Ejercicios P1 - GAV - 2021 - I - Solución
April 12, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Geo Geometría metría Analítica Vectori Vectori al 2021 - I
INGENIERÍA
Ejercicios Propuestos – Solución
Álgebra Vectorial 1. Indicar V o F y justificar 1. brevemente (máximo 2 líneas) los siguientes apartados referente al Álgebra
⃗ = 1,2,3 ⃗,0 = 1,2,3 ⃗ ⃗ ‖ ⃗ ‖ = ‖ ⃗‖ ‖ ‖
Vectorial. a) Si a)
⃗
se se podría decir que el vector es el vector opuesto al vector . es Fa lso. El vector tiene 4 componentes y pertenece al espacio tetradimensional y el vector tiene 3 componentes y pertenece al espacio tridimensional por lo tanto no se pueden comparar, ni operar. operar. b) Sean b) . El vector cuando el ángulo formado flecha con flecha de los vectores es 180°. 180°. Verda de derr o. El ángulo flecha con flecha es el mismo que el forman los vectores cola con cola. La norma del vector diferencia se expresa como:
‖ ⃗ ⃗ ‖ = = ‖ ‖⃗ ⃗‖ ‖ ‖‖ ‖ 2‖‖ ⃗ ‖‖‖‖ ‖‖ ‖ ‖cos = = ( ‖1‖ 80°⃗‖‖‖‖ ‖‖)cos1180° ⃗80° = 1 ‖ ⃗‖ > ‖ ‖ , donde
por lo que:
c) Sean c) y
. El vector
cuando
y sean contrariamente dirigidos
⃗ ⃗ ⃗ ‖ ⃗ ‖ = ‖ ⃗‖ ‖ ‖ ⃗ ‖ ⃗ ‖ = ‖ ⃗‖ ‖ ‖ 2‖ ⃗‖‖‖‖ ‖cos0° cos 0°0° = 1 ‖ ⃗ ⃗ ‖ = = ‖ ‖⃗ ⃗‖ ‖ ‖ ⃗‖ ‖ 2‖ ⃗‖‖‖‖ ‖ = (‖ ⃗‖ ‖ ‖ ) ⃗ = >⃗ 1= > 1 ‖ ⃗‖ > ‖ ‖ ‖‖ ⃗⃗ ‖‖ == ‖‖ ⃗⃗‖‖ ‖‖ ‖‖ 22‖‖ ⃗⃗‖‖‖‖‖‖‖‖ ‖ ‖cos = (0‖ °⃗‖ ‖ ‖cos) 0°0° = 1 ‖ ⃗ ‖ = ‖ ⃗‖ ‖ ‖
. Fa lso. El vector y pertenecen a distinto espacio vectorial, por lo que no se puede realizar ninguna operación. operación. d) Sean d) . El vector cuando el ángulo formado flecha con flecha de los vectores es 0°. Verda de derr o. El vector y pertenecen al mismo espacio vectorial; además el ángulo flecha con flecha es el mismo que el forman los vectores cola con cola. La norma del vector suma se expresa como: , donde
por lo que:
e) Sean . El vector cuando y e) Verda de derr o. El vector y pertenecen al mismo espacio vectorial; además que están en la misma línea de acción, tienen el mismo sentido y cola con cola es 0°, entonces: , donde
.
y significa por lo que el ángulo
por lo que:
f) f) La única diferencia de la forma de notación de un punto y un vector es la forma algebraica. Fa lso. Un vector y un punto no solo se diferencia en su forma algebraica, sino también en su forma geométrica. La única forma en que son iguales es en su forma analítica anal ítica debido a que las componentes del punto y del vector son las mismas.
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Álgebra Ál gebra Vectori al al
Universidad de Piura
Geometría Analítica Vec Geometría Vectori tori al Geometría Analítica Vectorial
⃗ ∈ ℝ 0 ⃗ ⃗ =0 0 ⃗ = 0 0 0 ⃗ ‖ ⃗ ⃗ ‖ = =⃗ ‖ ⃗0° ‖ ‖ ‖ 2‖‖ ⃗⃗‖‖‖‖ ‖ ‖cos = ‖0 ⃗°‖ ‖ ‖ cos0°0° = 1 ‖‖ ⃗⃗ ‖‖ = = ‖ ⃗‖ ⃗‖‖ ‖‖ ‖, ‖‖ ‖ ⃗2‖‖ > ⃗ ‖‖‖‖ ‖ ‖ ‖ = (‖ ⃗‖ ‖ ‖) ‖ ⃗ ⃗ , ‖ =⃗ ‖ ‖ ‖ ⃗‖,‖‖ ‖ > ⃗ ‖ ⃗ ‖ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ‖ ⃗‖ = ‖⃗‖ ‖ ‖ 180° ⃗ = ⃗ → ⃗ = ⃗ → ‖ ⃗‖ = ‖ ⃗‖ ‖‖ ⃗⃗‖‖ = = ‖ ‖ ‖ ‖ ‖⃗‖‖⃗‖ 2‖ ‖‖‖⃗‖cos = (‖‖180° ‖ ‖⃗‖)‖ ‖cos > ‖⃗1180°80°‖ = 1 ⃗ = 2, ⃗1,4 ⃗ ⃗ = 3,2,1 ∘⃗ = 0 ⃗ = 1,1,1,1 → ⃗ = ,, < 0 ⃗ =∘∘⃗⃗ 3,2,== 2 2,1,11443⃗1, ∘⃗→⃗ →⃗ = =0 4=1 3, 12, 2,∘=1,2 113244,t,t22,t, t4 →,t,4⃗ →11= 3=1 2, ,22 ,,111 ,44 3 3 312 ∘∘⃗⃗ == 226 12 2 54 444 1 ∘⃗ = 3 7⃗ → ∘⃗ = 3 77 → 3 77 = 0 → = 0 = 73 = , ,
g) Sea g) , el vector tiene la misma dirección que el vector , excepto cuando debido que el vector no tiene dirección. Fa lso. El vector , es un vector que posee todas las direcciones. Sin embargo, embarg o, cuando es generado a ; el vector toma la dirección del partir de otro vector, como en el caso del vector siendo vector que lo genera, esto quiere decir que para este caso el vector tiene la misma dirección que el vector . h) Sean h) . El vector cuando el ángulo formado flecha con cola de los vectores es 180°. Fa lso. El ángulo flecha con cola es suplementario al ángulo que forman los vectores cola con cola, entonces . La norma del vector diferencia se expresa como: , donde
por lo que:
i) , siendo n > 2. Si i) Sea sentido que , se puede afirmar que
y es contrariamente dirigido con , tiene el mismo .
son contrariamente dirigidos, entonces el ángulo ángul o que forman es
Fa lso. Si
, donde
, entonces:
por lo que:
Si
tiene el mismo sentido, quiere decir que
, por lo tanto:
Nota: Si las respuestas no están debidamente justificadas no tiene puntaje.
2. Sabiendo que 2. y . Además, se sabe que las coordenadas del vector si se sabe que es contrariamente dirigido al vector (1,1,1).
. Determinar
De los datos:
Hallando el vector
:
✓
Como el vector es contrariamente dirigido t ⃗ = 3(3( ) => ⃗ 3 = 44 => = ⃗ 3 ⃗ =2 ⃗ = ( ( ⃗= ((⃗ ) )( ⃗) 43 ⃗ 4 ⃗2 ⃗2 = ⃗ ⃗ 4 34 ⃗: = 12 : 1 = 34 => 1 = 38 => = 58 ⃗: 12 = =4 ==> >12 == 58 18
Comparamos:
Entonces :
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⃗ = 1,1,1,0 = 0,1,1,1 ⃗ = 1,1,0,0
8. Si 8. , y y . Coordenadas del baricentro del triángulo ABC Graficamos para poder relacionar los puntos con mayor facilidad. B
N
M G C
A
= +⃗ = ⃗ + ⃗ 2 2 2 ⃗⃗ === 231,3 1 2 ,1⃗→, 00, ⃗⃗ ⃗1 =,⃗1,3 1→1, (⃗ = ⃗1 ,⃗)0 →,0⃗3 →= ⃗3 (= ⃗,),, ,⃗ 3 ⃗ ‖6 ⃗ 4 ‖ = ‖ ⃗ ‖ ‖ ⃗‖ = 3 ‖ ‖ = 5 ‖6⃗ 4 ‖ = ‖ ⃗ ‖ ‖9 3⃗‖ 720 25 ‖ 2 =2181283434 5 ‖ ⃗‖52 151 5‖2 36369 6724 724 7 1 20 625 6 4 ‖ 5 6 63 ( 3 6 20 20 ‖ ⃗ 30 30 ‖)( ‖)(4 45 45 4 ‖ = = ‖ ) ) 9 = = 3 = = 25 2 ‖ 3 5 2 ‖ ⃗ ‖‖ ‖‖ ‖ 690==750 0. 9 2 = 23.1° Del gráfico que:
es la mediana relativa al lado BC y
;
es la mediana relativa al lado AB, donde se cumple
Del gráfico el punto es el baricentro, intersección de las medianas. Donde se cumple que:
9. 9. Determinar el ángulo entre y , si sus módulos valen 3 y 5, respectivamente y cumplen la siguiente igualdad . Solución y Calculamos
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10. La 10. La figura representa un prisma superpuesto a un cubo, si todas las aristas son de longitud “a” y si:
⃗
⃗
. Hallar el valor de
⃗ =
SOLUCIÓN:
Ubicando un sistema de coordenadas en V3 con origen en el punto F: A=(a,0,a) B=(0,0,a) C=(0,a,a) E=(a,0,0) G=(0,a,0) M=(a, , a+
/2 /2 ⃗ ⃗ = ⃗ = − − ⃗ = [ /2/2 3/43/4
)=(a, a/2, a(1+
3/43/4
) )
Como:
0,a,a)- (a,0,0)] + [(0,0,a)- (0,a,a)]+[ (a,0,a)- (0,0,a)]/2 + [(a, , a+ )=(a, a/2, a(1+ ) ) - (a,0,a)] + [(0,a,0)- (0,a,a)]/2
⃗= ,, 0,0,,0 ,0,0⃗0,= ,2 ,2 , 32∗ 34∗
11. Aplicando 11. Aplicando el Álgebra Vectorial. Demostrar vectorialmente que en un triángulo isósceles hay dos medianas de igual medida. Para demostrar lo que nos piden tenemos que saber cuáles son nuestros datos iniciales y qué vamos a demostrar. El triángulo ABC es isósceles; además, M y N son puntos medios de AB y BC, entonces:
‖ =‖ = ∡ ‖ ‖ = ‖ =‖ = ‖ ‖ →= ∡ ‖‖ ‖‖coscos… ‖‖ ‖‖ == ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ 22‖‖ ‖‖‖‖ … ‖ ‖ = ‖ ‖ ‖ ‖ = ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ = 0 → ‖ ‖ = ‖ ‖ .. . .
B
Del gráfico:
M
y
N
Por lo que:
Se sabe que:
y
Por lo que restando (I) – (II):
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A
C
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3,33,,3,0,80,4, = 0,0,4, ‖ ⃗‖ = 52 ‖ ‖ = 25 == 3,0,00,0,4 = 0,12,0 = 3,0,12,04 ⃗ == ;; >>00… … ⃗ = ; > 0 … ‖‖ ⃗ ‖‖ == ‖‖ ‖‖ ‖⃗‖ = ‖ ‖
12. Sea 12. Sea el paralelepípedo recto de la siguiente figura, determinar
,
‖⃗‖
, si se sabe que
= 0,12,0, ==
y la resultante de la suma de los tres vectores es
. De los datos:
Z
4 N
M F
W
Del gráfico:
12
Q
O
3
G
S
X
Y
Por lo que:
Hallamos
,
y
:
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ = √3 4 12 ‖ ‖ = √169 → → ‖ ‖ = 13 ‖ ‖ ‖ ‖ = √3 4 → ‖ ‖ = 5 ‖ ‖ ‖ ‖ = 12 ‖‖ ⃗ ‖‖ == ‖‖ ‖‖ →→ ‖5225⃗‖= =12… 13153 → = 45 ⃗ == ==4(455(((3,30,0,1,12,2,040,03,3,0,1,42,0) =) =453,3,13,2,3,0,44 →→⃗ ==12,15,48,80, ,162016 ⃗ = = ((3,3,0,0 3,3,12,0) = 0,0,12,0 → ⃗ = 0,12,0 ⃗ ⃗ = 3, 8 , 4 12,12,48,16 15,15,0,20 0,0,12,0 = 3,8,4 3,3,4812,4 = ‖3, ‖8 =,4 → 4812 = 8 → 12 = 40
es la longitud de la diagonal del paralelepípedo por lo que será igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus aristas: ari stas:
es la longitud de una de las caras (rectángulo) del paralelepípedo paral elepípedo por lo que será igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus aristas: es una de las aristas del paralelepípedo por lo que:
Entonces:
Hallamos los vectores en (I), (II) y (III):
Se sabe que:
Reemplazando en IV:
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