EJERCICIOS PROBABILIDAD Y TEOREMA DE BAYES

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS ESCUELA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA REALIZADO POR: Morayma Tituaña

1.-¿Cual es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 numeros en total, si se compran los 3 centesimos de tal cantidad?

E1

=

evento 3 centesimas de la rifa

P

=

P

=

30 100

P

=

3%

casos favorables casos totales

R= La probabilidad de ganar es del 3%

2.- En un jardin de infantes hay 8 niños morenos y 12 morenas asi como 7 rubios y 5 rubias. Si se elige un integrante al azar, la probabilidad de que sea rubio o rubia es? 8 12 7 5 32

morenos morenas rubios rubias TOTAL E1 E2

= =

Que sea rubio Que sea rubia

P {E1+E2}

=

7 32

+

5 32

P {E1+E2}

=

O,375

=

37.50%

=

12 32

R= La probabilidad de que sea rubio o rubia es del 37,5%

3.- Se lanzo un dado dos veces y en ambas oportunidades se obtuvo 4. ¿Cuál es la probabilidad de que en un tercer lanzamiento se vuelva a obtener 4?

E1

=

Evento de 4

PE1

=

1 6

PE1

=

0.166

PE1

=

16.66%

R= La probabilidad de que salga 4 es del 16,66%

4.- Se lanzan al aire uno tras otro tres dados. La probabilidad de que el numero de tres cifras que se forme, empiece con 4 es:

E1

=

PE1

=

PE1

=

0.166

PE1

=

16.66%

R=

Evento de 4 1 6

La probabilidad de quela cifra empiece con 4 es del 16,66% ya que los otros lansamientos son independientes del primero.

5.- La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un numero menor que 5 es: E1

=

PE1

=

4 6

PE1

=

0.667

R=

Evento menor que 5

EM { 1,2,3,4}

La probabilidad de que salga un numero menor que 5 es del 66,66%

6.- Se lanza una vez un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par, menor que 5? E1

=

Evento menor que 5

EM {2,4}

PE1

=

2 6

PE1

=

0.333

PE1

=

33.33%

R=

La probabilidad de que salga un numero menor que 5 es del 33,33%

7.- Se lanza un dado y se obtiene 2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo lanzamiento se obtenga un número que, sumando con 2, sea inferior a 6? Evento sumando 2 sea menor que 6

E1

=

PE1

=

3 6

PE1

=

0.5

PE1

=

50%

R=

EM {1,2,3}

La probabilidad de que salga un numero que sumado 2 sea inferior a 6 es del 50%

8.- Se extrae una carta al azar de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta que no sea trebol? E1

=

PE1

=

39 52

PE1

=

0.75

PE1

=

75%

R=

Evento de trebol

EM {

La probabilidad de que no sacar trebol es del 75%

}

9.- Una tombola tiene 5 bolas. Al sacar una de las bolas, la probabilidad de que el número grabado en ella sea divisor de 5 es: E1

=

PE1

=

2 5

PE1

=

0.4

PE1

=

40%

R=

Eventodivisor de 5

EM {1,5}

La probabilidad de que salga una bola que sea divisor de 5 es del 40%

10.- La probabilidad de que al hacer rodar un dado, salga un número primo es: E1

=

PE1

=

3 6

PE1

=

0.5

PE1

=

50%

R=

Evento número primo

EM {2,3,5}

La probabilidad de que salga un número primo es del 50%

PE1 PE1

E1 EM

PE1 PE1

11.-Se hace rodar 2 veces un dado comun y se considera la suma de los puntos obtenidos en ambos lanzamientos. La primera vez sale un número par. La probabilidad que la suma sea mayor que 7 es: E1

=

Evento de 7 sumando un número par

EM {6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6, 4-4, 4-5, 4-6, 2-6}

P

=

9 36

P

=

0.25

P

=

25% La probabilidad de que salga un número mayor que 7, sumando un número par es del 25%

R=

12.-Si se lanza dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que los números presenten una diferencia de 2 unidades? E1

=

Evento diferencia de 2 unidades

EM {6-4, 5-3, 4-2, 3-1, 4-6, 3-5, 2-4, 1-3} P

=

8 36

P P

= =

0.22 22%

R=

La probabilidad de que los números presenten una diferencia de 2 unidades es del 22%

13.-Si lanzamos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de los puntos sea igual a cero?

E1

=

Evento diferencia de los puntos sea 0

EM {1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6} P

=

6 36

P

=

0.167

P

=

16.66%

R= La probabilidad de que los números presenten una diferencia de o puntos es del 16,66%

14.- Un animador de concurso lanza un par de dados y registra la suma de sus caras en una patalla. Si el concursante obtiene una suma mayor, gana, de lo contrario, pierde. Si en cierta ocación, el animador obtuvo una suma de 5. ¿Cuál es la probabilidad de que el concursante pierda? E1

=

Evento suma menor de 5

EM {1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 2-1, 2-2, 2-3, 3-1, 3-2, 4-1 }

P

=

10 36

P

=

0.2778

P

=

27.77%

R= La probabilidad de que el concursante pierda es del 27,77%

15.- Si en una caja hay 5 lápices negros, 3 lápices verdes y 4 amarillos, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar un lápiz de la caja, este no sea negro ni verde? E1

=

Evento no negro ni verde

EM {Lápices amarillos}

PE1

=

4 12

PE1

=

0.333

PE1

=

33.33%

R=

5 3 4 12

L. negros L. verdes L. amarilos TOTAL

La probabilidad de que no salga un lápiz ni negro ni verde es del 33,33%

16.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar un guante derecho rojo de un total de 5 pares de guantes rojos y 5 pares de guantes negros? E1

=

Evento guante derecho rojo

PE1

=

5 20

PE1

=

0.25

PE1

=

25%

10 10 20

Guantes rojos Guantes negros

R= La probabilidad de que salga un guante derecho rojo es del 25%

17.- En una bolsa se tiene 20 fichas numeradas del 1 al 20. Si se saca una al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que la ficha extraida tenga un número que sea multiplo de 4? E1

=

Evento multiplo de 4

EM {4, 8, 12, 16, 20}

PE1

=

5 20

PE1

=

0.25

PE1

=

25%

R=

La probabilidad de que salga un numero multiplo de 4 es del 25%

18.- Se elige un número natural del 1 al 30. ¿Cuál es la probabilidad de que ese número sea multiplo de 4? E1

=

Evento multiplo de 4

EM {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 } PE1

=

7 30

PE1

=

0.23

PE1

=

23.33%

R=

La probabilidad de que salga un número multiplo de 4 es del 23,33%

19.- Si se elige al azar un número natural del 1 al 100. ¿Cuál es la probabilidad de que ese número sea multiplo de 3 y 5 a la vez?

E1

=

Evento multiplo de 3 y 5 a la vez

EM {15, 30, 45, 60, 75, 90 } PE1

=

6 100

PE1

=

0.06

PE1

=

6%

R=

La probabilidad de que salga un número multiplo de 3 y 5 a la vez es del 6%

20.- En una caja hay 90 tarjetas numeradas del 10 al 99. Al sacar una tarjeta al azar, la probabilidad de que la suma se sus dígitos sea 4 es: E1

=

Evento suma de los dígitos sea 4

EM {13, 22, 31, 40 } PE1

=

4 90

PE1

=

0.044

PE1

=

4.44%

R=

La probabilidad de que la suma de los dígitos de las tarjetas sea 4 es del 4,44%

TEOREMA DE BAYES

1.- Tres máquinas A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fabrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. a) Seleccionamos una pieza al azar; calcular la probabilidad de que sea defectuosa b) Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcular la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? SOLUCIÓN: Sea D la pieza defectuosa y N la pieza no defectuosa a) P (D) P (D) P (D)

= = =

P(A)*P(D/A)+P(D/B)+P(C )*P(D/C) 0.45*0.03+0.30*0.04+0.25*0.05 0.038

b) Calcular P(B/D) P(B/D)

=

P(B)*P(D/B) P(A)*P(D/A)+P(B)*P(D/B)+P(C )*P(D/C)

P(B/D)

=

0.30*0.04 0.45+0.03+0.30*0.04+0.25*0.05

P(B/D)

=

12 38

c) Calculamos P(A/B) y P(C/D)

=

0.316

P(A/D)

=

P(A/D)

=

P(C/D)

P(C/D)

= =

0.45*0.03 0.45*0.03+0.30*0.04+0.25*0.05 135 380

=

0.355

0.25*0.03 0.45*0.03+0.30*0.04+0.25*0.05 125 380

=

0.329

R= La pieza con mayor probabilidad de haber producido la defectuosa es la A.

2.- Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja. ¿Cuál es la probabilidad de haber sido extraida la urna A? SOLUCIÓN: Llamamos a R bola roja y a N bola negra

P(A/R)

=

P(A)*P(R/A) P(A)*P(R/A)*P(B)*P(R/B)+P

P(A/R)

=

1/3*3/8 1/3*3/8*1/3*2/3+1/3*2/5

P(A/R)

=

45 173

=

0.260

3.- El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo.¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

P(Ingenieros/Dire ctivos

=

P(Ingenieros/Dire ctivos

=

0.20*0.75 0.20*0.75+0.20*0.50+0.60*0.20 0.405

4.- La probabilidad de que haya un accidente en una fabrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta si se ha producido un accidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningun accidente es de 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma,

4.- La probabilidad de que haya un accidente en una fabrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta si se ha producido un accidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningun accidente es de 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿Cuál es la probabilidad de que haya habido ningun accidente?

SOLUCIÓN: Sean los sucesos: I = Producirse incidente A = Sonar la alarma

P(I´/A)

=

P(I´/A)

=

0.9*0.02 0.1*0.97+0.9*0.02 0.157

5.- En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar. a) Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

5.- En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar. a) Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses. b) Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

SOLUCIÓN: Se define los sucesos H= V= M=

Seleccionar una niña Seleccionar un niño Infante menor de 24 meses

a) Calcular P(M) P(M)

=

P(H)*P(M/H)+P(V)*P(M/V)

P(M)

=

0.6*0.2+0.4*0.35

P(M)

=

0.26

P(M)

=

26%

b) Calcular P(H/M) P(H/M)

=

P(H)*P(H/M) P(H)*P(H/M)+P(V)*P(M/V)

P(H/M)

=

0.6*0.2 0.6*0.2+0.4*0.35

P(H/M)

=

0.46

=

46%