Ejercicios Pep 1

Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Minas Ayudantía de Optimización

GUIA N°1 DE EJERCICIOS OPTIMIZACIÓN

Preparado por Felipe Quezada Castañeda

Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Minas Ayudantía de Optimización

EJERCICIOS PEP 1 PROBLEMA #1 Una fábrica de jugos de 1 litro (1000 cc) desea lanzar al mercado una nueva variedad de jugo. Para ello, disponen de 4 ingredientes base. La nueva variedad apuntará a conservar un balance alimenticio, debiendo contener al menos un 15% de vitamina C, y a lo más un 30% de potasio. Existe además una relación entre los betacarotenos y la vitamina A que impone lo siguiente: la cantidad de vitamina A debe ser, cuando menos, un tercio de los betacarotenos. Además, la vitamina A no puede superar el 35% del contenido del jugo. El costo por adquirir los ingredientes, los límites de los pedidos por día, y los aportes porcentuales de cada componente a los ingredientes por unidad se resumen en la siguiente tabla:

Ingrediente 1 Ingrediente 2 Ingrediente 3 Ingrediente 4

Potasi o 20% 5% 35% 15%

Vitamina C 15% 40% 20% 25%

Vitamina A 30% 10% 25% 35%

Betacarotenos

Costo [$/u]

Límite [u]

35% 45% 20% 25%

25 13 10 20

6 9 8 5

FORMULAR (NO RESOLVER) un modelo de programación lineal que permita minimizar los costos, cumpliendo con todos los requerimientos. Considere, para tal caso, que cada unidad son 100 cc. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. SOLUCIÓN: Primero formulamos las variables del modelo. Sea la cantidad de unidades del ingrediente para la nueva variedad ( ). Como se desea minimizar los costos, la función objetivo estará dada por: ( ) Ahora veamos las restricciones. En la nueva variedad, la combinación de los 4 ingredientes debe conformar una unidad de jugo, por lo cual la primera restricción se define de la siguiente manera: (

)

(

)

En el caso de la mezcla separamos por ingrediente. Para la vitamina C, la suma de las cantidades de los ingredientes conforma, por lo menos, un 15% del juego (que son 150 cc). Por lo tanto:

Para el potasio, la suma de las cantidades de cada ingrediente no puede superar el 30% del total del juego (que son 300 cc). Luego:

Para la vitamina A, esta suma debe ser al menos 1/3 de los betacarotenos. Por lo tanto: 1

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(

)

De manera simplificada:

Además, la contribución de la vitamina A no debe superar el 35% del jugo (350 cc). Por ende:

Por último, para los límites diarios, tenemos:

Naturalmente.

. El modelo es entonces el siguiente: ( ) (

)

PROBLEMA #2 Formule y resuelva adecuadamente el siguiente problema de programación lineal. La primera iteración debe ser realizada mediante el algoritmo símplex. La segunda y siguientes efectuarlas empleando el método símplex revisado o matricial:

( )

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SOLUCIÓN: Primero hacemos el cambio de variable , a fin de tener sólo variables no negativas. Reescribiendo el PPL en forma estándar, se tiene: (

)

El problema debe resolverse en dos fases. La fase 1 minimizará la función objetivo ( ) . Procedemos en la primera iteración mediante el algoritmo símplex. La tabla de inicio para este problema es la siguiente. Observe que se han marcado en la tabla la inversa respectiva, así como el elemento pívot para la respectiva iteración: V.B -4 3 1 5 0 3 Entra

; sale

1 2 0 -1 0 -1

-7 2 4 -1 0 3

-3 4 2 -1 0 1

0 0 -1 0 0 1

1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0

50 150 10 0 0 -60

. Primera iteración:

V.B -4 11 1 1 -1 Entra

, sale

( ) 50 75 ---

1 0 0 0 0

-7 16 4 -8 -4

-3 10 2 -4 -2

0 0 -1 0 1

1 -2 0 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

50 50 10 50 -10

( ) 50/7 25/8 5/2

.

Las siguientes iteraciones deben hacerse mediante el algoritmo símplex revisado. De la tabla anterior reconocemos la matriz inversa de esta primera iteración: (

)

Como ya definimos el pívot y las variables de entrada y salida a partir de la tabla anterior, podemos calcular inmediatamente la matriz :

(

)

(

) 3

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Calculamos

para dar inicio a la segunda iteración:

( (

)

)

(

)

Construimos una pequeña tabla para verificar el orden de las variables básicas: (

V.B. (

)

)

Calculamos los valores duales para esta iteración:

(

)

(

)

( (

)

)

Calculamos los coeficientes (o costos) reducidos para esta iteración: (

)

Luego: (

)

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto: (

)

(

)

Como todos los coeficientes reducidos de la función objetivo w son nulos, hemos llegado al óptimo para la fase 1. Como y son no básicas, y por tanto nulas, se tiene que ( ) , por lo que existe un espacio de soluciones factible para el PPL original en la fase 2. Ahora debemos calcular los valores duales para la función objetivo z en la fase 2 (iteración 2). Verificando el orden de las variables básicas: (

V.B. (

)

)

4

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Por lo tanto: (

)

(

)

( (

)

)

Calculamos los costos reducidos: (

)

Luego: (

)

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto: (

)

(

)

Como el coeficiente reducido de en la función objetivo es negativo, aún no estamos en el óptimo. Se tiene que es la variable de entrada para la tercera iteración, porque tiene el coeficiente más negativo en la fila objetivo. Calculamos entonces las columnas y ( ) para determinar la variable de salida y el elemento pívot: (

( )

( )

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

Por lo tanto: V.B. 135/2 10 5/2

( ) -7/4 (135/2):(-7/4) = -270/7 → Ignorar 4 10/4 = 5/2 → Mínimo -1/4 (5/2):(-1/4) = -10 → Ignorar

La variable de salida es entonces Calculamos la matriz inversa

. El pívot corresponde a 4.

:

Donde: 5

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(

(

)

(

)

)

(

)

Entonces:

(

(

)

)

(

(

)

)

Verificamos el orden de las variables básicas: V.B. (

)

Calculamos los valores duales:

(

)

(

)

( (

)

)

Calculamos los costos reducidos: (

)

Luego: (

)

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto: (

)

(

)

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Como ahora todos los coeficientes reducidos son no negativos, hemos llegado al óptimo. Calculamos entonces para encontrar la solución óptima de este problema: (

)

(

)

(

)

Por lo tanto, la solución óptima es y . El resto de las variables son ( ) nulas. Reemplazando estos valores en la función objetivo se obtiene , con ( ) lo cual . PROBLEMA #3 Considere el problema de programación lineal cuyo tableau final (óptimo) es el siguiente. Asuma que Si es la variable de holgura para la restricción i. V.B. X1 S1 -Z a) b) c) d)

X1 1 0 0

X2 -5 2 3

X3 4 1 1

X4 13 6 8

S1 5 10 4

S2 0 1 0

b 7 3 76

¿Cuáles son las variables básicas? ¿Cuáles son las variables no básicas? ¿Cuál es la solución óptima? ¿Qué puede decir acerca de las restricciones 1 y 2? ¿Cuáles son las unidades adicionales?

SOLUCIÓN: Tenemos: a) Las variables básicas son

y

.

b) Las variables no básicas están conformadas por el resto de variables que no se encuentran en la base: son no básicas. c) La solución óptima es . Su valor es ( ) . d) En ambas restricciones hay variables de holgura asociadas. El recurso asociado a la primera restricción se considera abundante, porque no se ha consumido del todo, ya que la variable de holgura asociada, , es mayor que cero. El recurso asociado a la segunda restricción se considera escaso, porque su holgura es nula.

PROBLEMA #4 Una fábrica de ropa produce tres líneas de trajes: jeans, franela y amasado. La ropa es vendida en lotes de 100 trajes de cada tipo. Cada lote pasa a través de tres procesos: corte, cosido y empaque. La planta dispone de 16 cortadores como máximo, 41 máquinas de coser como máximo y debe ocupar a 10 empacadores (no más no menos). Los

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requerimientos para producir un lote de 100 trajes de cada tipo y las utilidades asociadas, se presenta a continuación: Requerimientos de Producción y Utilidad Cortadores [Personas/Lote] Máquinas de Coser [Máquinas/Lote] Empacadores [Personas/Lote] Utilidad [$/Lote]

Jeans Franelas Amasados 4 2 1 1 2 1 1 1 1 400 200 300

FORMULE un modelo de programación lineal que permite maximizar las utilidades de la fábrica. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. A continuación, RESUELVA el modelo que planteó utilizando el método que más le acomode. SOLUCIÓN: El objetivo de la fábrica es determinar las cantidades de cada lote de ropa a fabricar, de tal forma que éstos maximicen las utilidades. Sea la cantidad de lotes de ropa a fabricar del tipo . De la tabla, podemos obtener inmediatamente la función objetivo: ( ) Las restricciones del problema están asociadas al límite de recursos impuesto por la fábrica en función de la cantidad de cortadores, máquinas de coser y personal encargado de empacar. Así, se tiene lo siguiente: Cortadores:

Máquinas de coser:

Personal de empaque:

El modelo completo es entonces: ( )

El modelo puede resolverse utilizando cualquier método. En este caso particular, podemos hacer un arreglo algebraico sencillo que permita solucionarlo mediante el método gráfico. De la tercera restricción, despejamos, con lo cual resulta ( ). Reemplazando en el PPL, obtenemos: 8

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( )

El espacio de soluciones factible (ESF) de este problema es el siguiente:

Figura 1: ESF del problema anterior Notemos que los únicos puntos candidatos a solución óptima de este problema son A y B. Evaluando la función objetivo se obtiene que el punto esquina óptimo es B, dado por lotes de jeans, resultando no rentable fabricar lotes de franela (porque ). Reemplazando lo anterior en el modelo original, se obtiene que lotes de amasados. ( ) La utilidad máxima que percibe la fábrica es de unidades monetarias.

PROBLEMA #5 Escriba el DUAL del siguiente problema. Verifique que el dual del dual es el problema original. ( )

(

) 9

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SOLUCIÓN: Del primal, tenemos que:

Debemos hacer entonces dos cambios de variable: en , se tiene:

y

. Reemplazando

La última expresión podemos fragmentar en dos restricciones independientes: . Además, la expresión independientes:

y

y

también podemos fragmentarla en dos restricciones .

Escribimos entonces el problema primal en forma canónica (primal simétrico): (

)

Construimos ahora el problema dual. Notemos que, a partir de la definición, el dual tendrá 8 variables y 5 restricciones. Además, la variable dual es no restringida, mientras que el resto son no negativas. ( )

La comprobación de que el dual del dual es el primal es obvia, y se deja como ejercicio al lector.

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PROBLEMA #6 La compañía minera FERROJAC CHILE tiene dos operaciones mineras que alimentan de mineral de hierro a una sola planta. Cada mina tiene dos áreas de las cuales puede extraer el mineral. La ley alimentada a planta debe ser mayor que 35% Fe, y debe ser menor que 12% Si. La planta requiere al menos 45.000 toneladas, pero no puede manejar más de 60.000. El mercado interno requiere que al menos 12.000 toneladas de Fe deben estar disponibles para el consumo – asumir un 90% de recuperación en el proceso. La razón promedio de estéril/mineral determinada para las operaciones de extracción mineral tiene un valor de 3,5. Dado los datos que se indican, FORMULAR (no RESOLVER) un modelo de programación lineal, el cual permita obtener un plan minero de producción que cumpla las restricciones operacionales y permita minimizar la desviación de la razón estéril/mineral total. Mina

Área

Cerro GRANATE Lomas BAYAS

Norte Lomas Sur Sur Alberta

Reservas (toneladas) 20.000 10.000 15.000 30.000

% Fe

% Si

40 30 40 35

17 10 11 13

Razón Estéril/Mineral 3,0 2,0 4,0 5,0

SOLUCIÓN: Primero definimos las variables del problema: : Producción Cerro Granate, área Norte : Producción Cerro Granate, área Lomas : Producción Lomas Bayas, área Sur Sur : Producción Lomas Bayas, área Alberta Para este problema, es muy útil la elaboración de un diagrama que muestre el proceso en cuestión: 𝑥 𝑥

𝑥

Ley de Fe ≥ 35% Ley de Si ≤ 12%

Planta

𝑥 Figura 2: Esquema del proceso que se debe modelar en Problema #6 Ahora veamos las restricciones del problema. En cuanto a las capacidades de la planta, como ésta debe recibir al menos 45.000 toneladas y no más 60.000 toneladas, se tendrá: 11

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Si el mercado interno requiere de, al menos, 12.000 toneladas de Fe, entonces el 90% de la producción que llega a planta, en términos del Fe, debe conformar como mínimo, este tonelaje. Luego: (

)

Se debe agregar que los sectores de producción tienen como limitante a sus reservas totales. Luego:

Por último, la planta debe recibir como mínimo una ley del 35% de Fe y, a lo más, una ley del 12% de Si. Luego, tenemos lo siguiente: (

) (

)

Ahora veamos la función objetivo. Como se requiere minimizar la desviación de la razón estéril – mineral, se tendrá: ( )

(

)

(

)

El modelo completo es entonces: ( )

(

) ,

(

(

)

)

PROBLEMA #7 Resuelva el siguiente problema de programación lineal, empleando el método símplex para la fase 1, y el método símplex revisado para la fase 2: ( )

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SOLUCIÓN: Se debe reescribir el PPL en forma estándar. Se tiene entonces: (

)

El problema debe resolverse en dos fases. La fase 1 minimizará la función objetivo ( ) . Procedemos en la primera fase mediante el algoritmo símplex. La tabla de inicio para este problema es la siguiente: V.B. -3 -3 1 -2 0 2 Entra

, sale

1 2 0 -1 0 -1

-5 2 4 -1 0 1

-3 4 2 -1 0 1

1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0

0 0 -1 0 0 1

400 1500 120 0 0 -520

. Primera iteración.

V.B. -3 3 1 -5 -1 Entra

, sale

1 0 0 0 0

-5 12 4 -6 -4

-3 10 2 -4 -2

1 -2 0 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 -1 0 1

400 700 120 400 -120

1 -2 0 1 1

0 1 0 0 0

5/4 -3 1/4 3/2 1

-5/4 3 -1/4 -3/2 0

550 340 30 580 0

( ) --175/3 30

. Segunda iteración.

V.B. -7/4 0 1/4 -7/2 0

( ) 400 750 ---

1 0 0 0 0

0 0 1 0 0

-1/2 4 1/2 -1 0

( ) ----120

( ) Entra , sale . Como , con , entonces existe un ESF para el PPL en la fase 2. Procedemos entonces mediante el método símplex revisado en dicha fase. La matriz inversa de la presente iteración es:

(

)

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Como ya definimos el pívot y las variables de entrada y salida a partir de la tabla anterior, podemos calcular inmediatamente la matriz :

( ( Luego calculamos

)

)

para dar inicio a la cuarta iteración:

(

)

( (

)

)

Construimos una pequeña tabla para verificar el orden de las variables básicas: (

V.B. (

)

)

Calculamos los valores duales para esta iteración: (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Calculamos los costos reducidos: ̅(

)

Luego: ( Por lo tanto:

)

(

)

(

)

(

(

)

)

Como el coeficiente reducido de en la función objetivo es negativo, aún no estamos en el óptimo. Se tiene que es la variable de entrada para la tercera iteración, porque tiene el coeficiente más negativo en la fila objetivo. Calculamos entonces las columnas y ( ) para determinar la variable de salida y el elemento pívot:

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(

)

(

)

(

)

( )

( )

V.B.

( ) -3 760:(-3) = -253.33 → Ignorar 3 340:3 = 113.33 → Mínimo -1 120:(-1) = -120 → Ignorar

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto:

760 340 120 La variable de salida es entonces Calculamos la matriz inversa

. El pívot corresponde a 3.

:

Donde:

(

)

(

)

Entonces:

( (

)

)

(

)

Verificamos el orden de las variables básicas: (

V.B. (

)

)

Calculamos los valores duales:

15

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(

)

(

)

(

(

)

)

Calculamos los costos reducidos: (

)

Luego: (

)

(

)

(

)

Por lo tanto: (

)

(

)

Como ahora todos los coeficientes reducidos son no negativos, hemos llegado al óptimo. Calculamos entonces para encontrar la solución óptima de este problema: (

Por lo tanto, la solución óptima es estos valores en la función objetivo se obtiene .

)

(

(

)

)

,

(

y

)

. Reemplazando ( ) , con lo cual

PROBLEMA #8 Un florista sabe hacer sólo dos tipos de arreglos florales, para los cuales dispone de 3 tipos distintos de flores: rosas, tulipanes e ibizcos. Los requerimientos de flores para cada arreglo, la disponibilidad de flores y los requerimientos de cada arreglo vienen dados en la siguiente tabla: FLORES Arreglo 1 Arreglo 2 DISPONIBILIDAD Rosas 3 1 300 Tulipanes 1 1 140 Ibizcos 1 3 300 PRECIO [$] 2000 1000 a) FORMULE un PPL que resuelva el problema de maximización de ingresos por ventas sujeto a la disponibilidad de recursos. b) ¿Cuál es el problema DUAL asociado? ¿Qué situación podría estar optimizando? Justifique. c) Usando el teorema de holguras complementarias, encuentre la solución óptima del problema dual una vez resuelto el problema primal utilizando el método símplex. 16

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d) Suponga que retorna frustrado después que una bella dama le cerrara la puerta cuando usted le llevaba amablemente una rosa, un tulipán y un ibizco. Si se encuentra con el florista ¿Cuánto cree que estaría dispuesto a pagar él por sus flores? SOLUCIÓN: Tenemos lo siguiente: a) Sean y los dos tipos de arreglos que puede hacer el florista. De la tabla, y en forma inmediata, se obtiene el PPL deseado: ( )

b) Es posible formular inmediatamente el problema dual a partir del primal, sin utilizar la transformación de primal simétrico, invirtiendo las situaciones presentadas en la definición de ambos problemas. Se tiene entonces: ( )

El modelo dual resuelve el problema de un agente externo que desea saber el precio unitario que puede ofrecer por cada una de las flores, en el caso de éste quiera comprarle todas las flores al florista. Así, y son los precios unitarios asociados a las rosas, tulipanes e ibizcos, respectivamente. c) Reescribiendo el primal en forma estándar: (

)

Tabla de inicio: V.B. 3 1 1 -2000 Entra

, sale

1 1 3 -1000

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

300 140 300 0

( ) 100 140 300

. Procedemos con la primera iteración:

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V.B. 1 0 0 0 Entra

, sale

1/3 2/3 8/3 -1000/3

1/3 -1/3 -1/3 2000/3

0 1 0 0

0 0 1 0

100 40 200 -200000

0 0 1 0

80 60 40 -220000

( ) 300 60 75

. Procedemos con la segunda iteración:

V.B. 1 0 0 0

0 1 0 0

1/2 -1/2 1 500

-1/2 3/2 -4 500

Como todos los coeficientes de las variables en la función objetivo son no negativas, hemos llegado al óptimo. La utilidad máxima que puede percibir el florista es de $220.000, con arreglos florales del tipo 1, y arreglos florales del tipo 2. En este punto óptimo, es válido el teorema de holguras complementarias. Por lo tanto: Para el primal: [ [ [

( ( (

)] )] )]

Para el dual: [ [

( (

)] )]

Reemplazando los valores obtenidos en la solución primal óptima en las holguras complementarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Con lo cual se obtiene y . Este valor es correcto, porque si lo ( ) remplazamos en la función objetivo dual, resulta , que es equivalente a la función objetivo primal en el óptimo. Por lo tanto, el florista venderá rosas y tulipanes a un precio de $500 c/u, y entregará como “oferta” los ibizcos gratis, siempre y cuando venda todo como un paquete. Esto tiene sentido, porque si vende sólo las rosas y tulipanes, dado que sólo sabe hacer los arreglos florales descritos, no le sacará provecho a los ibizcos. d) Si tuviéramos tan desgraciada suerte, entonces, idealmente, el valor máximo que nos pagará el florista por las flores es el descrito con anterioridad: $500 por cada rosa y tulipán, y $0 por los ibizcos.

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PROBLEMA #9 Dado el programa lineal: ( )

Se pide: a) Determinar el programa DUAL b) Representar gráficamente este último programa para mostrar su conjunto de soluciones factibles c) A partir de esta representación, describir un proceso por el que tras dos, y sólo dos operaciones de pivotado a partir del origen, se alcance la solución. Estas operaciones de pivotado no tienen por qué seguir las reglas del símplex. d) Por medio de las relaciones que pueden establecerse a merced del principio de holgura complementaria, determinar la solución del problema primal SOLUCIÓN: A partir del enunciado, se tiene: a) Se debe obtener el modelo lineal estándar (MLE) del problema. Para ello, hacemos los cambios de variable y , con lo cual el problema se re-escribe de la siguiente forma: ( )

Ahora podemos formular el problema dual: ( )

b) El espacio de soluciones factibles (ESF) del problema dual es el siguiente:

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Figura 3: ESF del problema dual En el gráfico anterior, los puntos esquina del ESF están dados por los siguientes pares: Punto esquina Valor de G 4/3 B 3 C 36/7 J 6

Valor de 5/3 5 36/7 4

Por tanto, el valor máximo del problema dual es en el punto esquina J.

Valor objetivo -1/3 -2 -4/7 2 , y se cumple cuando estamos

c) Si el proceso de resolución del problema dual no tiene por qué seguir las reglas del símplex, entonces basta que, a partir del origen, el algoritmo ignore la regla dada por el criterio de optimalidad en un problema de maximización, la cual dicta que se escoja siempre el coeficiente más negativo en la fila objetivo del tableau símplex. Por tanto, si partimos desde el origen, podemos comenzar en el punto E, y luego llegar de inmediato al punto J utilizando el hecho de que, en este punto, se encuentra la solución. Notemos que, además, este nuevo proceso ignora la subdivisión del problema en dos fases, ya que se cuenta de inmediato con una solución básica de inicio (el origen). d) Utilizando el teorema de holguras complementarias (THC), se obtiene: Para el primal: [ [

(

(

)] )]

Para el dual:

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[ [ [ [

( ( ( (

)] )] )] )]

De las holguras complementarias para el primal, se obtiene:

Con lo cual se obtiene y , lo que conforma la solución óptima del problema primal. Todas las demás variables son nulas. El valor de la solución óptima ( ) es .

PROBLEMA #10 La Compañía Minera ASIOP S.A. (ASIOPSA) produce dos tipos distintos de concentrado, cobre y zinc. La siguiente tabla muestra las demandas mensuales esperadas para cada producto (en toneladas):

Concentrado Mes 1 Mes 2 Mes 3 Cu 1000 3000 5000 Zn 1000 500 3000 Además, la gerencia de ASIOPSA ha determinado lo siguiente:  El costo de producción por tonelada del concentrado de cobre es de 20 USD, y el del concentrado de zinc es de 10 USD  El costo de mantener una cantidad arbitraria de concentrado a la espera de ser comercializado es de 0,3 USD por tonelada en inventario para el concentrado de cobre, y de 1,5 USD por tonelada en inventario para el concentrado de zinc  El costo de tener mano de obra extra con respecto al mes anterior es de 10 USD/hora  El costo de trabajar menos horas con respecto al mes anterior es de 2,5 USD/hora Estos dos últimos costos se refieren a las fluctuaciones en los niveles de producción, ya que ASIOPSA tiene como política trabajar todos los meses la misma cantidad de horas. Al comienzo de los tres meses existen en inventario 50 toneladas del concentrado de cobre y 200 del concentrado de zinc. Al final de los tres meses, el inventario mínimo debe ser de 400 toneladas de concentrado de cobre y 200 toneladas de concentrado de zinc. Ambos concentrados se guardan en una planta en depósitos comunes. Cada depósito permite guardar hasta dos componentes de concentrado de cobre, y hasta tres componentes de concentrado de zinc. La envergadura de la planta permite guardar hasta 1000 depósitos. Los requerimientos de fabricación de cada concentrado se resumen en la siguiente tabla:

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Concentrado Maquinaria [hr/ton] Mano de obra [hr/ton] Cu 0,10 0,05 Zn 0,08 0,07 La capacidad de fabricación mensual es de 400 horas de maquinaria y 300 horas de mano de obra. Además, se sabe que el último mes sólo se usaron 225 horas de mano de obra para la fabricación de ambos componentes. FORMULAR (NO RESOLVER) un modelo de programación lineal que permita determinar el plan de producción mensual que minimiza los costos de satisfacción de la demanda esperada. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. SOLUCIÓN: Definimos primeramente las variables del problema: : Cantidad de concentrado del tipo (con o el mes (con ) : Inventario de concentrado del tipo al término del mes : Horas de mano de obra empleadas al mes : Aumento del empleo de mano de obra al mes : Disminución del empleo de mano de obra al mes : Número de depósitos requeridos al mes

) producido en

Veamos ahora la función objetivo. Como el objetivo de ASIOPSAL es minimizar los costos, es posible definir dicha función directamente partir de los datos entregados en el enunciado: ( )

(

) (

( )

) )

(

( (

) )

La función objetivo puede escribirse de forma más abreviada como sigue: ( )

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Ahora veamos las restricciones. Lo más sencillo es verificar primero las limitaciones de satisfacción, demanda e inventario de ASIOPSAL. En este caso, para cada mes, se tiene lo siguiente: Mes 1:

Mes 2:

22

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Mes 3:

Con respecto a la maquinaria, se tiene:

Además, para la mano de obra, se tiene que para cada mes: Mes 1:

Mes 2:

Mes 3:

Finalmente, de las limitaciones impuestas por la planta:

Naturalmente, todas las variables consideradas para este problema son no negativas. El modelo completo (simplificado) es el siguiente:

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( )

∑

∑

,

∑

∑

∑

∑

, , ,

PROBLEMA #11 Al comienzo del mes 1, la financiera ARCOS dispone de 400 USD en efectivo. Al comienzo de los meses 1, 2, 3 y 4, la financiera recibirá ingresos y, además, deberá realizar pagos como se indica en la siguiente tabla: Mes Ingresos (US$) Pagos (US$) 1 400 600 2 800 500 3 300 500 4 300 250 El dinero restante en cada mes, una vez realizados los pagos, puede ser invertido durante un mes a una tasa del 0,1% mensual; durante dos meses a una tasa del 052% mensual; durante tres meses a una tasa del 1,0% mensual; o durante cuatro meses a una tasa del 2,0% mensual. FORMULAR (NO RESOLVER) un modelo de programación lineal que permita determinar una estrategia de inversión que maximiza el dinero en efectivo al comienzo del quinto año. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. 24

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SOLUCIÓN: Lo primero es definir las variables de este problema. Sea la cantidad de dinero invertido al comienzo del mes durante un período de meses. La función objetivo queda entonces definida como sigue: ( ) Las restricciones del modelo naturalmente representan la distribución del dinero. Así, éstas se definen por las siguientes desigualdades:

Naturalmente, todas las variables consideradas en el modelo son no negativas. PROBLEMA #12 La Compañía FERROSUR debe decidir cuántas toneladas de acero puro X y cuántas de chatarra Y se deben utilizar en la preparación de una aleación para un cliente. El costo por tonelada de acero puro es de 3, y el de chatarra 6 (por las impurezas); la demanda del cliente es de por lo menos 5, y él aceptaría más si así se requiere. La disponibilidad de X es de 4 toneladas y 7 la de Y. La relación entre chatarra y acero puro no puede exceder 7/8. La fundición tiene 18 horas disponibles para derretir y fundir; una tonelada de acero puro requiere 3 horas, mientras que la de chatarra sólo 2 horas. Se pide: a) Escribir el problema de programación lineal b) Resolverlo gráficamente SOLUCIÓN: Se tiene lo siguiente: a) Las variables del problema ya habían sido definidas en el enunciado: : Toneladas de acero puro : Toneladas de chatarra Como se trata de un problema de costos, se debe minimizar la función objetivo, que define los costos de fabricación de cada material. Luego, dicha función viene dada por la siguiente expresión: ( ) Ahora veamos las restricciones. De la demanda del cliente y la disponibilidad de cada recurso, tenemos:

De la relación entre tonelajes, tenemos: 25

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De forma simplificada, que:

Naturalmente,

. Finalmente, de la disponibilidad horaria, se tiene

. Por lo tanto, el modelo completo es el siguiente: ( )

b) El ESF de este modelo se muestra en Figura 9:

Figura 4: ESF del problema La tabla siguiente evalúa el valor de las variables del PPL en cada uno de los puntos esquina del ESF: Punto Esquina Valor de x Valor de y Función objetivo B 1,25 0 3,75 C 0,494 0,432 4,074 D 3,789 3,316 31,263 F 6 0 18 Por lo tanto, el punto esquina B es el óptimo, porque es aquel donde la función objetivo alcanza su mínimo valor. Se concluye entonces que FERROSUR debe fabricar 1,25 toneladas de acero puro, a un costo mínimo de 3,75 unidades monetarias. La chatarra no es rentable de producir.

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PROBLEMA #13 Un importador de whisky está planificando su negocio considerando que, en las próximas temporadas, tendrá las siguientes demandas (en miles de botellas): Temporadas 1 2 3 4 Seco 10 12 14 8 Frutoso 13 15 17 19 Añejo 21 25 9 11 Tipo

El whisky seco lo vende a 34 dólares por botella, el frutoso a 28,8 y el añejo a 22,5 en la primera temporada. En las siguientes se espera poder venderlos a un 5% más caro. Cada tipo de whisky es elaborado mezclando tres materias primas, A, B y C, de las cuales se puede importar un máximo de 2000, 2500 y 1200 botellas por temporada a un costo de 35, 25 y 20 dólares, respectivamente. Estos costos, válidos para la primera temporada, deberían aumentar un 2% en cada temporada. El whisky seco debe contener por lo menos un 60% de la materia prima A y no más de un 20% de la materia prima C. El whisky frutoso debe contener por lo menos un 15% de la materia prima A y no más de un 60% de la materia prima C. El whisky añejo debe contener por lo menos un 50% de la materia prima B. Cada botella de whisky fabricada en una temporada puede ser vendida en dicha temporada o almacenada a un costo unitario por temporada de 0,5 dólares para ser vendidas posteriormente. FORMULAR (NO RESOLVER) un modelo de programación lineal que permita optimizar las actividades del importador. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones del problema. SOLUCIÓN: Las variables a considerar para este problema son las siguientes: : Cantidad de materia prima k para fabricar whisky i en la temporada j : Cantidad de whisky tipo i vendido en la temporada j : Cantidad de whisky tipo i almacenado en la temporada j La función objetivo se subdivide en tres partes, y , donde representa los ingresos que obtiene el importador a partir de la venta de whisky en cada temporada, representa los costos de importación de whisky de cada tipo, y representa los costos de almacenaje de whisky. Definimos entonces: ∑(

∑ ∑(

(

))(

(

)

))(

)

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∑∑

Por lo tanto, la función objetivo será: ( ) Las restricciones del problema vienen dadas por la disponibilidad de materia prima para producir cada tipo de whisky, la cantidad máxima de ventas por temporada, la proporción de uso de las materias primas en la elaboración de cada tipo de whisky, y la producción, ventas y almacenaje por temporada. Luego, se tiene lo siguiente: Para la disponibilidad de materia prima: ∑ ∑ ∑ A partir de la tabla entregada en el enunciado del problema, se obtienen las restricciones de venta máxima por temporada:

Además, considerando las proporciones de materias primas requeridas en la elaboración de cada tipo de whisky, se obtiene: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

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Las restricciones anteriores se cumplen para todo

.

Finalmente, a partir de los datos entregados en el enunciado del problema con respecto a la producción, ventas y almacenaje por temporada, se obtienen las siguientes expresiones: ∑ ∑ ∑ ∑

Naturalmente, todas las variables consideradas en la formulación de este problema son positivas o nulas.

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