Ejercicios Proba[1]

Ejercicios Resuelva los siguientes ejercicios: 1.- Sea el experimento se carga un dado de tal manera que un número par tiene el doble de posibilidades de presentarse que un número non. Obtenga el espacio muestral para dicho experimento. 2.- Se tienen dos dados, el primero es negro y el segundo azul, en ese orden se lanzan al aire y se registra el número de la cara que cae hacia arriba. ¿Cual es el espacio muestral asociado a dicho experimento? 3.- Se seleccionan aleatoriamente 4 estudiantes de una clase. Y se clasifican en hombres y mujeres. Escriba los elementos del espacio muestral. 4.- Considere el problema de seleccionar dos aspirantes de un grupo de 5 para un empleo, e imagine que los aspirantes difieren en su grado de preparación, 1 es el mejor, 2 el segundo mejor y así sucesivamente. El jefe de personal no sabe nada de esta clasificación. Obtenga el espacio muestral para la selección de dichas personas. 5.- Se realiza una observación de vehículos en un crucero o intersección donde se puede dar vuelta a la derecha, izquierda o seguir de frente. Un experimento consiste en observar dos coches al pasar por la intersección. Obtenga un listado de todos los puntos muestrales para dicho experimento. 6.- Se escoge a dos jurados entre 4 alternativas posibles para atender un juicio por asesinato. Enumere los elementos del espacio muestral. 7.- Una agencia comercial compra papelería a uno de tres vendedores V1, V2 y V3. se ordena el pedido en 3 días sucesivos, un pedido por día, tal que (V3, V1, V2) significa que el vendedor V3 recibe el pedido el primer día, V1 el segundo y V2 el tercero. Determine los puntos muestrales de este experimento de solicitar papelería en 3 días consecutivos. Sea A el evento que el vendedor 3 recibe exactamente dos pedidos, Liste los elementos de A y obtenga P(A) 8.- Se seleccionan 3 personas al azar de un registro de votantes y los historiales de manejo para que formen parte de un jurado. El secretario o escribano del condado anota el género de cada persona. Liste los eventos simples de S. Sea el evento B se elige más de una mujer. Liste los elementos de B y obtenga la probabilidad de que ocurra el evento B 9.- Un minorista vende solamente 3 tipos de consolas estereofónicas y la experiencia muestra que tienen igual demanda. Tres clientes entran uno tras otro a la tienda para comprar un estéreo. Al minorista le interesan las preferencias de sus clientes. Establezca las posibilidades con respecto a la distribución de las preferencias entre los 3 clientes. (es decir, obtenga el espacio muestral) 10.- Un jurado debe calificar 3 marcas de café X, Y y Z según su sabor, encuentre los puntos muestrales del experimento. ¿Cuál es la probabilidad de que la marca X sea calificada como la mejor? ¿Cuál es la ¿probabilidad de que se prefiera la marca X a la Y? ¿Cuál es la probabilidad de que la marca Y sea calificada como la peor? Técnicas de conteo o enumeración. 1.- En una gran tienda de descuento, se asigna una clave alfabética de 5 letras a todos los artículos de inventario. Se acostumbra no utilizar dos veces la misma letra en una clave. ¿Cuántas claves diferentes es posible asignar? 2.- Por accidente, un químico combinó dos sustancias de laboratorio a un producto. Desafortunadamente, su ayudante no registró los nombres de los ingredientes. Hay cuarenta sustancias disponibles en el laboratorio. Si las dos sustancias en cuestión deberán localizarse por experimentos sucesivos de ensayo y error. ¿Cuál es el número máximo de pruebas que tendrían que hacerse?

3.- En el problema anterior, supóngase que se utilizó un catalizador conocido en la primera reacción accidental. Debido a esto, el orden en que se mezclan los ingredientes es importante. ¿Cuál es el número máximo de pruebas que tendrían que realizarse? 4.- Cierta compañía planea construir 5 bodegas adicionales en nuevos lugares. Se están considerando 15 sitios. ¿Cuál es el total de posibles selecciones? 5.- Una máquina laminadora puede tener fallas en 12 partes diferentes. Suponiendo que una máquina que no está trabajando tiene fallas en tres partes. ¿De cuantas formas puede ocurrir esto? 6.- Un candado de combinación se abre sólo cuando la combinación correcta de los tres dígitos es seleccionada. Cada dígito puede ser cualquier número entre 0 y 9. si una combinación particular de dígitos representa a un punto muestral, ¿Cuántas posibles combinaciones de candado hay? 7.- ¿de cuantas maneras se pueden seleccionar dos tipos de computadoras de 6 que se ofrecen en el mercado? 8.- Un experimento consiste en asignar 10 trabajadores para 10 tareas distintas (Un trabajador por tarea). ¿De cuantas maneras diferentes pueden asignarse los 10 trabajadores a las 10 tareas? 9.- Refiérase al ejercicio anterior y suponga que solamente hay 4 tareas para realizarse. ¿De cuantas maneras se pueden asignar 4 trabajadores de 10 para hacer 4 tareas diferentes? 10.- Una aerolínea tiene seis vuelos diarios de Nueva York a California y siete vuelos de california a Hawaii. Si los vuelos se hacen en días separados, ¿Cuántos diferentes arreglos de vuelos puede ofrecer la aerolínea de Nueva York a Hawaii? 11.- Una operación de montaje en una empresa manufacturera requiere de tres pasos que se pueden realizar en cualquier orden. ¿de cuantas maneras se puede hacer el montaje? 12.- En la configuración de un sistema de cómputo, para que la empresa lo use en el control de calidad, un ingeniero tiene 4 opciones de computadora: IBM, VAX, Honeywell o HP. Son seis las marcas de monitores que pueden adquirirse y tres los tipos de impresoras gráficas. Si todo el equipo es compatible, ¿en cuántas formas puede diseñarse el sistema? 13.- Un ingeniero químico tiene siete tratamientos distintos, cuya eficacia desea comparar en la producción de un molde de arena que pueda usarse en el moldeo de hierro fundido. Desea comparar cada tratamiento con todos los demás. ¿Cuántas comparaciones de tipo par tendrá que efectuar? En otras palabras, ¿en cuántas formas es posible seleccionar estos tratamientos, dos en cada ocasión? 14.- la configuración de una terminal de cómputo incluye los parámetros de Baudios, dúplex y paridad. Son posibles 11 valores de baudios, dos de paridad (par o impar) y dos de dúplex (a la mitad o lleno). ¿Cuántas son las configuraciones posibles de esta terminal? ¿En cuántas de esas configuraciones se tendría paridad par y dúplex lleno? 15.- Un hombre de negocios en Nueva York está preparando un itinerario para visitar 6 ciudades importantes. La distancia recorrida y, por lo tanto, el costo del viaje, dependerá de la ruta que elija. ¿Cuántos itinerarios diferentes (y costos de viaje) son posibles? 16.- Se seleccionarán dos miembros del consejo ciudadano de un total de 5 para formar un subcomité que estudie los problemas de tránsito en la ciudad. ¿Cuántos subcomités diferentes se pueden formar? 17.- Un determinado zapato se fabrica en 5 estilos diferentes y en cuatro colores distintos para cada uno. Si la zapatería desea mostrar a su clientela pares de zapatos de todos los estilos y colores, ¿Cuántos pares diferentes deberán colocar en el aparador?

18.- Un estudiante de primer año debe tomar un curso de ciencia, uno de humanidades y otro de matemáticas. Si puede escoger entre cualquiera de 6 cursos de ciencia, 4 de humanidades y 4 de matemáticas. ¿En cuántas formas puede acomodar su horario? 19.- ¿en cuántas formas diferentes pueden contestarse 9 preguntas de verdadero o falso? 20.- en un estudio de economía de combustibles, se prueban 3 carros de carreras con 5 diferentes marcas de gasolina, en 7 sitios de prueba en distintas regiones del país. Si se utilizan dos pilotos en el estudio y las pruebas se realizan una vez bajo cada conjunto de condiciones, ¿Cuántas se necesitarán? 21.- ¿Cuántas permutaciones diferentes pueden hacerse con las letras de la palabra columna? ¿Cuántas de estas permutaciones empiezan con la letra m? 22.- Se sacan 3 boletos de la lotería, de un grupo de 40, para el primero, segundo y tercer premios. Encuentre el número de puntos muestrales para otorgarlos si cada concursante conserva sólo un boleto.

1.- Sea el experimento de lanzar dos dados en donde el orden de lanzamiento no importa. Suponga los eventos: H: La suma de los dados da 8. F: Ambos dados caen en número par. Calcule

P( H ∪ F )

2.- Cuando una computadora se bloquea, existe una probabilidad de 75% de que se deba a una sobrecarga, y de 15% de que sea un problema de Software. La probabilidad de que se origine en una sobrecarga ó un problema de Software, es de 85%. ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a ambos problemas? 3.- La mayoría de las estaciones de servicio venden tres tipos de gasolina: corriente, super y Premium. Con frecuencia, alguna de cada tipo está enriquecida con etanol. La siguiente tabla ilustra los porcentajes de clientes que prefieren cada tipo. Corriente (R)

Super (S)

Premium (P)

Total

Etanol

0.05

0.10

0.05

0.20

Sin etanol

0.15

0.40

0.25

0.80

Total

0.20

0.50

0.30

1.00

Determine la probabilidad de que el siguiente cliente prefiera: a) Corriente o etanol. b) Super o sin etanol. 4.- Un estudiante toma dos cursos, historia y matemáticas. La probabilidad de que pase el curso de historia es 0.60, y la probabilidad de que apruebe el curso de matemáticas es de 0.70. la posibilidad de que apruebe ambos es 0.50. a) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe por lo menos un curso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no apruebe ningún curso? 5.- Una encuesta entre suscriptores indicó que 45.8% habían rentado un automóvil durante los últimos doce meses por motivos de negocios, 54% por motivos personales y 30% por motivos de negocios y personales a la vez.

a)

¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor rente un automóvil durante los últimos 12 meses por motivos de negocios o personales? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor no rente un automóvil durante los últimos 12 meses por motivos de negocios o personales? 6.- Considere que en un ejercicio militar de dos unidades, Roja y Azul, existe una probabilidad de 60% de que la unidad Roja cumpla con sus objetivos, y 70% de que lo haga la unidad Azul. La probabilidad de que ambas cumplan con sus objetivos es de 42%. ¿Cuál es la probabilidad de que la Unidad Roja ó la Azul cumplan con los objetivos planteados? 7.- Se ha observado que 80% de los accidentes en fundidoras se debe a errores humanos, y 40% a falla de equipos. En 35%, participan ambos problemas. Se investiga un accidente en una fundidora, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido originado por cualquiera de las dos opciones? ¿De qué solo haya resultado de errores humanos? 8.- un sistema detector de humo usa dos dispositivos, A y B. si se produce humo, la probabilidad de que sea detectado por A es de 0.95; por el dispositivo B, es de 0.98; y por ambos es de 0.94. si hay humo, encuentre la probabilidad de que sea detectado por el dispositivo A, por el B, o por ambos. Encuentre la probabilidad de que el humo no sea detectado. 9.- Las enfermedades I y II son comunes entre la gente de cierta población. Se supone que 10% de la población contraerá la enfermedad uno alguna vez durante su vida, 15% contraerá eventualmente la enfermedad II, y el 3% contraerá ambas. a)

Encuentre la probabilidad de que una persona elegida al azar de esta población, contraiga al menos una enfermedad. b) Encuentre la probabilidad de que la persona no contraiga ninguna enfermedad. 10.- Cada año se realizan exámenes físicos de rutina como parte de un programa de servicios de salud para los empleados de cierta compañía; se descubrió que 8% de los empleados necesitan zapatos ortopédicos, 15% requieren de un tratamiento dental y 3% necesitan tanto zapatos ortopédicos como un tratamiento dental. a) b)

¿Cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado en forma aleatoria necesite zapatos ortopédicos o tratamiento dental? ¿Cuál es la probabilidad de que No requiera ni zapatos ortopédicos ni tratamiento dental?

11.- Un almacén ha recibido 100 aparatos de televisión de su proveedor, de los cuales le es desconocido que 10 son defectuosos. Si se seleccionan al azar 2 aparatos para ser sometidos a una inspección minuciosa. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos estén defectuosos? 12.- La probabilidad de que el jefe de familia esté en casa cuando un representante de una compañía de teléfonos llame es 0.4. Dado que el jefe de familia está en casa, la probabilidad de que ocurra un cambio de compañía para las llamadas de larga distancia es 0.3. Encuentre la probabilidad de que el jefe de familia esté en casa y cambie de compañía para las llamadas de larga distancia. 13.- Un estudio de la conducta después del tratamiento de un gran número de drogadictos, sugiere que la probabilidad de reincidencia dentro de los dos años siguientes al tratamiento podía depender de la educación del transgresor. Las proporciones del número total de casos que caen dentro de 4 categorías de educaciónreincidencia se presentan a continuación. Educación

Reincide

No reincide

Total

10 años o más

0.10

0.30

0.40

9 años o menos

0.27

0.33

0.60

Total

0.37

0.63

1.00

Encuentre: a)

La probabilidad de que el transgresor tenga 10 años o más de educación dado que reincide dentro del periodo de los dos años siguientes al tratamiento. b) La probabilidad de que el transgresor reincida dentro del periodo de dos años siguientes al tratamiento dado que tiene 9 años o menos de educación.

14.- Una encuesta entre los consumidores de una comunidad particular mostró que el 10% quedaron inconformes con ciertos trabajos realizados en sus casas. La cuarta parte de las quejas se referían al empleado A. si el empleado A realiza el 35% de los trabajos, encuentre la probabilidad de que: a) El consumidor reciba un mal trabajo dado que se trata del empleado A b) de que el empleado A haya realizado el trabajo dado que el consumidor está conforme con su trabajo. 15.- La tienda de autoservicio Friendly ha sido víctima de ladrones durante el mes pasado, se ha podido aprehender a 250 ladrones. Se registró el sexo de cada infractor y si este era su primer robo o si ya había sido sorprendido con anterioridad. Los datos se resumen en la sig. tabla: Sexo

Primera aprehensión

Reincidente

Hombre

60

70

Mujer

44

76

Si el infractor es sorprendido al azar a) encuentre la probabilidad de que sea hombre. b) De que sea la primera aprehensión dado que es hombre c) De que el ladrón sea mujer dado que es su primera aprehensión 16.- Un estudio realizado con jugadoras de rugby colegial que tenían antecedentes de lesiones en la rodilla se investigaron las dos lesiones mas comunes: Las torceduras de ligamento cruzado medial (LCM) y los desgarres del ligamento cruzado anterior (LCA). Si se sabe que 47% de las jugadoras con lesiones en la rodilla son defensoras y 53% delanteras, además se sabe que el 35% de todas las jugadoras han tenido torceduras de LCM y que el 16.45% de las jugadoras son defensoras y han tenido lesiones de LCM. a) b)

Dado que usted ha seleccionado una jugadora que tiene una torcedura del LCM, ¿Cuál es la probabilidad de que sea delantera? Dado que usted ha seleccionado a una jugadora que tiene desgarre del LCA, ¿Cuál es la probabilidad de que se trate de una defensora?

17.- La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P(D) = 0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es P(A) = 0.82; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(D∩A) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión: a)

Llegue a tiempo, dado que salió a tiempo.

b)

Haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo.

18.- En una estación de servicio, la probabilidad de que un automóvil al que se le llena el tanque de gasolina también necesite un cambio de aceite es 0.25, la probabilidad de que necesite un nuevo filtro de aceite es 0.40 y la probabilidad de que necesite un cambio de aceite y filtro es 0.14. Suponga que un auto llega a llenar el tanque. a)

Si se tiene que cambiar el aceite, ¿cuál es la probabilidad de que se necesite un nuevo filtro?

b)

Si necesita un filtro de aceite nuevo, ¿cuál es la probabilidad de que se tenga que cambiar el aceite?

19.- En un estudio de las causas de Interrupciones del abasto de energía eléctrica, se recopilaron los datos siguientes: en 5% de los casos las interrupciones se deben a fallas en los transformadores, el 80% resulta de daño en las líneas de alimentación y en el 1% de los casos se involucra a ambos problemas. A partir de esta información, calcule la probabilidad aproximada de que una interrupción del abasto de energía eléctrica comprenda: a) Daño de las líneas, dado que el daño proviene de los transformadores b) Daño de los transformadores, dado que el daño está en las líneas c) Daño de transformadores, dada la ausencia de daño en las líneas. 20.- Entre la población masculina de los 30 y 35 años que viven en cierta ciudad el 25% tiene título universitario, el 15% ganas más de $25000 y el 65% no tiene estudios y gana menos de $25000. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo gane menos de $25000 al año dado que: a) Posee título universitario b) No tenga título

Ley de Bayes

1.- Una compañía compra neumáticos de dos proveedores (A y B). El proveedor A tiene antecedentes de suministrar llantas con 10% de defectos, en tanto que el proveedor B tiene una tasa del 5%. Supóngase que el 40% de las existencias actuales vinieron del proveedor A. si se toma una llanta de esas existencias y se ve que es defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido suministrada por el proveedor A? ¿Por el B? 2.- Un importante almacén está considerando cambiar su política de otorgamiento de crédito para reducir el número de clientes que finalmente no pagan sus cuentas. El gerente de crédito sugiere que en el futuro el crédito sea cancelado a cualquier cliente que se demore una semana o más en sus pagos en dos ocasiones diferentes. La sugerencia del gerente se basa en el hecho de que en el pasado el 90% de todos los clientes que finalmente no pagaron se habían demorado en sus pagos en por lo menos dos ocasiones. Suponga que de una investigación independiente se encontró que el 2% de todos los clientes finalmente no pagaron y que de aquellos que si pagaron el 45% se ha demorado en por lo menos dos ocasiones. Encuentre la probabilidad de que un cliente que ya se demoró por lo menos en dos ocasiones finalmente no pague su cuenta. 3.- 3 impresores hacen trabajos para la oficina de publicaciones de cierta universidad. La oficina de publicaciones no especifica una cláusula penal en el contrato por retraso en el trabajo y los datos que a continuación se presentan reflejan la experiencia a largo plazo con estos impresores. Impresor

% de contratos

% de trabajos retrasados

1

0.2

0.1

2

0.3

0.4

3

0.5

0.2

Un departamento descubre que un folleto de reclutamiento mandado a imprimir tiene mas de un mes de retraso. ¿Cuál es la probabilidad de que el impresor 3 tenga el contrato? ¿El dos? ¿El uno? 4.- En cierta población de votantes 40% son republicanos y 60% demócratas. Se reporta que 30% de los republicanos y 75% de los demócratas están a favor de cierta elección. Se escoge una persona al azar de esta población y declara a favor de dicha elección. Encuentre la probabilidad de que esta persona sea un demócrata. ¿Un republicano? 5.- Suponga que, en una ciudad particular, el aeropuerto A controla 50% del tránsito aéreo, y que los aeropuertos B y C controlan 30% y 20% respectivamente. Las tasas de detección de armas en los tres aeropuertos son 0.9, 0.5 y 0.4, en forma respectiva. Si se detecta que un pasajero en uno de los tres aeropuertos porta un arma en la sala de abordar, cual es la probabilidad de que éste haya usado el aeropuerto A? ¿el aeropuerto C? 6.- Una compañía que fabrica cámaras de video produce 3 modelos diferentes. El año pasado, 40% de las cámaras vendidas fueron del modelo 1, 45% de las cámaras fueron del modelo 2 y 15% fueron del modelo 3. de los compradores del modelo 1 30% compran una garantía ampliada, de los compradores del modelo 2 45% compran la garantía ampliada, en tanto que de los compradores del modelo 3 el 70% compran la garantía ampliada. Si sabemos que un comprador seleccionado al azar tiene garantía ampliada. ¿Qué tan probable es que tenga un modelo 1? ¿un modelo 2? ¿y un modelo 3? 7.- Un grupo de interés público, está planeando impugnar las primas de seguro de automóviles en una de tres ciudades: Atlanta, Baltimore o Cleveland. La probabilidad de que se escoja Atlanta es de 0.40, Baltimore 0.35 y Cleveland 25%. El grupo sabe también que tiene una posibilidad de 60% de recibir un dictamen a su favor si eligen Baltimore, de 45% si eligen Atlanta y de 35% si se decide por Cleveland. Si el grupo ha recibido un dictamen favorable, ¿Cuál es la probabilidad de que haya elegido Atlanta? ¿Baltimore? ¿Cleveland? 8.- En cierta gasolinera, el 40% de los clientes, utilizan gasolina regular sin plomo, 35% utilizan gasolina extra sin plomo, y 25% utilizan gasolina Premium sin plomo. De los clientes que consumen gasolina regular, solo 30% llenan sus tanques; de los que consumen gasolina extra, 60% llenan sus tanques, en tanto que de los que usan Premium, 50% llenan sus tanques. Si el siguiente cliente llena el tanque, ¿Cuál es la probabilidad de que pida gasolina regular? ¿Extra? ¿Premium? 9.- Los autos compactos rinden más kilómetros por litro de gasolina, pero no son tan seguros como los autos de mayor tamaño o como las camionetas. De los autos que circulan, 18% son compactos, 45% son autos de mayor tamaño y 37% son camionetas. El 60% de los casos de accidente fatal interviene un auto compacto, en el 45% de los casos de accidente fatal interviene un coche de mayor tamaño, en tanto que en el 30% de los casos de accidente fatal interviene una camioneta. Suponga que se entera de un accidente automovilístico fatal ¿Cuál es la probabilidad de que haya participado un auto compacto? ¿Un auto de mayor tamaño? ¿una camioneta? 10.- Una doctora ha enseñado estadística básica durante varios años. Sabe que 80% de los estudiantes terminan los problemas que se les asigna (terminan sus tareas). También determinó que entre aquellos que hacen las tareas , 90% aprueban el curso. Entre los alumnos que no hacen la tarea , 60% aprueban. El semestre pasado una persona tomó tomó clases de estadística con dicha maestra y obtuvo una calificación aprobatoria. ¿Qué probabilidad hay de que haya hecho sus tareas? ¿De que no las haya hecho? 11.- Una empresa industrial grande utiliza 3 hoteles locales para proporcionar alojamiento a sus clientes durante la noche. De pasadas experiencias se sabe que al 20% de ellos se les asigna habitación en el Ramada Inn, al 50% en el Sheraton y al 30% en el Lakeview Motor Lodge. Si existe una falla en el servicio de plomería en el 5% de los cuartos del Ramada Inn, en 4% de los cuartos del Sheraton y en 8% de los cuartos del Lakeview, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) A un cliente se le asigne un cuarto con problemas de plomería? b) A una persona con un cuarto que tenga problemas de plomería se le asigne acomodo en el Lakeview?

Problemas: 1.Las tres tablas siguientes muestran las “variables aleatorias” y sus probabilidades. Sin embargo solo una de ellas es una distribución de probabilidad. a)

¿Cuál es? x P(x)

x

P(x)

x

P(x)

5

0.3

5

0.3

5

0.5

10

0.3

10

0.1

10

0.3

15

0.4

15

0.4

15

-0.1

20

0.15

20

0.2

20

0.3

b) Utilizando la distribución de probabilidad correcta, encuentre la probabilidad en la que X es: 1) No mayor que 15 2) Exactamente 10 3) Mayor que 10 c)

Calcule la media, la varianza y la desviación de la distribución

2.- La tabla siguiente ilustra la distribución de probabilidad para los premios en efectivo de un sorteo que se lleva a cabo en Lawson’s Department Store. Premio ($)

Probabilidad

0

0.45

10

0.30

100

0.20

500

0.05

1) Si usted compra un boleto, ¿Cuál es la probabilidad de que gane: a) exactamente $100?

b) por lo menos $10?

c) no mas de $100?

2) Determine el valor esperado y la varianza para la distribución. 3.- Dadas las siguientes distribuciones de probabilidad: Distribución A

Distribución B

X

P(X)

X

P(X)

0

.50

0

.05

1

.20

1

.10

2

.15

2

.15

3

.10

3

.20

4

.05

4

.50

a) Calcule el valor esperado de cada distribución b) Calcule la desviación estándar para cada una de ellas. c) Compare los resultados de las dos distribuciones 4.- Con los registros de la compañía de los últimos días hábiles, el gerente de Torrisi motors, un distribuidor regional de automóviles, elaboró un resumen del número de autos vendidos por un día en la siguiente tabla: Número de autos vendidos por día

Frecuencia ocurrencia

0

40

1

100

2

142

3

66

4

36

5

30

6

26

7

20

8

16

9

14

10

8

11

2

de

a)

Obtenga la distribución de probabilidad empírica (es decir), la distribución de frecuencias relativas) para la variable X, número de autos vendidos por día. b) Calcule la media o el número esperado de autos vendidos por día c) Calcule la desviación estándar d) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado a. Se vendan menos de 4 autos? b. Se vendan cuando mucho 4 autos? c. Se vendan por lo menos 4 autos? d. Se vendan exactamente cuatro? e. Se vendan más de cuatro? Distribuciones continuas de Probabilidad.

1.- La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una variable aleatoria que tiene una función densidad dada, Encuentre la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de al menos 200 días? ¿Cualquier duración entre 80 a 120 días?

20000 , x>0 f ( x) = ( x + 100)3 0, cualquier otro punto 2.- La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad

f ( x) =

2( x + 2) , 5 0,

0 < x 1.23) P(Z < -2.13) P(-2.13 < Z < 1.23) El valor de z0 para el cual se cumple que P(-z0 < Z < z0) = 0.2006 P(Z > 3.12) P(Z < -2.31) P(-2.31 < Z < 3.12) El valor de z0 para el cual se cumple que P(Z > -z0) = 0.5197 P(Z > 1.53) P(Z < -2.63) P(-1.13 < Z < 2.23) El valor de z0 para el cual se cumple que P(-z0 < Z < z0) = 0.1971 P(Z > 2.12) P(Z < -1.51) P(-3.31 < Z < 1.12) El valor de z0 para el cual se cumple que P(Z < -z0) = 0.0200

2. El departamento de contabilidad de Weston Materials Inc., un fabricante nacional de cocheras desmontables, informa que a los trabajadores de la construcción les lleva una media de 32 horas y una desviación estándar de dos horas armar un modelo Red Barn. Suponga que los tiempos de montaje siguen una distribución normal. a) ¿Qué porcentaje de las cocheras requiere entre 32 y 34 horas para armarse? b) ¿Qué porcentaje de las cocheras requiere más de 35 horas para armarse? 3. Un informe que apareció publicado en el periódico USA Today indicaba que una familia típica gasta en promedio $490 al mes en comida. Suponga que la distribución de gastos en comida tiene una distribución normal con una desviación de $90. a) ¿Qué porcentaje de las familias gasta menos de $430 al mes en comida? b) ¿Qué porcentaje de las familias gasta entre $430 y $600 al mes en comida? c) ¿Qué porcentaje de las familias gasta en comida entre $500 y $600 por mes? 4. Un estudio de llamadas telefónicas de larga distancia que se hizo desde las oficinas corporativas de Pepsi Bottling Group, Inc., en Sommers, New York, demostró que las llamadas siguen una distribución normal. El lapso de tiempo promedio por llamada fue de 4.2 minutos y la desviación estándar fue 0.60 minutos. a) ¿Qué porcentaje de las llamadas duró entre 4.2 y 5 minutos? b) ¿Qué porcentaje de las llamadas duró entre 4 y 6 minutos?

c)

Como parte de su informe al presidente, el director de comunicaciones quisiera reportar la duración de 4% de las llamadas más largas (en duración). ¿Cuál es este tiempo?

5. Las comisiones anuales que percibieron los representantes de ventas de Machine Products, Inc., un fabricante de maquinaria ligera, sigue la distribución normal. El monto anual medio percibido es de $40,000 y la desviación estándar es de $5000. a) ¿Qué porcentaje de los representantes de ventas percibe más de $42000 al año? b) ¿Qué porcentaje de los representantes de ventas gana entre $32000 y $42000 al año? c) El gerente de ventas quiere recompensar a aquellos representantes de ventas que ganan las comisiones más considerables con un bono de $1000. puede concederle un bono al 20% de los representantes. ¿Cuál es el punto de corte entre aquellos que perciben un bono y los que no lo obtienen? 6. El número de pasajeros a bordo del buque Carnival Sensation en cruceros de una semana por el caribe siguen una distribución normal. El número medio de pasajeros por crucero es de 1820 y la desviación estándar es 120. a) b) c) d)

¿Qué porcentaje de los cruceros tendrá entre 1820 y 1970 pasajeros? ¿Qué porcentaje de los cruceros tendrá 1970 pasajeros o más? ¿Qué porcentaje de los cruceros tendrá 1600 pasajeros o menos? ¿Cuántos pasajeros se encuentran a bordo de los cruceros con 25% más bajo de ocupación?

7. Best Electronics, Inc., ofrece una política de devoluciones “sin averiguaciones”. El número de artículos regresados por día sigue la distribución normal. El número medio de devoluciones de clientes es de 10.3 al día y la desviación estándar es de 2.25 al día. a) ¿En que porcentaje de los días hay ocho o menos clientes que regresan artículos? b) ¿En que porcentaje de los días hay entre 12 y 14 clientes que regresan artículos?

APROXIMACIÓN DE LA NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. 1.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener entre 25 a 30 respuestas correctas de 80 preguntas en un examen de opción múltiple donde cada pregunta tiene cuatro respuestas posibles y sólo una de ellas es correcta? 2.- se lanza 400 veces una moneda. Obtenga la probabilidad de obtener: a) b) c) d)

Entre 185 y 210 caras inclusive; Exactamente 205 caras. Menos de 176 Mas de 227 caras.

3.- Dottie’s Tax Service se especializa en declaraciones de impuesto sobre la renta de clientes profesionistas, como médicos, dentistas, contadores y abogados. Una auditoría reciente de las declaraciones que elaboraba que llevó a cabo el IRS (Sistema de Administración Tributaria de Estados Unidos) indicó que en 5% de las declaraciones que había elaborado durante el último año tenían errores. Suponiendo que este índice continúe hacia el año en curso y que Dottie´s elabora 60 declaraciones, ¿Cuál es la probabilidad de que cometa errores en: a) Más de 6 declaraciones? b) Seis declaraciones cuando menos? c) Seis declaraciones exactamente?

4.- Shorty’s Muffler anuncia que pueden instalar un mofle nuevo en 30 minutos o menos. Sin embargo, hace poco el departamento de estándares laborales de las oficinas corporativas realizó un estudio y encontró que 20% de los mofles no se instalaban en 30 minutos o menos. La división Maumee instaló 50 mofles en el último mes. Si el informe corporativo es correcto: a) ¿Cuántas de las instalaciones en la división Maumee se esperaría que tardaran más de 30 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 8 instalaciones requieran de más de 30 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 15 instalaciones requieran de más de 30 minutos? 5.- Un estudio realizado por Taurus Health Club, famoso a nivel nacional, reveló que 30% de sus nuevos miembros están muy pasados de peso. Una campaña de promoción de membresías en un área metropolitana dio por resultado 500 nuevos miembros. a) Calcule la probabilidad de que 175 o más de los nuevos miembros estén muy pasados de peso b) ¿Cuál es la probabilidad de que 140 o menos de los nuevos miembros estén muy pasados de peso? 6.- Un número reciente de Bride Magazine sugirió que las parejas que están planeando su boda deben esperar que dos terceras partes de las personas a las que se les envía una invitación respondan que si asistirán. Rich y Stacy tienen planeado casarse más adelante en este año y piensan enviar 197 invitaciones. a) ¿Cuántos invitados deben esperar que acepten la invitación? b) ¿Cuál es la desviación estándar? c) ¿Cuál es la probabilidad de que 150 exactamente acepten la invitación? ALGUNAS DISTRIBUCIONES. 1.- De acuerdo con el Periódico de Educación Superior (Journal of Higher Education), el 40% de todos los bachilleres trabajan durante el verano para ganar dinero para la educación universitaria correspondiente al siguiente periodo de otoño. Si 7 bachilleres se seleccionan de manera aleatoria, ¿Cuál es la probabilidad de que a) 5 tengan trabajos en verano?, b) Ninguno trabaje?, c) Todos trabajen? 2.- Según una encuesta, los suscriptores de The Wall Street Journal Interactive Edition emplean la computadora en el trabajo un promedio de 27 horas por semana (WSJ.com Subscriber Study, 1999). Suponga que se aplica la distribución normal y que la desviación estándar es de 8 horas. a)

¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar utilice la computadora en el trabajo menos de 11 horas?

b) ¿Qué porcentaje de suscriptores utiliza la computadora en el trabajo más de 40 horas? c)

Se clasifica a una persona como usuario extraordinario si está en el 20% superior en términos de horas de uso. ¿Cuántas horas debe usar la computadora un suscriptor para ser considerado como usuario extraordinario?

3.- En cierto tipo de tablero de circuitos el promedio de diodos que fallan es de 2 por día. a) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen exactamente 3 en un día dado? b) Un tablero funciona si ninguno de sus diodos falla. ¿Cuál es la probabilidad de que funcione un tablero? 4.- La población de millas recorridas por camioneros de Over the Road Van Lines presenta una media de 8500, con una desviación estándar de 1950. si se toma una muestra de 100 conductores, ¿cual es la probabilidad de que la media de la muestra sea: a)

Mayor que 8900?

b) Entre 8100 y 8400? 5.- En la encuesta Youth and Money de 1999, patrocinada por American Savings Education Council, Employee Benefit Research Institute y Mathew Greenwald & Associates, se habló con miles de estudiantes de edades de 16 a 22 años acerca de las finanzas personales. En la encuesta se encontró que 33% de los estudiantes tienen su propia tarjeta de crédito. a)

En una muestra de 6 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que dos tengan su propia tarjeta de crédito? b) En una muestra de 6 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos tengan su propia tarjeta de crédito?

6.- Cuarenta por ciento de las personas que viajan por negocios llevan un teléfono celular o una computadora portátil. En una muestra de 15 personas, ¿Cuál es la probabilidad de que dos tengan un teléfono celular o una computadora portátil?, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos tengan un celular o una computadora portátil? 7.- Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que el promedio de autos que experimenta una falla por año es de cinco. a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 autos por año sufran una catástrofe? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 1 automóvil por año experimente experimente una catástrofe? 8.- El número promedio de clientes que llegan por hora a ciertas instalaciones de servicio automotriz es de siete. a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen 4 clientes en una hora dada? b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho 2 clientes lleguen el periodo de una hora? 9.- Suponga que el promedio de conductores que viajan entre cierto origen y destino es de 20 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de conductores en determinada hora sea: a) A lo más 10? b) Sea mayor que 20? c) Entre 5 y 10 inclusive? 10.- Un estudio realizado por Taurus Health Club, famoso a nivel nacional, reveló que 30% de sus nuevos miembros están muy pasados de peso. Una campaña de promoción de membresías en un área metropolitana dio por resultado 500 nuevos miembros. a) Calcule la probabilidad de que 175 o más de los nuevos miembros estén muy pasados de peso b) ¿Cuál es la probabilidad de que 140 o menos de los nuevos miembros estén muy pasados de peso? 11.- Según una encuesta realizada por Business Week/Harris a 1035 adultos, 40% de los encuestados estuvieron de acuerdo sin lugar a dudas con la propuesta de que los negocios tienen mucho poder sobre la forma de vida de los estadounidenses. Suponga que ese porcentaje es representativo de la población estadounidense y que se tomó una muestra de 200 individuos para conocer el papel de los negocios en sus vidas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 123 piensen que los negocios tienen mucho que ver en su

forma de vida? ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos piensen que los negocios tienen mucho que ver en su forma de vida? 12.- Una máquina expendedora de bebidas gaseosas se regula para que sirva un promedio de 200 ml por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar de 15 ml. a) ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 ml? 13.- Se pueden impugnar los despidos de trabajadores en la Gran Bretaña, sin costo alguno recurriendo a una institución británica única en su género: un Tribunal industrial. El tribunal tiene la potestad de conceder a un trabajador una indemnización por hasta 17000 dólares por daños y perjuicios. Si una de cada diez personas despedidas presenta una apelación ante el tribunal y se tuvieron 550 despidos, sin relación alguna en un lugar particular de la Gran Bretaña. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se lleven menos de 45 de los despidos ante el tribunal industrial? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten 55 o más ante el citado tribunal industrial? DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL. 1.- Internet Magazine vigila a los proveedores de servicios de internet ISP y proporciona estadísticas acerca de su desempeño. El tiempo promedio para bajar una página en el caso de ISP gratuitos es aproximadamente 20 segundos para las páginas Europeas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tome menos de 10 segundos bajar una página? b) ¿Cuál es la probabilidad de que tome más de 30 segundos bajar una página? c) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran entre 10 y 30 segundos para bajar una página de la red? 2.- El tiempo entre llegadas de vehículos a determinado crucero sigue una distribución exponencial con una media de 12 segundos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre las llegadas de dos vehículos sea de 12 segundos o menos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ese tiempo sea de seis segundos o menos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya treinta segundos o más entre las llegadas de vehículos? 3.- La vida (en horas) de un dispositivo electrónico es una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad a) ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo falle en las primeras 25 horas de funcionamiento? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo funcione 100 horas o más antes de que falle? 4.- Sparagowski & Associates llevaron a cabo un estudio de los tiempos de servicio en la ventanilla de espera para automóviles de los restaurantes de comida rápida. El tiempo promedio entre colocar una orden y recibirla en ciertos restaurantes fue de 2.78 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo para atender a un cliente sea menos de dos minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio de un cliente sea mayor de 5 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo para atender a un cliente supere los 2.78 minutos? 5.- El tiempo (en minutos) durante el cual no hay clientes esperando en la caja de un supermercado sigue una distribución exponencial con 1.2 minutos de promedio. a)

Indique la función densidad de probabilidad para esta distribución

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue entre 0.5 y 1 minutos después de salir el último cliente? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la fila de la caja este sola durante más de un minuto?