Ejercicios Mecanica de Materiales

MECÁNICA ESTRUCTURAL Período 2015-1

Tarea Práctica Nº 1: 1. Resumir del libro de Timoshenko “History of Strength of Materials”, el trabajo realizado por: - Parent, sobre la flexión de vigas, resaltando los aciertos que tuvo con la teoría actual. - Young, definición de Módulo de elasticidad y aportes en resistencia de materiales - Cauchy, a la teoría de elasticidad (esfuerzos y deformaciones) (3 Puntos) Parent En 1713 Parent publica dos memorias sobre la flexión de vigas, las cuales representan avances importantes: 1.- Demuestra que la ecuación L=Sh/3l no puede ser aplicada a tubos circulares o a vigas sólidas; Parent encuentra que para una sección transversal circular sólida, el momento último de estas fuerzas con respecto al eje n – n es 5Sd/16, donde “S” es la “Fuerza Absoluta” de la viga. Por lo tanto en vigas circulares se debe sustituir 5d/16 en la ecuación inicial.

Según el gráfico anterior, Parent concluye de las ecuaciones de equilibrio que la resultante de la fuerza en compresión actuante en la porción bc de la sección transversal ab debe ser igual al resultado de la fuerza de tracción F actuante en la porción superior de la misma sección transversal. El también nota que además de fuerzas Normales, una fuerza de corte de magnitud “L” actuará en la sección transversal ab. El Problema Estático en la flexión de vigas es resuelto por Parent; muestra claramente que las fuerzas resistentes distribuidas sobre la sección transversal incorporada ab debe constituir un sistema de fuerzas balanceando la carga externa. En una de sus notas Parent observa que la línea neutral puede cambiar durante el incremento de carga y alcanzar la tangente al límite en el lado cóncavo en el instante de fractura. Teniendo la distribución de esfuerzos mostrado en el grafico anterior, Parent usa los resultados experimentales de Mariotte y muestra que su par resistente último coincide con la encontrada experimentalmente si el eje neutral es colocado de forma tal que ac:ab=9:11.

Young Young define el módulo de Elasticidad inicialmente como “El módulo de elasticidad de una sustancia es una columna de la misma sustancia, capaz de producir una presión en su base la cual es el causante de un cierto grado de compresión como la longitud de la sustancia es a la disminución de su longitud. Young también habló del peso del módulo y la altura del módulo y notó que la altura del módulo para un material dado es independiente de la sección transversal de su área. Young contribuyó mucho en la resistencia de materiales introduciendo el concepto de un módulo en tensión y compresión. Él fue también el pionero en analizar esfuerzos acerca del impacto y dio un método de cálculo de ellos para materiales perfectamente elásticos los cuales siguen la ley de Hooke a la rotura. Cauchy Cauchy introdujo la idea de esfuerzos en la Teoría de la elasticidad. El esfuerzo total en un elemento infinitesimal de un plano tomado dentro de un cuerpo elásticamente deformado es definido como el resultado de todas las acciones de las moléculas situadas en un lado del plano sobre las moléculas en el otro, la dirección del cual intersecta el elemento bajo consideración. Asimismo dividiendo el esfuerzo total por el área del elemento se obtiene la magnitud del esfuerzo. Considerando un tetraedro, Cauchy demostró que las tres componentes de esfuerzos Xn, Yn, Zn en un plano inclinado abc son obtenidas de las tres ecuaciones de equilibrio.

Donde l, m, n son los cosenos de los ángulos normales al plano abc, y σx, τyz,.. Son la normal y componente tangencial de los esfuerzos actuando en “O” en la coordenada de los planos xy, xz y yz. Cauchy también dio las relaciones entre los seis componentes de esfuerzos y los seis componentes de deformaciones para un cuerpo isotrópico. Asumiendo que las principales direcciones de deformación coinciden con la dirección de los esfuerzos principales y los componentes de esfuerzos son funciones lineales de los componentes de deformación, él escribió las siguientes ecuaciones:

2. Se tiene datos de un ensayo en tracción de una varilla de 5/8” de calidad ASTM A615 Grado 60 (Ver archivo Excel). Los datos locales, están referidos a una longitud de 50 mm y los datos globales están referidos a una longitud 200 mm. Se pide: - Determinar el esfuerzo de fluencia y la deformación de fluencia - Determinar el módulo de elasticidad - Determinar el esfuerzo último - Determinar el porcentaje de elongación o ductilidad por elongación - Determinar el Módulo de resiliencia - Determinar el Módulo de tenacidad (3 Puntos)

Esfuerzo de Fluencia: 85.55 KN Deformación de Fluencia: 0.118 Módulo de Elasticidad: 725 KN Esfuerzo Último: 130 KN Módulo de Resiliencia: 5.56 KN Módulo de Tenacidad:4800 KN

3. Se tiene un estado de esfuerzos en un de un sistema coordenado x,y,z: 20 punto 12 15 [ ]=  12 0 10    MPa  15 10 6  Determinar el tensor de esfuerzos en un nuevo sistema de coordenadas, el cual esta definido por la rotación de los ejes “x” e “y” con un ángulo de 30º en forma antihorario respecto al eje “z”. (2.0 puntos)

4. Se tiene un estado de esfuerzos en 10 un punto 0 0  de un sistema coordenado x,y,z:  [ ]= 0 8 0    MPa  0 0 4  Determinar el tensor de esfuerzos en un nuevo sistema de coordenadas, l1=1, m2=1/2, m3= - 3 /2, n2= 3 /2 (2.0 puntos)

5. Se tiene un estado de esfuerzos en un punto de un sistema x,y,z: 20 10 coordenado 10    [ ]= 10 30 0 MPa 10 0 50    Determinar el esfuerzo normal Pn y el esfuerzo de corte Ps , cuando se tienen los siguientes cosenos directores del plano: l=2/ 14 , m= 1/ 14 , n=-3/ 14 (2.0 puntos) Aplicando la ec. 2.9

Vector Esfuerzo

Modulo del Vector

Hallando σPN y σPS:

6. Se tiene un estado de esfuerzos en un 0 punto 1 0  de un sistema coordenado x,y,z:  [ ]= 1 4 2    MPa  0 2 0  Determinar: - Los esfuerzos normales principales y sus direcciones - Esfuerzo cortantes máximos y sus direcciones - Dibujar el círculo de Mohr correspondiente - Esfuerzo normal octaédrico y el esfuerzo cortante octaédrico (3.0 puntos) Hallamos las Invariantes y planteamos la ecuación cúbica:

Reemplazando en la ecuación cúbica se tiene:

Las ecuaciones para hallar la dirección de los vectores son (para el caso de σ1):

Haciendo l1=1 en las dos primeras obtenemos:

El módulo del vector N1 será:

El vector unitario será:

Las ecuaciones para hallar la dirección de los vectores son (para el caso de σ2): Haciendo l2=1 en las dos primeras obtenemos:

El módulo del vector N2 será:

El vector unitario será:

Haciendo producto cruz se obtiene N3

Esfuerzos Cortantes Máximos y sus direcciones:

Aplicando las ecuaciones 2.35:

Dirección del Esfuerzo Cortante:

Esfuerzo normal octaédrico y el esfuerzo cortante octaédrico:

Dibujar el círculo de Mohr correspondiente:

7. Las componentes del esfuerzo en un punto son:  XX  0.0018 , YY   0.0012 , ZZ   0.0025 ,  XY   0.0015  XZ   0.0010 , YZ   0.0008 . Determinar las deformaciones principales y las direcciones correspondientes, y la deformación de corte máxima. Dibujar los círculos de Mohr. (2.5 puntos)

8. Se registraron las siguientes lecturas en una roseta de deformaciones unida a la superficie de un componente estructural: 2  90 x10 6

3  190 x10 6

4  240 x10 6

Cuál debe ser la lectura en el medidor 1? Hallar las deformaciones principales en el plano de la roseta y ubicar los valores de los medidores en el círculo de Mohr. (2.5 puntos)