Ejercicios Métodos Matemáticos de la Física

M´ et o dos eto do s Mate Ma tem´ m´ atic at icos os de la F´ısic ıs ica a II Tarea 6 ´ el M´endez Dr. Jos´e Angel Ang endez Gamboa Gamb oa 8 de abril de 2016 Nombre: 1. En los siguiente siguientess problemas, problemas, resuelv resuelvaa la ecuaci´ on de onda, sujeta a las condiciones dadas: on a ) u(0, t) = 0,

u(L, t) = 0,

u(x, 0) = 41 x (L − x) ,

b ) u(0, t) = 0,

u(L, t) = 0,

u(x, 0) =  f (x),

c ) u(0, t) = 0,

u(π, t) = 0,



∂u  = ∂t t=0

f (x) mostrado en la figura,

u(L, t) = 0,

u(x,

   0) = 2 1 L

h

−



∂u  = ∂t t=0

u(x, 0) = 61 x (π 2 − x2 ) , 2hx

d ) u(0, t) = 0,

0

x L



∂u  = ∂t t=0

0

si 0  < x < L2 , si L2  < x < L



∂u  = ∂t t=0

0

0

2. Una cuerda estirada est´a anclada en el eje x en x = 0 y x = π en t >   0. Si las vibraciones transversales tienen lugar en un medio que ejerce una resistencia proporcional a la velocidad instant´ anea, entonces la ecuaci´on anea, on de onda toma la forma ∂ 2 u ∂ 2 u ∂u = + 2 β  , ∂x 2 ∂t 2 ∂t

0  < β <  1 ,

t >  0

encuentre el desplazamiento  u (x, t) si la cuerda parte del reposo desde el desplazamiento inicial f (x).

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Figura 1: Gr´afica afica del ejercicio 1 b

3. El desplazamiento vertical u(x, t) de una cuerda infinitamente larga se determina mediante el problema de valor inicial ∂ 2 u ∂ 2 u α = 2 , ∂x 2 ∂t 2

−∞

con las condiciones

 0

=  g (t)

t=0

Este problema puede resolverse sin separar variables.

a ) Demuestre que la ecuaci´on de onda puede expresarse en la forma sustituciones ξ  =  x  + αt y η  =  x − αt.

∂ 2 u  = ∂η∂ξ

0 mediante las

b ) Integre la ecuaci´on diferencial parcial de la parte 3 a , primero respecto a η   y despu´es respecto a ξ , para demostrar que u(x, t) = F (x  +  αt ) +  G (x − αt), donde F  y G son

funciones arbitrarias diferenciables dos veces, es una soluci´on de la ecuaci´o n de onda. Utilice esta soluci´on y las condiciones iniciales dadas para demostrar que x 1 1 F (x) = f (x) + g (s)ds + c 2 2α x y x 1 1 G(x) = f (x) − g (s)ds − c 2 2α x donde x0  es arbitraria y c  una constante de integraci´on. c ) Utilice los resultados del inciso 3 b  para demostrar que 1 u(x, t) =  [ f (x +  αt) +  f (x − αt)] , −∞ < x < ∞. 2 La u ´ltima soluci´on puede interpretarse como una superposici´on de dos   ondas viajeras, una movi´endose hacia la derecha (esto es, 21 f (x −  αt )) y la otra movi´endose hacia la izquierda (esto es, 21 f (x + αt)). Ambas ondas tienen velocidad  α  y la misma forma b´asica o n de que el desplazamiento inicial f (x). La forma de u(x, t) obtenida se llama   soluci´ d’Alembert.

 

0

 

0

4. El desplazamiento transversal u(x, t) de una barra vibratoria de longitud L, se determina a partir de la ecuaci´on diferencial parcial de cuarto orden ∂ 4 u  ∂ 2 u α + 2 = 0, 0 < x < L, t >  0 . ∂x 4 ∂t Si la barra est´a  simplemente apoyada, como ilustra la figura  ?? , las condiciones de frontera 2

e iniciales son u(0, t) = 0, ∂ 2 u = 0, ∂x 2 x=0

 

u(x, 0) =  f (x),

u(L, t) = 0, t >  0 ∂ 2 u = 0, t >  0 ∂x 2 x=L

  

∂u ∂t

=  g (x),

0  < x < L

t=0

Despeje  u (x, t). [   Sugerencia : Por comodidad, utilice λ  =  α 4 cuando separe las variables.]

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Figura 2: Gr´afica del ejercicio 4 !

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Figura 3: Gr´afica del ejercicio 6 5. Encuentre la temperatura u(x, t) de una varilla de longitud L  = 2 si la temperatura inicial es f (x) en toda su longitud y los extremos x  = 0 y x  = 2 est´ an aislados, donde f (x) =



x

0

si 0  < x <  1 si 1  < x <  2 .

6. Supongs que se libera calor desde la superficie lateral de una varilla delgada de longitud  L  hacia el medio circundante que tiene temperatura de cero. Si aplicamos la ley lineal de transferencia de calor, entonces la ecuaci´on de calor toma la forma ∂ 2 u k 2 ∂x

−

hu =

∂u , ∂t

0 < x < L,

t >  0 ,

donde  h  es una constante. Determine la temperatura  u (x, t) si la temperatura inicial es  f (x) y los extremos x  = 0 y x  =  L  est´an aislados. Vea la figura 3.