Ejercicios - Programación Lineal Entera

 

Introducci ón a la Investigaci ón de Operaciones  

1. 

Mo Mode delo loss generale generaless d dee P PLE LE 

Caso 1.1 El Boxcar_Burger es una nueva cadena de comida rápida, cuyos locales trabajan los 7 días de la semana. La empresa planifica su expansión en áreas suburbanas y en el centro de la ciudad. La gerencia desea determinar cuántos restaurantes abrir en cada área a fin de aumentar al máximo la ganancia semanal neta. Requerimientos y restricciones: Bulto Suburbano Centro  No más de 19 gerentes pueden ser asignados. Inversión por la ubicación 200,000 600,000 •

Ganancia neta diaria ($) Nro Gerentes necesarios

•

 Por lo menos deben abrirse dos restaurantes en el centro.  La inversión total no puede exceder a $2.7 Millones.

•

Z*=75600

1200 3

2000 1

Caso 1.2 Una compañía requiere contratar personal de seguridad. Se estima que los guardias trabajarán turnos de 8 horas y que cada día se necesitan seis turnos para cubrir las 24 horas. Las siguientes tablas muestran el número requerido r equerido de personal de seguridad por cada 4 horas del día y los horarios de entrada y salida de cada turno TURNO HORARIO Medianoche – 8am 1 2 4am – Mediodía 8am – 4pm 3 4 Mediodía – 8pm Período Personal requerido 5 4pm – Medianoche 8pm-4am 6 5 0-4am 7 4-8am 8-12m 15 7 12-4pm 4-8pm 12 8pm-0 9 a)  Se necesita determinar cuántos guardias deberán trabajar en cada turno con el objeto de minimizar el número de ellos. (Z*=32) b)  Si los guardias reciben un sueldo de $100 por hora y un premio de 10% por las horas laboradas entre las 10 pm y 6 am, ¿cómo se modifica el modelo de PLE? (Z*=$26120) Solución:

Sean los conjuntos i: Período de 4 horas de atención, donde i={1: 12am-4am, 2: 4-8am, 3: 8-12pm, 4: 12-4pm, 5: 4-8pm, 6: 8-12am}  j: Turno de trabajo, donde j={1: 0-8am, 2:4am-12m, 3: 8am-4pm, 4: 12m-8pm, 5: 4pm-0, 6: 8pm-4am} Características/atributos: Req(i) = {5, 7, 15, 7, 12, 9} Preparamos la matriz de incidencia “Cobertura Período/turno : Cobertura(i,j) Período 00-8am 4am-12m 8am-4pm 12m-8pm 4pm-00 8pm-4am 0-4am 4-8am 8-12m 12-4pm 4-8pm 8-0

11 0 0 0 0

Variables de decisión:

01 1 0 0 0

00 1 1 0 0

00 0 1 1 0

00 0 0 1 1

Xj = Cantidad de guardias contratados en turno “j”  

a)  F.Objetivo Min Z = ∑Xj Restricciones de Cobertura (de períodos): ∀i: ∑Cobertura(i,j)*Xj ≥ Req(i)  Xj ≥ 0 y enteras b)  El nuevo objetivo sería minimizar mi gasto de personal. Preparamos la matriz Premio(j) que indica el % de premio a que se hace acreedor 00-8am 4am-12m 8am-4pm 12m-8pm 4pm-00 8pm-4am 0.75 0.25 0 0 0.25 0.75 F.Objetivo

Min Z = 8*100 * ∑Xj + 8*10*∑Premio(j)*Xj

10 0 0 0 1

   

Caso 1.3 Una línea aérea necesita asignar sus tripulaciones para cubrir todos sus vuelos programados. Se estudiará el problema pr oblema de asignar tres tripulaciones con base en San Francisco (SF) a los vuelos enumerados en la tabla adjunta. Las otras 12 columnas muestran 12 secuencias de vuelos factibles de una tripulación. (Los números en cada columna indican el orden de los vuelos.) Es ne necesario cesario elegir tres de estas secuencias (una por tripulación) de tal manera que se cubran todos los vuelos (se permite tener más de una tripulación en un vuelo, en el cu cual al los miembros de la tripulación adicional volarían como pasajeros, pero los contratos colectivos de trabajo requieren que se pague el tiempo de la tripulación adicional como si eestuviera stuviera en horario de trabajo). El costo de asignar una tripulación a una secuencia de vuelos específica se muestra (en miles de dólares) en el renglón inferior de la tabla.

Secuencia factible de vuelos Vuelo 1. San Francisco a Los Ángeles 2. San Francisco a Denver 3. San Francisco a Seattle 4. Los Ángeles a Chicago 5. Los Ángeles a San Francisco 6. Chicago a Denver 7. Chicago a Seattle 8. Denver a San Francisco 9. Denver a Chicago 10. Seattle a San Francisco 11. Seattle a Los Ángeles Costo, en $ miles

1 1

2 1

3

4 1

5

6

1

1

8

9

1

1

2

1 3

2

2

3 3 2

4

3

3

4

6

10 1

11

12

1 2 5

5

3

3

1 3

4 3

3

4

2 4

4 2

4

5

2 2

7 1

2 5

7

7

2 2 9

8

4 9

5 2 9

4 8

El objetivo es minimizar el costo total de asignar las tres tripulaciones de manera que cubran todos los vuelos. (Z*=18)

2. 

Modelos de asignación 

Caso 2.1 Los tres hijos de Joe: Karen, Terry y Paul, desean ganar algún dinero para sus gastos personales. El señor Joe eligió tres tareas para sus hijos: podar el césped, pintar la puerta de la cochera y lavar los automóviles de la familia. Para evitar la competencia anticipada entre los hermanos, les pide que presenten licitaciones Podar   Pintar   Lavar   individuales (secretas) por lo que consideren un pago justo por cada una de tareas. La tabla siguiente resume las licitaciones recibidas. Los niños respetaran la decisión de su padre con Karen $15 $10 $9 respecto a la asignación de las tareas. Se solicita utilizar un modelo de asignación que permita minimizar el costo que incurrirá el Sr. Joe. Terry $9 $15 $10 Z* = 27 Paul

Caso 2.2 El entrenador de un equipo de natación debe asignar nadadores para la prueba de 200mt postas combinadas, que irán a las olimpiadas juveniles. Como muchos de sus mejores nadadores son rápidos en más de un estilo, no es fácil decidir cuál nadador asignar a cada uno de los cuatro estilos. Los cinco mejores nadadores y sus mejores tiempos -en segundos- en cada estilo son los siguientes:

$10

$12

$8

ESTILO

Carlos 

Manuel 

David 

Anthony 

Boris 

Espalda

37.7

32.9

33.8

37

35.4

Pecho

43.4

33.1

42.2

34.7

41.8

Mariposa

33.3

28.5

38.9

30.4

33.6

Libre

29.2

26.4

29.6

28.5

31.1

Formule un modelo de PL apropiado y resuélvalo, indicando el nadador escogido para cada estilo y el resultado óptimo esperado por el entrenador. (Z*=126.2)

 

 Caso 2.3

La empresa PROTRAC debe asignar nuevos agentes a los TERRITORIO  territorios de ventas. Están listos 4 aprendices para ser VENDEDORES 1  2  3  asignados y hay tres territorios que requieren un nuevo agente  A 40 30 20 de ventas. Uno de los agentes tendrá que esperar hasta que B 18 28 22 haya otro territorio disponible antes de que pueda ser asignado. 12 16 20 C El efecto de la asignación de cualquiera de los agentes a un D 25 24 27 territorio se mide mediante el aumento marginal anticipado del beneficio neto debido a tal asignación (ver cuadro). # Vendedores 1 1 1 Requeridos Naturalmente PROTRAC está interesada en maximizar el beneficio neto total, para lo cual requiere su ayuda y le pide preparar un modelo de PL que resuelva el problema. (Z* = 95)

# Vendedor Vendedor es Disponibles 1 1 1

Caso 2.4  La figura a continuación muestra la distribución esquemática de un taller con sus centros de trabajo existentes designados por los cuadrados 1, 2 3 y 4. Se tiene que instalar cuatro nuevos centros de trabajo I, II, III y IV, en los lugares designados por los círculos a, b, c y d El equipo de manejo de materiales viaja a lo largo de los pasillos rectangulares que se cortan en las ubicaciones de los centros. Por ejemplo, la distancia del viaje en un sentido (en metros) entre el centro 1 y la ubicación b es 30 + 20 = 50m. El objetivo es asignar los nuevos centros a los lugares propuestos para minimizar el tránsito total de manejo de materiales entre centros existentes y los propuestos. La tabla siguiente resume la frecuencia de los viajes entre los centros nuevos y los existentes. Frecuencia de Viajes entre Centros Existentes y Nuevos Centro III

Centro IV

Centro 1

Centro I 10

Centro II 2

4

3

Centro 2

7

1

9

5

Centro 3

0

8

6

2

Centro 4

11

4

0

7

Z* = 3,555 m Sugerencias:   Se debe obtener la matriz de distancias del CENTRO_EXISTENTE X LUGAR   El objetivo es minimizar el RECORRIDO TOTAL de los materiales una vez ubicados todos los centros nuevos La duda es si un CENTRO_NUEVO se instala o no en determinado LUGAR   Solamente si un CENTRO_NUEVO se instala en un LUGAR, se sumará o contabilizará el recorrido total de los materiales desde ese   centro (lugar) a los 4 centros existentes, considerando la frecuencia. Y así para cada combinación CENTRO NUEVO-LUGAR   Finalmente debe controlar que un determinado CENTRO_NUEVO se instala en un solo lugar (es decir, cuando ya se eligió un lugar, ya no puede elegirse otro para este Centro nuevo). También debe limitar que un LUGAR solamente puede ser ocupado 1 vez (ya no puede pu ede instalarse otro CENTRO NUEVO en este lugar). •

•

•

•

•

3.  Mo Mode delo loss Binarios Binarios puros puros  Caso 3.1  Se están evaluando cinco proyectos a lo largo de un horizonte de planeación de 3 años. La siguiente tabla presenta los rendimientos esperados y los gastos anuales que conllevan.  a)  ¿Cuáles proyectos deben seleccionarse a lo largo del período de 3 años?

PROYECTO 1 2 3 4 5 Fondos disponibles

Gastos ($ millones)/año Año 1 Año 2 Año 3 5 1 8 4 7 10 3 9 2 7 4 1 8 6 10

Rendimiento ($ millones) 20 40 20 15 30

b)  El Gerente indica que los proyectos 1 y 2 son dependientes entre ellos, es decir si uno de ellos va, el otro también. Y si uno no va, el otro tampoco. c)  El Gerente ahora indica que los Proyectos 3 y 4 son 25 25 25 excluyentes, es decir si uno ellos va, el otro no. Sin embargo, ($ millones) al menos debe ir uno de ellos d)  El Gerente cambia de opinión sobre los Proyectos 3 y 4.son excluyentes, pero no hay ninguna condición de que vaya alguno de ellos necesariamente.

 

SOLUCIÓN: a)  Z*=95 X1=X2=X3=X4=1, X5=0 Caso 3.2  La Universidad San Ignacio de Loyola va a formar un comité para atender las quejas de d e los estudiantes, La administración desea que el comité incluya al menos una mujer, un hombre, un estudiante, un administrador y un profesor. Diez personas han sido nominadas y se les ha combinado en las distintas categorías siguientes: La USIL desea formar el menor comité con la

Categoría Mujeres Hombres Estudiantes Administradores Profesores

Personas Ana, Beatriz, Carolina, Diana, Erika Fernando, Germán, Héctor, Ignacio, Julio Ana, Beatriz, Carolina, Julio Erika, Fernando Diana, Germán, Héctor, Ignacio

representación SOLUCIÓN de cada una de las cinco categorías. Formule el problema como un PLE, y halle la solución usando el LINGO. Sea el conjunto i: personas, donde donde j = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j } Xi = 1; el nominado “j” forma parte del comité   Xi = 0; el nominado “j” NO forma parte del comité   A fin de usar el modelo compacto, la data la presentamos usando una matriz de incidencia “Categoría -persona” : Cat_pers(i,j) Ana Beatriz Carolina Diana Erika Fernando Germán Héctor Categoría Mujeres 1 1 1 1 1 0 0 0 Hombres 0 0 0 0 0 1 1 1 Estudiantes 1 1 1 0 0 0 0 0 Administradores 0 0 0 0 1 1 0 0 Profesores 0 0 0 1 0 0 1 1 0  ()      ∑=   Para toda categoría “i”: ∑0   _ _(, (,   ) ∗ () ≥ 1   =

Resultado de LINGO: Z*=3 personas: Carolina/Erika/Ignacio o Carolina/Diana/Fernando Caso 3.3  Para promover la seguridad en el campus, el Departamento de Seguridad Pública de la USIL se encuentra en proceso de instalación de teléfonos de emergencia en lugares seleccionados. El departamento desea instalar una cantidad mínima de estos aparatos que presten servicio a cada una las calles principales del campus. La Figura muestra un mapa de dichas calles con las posibles posi bles ubicaciones de

los teléfonos la utilidad los teléfonos si se(es les lógico colocamaximizar en intersecciones de de calles, de modo que una sola unidad puede prestar servicio al menos a dos calles). Usted debe preparar un modelo de PLE que ayude a la USIL a tomar la mejor decisión. Z* = 3 (Ubicaciones 2,5,6,7)

Ignacio 0 1 0 0 1

Julio 0 1 1 0 0

 

Caso 3.4  Los inmensos tesoros del rey Tut están en exhibición en el Museo de Giza en El Cairo. La distribución del museo se muestra en la figura, con las diferentes salas comunicadas por puertas abiertas. Un guardia de pie en una puerta puede vigilar dos salas adyacentes. La política de seguridad del museo requiere la presencia de un guardia en cada sala. Formule el problema como un PLE para determinar el mínimo de guardias necesarios. Z* =4 (Puertas 3/6/7/9)

Caso 3.5  Cada día un camión de despachos debe decidir los bultos que transportará y dejará en su destino final de forma que logre hacer un uso eficiente de su capacidad que es de 500 kilos y maximice las l as ganancias de su propietario. Tiene la siguiente lista de 10 bultos por transportar en los próximos cuatro días y de ser posible debe transportar todos ellos a lo largo de estos tres días. Evidentemente no es posible transportarlos todos al mismo tiempo.

Bulto Peso (kg) Ganancia ($)

1 150 300

2 100 330

3 300 450

4 200 600

5 150 450

6 120 600

7 180 270

8 100 420

9 200 570

10 250 720

Las ganancias que se señalan en el cuadro son las que recibe el propietario del camión al entregar el bulto el primer pri mer día, pero estas ganancias se reducen a la mitad cuando el bulto es entregado el segundo día y a la tercera parte cuando el bulto es entregado el tercer día y cuarto día. Formule el modelo de programación lineal que permita al propietario del camión planificar el trabajo de despacho de los bultos que sea posible trasladar en cada día. (Z* = 3535) Caso 3.6  Existen seis barrios en una ciudad. La alcaldía debe determinar cómo construir estaciones de bomberos. Se desea construir el número mínimo de estaciones de bomberos, de forma de asegurar que al menos una estación esté a menos de 15 minutos de cada barrio. Los tiempos de viaje entre cada barrio de la ciudad se muestran en el cuadro. Formule un modelo de PLE que permita determinar cuántas estaciones deben construirse y dónde deben estar ubicadas. Z*=2 estaciones (en Barrio2 y Barrio 4)

Desde Barrio 1 Barrio 2 Barrio 3 Barrio 4 Barrio 5 Barrio 6

Tiempos de viaje en minutos Hasta Barrio 1 Barrio 2 Barrio 3 Barrio 4 Barrio 5 Barrio 6 0 10 20 30 30 30 20 10 0 25 35 20 10 20 25 0 15 30 20 30 35 15 0 15 25 30 20 30 15 0 14 20 10 20 25 14 14 0

Caso 3.7  La compañía de transportes ACME se dedica a realizar transportes de como máximo 1 camión de capacidad (pues sólo cuenta con 1 camión) y entrega cargas diariamente a cinco clientes. La siguiente lista proporciona los clientes asociados con cada ruta. Luego de finalizada su ruta diaria el chofer ya no regresa a ACME hasta el día siguiente en que realiza una nueva ruta. Los segmentos de cada ruta dependen de la capacidad del camión que entrega las cargas. Por ejemplo, en la ruta 1, la capacidad del camión es suficiente para entregar las cargas a los clientes 1, 2, 3 y 4 únicamente. Se presenta la tabla de distancias (en millas) entre la terminal de los camiones (ACME) y los clientes. El objetivo es determinar la distancia mínima necesaria para realizar las entregas diarias a los cinco clientes. Se acepta que el resultado indique que un cliente sea atendido por más de una ruta (pues eso se solucionará en la fase de implementación.) Formule el problema como un PLE, y halle la solución óptima.

 

Distancias (millas)

Ruta 1 2 3 4 5 6

Clientes atendidos en la ruta 1, 2, 3, 4 4, 3, 5 1, 2, 5 2, 3, 5 1, 4, 2 1, 3, 5

Z* = 84 millas (Rutas 5 y 6)

ACME Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5

ACME Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Cliente 5 0 10 12 16 9 8 10 0 32 8 17 10 12 32 0 14 21 20 16 8 14 0 15 18 9 17 21 15 0 11 8 10 20 18 11 0

Caso 3.8  El quirófano de un centro de salud tiene solamente 15 horas disponibles para operaciones en el día. Deben programarse 8 pacientes que necesitan ser operados de manera urgente. Los pacientes han sido clasificados según la gravedad de su situación clínica. El nivel de gravedad (del 1 menos grave al 5, más grave) así como la duración estimada de la intervención requerida para cada paciente se muestran en la tabla siguiente. Como el tiempo disponible del quirófano no es suficiente para atender a todos, el centro de salud desea saber cuáles c uáles pacientes deberán atenderse y cuáles habrá que derivar a otro centro de salud cercano.

Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8

ndice de Tiempo Gravedad (horas) 3 2 2 1.5 2 3 5 2.5 1 1.5 4 3 4 2 1 1

a)  Formule un PLE para ayudar al Centro de salud a tomar la decisión. (Z*=21) b)  Supongamos que algunos tratamientos son incompatibles con otros (debido al preparatorio del quirófano, personal especializado, etc). Específicamente, si no se opera a ningún paciente de tipo (gravedad) 2, no puede operarse a pacientes de gravedad 1.  

c) Ahora se adiciona la condición que el paciente 4 (gravedad 5) únicamente podrá ser operado si tanto el paciente 6 como el 7 son operados. Caso 3.9  Un estudiante debe rendir exámenes en los cursos de Economía, Estadística, Bloques de tiempo asignados Curso Electromagnetismo y Optimización. Para estudiar estos 4 exámenes dispone 0 1 2 3 4 5 solamente de 20 horas. Con el propósito de asignar el tiempo de estudio a cada Economía 8 11 13 15 17 18 curso, el estudiante ha fraccionado su tiempo disponible en bloques de 4 horas Estadística 6 9 11 14 16 17 cada uno. La nota que obtendrá en un examen determinado dependerá de los Electromagnetismo 5 10 12 14 15 18 bloques de tiempo que asigne al estudio de ese curso. En la tabla se indica la Optimización 7 10 13 14 17 18 nota que obtendrá en cada curso según el tiempo que le asigne. Para aprobar Economía debe obtener al menos un 4 en el examen y para aprobar Estadística debe obtener al menos un 7. En Electromagnetismo y Optimización se va por una nota de 10 y 12, respectivamente. El problema consiste en encontrar una asignación de tiempo tal que respetando su disponibilidad horaria permita aprobar los 4 cursos obteniendo las máximas calificaciones en los exámenes. Plantee un modelo lineal que represente el problema. Z*=43 Caso 3.10  Speedy Delivery proporciona un servicio que entrega paquetes grandes en dos días, en todo Estados Unidos. Cada mañana se cargan los paquetes que llegaron a cada centro de recolección durante la noche, en los camiones de reparto para su entrega en el área. En razón de que la competencia en este negocio se basa en la rapidez de la entrega, los paquetes se dividen según sus destinos geográficos de manera que se minimice el tiempo promedio necesario para realizar las entregas. Esta mañana, la despachadora del centro de recolección de Blue River Valley, Sharon Lofton, tiene mucho trabajo. Sus tres choferes llegarán en menos de una hora para el reparto. Hay nueve paquetes que entregar en lugares muy alejados entre sí. Como siempre, Sharon introduce estos lugares en la computadora para usar Dispatcher, el software especial del sistema de apoyo. El programa usa las ubicaciones para generar un buen número de rutas posibles para cada camión. Estas rutas se muestran en la

Ubicación de la entrega A B C D E F G H I Tiempo (hr)

1 2 1 2 2 1 3 3 6 4

Rutas atractivas posibles 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 1 1 2 2 3 2 1 2 3 1 3 1 4 2 7 5 4 6 5 3 7 6

siguiente (donde los números cada columna indican ordenque de Sharon las entregas), junto con los tiempos que se parano el sepa recorrido. Dispatchertabla es un sistema interactivoenque muestra estas rutaselpara las apruebe o modifique (quizás la requieren computadora que una inundación ha hecho que una ruta sea no factible). Si Sharon aprueba las rutas como posibilidades atractivas con tiempos estimados razonables, el programa formula y resuelve un modelo de PEB para elegir las tres rutas que minimizan el tiempo total e incluye cada lugar de entrega sólo en una ruta. Esta mañana, Sharon aprueba todas las rutas. (Z*=12 (rutas 4,5 y 8))

 

Caso 3.11  Una tienda por departamentos debe ubicar 3 centros de distribución para atender la demanda de 6 tiendas en la capital. En la tabla siguiente se muestran las distancias entre las posibles ubicaciones de CD y tiendas. Usted deberá aconsejar a la Gerencia dónde se deberán ubicar los CD de forma de minimizar la distancia media entre éstos y las tiendas.

Distancias (km)

Ubicación 1 2 3 4 5 6

Caso Distrito 1 2 3 4 5 6 7 Beneficio ($) Alquiler ($)

1

36 14

Emplazamiento  2 3 4

39 17

44 21

41 15

5

38 18

1 0 6 2 1.2 3 4.8

2 6 0 3.7 3.7 5.1 2 5

Ubicación 3 4 2 1.2 3.7 5.1 0 2.6 2.6 0 6 4.4 1 2.9

5 3 2 6 4.4 0 3.6

6 4.8 5 1 2.9 3.6 0

Una planificando aperturasededeterminaron varias tiendaslos en 5unaemplazamientos ciudad dividida en 7compañía distritos. está Después de un laestudio posibles para las tiendas. La siguiente tabla muestra: i) los distritos cubiertos por cada departamento; ii) los beneficios esperados por cada tienda en los 5 emplazamientos; y iii) los costos de alquiler de los locales correspondientes a los 5 emplazamientos. Determinar: a)  El emplazamiento de las tiendas que produce mayor beneficio de manera que cada distrito se cubra a lo sumo por una tienda. b)  El emplazamiento de las tiendas que minimice el costo de alquileres, aunque un distrito pueda cubrirse por más de una tienda.

4.  Mo Mode delo loss Binar Binarios ios mixt mixtos os  Caso 4.1  Tres compañías telefónicas me ofrecen suscribirme a su servicio de larga distancia. Movistar cobra una cuota fija de $16 por mes m más ás $0.25 por minuto. Claro cobra $25 por mes, pero reduce el costo por minuto a $0.21. En cuanto a Americatel, la cuota fija mensual es de $18, y el costo por minuto es de $0.22. Usualmente ocupo un promedio de 200 minutos de llamada de larga l arga distancia al mes. Suponiendo que no tenga que pagar la cuota fija mensual a menos que realice llamadas y que pueda repartirlas entre las tres compañías como me plazca, ¿cómo debería utilizar las tres compañías para minimizar mi recibo telefónico mensual? Z* = 62 Caso 4.2  Una compañía está considerando la fabricación de tres tipos nuevos de vehículos: T1, T2, y T3. Los recursos necesarios para su s u fabricación, los recursos disponibles, y los beneficios esperados, para cada tipo de vehículo, se dan en la siguiente tabla: La empresa quiere conocer qué tipo de vehículos debe fabricar y cuántos para maximizar los beneficios, teniendo en cuenta que un nuevo modelo solo resulta económicamente viable si se fabrican al menos 1000 unidades. Z* = 6’000,000 

T1 Material 1500 kilos Trabajo 30 horas Beneficios $2000 Caso 4.3  Jobco planea producir al menos 2000 artefactos con tres máquinas. El tamaño mínimo del lote es de 500 artefactos. La siguiente tabla ofrece los datos pertinentes de la situación. Formule el problema como un PLE y halle la solución óptima. Z*=11300

Máquina  1  2  3 

T2 3000 kilos 25 horas $3000

T3 Disponibilidad 5000 kilos 6 000,000 kilos 40 horas 60000 horas $4000 ’

Costo producción Capacidad Costo (unidades)  / unidad ($)  preparación ($)  300 2 600 100 10 800 200 5 1200

 

  Caso 4.4  Leatherco firmó un contrato para fabricar lotes de pantalones, chalecos y chamarras. Cada producto requiere una preparación especial especi al de las máquinas necesarias en los procesos de fabricación. La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes con respecto al uso de la materia prima (piel) y el tiempo de mano de obra junto con estimaciones de cotos e ingresos. Se estima que el abasto actual de piel es de 3000 pies2, y el tiempo de mano de obra disponible está limitado a 2500 horas.

Pantalones Chalecos Chamarras 5 3 8

Piel por unidad (pies2) Determine la cantidad óptima de unidades que Leatherco debe fabricar de cada producto. Z* = 18153.3

Tiempo mano de obra por unidad Costo dedeproducción por unidad ($) (h) Costo de preparación del equipo por lote ($) Precio por unidad ($) Cantidad mínima de unidades necesarias

4 30 100 60 100

3 20 80 40 150

5 80 150 120 200

Caso 4.5  Oilco está considerando dos sitios de perforación potenciales para llegar a cuatro destinos (posibles pozos petroleros), La siguiente tabla presenta los costos de preparación en cada uno de los dos sitios, y el costo de perforación del sitio i al destino j ((i=1,2; i=1,2; j=1,2,3,4).

Formule el problema como un PLE y halle la solución óptima. Z*=18

Sitio 12

Costo de perforación ($ millones) hasta el destino 1

2

3

4

Costo de preparación ($ millones)

24

16

83

51

56

Caso 4.6  Se consideran tres sitios industriales para situar plantas de manufactura. Las plantas envían sus abastos a tres clientes. El abasto en las plantas, la demanda de los clientes y el costo unitario de transporte de las plantas a los clientes aparecen en la siguiente tabla. Aparte de los costos de transporte, las plantas 1, 2 y 3 incurren en costos fijos fij os a razón de $12000, $11000 y $12000, respectivamente. Formule el problema como un PLE y halle la solución óptima. Caso 4.7  La compañía aérea Fly-Right construye jets pequeños que vende a corporaciones para uso ejecutivo. Para cumplir con sus necesidades, en ocasiones los clientes ordenan aviones con diseño especial. Cuando es así, se incurre en un costo de preparación para iniciar la producción de las aeronaves. Fly-Right acaba de recibir pedidos de tres clientes con fechas Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 de entrega cercanas. Debido a que las instalaciones de Costo fijo (preparación) $3 millones $2 millones 0 producción están comprometidas para cumplir contratos $3 millones $0.820% millones anteriores, no podrán aceptar los tres pedidos completos. En Capacidad Ingreso netousada marginal / avión $2 millones 20% 40% consecuencia, debe decidirse el número de aviones que Pedido máximo 3 aviones 2 aviones 5  aviones producirán (si lo hacen) para cada uno de los tres clientes. Los datos relevantes se presentan en la siguiente tabla. Los jets pedidos por los clientes son distintos, por lo que utilizan distinta capacidad de la producción (renglón 3 de la tabla). Además, hay un tope de aviones a aceptar a cada cliente cl iente (último renglón de la tabla). Formule un modelo de PLE y resuélvalo en Lingo Caso 4.8  Un fabricante de muebles de oficina, produce dos tipos de escritorios: ejecutivos y secretariales. La compañía tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1 es una planta antigua que opera con doble turno un total de 80 horas por semana. La planta 2 es una planta más nueva y no opera a su capacidad total. Cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana y la planta opera 2 turnos. La siguiente tabla muestra el tiempo de producción (horas/unidad) y los costos estándar ($/unidad) en cada planta. También se muestran los precios de venta de cada escritorio. Debido a que la compañía ha estado Tiempo Producción Costo estándar Presupuesto experimentando un exceso de costos Tipo Precio venta durante el último periodo presupuestal, los Planta 1 Planta 2 Planta 1 Planta 2 semanal 7 6 $250 $260 $350 $2000 administradores han fijado una restricción Ejecutivo 4 5 $200 $180 $275 $2200 Secretarial semanal sobre los costos de producción.

El Costo Semifijo por producir en cada planta asciende a $ 600 y $900 para las plantas 1 y 2 respectivamente. Además, en caso de producir

 

algún modelo de escritorio se debe asegurar una producción mínima de 100 unidades. El presupuesto semanal para la producción ($) también se muestra en la tabla. Se le pide a usted averiguar cuál es el numero óptimo de escritorios de cada tipo, a producirse en cada planta con el objeto de maximizar las ganancias. SOLUCIÓN Sean los conjuntos  i= Producto y j=Planta, donde: i={1: Ejecutivo, 2=Secretarial} j={1:Planta 1, 2:Planta 2} Definimos los atributos:

Precio(i)={350, 275} Tiempo(i,j)= {7 6 } 45

Presupuesto(i)={2000, 2200} Costo_unit(i,j) = { 250 260 } 200 180

Disp_tiempo(j)={80, 50} Costo_fijo(j)={600, 900}

Sean las variables de decisión: X(i,j) = # escritorios modelo “i” a producir por semana en la planta “j”   Y(j)=1=1sisiproduzco planta “j”; planta “j” W(i) produzcoenel laproducto “i”; 00sisino noproduzco produzcoen el la producto “i” 

Función Objetivo: Max Z = ∑∑Precio(i)*X(i,j) - ∑∑Costo _unit(i,j)*X(i,j) - ∑Costo_fijo(j)*Y(j)   Restricciones:

Tiempo disponible y decisión de producción por planta: ∀j: ∑Tiempo(i,j)*X(i,j) ≤ Disp_tiempo(j) * Y(j) Presupuesto de producción ∀i: ∑Costo_unit(i,j)*X(i,j) ≤ Presupuesto(i)  Decisión de producción por producto ∀i: ∑X(i,j) ≤ M*W(i) ∀i: ∑X(i,j) ≥ 100*W(i)  Caso 4.9  Una fábrica realiza 3 tareas diferentes asociadas a la elaboración de otros tantos productos. La fábrica dispone de 4 máquinas que son utilizadas para la realización de las tareas. En la siguiente tabla aparece la secuencia de máquinas que utiliza cada tarea y el tiempo en minutos que la tarea ocupa en la correspondiente máquina. También aparece en la última columna el tiempo máximo que puede durar una tarea, desde

que empieza hasta que termina. Cada máquina sólo puede realizar una tarea simultáneamente. Sucesión de máquinas Debe formular un modelo de PLE de las 3 tareas sobre las Tarea (tiempo de ocupación de la máquina) 4 máquinas para que se realicen en el menor tiempo T1 M1(4) → M3(3) → M4(5) posible. T2 M1(2) → M2(6) → M3(1) T3 M2(7) → M4(4)

Tiempo máximo por tarea 16 14 14