Ejercicios Markov

 

Ejercicio s de Ca Cadenas denas de Markov Discretas Profesor Ivan Derpich Contreras EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Considere la matriz de transición de una etapa, donde el espacio de estados es {1,2,3,4,5}. 0,75 0 0,25 0 0 0,25 0 0 0 0,75 0 0 P = 0,75 0 0,25 0 0,8 0,2 0 0 0 0,5 0,25 0,25 0 a) Clasifique los estados del sistema, justifique. (1 punto) b) Obtenga la distribución de probabilidades en el largo plazo si se sabe que inicialmente el sistema se encuentra en los estados 3, 4 y 5 con igual probabilidad. (1 punto) c) Calcule P{ x7 = 3; x5 = 1; x4   = 2; x0 = 4 x3 = 5} , si se sabe que el sistema inicialmente se encuentra en los estados 2, 4 y 5 con igual probabilidad. (2 puntos) d) Obtenga la distribución de probabilidades del tiempo que demora volver al estado 2. (1 punto) e) ¿Cuál es el tiempo medio que se demora en volver al estado 3? (1 punto) Desarrollo: .- Grafico de red :

0,75 0,25

0,75

1

 

0,25

3 0,2

0,25

0,8

2

4 0,75 0,25

0,5 5 a) Se distinguen 2 clases C 1  = {1,3}   y C 2  = {2,4,5}   Análisis de Recurrencia y periodicidad Clase C 1 : analizaremos el estado 1

F (1,1) = 0,75 + 0,25   * 0,75 *

∞

k − 2 ∑ (0,25)   =  

k = 2

0,25

 

Haciendo un cambio de variable  j

= k − 2  

⎛   ⎞ ⎜ ⎟ 3 1 3 4 ∞ 3 1 3 1  j ⎜ ⎟ = + * * = 1  F (1,1, ) = 0,75 + 0,25   * 0,75 * ∑ (0,25) = + * * 1 4 4 4 ⎜ ⎟ 4 4 4 3  j =0 ⎜1− ⎟ ⎝  4  ⎠  el

estado 1 es recurrente , además la clase C 1  es recurrente.

Período: se puede volver al estado 1 en todas las etapas ,  es aperiódico. Clase  C 2 : analizaremos el estado 2   F (2,2 ) = F 1 (2,2 ) +  F 2 (2,2 ) + F 3 (2,2 ) = 0 +

3

3

8

3

15 + 6

3

3 1 3 1 * + * * 0,8 = 4 2 4 4

21

 

+ * = + = = = 0,525 8 16 10 8 20 40 40 El estado 2 es transientes y la clase C 2   Período: se puede volver al estado 2 en etapas múltiplos de 2 y además se puede volver al

estado 2 en múltiplos de 3. Luego se puede volver en todas las etapas, excepto en la etapa 1. Luego es aperiódico.

 b) Veamos primero si existe distribución estacionaria. Para ello aplicamos la proposición 2. Dado que existe una clase recurrente y que se cumple:  X  ∈ C 1 P⎛  ⎜ n

 ⎞ = 1   por lo tanto ∃π     X n ∈ C 2 ⎠⎟ ⎝  Además π 2 = π 4    = π 5 = 0   y lo otros va valores lores deben calcu calcularse larse

(π 1

π 3 ) =   (π 1

⎛ 3 ⎜ 4 π 3 )⎜ ⎜3

1 ⎞ ⎟ 4⎟   y π 1 + π    3 = 1  1⎟

⎝  ⎜4

4 ⎠⎟ ⎛  X 7 = 3; X 5 = 1; X 4 = 2; X 0 = 4

 ⎞ =  X 3 = 5 ⎠⎟

c) P⎜

⎝ 

π  =

4 P( X 7 = 3; X 5 = 1; X 4 = 2; X 0 = 4; X 3 = 5)

P( X 3 = 5) (2 )  p13 =  p11 p13 +  p12 p 23 +  p 13 p33 +  p14 p  43 +  p15 p 53 = (1)

1 4

 

(1)

 p52   =

1 2

 

4   1

3

P( X 7 = 3; X 5 = 1; X 4 = 2; X 3 = 5 / X 0 = 4)P( X 0 = 4 )

 p12   =

3

π 1 =

 

P( X 3 = 5)

=

( 2 ) (1) (1) (3 )  p13  p 21 p 52 p 45 1

31 44

P ( X 3 = 5)

+0+

11 44

3 

+0+0 =

1 4

 

= 

 

( )

 p 453 =  p 42 ( p 21 p15 +  p 22 p 25 +  p 23 p35 +  p 24 p 45 +  p 25 p55 ) +  p 43 ( p31 p15 +  p32 p 25 +  p33 p35 +  p34 p 45 +  p35 p55 ) (3 )

 p 45 =  p 42 ( p 21 * 0 + 0 * p 25 +  p 23 * 0 +  p 24 * 0 +  p 25 * 0 ) +  p 43 ( p31 * 0 + 0 * p 25 +  p33 * 0 +  p 34 * 0 +  p 35 * 0 ) = 0 Luego

 X  = 3; X 5 = 1; X 4 = 2; X 0 = 4  ⎞ = 0   P⎛  ⎟ ⎜ 7 5  X  = 3  ⎠ ⎝ 

d) F 1 (2, 2 ) =

0  3 1 3 F 2 (2,2 ) =  * =   4 2 8 3 1 3   F 3 (2,2 ) =   * * 0,8 = 4 4 10 F k (2,2 ) = 0    ∀k  > 3  

e)  E (T (3,3)) =

1 π 3

= 4 

 

 

 

2.- Una agencia de arriendo de vehículos ha definido la variable aleatoria Xt como el número de automóviles disponibles en la agencia al empezar la semana t+1. Sea Dt una variable aleatoria que representa la demanda por automóviles la semana t. La agencia utiliza una política de reorden (s,S) con s=1 y S=3. No se acepta demanda  pendiente. supo nga que la variable aleatoria Dt tiene distribución d istribución de Poisson con λ  =1. Sea Xo = 3 y suponga a)   b)  c)  d) 

Obtenga los valores de la variable Xt Exprese a través de una fórmula de recurrencia la relación entre xt y Xt+1 Encuentre la matriz P (valores númericos) Suponga ahora que el costo incurrido es un valor fijo de $ 110.000 por orden m más ás un valor variable de $ 25.000 por automóvil. Encuentre el costo esperado de inventario.

Desarrollo: a)

Ω X t  =  {s, S  } = {1,2,3} 

 b)

⎧S  = 3

si  X t  − Dt +1 < s

 X t +1 = ⎨ ⎩ X t  − Dt +1

si  X t  − Dt +1 ≥ s  

c)

P( Dt  = 0 ) P = P( Dt  = 1) P( Dt  = 2 )

0

P ( Dt  > 0 )

P ( Dt  = 0 ) P ( Dt  > 1)   P( Dt  = 1) P( Dt  > 2 )

d)

( )

  ( )

  ( )

C  =  f 1 n * [ 25 * 1 +  110 * P( Dt  > 0 )   ] +  f 2 n * [ 25 * 2 +  110 * P ( Dt  > 1)   ] +  f 3 n * [ 25 * 3 +

110 * P( Dt  > 2 )   ]

 

 

3.- Se quiere construir un modelo markoviano para estimar la dinámica de vida de un cultivo de ovas de salmón en la etapa de Maduración de la ova. En un estanque con agua dulce, se ponen N ovas fecundadas. Después de 8 días, las ovas que han sobrevivido sobrevivido se convierten en pequeños salmones, los cuales se traspasan a otros estanques para seguir su evolución. En este proceso de Maduración, algunas ovas se mueren. Se sabe que la distribución de X  probabilidades deovas una vivas ova en etapa de n. desarrollo, es exponencial con media . Sea  el número de al esta inicio del día n Se pide: a) Diga cual es el rango de la variable (2 puntos)  b) Obtenga la regla de transición (2 puntos) c) Obtenga la matriz P (2 puntos) Desarrollo Sea  X n : número de ovas vivas al inicio del día n. Parten N ovas vivas, pero van muriendo día a día. a)  X n

= {0,1,2,..., N }  

 b) Sea p: probabilidad de que una ova que está viva al inicio del día n lo esté al inicio de día n+1. Sea Ti : duración o vida de la ova i-ésima.

T  > n + 1   μ   p = P⎛    ⎞⎟ = P(T i > 1) = 1 − e −   luego si hay j ovas vivas al día siguiente pueden haber ⎜ i T i > n ⎠ ⎝   j o menos.

Luego  X n +1   ≈  Binomial ( X n , p )   c) Matriz P: 0 0 1  1 (1 −  p )   2

.  N-1

 N

1

2

.

N-1

N

 p  

0

0

0

0

⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ − 2  ⎜ 0 ⎠⎟(1  p ) ⎝ 

⎛ 2 ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎝  ⎜1 ⎠⎟ p(1  −  p)  

 p 2  

0

0

0

⎛  N  − 1 ⎞     N −1 ⎜⎜ ⎟⎟(1 −  p )    N  − 1 ⎝   ⎠

⎛  N  − 1 ⎞     ⎜⎜ ⎟⎟ p(1 −  p ) N −2 ⎝  N  − 2 ⎠

⎛  N  − 1 ⎞ 2     ⎜⎜ ⎟⎟ p (1 −  p ) N −3 ⎝  N  − 3 ⎠

.

 p

 

 

⎛  N   ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ p(1 −  p ) N −1 ⎝  N  − 1 ⎠

⎛  N   ⎞ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ p (1 −  p ) N −2 ⎝  N  − 2 ⎠

 

 

 N 

(1 −  p )

 

 N −1

 

(1 −  p )  

0

 p  

 

4.- Juan y Pedro tienen 2 monedas cada uno. Se disponen a enfrentar un juego en que, en cada oportunidad, cada jugador lanza una moneda de sus monedas. Si ambas coinciden, gana Juan y se queda con la moneda de Pedro. En caso contrario, gana Pedro. El juego termina cuando uno de los jugadores gana las 4 monedas. a)  Obtenga distribución de probabilidades que Juan la logre tener 3 monedas por primeradel vez.número de jugadas necesarias hasta  b)  Explique como obtendría la distribución de probabilidades del número de jugadas hasta que el juego termina. Desarrollo: 1.- Sea  X n : nº de monedas de Juan. a.- Se debe encontrar F k (2,3)  que corresponde a la probabilidad de que se vaya por  primera vez del estado 2 a estado 3 en un número k de etapas. Por lo tanto : F k (2,3 ) = ??  

Para obtener esta probabilidad se debe el modelo detalladamente, encontrar el rango de  X n , la matriz P yconstruir opcionalmente el gráfico de red. es decir Rango de la variable de estado  X n : Matriz P 1 0

0

0

0

1

1

0

0

2

0

P= 0

1

0

0

0

0

2

2

0 1

1

0  

2

0 2 0 0

Ω X n = {0,1,2,3,4} ,

1

2

1

Gráfico de red de la matriz P 0,5

1

0

0,5

1

0,5

0,5

2

Entonces volvamos de nuevo con F k  (2,3)  

0,5

0,5

3

1 4

 

F 1 (2, 3) =

1 2

 3 (2,3) =  p21  p12  p23 =   ; F 2 (2, 3) = 0  ; F 

111 222

1

=   ; 8

F 4 (2, 3) = 0  

2

⎛ 1 1 ⎞ 1 =⎜ ⎟   ⎝ 2 2 ⎠ 2

F 5 (2,3) = ( p 21 p   12  ) p 23 2

Término general: F 2k −1 (2,3) = ( p 21 p12 ) F 2k  (2,3) =  0   ;

2 k −1

 p 23

⎛ 1 1 ⎞ = ⎜   ⎟ ⎝ 2 2 ⎠

2 k −1

⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ 2 ⎝ 4 ⎠

1

k −1

1

; k  = 1,2,3,...  

2

k  = 1,2,3,...  

 b.- El juego termina cuando se llega a que Juan tiene 0 ó 4 monedas. Lo que se pregunta entonces, es la probabilidad de que ocurra alguno de estos dos eventos, que son excluyentes. Además Juan tiene al inicio del juego 2 monedas. Luego lo que se pregunta es: ∞

∑ k = 2

F k (2 ,0 ) + F k  (2,4 )

 

Del estado 2 al estado 0 y al estado 4 se puede llegar en etapas múltiplos de 2 solamente. Luego : 2 k 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ F 2k  (2,0 ) = ⎜ ⎟   =  ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 2 k 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ F 2k  (2,4 ) = ⎜ ⎟   =  ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ∞

2 k 

; k  = 1,2,3,...   2 k 

; k  = 1,2,3,...  

∞

⎛ 1 ⎞  ( ) ( ) F  F  2 , 0 2 , 4 + = ∑ 2k  ∑⎜ ⎟ 2 k  k =1 k =1⎝ 4 ⎠

0

k 

∞

 

k 

2 k 

∞

2 k 

k 

k 

∞ ⎛  1  ⎞ ∞ ⎛  1  ⎞ ⎛ 1 ⎞ +∑   = +   ⎜ ⎟ ∑⎜ ⎟ ∑⎜ ⎟ = 4 k =1 ⎝   ⎠ k =1⎝ 16 ⎠ k =1⎝ 16 ⎠

 

0

  1  ⎞ ∞ ⎛  1  ⎞ 1 1 16 16 ⎛  1  ⎞ ⎛  ⎛  1  ⎞ − + −1+ −1 = −1+ −1 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∑ ∑ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ = 1 1 15 15 ⎝ 16 ⎠ k =0 ⎝ 16 ⎠ ⎝ 16 ⎠ k =0⎝ 16 ⎠ 1− 1−

16

1 15

+

1 15

=

2 15

= 0,1 3  

16

 

 

5.- Considere una Cadena de Markov con la siguiente matriza de probabilidades de transición:  

0

1

2

3

⎡ 1

0

1

0

0

0

2 0

2

0

⎢ 12 ⎢ 3 ⎢ 0 ⎢ P= ⎢1 ⎢ 4 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

1

0 1

3

0

3

0

4

4

1

4

5 6

2

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎥ 0

⎥ 0 0 ⎥  ⎥ ⎥ 1 0 ⎥ 4 1 2 ⎥ 3 3⎥ ⎥ 2 1 ⎥ 3 3⎦

3

0

0 ⎤

a) Obtenga la distribución límite  b) Obtenga la distribución estacionaria Desarrollo a)  Es necesario clasificar los los estados y su periodicidad para determinar si existe distribución límite. Para ello realicemos el diagrama de red de la matriz P.

0,5

1   2 1

1   2

1   3

3

2   3

1   3

1   3

5

1  

2   3 4

2

1   1   4

7

6

1   3 1   3

2  

2   3

1   3

 

Se perciben 3 clases : C 1   = {1,3,5}   , C 2   = {2,4} , C 3   = {6,7}   Análisis clase C 1 : dado que la clase no presenta flujos de probabilidad fuera de la clase, se  puede afirmar que todos los estados de la clase son recurrentes. Además los estados de la clase son aperiodicos. Análisis clase C 2 : dado que esta clase tiene flujos de salida y no de entrada es una clase transientes. Además los estados de esta clase son aperiódicos. Análisis clase C 3 : igual que la clase C 1  esta clase no presenta flujos de probabilidad fuera de la clase, por lo que se puede afirmar que todos los estados de la clase son recurrentes. Además los estados de la clase son aperiódicos. Dado que todos los estados son aperiódicos entonces existe distribución límite. Para los estados de la clase C 1  se pueden encontrar las probabilidades de estado estacionarios. 1 1 0 2 P’= 0 1

2 3 1 3

1

3

2 1

 

3

3

π T  P ' =  π T 

1

(π 1

1

2

π 5 ) 0  

π 3

1

π 1 = 1 4

3

; π 3    = 3 8

 ( n ) 21

P lim →∞ n

=

F (2,1)  E [T (1,1)]

0

2

1

3 1 3

2 1

3

; π 5 = 3   8   se deben encontrar ambos términos

1

F (2,1) =  p 21 +  p 24 F (4,1) =    +

3

⎛  ⎝ 

  F (2,1) * ⎜1  −

Además

2 ⎞

5

= (π 1 π 3 π 5 )  

3

2 ⎛ 1 1 1 2 2  ⎞ * ⎜ + * F (2,1)⎟   F (2,1) =  +  +   F (2,1)   3 ⎝ 3 3 3 9 9  ⎠ 7

5

5

  (2,1) *  =    F (2,1 ) =   ⎟ =  F  9 ⎠ 9 7 9 9

 

   E [T (1,1)] =  ( n ) 41

P lim →∞

=

n

5

1

= 4   luego

π 1

 ( n ) 21

P lim →∞ n

F (4,1)  E [T (1,1)]

 

=

F (2,1)

 

 E [T (1,1)]

F (4,1) = 7

− 2 3

15 − 7

1 3 =

( )=

  F  4,1

28

  F (2,1) −  p 21  p 24

  4

8

F (4,1) (  n ) 7 = 1  P =   = 41 lim    E [T (1,1)] 4 7 n→ ∞

21  = 21 = 8 * 3 = 12 = 3   luego 2 2 21 2 21 7 3 3 3

3

(n) ( n) lim P23 = lim  P43 = π 3 =   n →∞

4

 se debe encontrar F (4,1)  

De la ecuación anterior F (2,1) =    p 21 +  p   24 F (4,1)   5

5   = 7 =

(n) ( n) lim P25 = lim  P45 = π 5 =  

8

n →∞

n →∞

8

n →∞

Para los estados de la Clase C 3   1 P’’=

1

3 3

2 3

3

1  

(π 6  π 7 )  = (π 6 π 7 )

2

( n) ( n) lim P26 = lim  P46 = π 6 = n →∞

n→ ∞

1 2

 

1

3

3

2 3

3

 

π 6 = 1     ; π 7 = 1   2 2

2

(n) ( n) lim P27 = lim  P47 = π 7 = n →∞

n →∞

1 2

 

Para los estados de la clase C 2  dado que los estados son transientes: (n) ( n)   lim Pi 2 = lim  Pi 4 = 0 i = 1,3,5,6,7   n →∞

n→∞

 

6.- Considere un cultivo que contiene inicialmente un solo glóbulo rojo. Después de una cantidad de tiempo el glóbulo rojo muere y es reemplazado por dos nuevos glóbulos rojos o  bien por dos glóbulos blancos. Las probabilidades de estos eventos son 1 y 4 3 respectivamente. Subsecuentemente, cada glóbulo rojo se reproduce de la misma forma. 4 Por otra parte, cada glóbulo blanco muere después de una unidad de tiempo sin reproducirse. Se desea calcular la probabilidad de que el cultivo se extinga en algún momento. Formule para tal efecto un modelo detallado e indique con precisión como lo utilizaría para obtener la probabilidad pedida. Desarrollo Sea  X n : numero de glóbulos rojos presentes en la etapa n.

8 4 1

2

6

0

 

k 

i − k 

1 ⎞⎟   ; k  = log( j ) log(2) 4  ⎠ ⎝   ⎠ Esta Cadena de Markov es tal que existen dos clases: P⎛  ⎜ X n+1 =  j X  = i ⎞⎟ = ⎛  ⎜ i  ⎞⎟⎛  ⎜ 1 ⎞⎟  ⎛  ⎜1 − n ⎝   ⎠ k  ⎝ 4 ⎠ ⎝ 

C 1  = {0} y C 2   = {2,3,4,...} la clase C 2  es infinita.

La clase recurrente C 1  es recurrente y la clase C 2 es transiente. La clase C 1  está compuesta  por un estado aperiodico. Por lo tanto, por la Proposición 2 vista en clases, se puede asegurar que existe distribución estacionaria. Además por la misma proposición se puede asegurar que π  j = 0   ∀   j = 1,2,... es decir π  j = 0   ∀  j ∈ C 2   y π  j ≠ 0   ∀  j ∈ C 1 . Como la clase C 1  ti  tiene ene un solo elemento elemento π 0   = 1 . Entonces la probabilidad de que el cultivo se extinga alguna vez es uno.

 

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Se tiene la siguiente matriz de probabilidades de transición en una etapa :

⎛ 1 6 0

0

⎜0 ⎜1 5 ⎜ ⎜1 4 ⎜1 2 ⎜ ⎜ ⎝ 0

0

1

1 2 1 3 0  ⎞ 0

0

0 25 15 0

0 15

0

0

34 0

0

0

0

12

0

0

0

0

14 14 0

⎟ ⎟ ⎟  ⎟ ⎟ ⎟ ⎟  ⎠

Se pide: a)  Diga si los estados son transientes o recurrentes (positivos o nulos) y demuéstrelo. (1,5 puntos)  b)  Diga si existe distribución límite y porqué. Si existe calcúlela. (1,5 puntos) c)  Diga si existe distribución estacionaria y porqué. Si existe ex iste calcúlela. (1,5 puntos)  X  = 1 ⎫ d)  Calcule Pr ⎧ ⎨ 4  X  = 2⎬   0 ⎭ ⎩ 2.- El Departamento de Marketing Cuantitativo de un prestigioso banco nacional está desarrollando un modelo basado en Cadenas de Markov discretas, para estimar el número de clientes en el estrato ABC1. El planteamiento es el siguiente: seg mento ABC1 el primer día hábil d del el mes Sea  X n el número de clientes pertenecientes al segmento n. En el banco existen solamente dos segmentos para clasificar a los clientes ABC1 y C2. En total hay N clientes en el banco y que la probabilidad de que un cliente pase de ABC1 a C2 es  p1   y de C2 a ABC1 es  p 2 . Suponga que los clientes no se retiran del banco, ni tampoco ingresan nuevos clientes. Si se sabe que el prim primer er día hábil de un mes hay n1    personas en el segmento ABC1 : ¿ Cuál es la probabilidad de que en el primer día hábil del mes siguiente hayan n 2 clientes en el mismo segmento ?  N  ≥  n2 ≥  n1  (2 puntos)

3.- Sea  X n  el número de personas hospedadas en un cierto hotel al inicio del día n. Se sabe que pueden llegar 0,1,2 ó 3 clientes en un día, con igual probabilidad. Además se sabe que el tiempo de permanencia de un cliente en el hotel es exponencial con media . El hotel tiene capacidad solo para 4 personas y las que llegan cuando el hotel está lleno se van sin dejar reserva. Obtenga la matriz P. (2 puntos) Indicación: Puede usar la siguiente aproximación e − μ d  = 1 − μ d   

 

4.- El ascensor de un edificio con tres pisos realiza viajes entre los pisos regularmente. Sea  X n el piso en que para el ascensor en la etapa n. Se sabe que la mitad de los viajes que  parten del piso 1 se dirigen d irigen a uno de los otros pisos con igual probabilidad. p robabilidad. Si el ascensor a scensor  parte en el piso 2 el 25% de las veces termina en el piso 2. Por ultimo si su trayecto empieza en el tercer piso siempre termina en el primer piso. a)  Obtenga la matriz P y el rango de la variable.  X  = 2; X 2 = 1; X 0 = 3  ⎞    b)  Obtenga P⎛  ⎜ 4 ⎟ = 2  X  1 ⎝   ⎠ c)  Diga si existe distribución límite y si es así, calcúlela. d)  Diga si existe distribución estacionaria y si es así calcúlela. 5.- Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A,B,C. Para evitar gastos trabaja durante un día en cada ciudad y alli se queda en la noche. Después de estar trabajando en la ciudad C la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es 0,4; la  probabilidad de viajar a B es 0,4. Si el viajante duerme una noche en B con probabilidad 0,2 deberá seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente y en el 60% de los casos viajará a C. Por último, si el agente trabaja en A un día permanecerá en esa ciudad con  probabilidad 0,1 o irá a la ciudad B con probabilidad 0,3. a)  Si hoy el viajante está en la ciudad C ¿Cual es la probabilidad de que tenga que estar en la misma ciudad en 4 días más?  b)  ¿Cuáles son los porcentajes de días que el viajante se encuentra en cada ciudad? c)  ¿Cuál es la probabilidad de que un viajante vuelva a la ciudad A? 6.- Los consumidores de café en la VIII Región usan tres marcas A, B, C. En Marzo de 2008 se hizo una encuesta en lo que entrevistó a las 8450 personas que compran café y los resultados fueron: Compra actual Marca A = 1690 Marca B = 3380 Marca C = 3380 TOTALES

Marca A 507 676 845 2028

Marca B 845 2028 845 3718

Marca C 338 676 1690 2704

Total 1690 3380 3380 8450 

a) Si las compras se hacen mensualmente, ¿cuál será la distribución del mercado de café en la VIII Región en el mes de junio?  b) A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes de café? c) En junio, cual es la proporción de clientes leales a sus marcas de café? 7. En una gran empresa de investigación que ocupa varias hectáreas existe un sistema de correo interno, en el cual una persona recorre distintas oficinas llevando y retirando correspondencia. Al inicio del día la persona recorre en un cierto orden todas las oficinas recogiendo la correspondencia que debe ser despachada.  Al final de esto, la persona ordena la correspondencia e inicia un segundo ciclo en el cual recorre las oficinas, entregando la correspondencia previa y recolectando la nueva. Este ciclo

 

se repite durante el día. Suponga que las oficinas están uniformemente distribuidas a lo largo del recorrido y que cada una genera al azar correspondencia para ser despachada, de modo que el total de correspondencia generada por el sistema en un intervalo de largo t corresponde a un Proceso de Poisson a tasa  λ  .

8.- Una agencia de arriendo de vehículos ha definido la variable aleatoria Xt como el número de automóviles disponibles en la agencia al empezar la semana t+1. Sea Dt una variable aleatoria que representa la demanda por automóviles la semana t. La agencia utiliza una política de reorden (s,S) con s=1 y S=3. No se acepta demanda pendiente. Sea Xo = 3 y suponga que la variable aleatoria Dt tiene distribución de Poisson con  λ=1. e) f) g) h)

Obtenga los valores de la v variable ariable Xt Xt Exprese a través de una fórmula de recurrencia la relación entre xt y Xt+1 Encuentre la matriz P (valores númericos) Suponga ahora que el costo costo incurrido es un valor ffijo ijo de $ 110.000 por orden más un valor variable de $ 25.000 por automóvil. Encuentre el costo esperado de inventario.

9.- Una empresa de transportes debe contratar un seguro para su flota de vehículos. Existen 4 posibles seguros con valores P 1, P2, P3, y P4. De modo que : P1 > P2 > P3 > P4. El valor del seguro se paga al principio del año y depende del tipo de seguro contratado el año anterior y de los accidentes cobrados a la compañía de seguros durante el año. Si durante el año, el seguro contratado costó P i  y no se cobraron seguros, el seguro del año siguiente costará Pi + 1; en caso contrario (esto es si se cobraron seguros) el seguro costará P1. Si el año anterior el seguro costo P 4 y no hubo daños cobrados, el seguro costará este año también P4. La empresa de transportes debe decidir, al final del año, si cobrará o no los daños acumulados por sus vehículos durante el año. Si la empresa decide cobrar los daños, la compañía de seguros se hace cargo de éstos, con excepción de un deducible, que vale Ri  para el seguro i. El daño total de la flota durante un año cualquiera es una variable aleatoria con función de distribución F y función de densidad f. Defina Xn como el tipo de seguro contratado en el año n. a) Obtenga la matriz de P de este este proceso. b) Obtenga una expresión explícita explícita para el vector distribución estacionaria ∏  de este proceso. c) Obtenga una expresión para el costo esperado anual de usar esta política política en el largo plazo. ¿Cómo podría encontrar la política óptima para este caso? 10.- En la etapa inicial un jugador tiene MM$ 2. En las etapas 1,2..... partic participa ipa en un juego en el que apuesta MM$ 1. Gana el juego con probabilidad p, y lo pierde con probabilidad (1-p). Su meta es aumentar su capital a MM$ 4 y tan pronto como lo logre se retira. El  juego también se suspende si el capital capital del jugador se reduce a $0 .

 

a) Formule la matriz de probabilidades de transición en una etapa. Si p=0.4 b) Calcule la probabilidad de que el jugador obtenga su objetivo de juntar MM$ MM$ 4 de capital.

11.- Se tiene la siguiente Cadena de Markov :

P=

a)   b)  c)  d) 

1 p 0 0

0 0 0 0

0 1-p p 1-p

0 0 1-p p

Analice la recurrencia, periodicidad de cada estado. ¿Es la cadena irreducible? ¿ Existen distribuciones límite ? Si existen calcúlelas ¿ Existe distribución estacionaria ? ¿ Por qué ? Si existe calcúlela.