EJERCICIOS MOHR 17

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

“UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA” FACULTAD DE INGENIERÍA

E.A.P. ING. CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE LOS MATERIALES II

DOCENTE:

CICLO:

RUBEN LOPEZ CARRANZA

XI

ALUMNOS: -

Lavado Palacios Mixuri lozano gonzales josé espinoza matumay santiago obregon flores ronald sanchez camones miguel morales avila edwin

NVO. CHIMBOTE, Noviembre del 2009

TENSIONES COMPUESTAS

1

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

PROBLEMAS DE CÍRCULO DE MOHR 20. Una barra uniforme de sección 6x9cm esta sometida a una fuerza de tracción axial de 54000kg en cada uno de sus extremos determinar la tensión cortante máxima en la barra Datos: A=6x9cm2 P=5400Kg. 5400kg

5400kg σy =0

σx = P/A

τxy =0

σx = 5400kg/6x9cm2 σx = 1000 Kg/ cm2 Cortante máximo:

τmáx = ±

 σ x +σ y   2 

2

   + J xy 2 

τmáx = ±√ (5400-0)2/2+02

tmax= ±500 Kg/ cm2

21. En el problema 20 determinar la tensión normal y cortante que TENSIONES COMPUESTAS

2

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

actual que actúan en un plano inclinado de 20º con la línea de acción de las cargas axiales. Datos:

θ =20º σx = 1000 Kg/ cm2 σy =0 τxy =0

Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ τxy Sen2 θ σn =( (1000+ 0) /2)-((1000-0) Cos40º )/2+0 Sen40º σn =116.98 Kg/ cm2

Esfuerzo cortante:

t= Sen2 θ (σx- σy)/2+ τxy Cos2 θ t= Sen40º(1000- 0)/2+0 Cos40º t= 321.39 Kg/ cm2

TENSIONES COMPUESTAS

3

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

22. Una barra cuadrada de 2 centímetros de lado esta sometida a una

carga de compresión axial de 2.24 kg. Determinar las Tensiones Normal y cortante que actúan en un plano inclinado Ѳ=30º respecto a la línea de acción de las cargas axiales. La barra es lo suficientemente corta para poder despreciar la posibilidad de pandeo. Datos: L=2cm P=-2240kg θ =30º 2240kg

2240kg σy =0

σx = P/A σx = -2240kg/2x2cm2

τxy =0

σx = -560 Kg/ cm2 Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ τxy Sen2 θ σn =( (-560+ 0) /2)-((-560-0) Cos60º )/2+0 Sen60º σn =-140 Kg/ cm2

Esfuerzo cortante:

t= Sen2 θ (σx- σy)/2+ τxy Cos2 θ t= Sen60º(-560- 0)/2+0 Cos60º t= -242.49 Kg/ cm2

TENSIONES COMPUESTAS

4

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

23. Resolver nuevamente el problema 22 utilizando el círculo de

Mohr. Datos: σx = -560 Kg/ cm2 σy =0 τxy =0

θ=30º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=-280 a = (σx - σy)/2

R=280 2θ=60º

t

a=280 b= τxy =0 s n,t 280

280Sen60º 2

s min=-560

C=-280

O

s max=0

DEL GRÁFICO: σn =280Sen60º σn =242.49 Kg/ cm2 t= 280Cos60º

t= -140 Kg/ cm2

TENSIONES COMPUESTAS

5

s

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

24. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones , σx =

210

cm2,

Kg/

σy =0,

τxy =280

Kg/

cm2

,

determinar

analíticamente las tensiones normal y cortante que existen en un plano inclinado θ =45ºcon el eje X. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0 τxy =280 Kg/ cm2

θ =45º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ τxy Sen2 θ σn =( (210+ 0) /2)-((210-0) Cos90º )/2+280 Sen90º σn =385 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:

t= Sen2 θ (σx- σy)/2+ τxy Cos2 θ t= Sen90º(210- 0)/2+280 Cos90º t= 105 Kg/ cm2

TENSIONES COMPUESTAS

6

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

25. Determinar analíticamente, para el elemento del Problema 24, las

tensiones principales y sus direcciones, así como las máximas tensiones cortantes y las direcciones de los planos en que tiene lugar. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0 τxy =280 Kg/ cm2

θ =45º a) Calculando los esfuerzos principales:

σ 1, 2 =

σ x +σ y σ x −σ y ±  2 2 

2

  + τ 2 XY 

σmax =( (210+ 0) /2)+ √ ((210- 0) /2+280

2

σmax =404.04 Kg/ cm2

σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 σ

2

=-194.04 Kg/ cm2

min

b) Hallamos las direcciones:

tan2 θ p =

2τ xy

σ x −σ y

Tan2 θ p=-2x280/210 2 θ p=-2.667 IIQ, IVQ 90º-2 θ p=20.554 2 θ p1=20.554+90º θ p1=55º16´

TENSIONES COMPUESTAS

2 θ p2=20.554+270º θ p2=145º16´

7

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RESISTENCIA DE LOS

c) Cortante máximo:

τmáx = ±

 σ x +σ y   2 

2

   + J xy 2 

τmáx = ±√ (210-0)2/2+2802

tmax= ±299.04 Kg/ cm2 Tan2 θ c=(σx- σy)/2 τxy

θ c=10º16 ´41”

TENSIONES COMPUESTAS

8

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RESISTENCIA DE LOS

26. Resolver nuevamente el Problema 25 utilizando el círculo de

Mohr. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0 τxy =280 Kg/ cm2

θ =45º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=105

R=299.04

a = (σx - σy)/2

210

t

a=280 b= τxy =280

t max=299.04kg/cm² s x,t xy

280

2qp2

s min=-194

C=105 R=299

280

s max=404.04

2qp1

2qc

s y,t xy

DEL GRÁFICO:

O

105

t max=-299.04kg/cm²

Sen2 θ c=105/299 2 θ c=20.55 2 θ p=20.55+90º 2 θ p=110.55

TENSIONES COMPUESTAS

9

s

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RESISTENCIA DE LOS

27. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones

indicadas en la Figura adjunta. Determinar analíticamente: a) Las tensiones principales y sus direcciones. b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos en que tienen lugar. Datos:

280 kg/cm2

210kg/cm2

210kg/cm2 280 kg/cm2 τxy =-280 kg/cm2

σx =-210 kg/cm2

σy = 0

a) Calculando los esfuerzos principales:

σ 1, 2 =

σ x +σ y σ x −σ y ±  2 2 

2

  + τ 2 XY 

σmax =( (-210+ 0) /2)+ √ ((-210- 0) /2+-280

2

σmax =194.04Kg/ cm2 σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 σ

2

-404.04Kg/ cm2

min

Hallamos las direcciones: tan2 θ p =

2τ xy

σ x −σ y

Tan2 θ p=-2x-280/-210 2 θ p=-69.44 IIQ, IVQ 90º-2 θ p=20.554 2 θ p1=20.554+90º TENSIONES COMPUESTAS

2 θ p2=20.554+270º 10

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

θ p1=55º16´

θ p2=145º16´

b) Cortante máximo:

τmáx = ±

 σ x +σ y   2 

2

   + J xy 2 

τmáx = ±√ (-210-0)2/2+-2802

tmax= ±299.04 Kg/ cm2 Tan2 θ c=(σx- σy)/2 τxy

θ c=10º16 ´41” 28. Para el elemento del Problema 27. Determinar las tensiones normal y cortante que actúan en un plano inclinado 30º con el eje X Datos: σx =-210 kg/cm2

τxy =-280 kg/cm2

σy = 0

θ =30º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ τxy Sen2 θ σn =( (-210+ 0) /2)-((-210-0) Cos60º )/2+280 Sen60º σn =-294.99 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:

t= Sen2 θ (σx- σy)/2+ τxy Cos2 θ t= Sen60º(-210- 0)/2+-280 Cos60º t= -230 Kg/ cm2

29. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σx =560kg/cm2, TENSIONES COMPUESTAS

11

Ing. Civil MATERIALES II σy =560 kg/cm2 y

RESISTENCIA DE LOS determinar analíticamente la tensión cortante

máxima que existe en el elemento. Datos: σx =560 kg/cm2

τxy =0

σy =560 kg/cm2 Cortante máximo:

τmáx = ±

 σ x +σ y   2 

2

   + J xy 2 

τmáx = ±√ 560-560)2/2+02

tmax= 0 30. ¿Qué forma adopta el círculo de Mohr para las solicitaciones

descritas en el problema 29? Datos: σx =560 kg/cm2

τxy =0

σy =560 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2 C=560 a = (σx - σy)/2

-RADIO R2=a2+b2 R=0

t

a=0 b= τxy =0 El circulo forma un punto que esta ubicado en el eje horizontal a 560 del

O

s

C=560

origen.

31. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σx =560 kg/cm2 y σy =-560 kg/cm2. Determinar analíticamente la tensión cortante TENSIONES COMPUESTAS

12

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

máxima que existe en el elemento. ¿Cuál es la dirección de los planos en que se producen las máximas tensiones cortantes? Datos: σx =560 kg/cm2

τxy =0

σy =-560 kg/cm2 Cortante máximo:

τmáx = ±

 σ x +σ y   2 

2

   + J xy 2 

τmáx = ±√ 560--560)2/2+02

tmax= ± 560 kg/cm2 Tan2 θ c=(σx- σy)/2 τxy 2 θ c=45º

32. Para el problema 31 determinar analíticamente las tensiones

Normal y Cortante que actúan en un plano inclinado un ángulo de 30º con el eje x. Datos: σx =560 kg/cm2

τxy =0

σy =-560 kg/cm2

θ =30º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ τxy Sen2 θ σn =( (560+ -560) /2)-((560--560) Cos60º )/2+0 Sen60º σn =-280 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:

t= Sen2 θ (σx- σy)/2+ τxy Cos2 θ t= Sen60º(560--560)/2+0 Cos60º t= 484.974 Kg/ cm2 TENSIONES COMPUESTAS

13

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RESISTENCIA DE LOS

33. Dibujar el circulo de Mohr para un elemento plano sometido a las tensiones σx =560 kg/cm2 y σy =-560 kg/cm2. Determinar el círculo de Mohr, las tensiones que actúan en un plano inclinado 20º con el eje X. Datos: σx =560 kg/cm2

τxy =0

σy =-560 kg/cm2

θ =20º MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=0

R=560

t

a = (σx - σy)/2 a=560 b= τxy =0 2 θ =40º

DEL GRÁFICO:

sn

s y,t xy

t =560sen40º

-560

t =-359.961 kg/cm2

t

s x,t xy

40º

O=centro

560

R=560

σn =560cos40º σn =-428.985kg/cm2 34.

Un elemento

plano

extraído de una envuelta cilíndrica delgada, sometido a torsión, soporta las tensiones cortantes representada en la figura, determinar las tensiones principales que existen en el elemento y las direcciones de los planos en que se producen. TENSIONES COMPUESTAS

14

s

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS 560 kg/cm2

560kg/cm2

560 kg/cm2

560 kg/cm2 Datos: σx =0

τxy =560 kg/cm2

σy =0 Calculando los esfuerzos principales:

σ 1, 2 =

σ x +σ y σ x −σ y ±  2 2 

2

  + τ 2 XY 

σmax =( (0+ 0) /2)+ √ ((0- 0) /2+560

2

σmax =560 Kg/ cm2 σmin =( (0+ 0) /2)-√ ((0- 0) /2+560 σ

2

=-560 Kg/ cm2

min

t 560

DEL GRÁFICO:

s x,t xy

2 θ p=90º

2qp O=centro

35. Un elemento plano

-560

s

s y,t xy

esta sometido a las tensiones indicadas en la figura determinar analíticamente. a) Las tensiones principales y sus direcciones.

TENSIONES COMPUESTAS

15

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos

que actúan. 840 kg/cm2 560 kg/cm2

560kg/cm2 1400 kg/cm2

1400 kg/cm2 560 kg/cm2

560 kg/cm2 840 kg/cm2

Datos: σx =1400 kg/cm2

τxy =-560 kg/cm2

σy = 840 kg/cm2 a) Calculando los esfuerzos principales: σ 1, 2 =

σ x +σ y σ x −σ y ±  2 2 

2

  + τ 2 XY 

σmax =( (1400+ 840) /2)+ √ ((1400- 840) /2+-560

2

σmax =1746.099 Kg/ cm2 σmin =( (1400+ 840) /2)-√ ((1400- 840) /2+-560 σ

2

=493.901 Kg/ cm2

min

b) Hallamos las direcciones: tan2 θ p =

2τ xy

σ x −σ y

Tan2 θ p=-2x-560/1400-840 2 θ p1=+63.435 (IIQ, IVQ) 2 θ p2=+63.435

θ p2=31º43

2 θ p1=+63.435 +180º

θ p1=121º46´57”

c) Cortante máximo:

TENSIONES COMPUESTAS

16

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

τmáx = ±

 σ x +σ y   2 

2

   + J xy 2 

τmáx = ±√ (1400-840)2/2+-5602

tmax= ±626.099 Kg/ cm2 Tan2 θ c= (σx- σy)/2 τxy Tan2 θ c= (1400- 840)/2(-560) 2 θ c=-26.565 (IIQ, IVQ) 90º-26.565 /2

θ c=76º43

´03”

36. Resolver nuevamente el Problema 35 utilizando el círculo de

Mohr.

TENSIONES COMPUESTAS

17

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RESISTENCIA DE LOS

Datos: σx =1400 kg/cm2

τxy =-560 kg/cm2

σy = 840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=1120

R=626.099

a = (σx - σy)/2 a=280 b= τxy =-560

t t max=626.099kg/cm²

(8400,560)

2qp O

s min=493.9kg/cm²

C=1120

s max=1746.099kg/cm²

s

2qc

(1400,-560)

-560

37.

Considerar

nuevamente

el

problema

35.

Determinar

analíticamente las tensiones normal y cortante en un plano inclinado un ángulo de 20º con el eje X. Datos: σx =1400 kg/cm2

TENSIONES COMPUESTAS

τxy =-560 kg/cm2

18

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

σy = 840 kg/cm2

θ =20º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 θ )/2+ τxy Sen2 θ σn =( (1400+ 840) /2)-((1400-840) Cos40º )/2+-560 Sen40º σn =-280 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:

t= Sen2 θ (σx- σy)/2+ τxy Cos2 θ t= Sen40º(1400-840)/2+-560 Cos40º t= -249 Kg/ cm2

38. Resolver nuevamente el Problema 34 utilizando el círculo de

Mohr. Datos: σx =1400 kg/cm2

τxy =-560 kg/cm2

σy = 840 kg/cm2

θ =20º

MOHR TENSIONES COMPUESTAS

19

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

-CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=1120

R=626.099

a = (σx - σy)/2

2 θ =40º

a=280 b= τxy =-560

t (8400,560)

t max=626.099kg/cm²

s t

b

40º

a O

s min=493.9kg/cm²

C=1120

626.099

560

626.099sena (1400,-560)

b-560 senb=560/626.099 b=63.435

626.099

560

626.099sena

b=63.435 a=23.435

626.099

a=23.435 626.099cosb 626.099sena=249

626.099

626.099cosb=574.45

t =249kg/cm²

b senb=560/626.099 b=63.435

s max=1746.099kg/cm²

b=63.435 a=23.435

a=23.435

s =R-574.45+493.9 s =545.54kg/cm²

626.099cosb 626.099sena=249 626.099cosb=574.45

39.

Un

elemento

plano esta sometido a las tensiones indicadas en la figura, determinar analíticamente. a)

t =249kg/cm²

s =R-574.45+493.9 Las tensiones principales ys sus direcciones =545.54kg/cm²

TENSIONES COMPUESTAS

20

s

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan. 840 kg/cm2 700 kg/cm2

700kg/cm2 560 kg/cm2

560 kg/cm2 700kg/cm2

700 kg/cm2 840 kg/cm2

Datos: σx =-560 kg/cm2

τxy =700 kg/cm2

σy = -840 kg/cm2

a) Calculando los esfuerzos principales: σ 1, 2

σ x +σ y σ x −σ y = ±  2 2 

2

  + τ 2 XY 

σmax =( (-560+-840) /2)+ √ ((-560--840) /2+700

2

σmax =13.863 Kg/ cm2 σmin =( -560+-840) /2)-√ ((-560--840) /2+700 σ

2

=-1413.863 Kg/ cm2

min

b) Hallamos las direcciones: tan2 θ p =

2τ xy

σ x −σ y

Tan2 θ p=-2x-700/-560--840 2 θ p=-78.69 (IIQ, IVQ) 90º-78.69=11.3099 2 θ p1=11.3099+90º 2θ p2=11.3099+270º

θ p1=50º39

θ p2=140º39

c) Cortante máximo:

TENSIONES COMPUESTAS

21

Ing. Civil MATERIALES II

RESISTENCIA DE LOS

τmáx = ±

 σ x +σ y   2 

2

   + J xy 2 

τmáx = ±√ (-560--840)2/2+7002

tmax= ±713.863 Kg/ cm2 Tan2 θ c= (σx- σy)/2 τxy Tan2 θ c= (-560--840)/2(700) 2 θ c=11.3099 (IIQ, IVQ)

θ c=5º39

´17.88”

40. Repetir el problema 39 utilizando el círculo de Mohr.

Datos: TENSIONES COMPUESTAS

22

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RESISTENCIA DE LOS τxy =700 kg/cm2

σx =-560 kg/cm2 σy = -840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= σx+ σy) /2

-RADIO R2=a2+b2

C=-700

R=713.86

a = (σx - σy)/2 a=140 b= τxy =700

t t max=713.86kg/cm²

s x,t xy

2qc R=713.86

2qp

700

2

s min=-1413.86

C=-700

O

s max=13.86

s

s y,t xy t max=-713.86kg/cm² 840

TENSIONES COMPUESTAS

23