Ejercicios Parabola

EJERCICIOS PARABOLA 1.-Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz de la recta: X+5=0 Ecuación de la directriz X+5=0 X=-5 P=5 Y2=4px Y2=20X Coordenadas del foco F= (5, 0) Longitud del lado recto Lr=4p Lr=20

2.-Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X pasa por el punto (-2, 4). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco la ecuación de directriz y la longitud de su lado recto. Y2 = 4px 22 = 4p (-2) P = -2 Ecuación de la parábola Y2 = -8x Coordenadas del foco F= (-2, 0)

Ecuación de la directriz

X = -p Longitud del lado recto Lr = 4p Lr = 6

3.-Una cuerda de la parábola y2-4x = 0 es un segmento de la recta x-2y+3=0. Hallar su longitud. X - 2y + 3 = 0 X = 0 Y = 3/2 Y = 0 X = -3 (1)Y2 = 4px (2)Y2 = 4x 4p = 4 P=1 Y2 - 4X

=0

4X – 8Y + 12 = 0 Y2

- 8Y + 12 = 0

(Y – 6) (Y – 2) = 0 Y = 6/2 Y = 9/1 Coordenadas del foco F = (1, 0) Ecuación de la directriz X = -p

X = -1 Longitud del lado recto Lr = 4p Lr = 4 4.-Hallar la ecuación de circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola x2 – 4y = 0. Y2 = 4py

C (0, 5/2)

Y2 = 4y

r = √ 0+ (5/2)2 = 5/2

4p = 4

(x-0)2 + (y-5/2)2 = (5/2)2

P=1 Coordenadas del foco

x=-2+0/2=-1

F = (0, p)

y=1+0/2=1/2

F = (0, 1) Ecuación de la directriz

m=1-0/-2-0

Y = -p

m=-1/2

Y = -1 Longitud del lado recto Lr = 4p Lr = 1 A (-2, 1) y B (2, 1) Y = 2 (x+1) – 1/2 4x – 2y + 5 = 0 X=0 4(0) - 2y + 5 = 0 Y = 5/2

x2+y2=5y

5.-Los extremos del lado recto de una parábola cualquiera se une con el punto de intersección del eje con la directriz. Demostrar que estas rectas son perpendiculares. M1=y-0/p + p=y/2p M2=-y-0/p + p=-y/2p M1= 1/m2 Y/2p = -(1/y)/2p Y /2p=-(2p/y) (Y /2p) (-2p/y) = -1

EJERCICIOS HIPERBOLA 1.-Los vértices de una hipérbola son los puntos v (2, 0), v1 (-2, 0) y sus focos son los puntos f (3, 0), f1 (-3, 0). Hallar su ecuación y su excentricidad.

V (2, 0)

a=2

f (3, 0)

c=3

b= √9-4 = √5 x2/4 – y2/5 = 1 e = 3/2

2.-En el centro de una hipérbola está en el origen y sus ejes transversos están sobre el eje y si un foco es el punto (0, 5) y la excentricidad es igual a 3 hállese la ecuación de la hipérbola y la longitud de cada lado recto F (6, 5)

c=5

Excentricidad 3= 5/a a = 5/3 b = √25 – 25/9 = 10 √2/3 y2/ (5/3)2 - x2/(10 √2/3)2 = 1 7y2 -9y2 = 200 (2 x (200/9)) / (5/3) = 80/3

3.-Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0, 3) y (0, -3) y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola y su exentricidad. (0, 3) b= 3

longitud lr = 2b2/a 6 = 2 x 32 /a a=3 c= √9+9 = √18 ecuacion de la hiperbola x2/2 – y2/9 = 1 Excentricidad e = c/a = √18/3 = 3√2/3

4.-Los vértices de la hiperbola son (0, 4) y (0, -4) y su excentricidad es igual a 3/2. Hallar la ecuacion de la hiperbola y las coordenadas de sus focos Vértices de la hipérbola a= 4 excentricidad 3/2 c/4 de donde c= +-6 b=√c2-a2 ; b= √36-16 = √20 ecuacion de la hiperbola y2/16 – x2/16 = 1 coordenadas focos x= 0 y= c = 6 F (0, 6) F1 (0, -6) 5.-Hallar la ecuación de la hiperbola que pasa por los puntos (3, -2) y (7, 6) tiene su centro en el origen y el eje de coordenadas coincide con el eje X (3, -2)

x2/a2 – y2/b2 = 1

9/a2 – 4/b2 = 1 (7, 6)

49/a2 – 36/b2 = 1

-81/a2 – 36/b2 = -9 49/a2 – 36/b2 = 1 32/a2

=-1

___________ a = +-2 b = +- √16/5 x2/4 – y2/(16/5) = 1 4x2 – 5y2 = 16