Ejercicios Procesos Estocásticos (Resueltos)

Trabajo Final Procesos Estoc´ asticos asticos Rodr Rod r´ıguez Mora, Mora , Emilio Emil io

Lara Hern´ andez, andez, Ricardo

151944

148792

Ram´ Ra m´ırez ır ez S´anchez, anchez, Luisa Fernanda

Barqu Barq u´ın Ortiz, Orti z, Alejandro Alej andro

148001

148893

Hern´ andez Gallegos, Luis Fernando andez 150235

17 de mayo de 2017

1.

a) Identifique el proceso X n n∈N0  como una cadena de Markov y diga cu´  al es su espacio de estados, distribuci´  on inicial y matriz de transici´  on.

 { }

Soluci´  on : Como el sobre contiene m  estampas  distintas, entonces si empezamos sin estampas, para el la compra 1: X 1 = m, luego para la siguiente compra, podr´ıamos tener la mala suerte de comprar un sobre con exactamente las mismas m  estampas que ten´ıamos, o con 1, 2,...,m   distintas, por lo que inferimos que el espacio de estados debe ser: I  = 0, m , m + 1, m + 2,...,N 

 − 1, N }

{

Vamos a suponer que en el tiempo inicial  X 0  = 0, i.e. al inicio tenemos ninguna carta con probabilidad 1, o bien P[X 0  = 0] = 1. Es decir la distribuci´on inicial es: α  = (1, 0, 0,..., 0)

(con α

I 

∈R

= RN −m+2 )

Para la matriz de transici´on P  = ( pij ), vamos a analizar casos particulares para luego intentar generalizar: De la distribuci´ on inicial es inmediato que  p 0m  = 1. Tambi´en es evidente que si llegamos a  N  entonces  pN N    = 1, pues ya tenemos todas las estampas del ´album. Ahora bien, si nos encontramos en m y queremos encontrar la probabilidad de quedarnos ah´ı hacemos el siguiente an´alisis: Tenemos un conjunto total de N   estampas, hay N  m  estampas distintas a las que tenemos, y los sobres son una selecci´on (aleatoria) de m   estampas de un conjunto de N , por lo que tenemos una partici´on hipergeom´etrica, y queremos la probabilidad de sacar ninguna carta de las nuevas, y m  de las viejas (que ya tenemos), es decir, la probabilidad de quedarnos ah´ı mismo es:

 −

N −m

 pm,m

Bajo este an´alisis, es f´acil ver que:

0

N  m

N −m

 pm,m+1

m m

    =  m m−1

    =  1

N  m

(“De las N  m  cartas distintas a las que tenemos, queremos que el sobre contenga una estampa de ah´ı y las dem´as  m 1 que sean de las  m  que ya tenemos”).

 −

−

Para este punto debemos ver que en un paso, a lo m´as que podemos llegar de estampas distintas 2 m estampas, donde:  pm,2m

N −m m N  m

m

    =  0

De la distribuci´on hipergeom´etrica obtenemos que m

N −m m k m−k N  m

    = 1 k=0

Es decir, la suma del primer rengl´on de nuestra matriz es 1.

1

Y por lo tanto, pm,j  = 0 para j = 2m + 1, 2m + 2,...,N 

 − 1, N .

Siguiendo este an´alisis, para el siguiente rengl´on ahora tenemos que pm+1 j   = 0 para j < m  + 1, y adem´ as:

 pm+1,m+1  =



N −m−1

0

m+1 m

   N  m



pm+1,m+2  =

,

N −m−1

1

m+1 m−1

   N  m

,

pm+1,2m+1  =



N −m−1 m N  m

m+1

   0

Y como antes: en un paso a lo m´as que podemos llegar, empezando en  m + 1 estampas distintas, es a m + 1 + m  = 2m + 1 estampas distintas, por lo que:  p m+1,k  = 0 para toda  k >  2 m + 1. Y otra vez, por la distribuci´on hipergeom´etrica, el rengl´on suma 1. Por lo que la matriz que obtenemos es en efecto una matriz estoc´ astica. La forma de la matriz es como sigue: 0 0 m

P  =

m+1

.. . N 

0  0  0  .. . 0

m

m+1

m+2

···

2m

2m+1

···

N 

1 N −m ( 0 )(m m) N  (m)

0 N −m ( 1 )(mm−1) N  (m ) N −m−1 ( 0 )(mm+1) N  (m ) .. .

0 N −m ( 2 )(mm−2) (N  m) N −m−1 m+1 ( 1 )(m −1) N  (m) .. .

0 N −m ( m )(m0 ) (N  m) N −m−1 ( m−1 )(m1+1) (N  m) .. .

0

0

(N −mm−1)(m0+1) (N  m) .. .

··· ··· ···

0

0

··· ··· ··· ··· ···

0

0

0 .. . 0

0

..

.

···

  0    0  ..  .  1

b) Identifique las clases de comunicaci´  on de la cadena. ¿Cu´  al es el estado absorbente?  Una representaci´on gr´ afica de ´esta cadena ser´ıa:

De aqu´ı es evidente ver que las clases son

{0}, {m}, {m + 1}, ..., {N } El estado absorbente es evidentemente N , pues una vez que se llega ah´ı, jam´as se sale de ese estado (pues ha completado el ´album).

c) Realice una gr´  afica de el n´  umero de estampas diferentes en el ´  album contra el tiempo esperado de  absorci´  on cuando N  = 410 y  m = 5.

2

Para calcular el valor esperado de absorci´on a partir del estado i siguiente relaci´on de recurrencia: {N }

Ei [H 

 ]=1+

− esimo   debemos resolver la

{N } ]P i,j E j [H 

 j ∈I 

{N }

Ei [H 

]=

1+



{N } ]P 

 j  =i E j [H 

1

i,j

− P 

i,i

Donde H N  = ´ınf  n 1 :  X n  =  N  . Con caso base EN [H {N } ] = 0. Solucionar esto para la cadena de Markov anterior es bastante sencillo, ya que el estado  i esimo solo depende de los estados posteriores, por ejemplo, el estado  N  1 solo depende del estado N , entonces podemos obtener su valor f´acilmente. Entonces lo que tenemos que hacer es ir resolviendo el sistema desde  N  1.

{ ≥

}

−

−

 −

Ahora bien, para ´este prop´osito, el primer paso es encontrar la matriz de transici´on  P , cuando  N  = 410 y  m  = 5, lo cu´al es muy sencillo utilizando ´este c´odigo en R.

M