletas, una bicicleta de 3 velocidades y una de 10 velocidades. La división obtiene una utilidad de $25 en la bicicleta de 10 velocidades y $15 en la de 3 velocidades. Debido a la fuerte demanda de estos artículos, durante el periodo de planeación de verano la división cree que puede vender, a los precios que prevalezcan, todos los tipos de estas dos bicicletas que produzca. Las instalaciones de producción se consideran recursos escasos. Estos recursos escasos corresponden al departamento de ensamblado y terminado. Los tiempos unitarios de procesamiento y las capacidades de cada uno de los departamentos se muestran en la tabla siguiente:

Tipo de bicicleta 3 velocidades 10 velocidades Horas disponibles por día

Horas requeridas para procesar cada bicicleta Departamento de Departamento de ensamble terminación 1 1 3 1 60 40

Contribución a la utilidad unitaria 15 25

a. Si la compañía tiene como objetivo maximizar la utilidad cumpliendo con las restricciones de ensamble y terminación como formularia el problema. 11

b. Imagine que la compañía desearía lograr un nivel satisfactorio de utilidad durante este periodo de dificultad. La dirección cree que la utilidad diaria de $600 debería satisfacerse y desea determinar dadas las restricciones de producción, las mezclas de productos que debería llevar a esta tasa de contribución a utilidades. Formule el problema

2. Pinturas MONTANA tiene una ganancia de 2.000 Bs por galón de pintura regular, 3.000 Bs por galón de Premium y 4.000 Bs por galón de suprema. Cada galón de pintura regular requiere 1 minuto en una mezcladora, un galón de la Premium requiere 2 minutos y cada galón de pintura suprema necesita 3 minutos. El gerente del departamento de producción ha establecido una ganancia meta superior a los 100.000 Bs y pretende usar exactamente 1 hora de tiempo en la mezcladora como meta adicional. Formule un modelo de programación meta. 3. CHASE CHEMICAL produce un compuesto al mezclar dos de sus productos CS-01 y CS-02. Cada litro de CS01 cuesta 3$, proporciona 5 gramos de sodio y 2 gramos de azufre. Cada litro de CS-02 cuesta 1$, produce 2 gramos de sodio y 1 gramo de azufre. La mezcla resultante debe contener por lo menos 9 gramos de sodio y 4 gramos de azufre, teniendo como metas mantener el costo por debajo de 3,5$ y producir 2 litros de la mezcla. Formule un modelo de programación meta. 4. Una nueva agencia publicitaria con 20 empleados ha obtenido un contrato para promover un nuevo producto, la agencia puede anunciar por la radio y la televisión. La siguiente tabla proporciona los datos acerca del número de personas a la que llega cada tipo de anuncio, el costo y los requerimientos de trabajo

Exposición (millones de personas) Costo (en miles de $) Empleados asignados

Radio 5 16 2

Televisión 10 48 4

El contrato prohíbe que esta agencia utilice más de 6 minutos de anuncio por la radio, además los anuncios por radio y televisión deben llegar por lo menos a 50 millones de personas. La agencia ha establecido un presupuesto meta de $200 mil. ¿Cuántos minutos por radio y televisión se deben utilizar? 5. Una compañía química produce cuatro productos químicos diferentes (A, B, C y D) usando dos procesos de reacción diferentes (1 y 2). Por cada hora que se realiza el proceso 1 éste entrega 400 Kg. de A, 100 Kg. de B y 100 Kg. de C. El proceso 2 entrega 100 Kg. de A, 100 Kg. de B y 100 Kg. de D por hora. El departamento de marketing de la compañía ha especificado que la producción diaria debe ser no más de 500 Kg. de B y 300 Kg. de C y al menos 800 Kg. de A y 100 Kg. de D. Una corrida del proceso 1 tiene un costo de 500 Bs./hr. y una corrida del proceso 2 tiene un costo de 100 Bs./hr. Suponga que un kilo de cada químico A, B, C y D se pueden vender en 1, 5, 5 y 4 Bs., respectivamente. 1. Formule un modelo de programación lineal. 2. De forma adicional la compañía se ha establecido las siguientes metas: los costos deben ser menor de Bs. 20.000, los ingresos deben ser más de Bs. 150.000 y la ganancia debe ser igual a Bs. 100.000

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6. Una compañía está considerando tres nuevos productos para reemplazar los modelos actuales que se están descontinuando. Se busca determinar la mezcla óptima de estos nuevos productos que debe llevarse a cabo, considerando tres factores: 1. Lograr que una utilidad a largo plazo de al menos 120 millones de bolívares a partir de estos productos. 2. Mantener el nivel actual de empleo de 4.000 trabajadores. 3. Sostener la inversión de capital a menos de 60 millones de bolívares. Ante la duda de no poder alcanzar las metas simultáneamente, se establecen las siguientes penalizaciones: 5 si no se llega a la meta de utilidad (por millón de bolívares menos), 2 por sobrepasar la meta de empleo (por cien trabajadores), 4 por quedar por debajo de esta misma meta y 3 por exceder la meta de inversión de capital (por millón de bolívares de más). La contribución de cada producto a la utilidad, nivel de empleo y nivel de inversión de capital se presenta a continuación: Contribución Unitaria por producto Factor 1 2 3 Utilidad a largo plazo 12 9 15 Nivel de empleo 5 3 4 Inversión de capital 5 7 8 7.

Una compañía produce 3 tipos de tubos: A, que vende a 10 $ el pie; B, que vende a 12 $ el pie, y C, que vende a 9 $ el pie. Para manufacturar un pie de tubo A se requieren 0,5 min. de tiempo de procesamiento en cierta máquina formadora. Un pie del tubo B necesita 0,45 min. y un pie del tubo C 0,6 min. en la misma máquina. Después de la producción, cada pie de tubo, independientemente del tipo, requiere una onza de material de soldadura. El costo de producción total está estimado en 3 $, 4 $ y 4 $ por pie del tubo A, B y C respectivamente. Para la semana siguiente, la compañía ha recibido un pedido excepcionalmente grande consistente en 2.000 pies del tubo A, 4.000 pies de B y 5.000 pies de C. Como en la presente semana solamente hay disponibles 40 horas de tiempo de máquina y solamente 5.500 onzas de material de soldadura se encuentra en inventario, el departamento de producción no será capaz de cumplir la demanda (requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina y 11.000 onzas de material de soldadura). Debido a que la administración no espera que continúe el nivel de demanda tan alto, no desea extender las instalaciones de producción pero tampoco quiere perder el contrato. Por consiguiente, está considerando la posibilidad de adquirir algunos tubos de proveedores japoneses al costo de entrega de 6 $ por pie de tubo A, 6 $ por pie del tubo B y 7 $ por pie del tubo C. Formule un modelo que permita determinar cuánto de cada tipo de tubo producir y cuanto adquirir del Japón de modo que se puedan cumplir las demandas y maximizar las ganancias de la compañía, considerando que la administración desea mantener los costos de importación por debajo de 40.000 $. y se espera una ganancia mínima de 55.000 $. La penalización por no cumplir la meta de ganancia esperada debe ser el doble que la de incumplir la meta de costos.

8.

Rich Oil Company tiene un tanque de almacenamiento en Trenton con una capacidad de 100.000 galones y uno en Filadelfia con una capacidad de 200.000 galones. La compañía desearía al menos 250.000 galones a distribuidores en Nueva York y exa 100.000 galones a distribuidores en Washington D.C. Además la compañía desea que el costo total esté alrededor de $ 10.000, basándose en los siguientes costos de embarque ($/galón) entre tanques de almacenamiento y distribuidores: Orígenes Trenton Filadelfia

Destinos Nueva York Washington D.C 0,05 0,12 0,07 0,10 13

Formule este problema como un modelo de optimización multiobjetiva con metas, donde las metas están subrayadas en el enunciado del problema. 9.

El Municipio Carirubana está estudiando la implantación de 2 tipos de proyectos productivos. Cada unidad del proyecto A cuesta 400$, genera 20 empleos y da cómo rendimiento 200$ al final del año. Cada unidad del proyecto B cuesta 600$, produce 40 empleos y genera una utilidad de 200$. El Alcalde de esta municipalidad, plantea a la Cámara Municipal la obtención de las siguientes metas:  Mantener el gasto total en 2400$ o menos.  Generar por lo menos 120 empleos. Formule un modelo matemático que permita determinar el grado de satisfacción de las metas planteadas. 10. La producción de cada galón de gasolina suprema cuesta 20 % más que la producción de la regular, y cada galón de la Extra cuesta 10 % más que la regular. El gerente del departamento de producción ha determinado que los costos mínimos de producción para satisfacer la demanda de los tres tipos de gasolina para este período son de Bs. 50.000, con un costo de 0,8 Bs. Por galón de regular, En un intento por maximizar la cantidad de gasolina regular producida, se ha establecido una meta de 40.000 galones. El gerente también piensa que por cada bolívar con que los costos de producción excedan la meta establecida en 10 % del mínimo posible debe penalizarse tres veces, así como cada galón que falte a la producción de Regular para alcanzar la meta. Formule un modelo que permita satisfacer las metas planteadas. 11. Mi alimentación requiere que todo lo que coma pertenezca a uno de los cuatro “grupos básicos de alimentos” (chocolates, helados, refrescos y pasteles). Actualmente, se dispone de los siguientes alimentos para el consumo: barra de chocolate con maní y avellana, helado de mantecado con fresa, refresco coca-cola y pastel cubierto con piña. Cada barra de chocolate cuesta 25 Bs.; cada helado cuesta 12 Bs.; cada botella de refresco, 10 Bs.; y cada pieza de pastel cuesta 15 Bs. Cada día tengo que ingerir por lo menos 500 calorias, más de 6 onzas de chocolate, cuando mucho 10 onzas de azúcar y a lo sumo 8 onzas de grasa. El contenido nutritivo por unidad de cada elemento se muestra en la siguiente tabla: Calorías 400 200 150 500

Chocolate con mani y avellana (1 barra) Helado de mantecado con fresa (1 barquilla) Refresco coca-cola (1 botella) Pastel cubierto de piña (1 pieza)

Chocolate (onza) 3 0 0 0

Azúcar (Onzas) 3 2 5 6

Grasa (Onzas) 2 4 2 5

Formule un modelo meta que mantenga los costos inferiores a los 50 Bs. Y cumpla con mis requerimientos de chocolate.

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