Ejercicios Laplace
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ejercicios resueltos de la transformada de laplace....
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SOLUCIÓN EJERCICIOS KÚO 2.1.) Encuentre los polos y ceros de las siguientes funciones (incluyendo los ceros en el infinito, si existe alguno). Señale los polos finitos con x y los ceros finitos con O en el plano s.
.. 10 12 10 10 1010 2 2 0 → → 2 2 0 → 2 22 1 1 1010 0 110→ 0→ 0,0, 1 0 1 1 1 10 0 → 10 10
Para hallar los ceros se
resuelven las raíces del numerador:
I.
Para hallar los polos se resuelven las
raíces del denominador:
I. II. III.
Hay 1 cero finito y 4 polos finitos. Como debe existir igual número número de polos que ceros, entonces entonces
existen 3 ceros en el infinito. Pole-Zero Map 1 0.8 0.6 )
1 -
s 0.4 d n o c 0.2 e s ( s 0 i x A y r -0.2 a n i g a -0.4 m I
-0.6 -0.8 -1 - 10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
10 133 2 2 .. 2 3 2 3 2 1 2 10 133 2 2 → 102 11 2 → 210 2 2 10 2 10 0 10 0 → 0, 2 0 Real Axis ( seconds -1)
El polinomio tanto:
Para hallar los ceros se
se puede factorizar como
resuelven las raíces del numerador:
I.
Para hallar los polos se resuelven las
raíces del denominador:
. Por lo
I.
2 0 → 2, 2 2,
Hay 1 cero finito y 2 polos finitos. Como debe existir igual número de polos que ceros, entonces
existe 1 cero en el infinito. Pole-Zero Map 1 0.8 0.6 1
)
0.4
-
d
s n o c
0.2 e s( si
0 x A yr
-0.2 a in g a mI
-0.4 -0.6 -0.8 -1 -2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
. 10 22 2 10 2 0 10 2 0 → 2, 2 3 2 0 0 →22 00→, −±−∗∗ −± → { 1 ∗ 1
0
-1
Real Axis (seconds )
Para hallar los ceros se
resuelven las raíces del numerador:
I.
Para hallar los polos se resuelven las
raíces del denominador:
I.
II.
Hay 1 cero finito y 3 polos finitos. Como debe existir igual número de polos que ceros, entonces
existen 2 ceros en el infinito.
Pole-Zero Map 1 0.8 0.6 ) -1
0.4 s d n o
0.2 c e s( si
0 x A yr
-0.2 a in g a mI
-0.4 -0.6 -0.8 -1 -2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
-1
. 10 1− 2
Real Axis (seconds )
− − 10 1 2 0 10 1 0→0→ 0 1 1 2 0 → 2 2
Para hallar los ceros se resuelven las raíces de l numerador. Sin embargo, el término
hace cero en el infinito. Además,
solo se
representa un retardo en el tiempo; por lo que no se
considera un término para hallar ceros. Por lo tanto, no existen ceros finitos. Para hallar los polos se resuelven las
I. II. III.
raíces del denominador:
No hay ceros finitos y existen 3 polos finitos. Como debe existir igual número de polos que ceros,
entonces existen 3 ceros en el infinito.
Pole-Zero Map 1 0.8 0.6 1
)
0.4
-
d
s c
o
n
0.2 si
s(
e
0 x ry
A
-0.2 a Im
a
g
in
-0.4 -0.6 -0.8 -1 -2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8 -1
Real Axis (seconds )
-0.6
-0.4
-0.2
0
2.2.) Encuentre las transformadas de Laplace de las siguientes funciones. Utilice los teoremas de las transformadas de Laplace si aplican. Se parte de la transformada del escalón unitario
⏞ 01 >< 00 ⇔ℒ ⏞ 1
A la cual se le aplica alguna de las siguientes propiedades:
I.
II.
III.
− − 5 → 5∗ ∗ → ⌋→+ 1→+ 51 { 51 } 51 5 ∗ → 55 Se aplica la propiedad de desplazamiento en el dominio para hallar
Se aplica la propiedad de diferenciación en e l dominio de para hallar
Se aplica la propiedad de linealidad para hallar
:
:
:
b.)
∗ 2 − ∗2 { − → sin ℎ1 sin 2−1 ⇔ℒ 211 ∗ 1 2 1 1 2 ∗ 2 ∗ 1 2 ∗ 1 1 sin ⇔ℒ 1 1 ℎ 2 si n 2 12 ∗ ⌋→ 12 ∗ 1 1→ 12 ∗ 4 11 2 4 ∗ ∗ 2 2 2 { 4} 4 − → 1 1 →+ 2 → + + 2 ∗−2 sin2 ⇔ℒ 2 4 − → 2 4→+ 22 4 2 ∗ → 24 4 2 cos2
Se aplica la propiedad de linealidad I.
Para hallar
se expresa la función
como suma de exponenciales complejas
y se aplican las propiedades de linealidad y desplazamiento en el dominio :
Se aplica la propiedad de escalamiento en t iempo:
Se aplica la propiedad de diferenciación en e l dominio de para hallar
II.
III.
c.)
Para hallar
se aplica la propiedad de desplazamiento en el dominio :
Teniendo como base el resultado del ítem anterior:
Se aplica la propiedad de desplazamiento en el dominio :
Finalmente, se aplica la propiedad de linealidad:
d.)
:
Expresando en función de exponenciales complejas:
sin2 2−− ; cos−2 2−− − − sin2 cos2 ∗ ∗ 4 ∗ ∗ 4 sin2 cos2 sin4 h t si n ℎ 4 s i n 4 14 ∗ ⌋→ 14 ∗ 1 1→ 14 ∗ 16 11 4 16 gt ∑= − ó gt − − 2− 3⋯− ⇔1ℒ
Se aplica la propiedad de escalamiento en tiempo:
e.)
Expandiendo la serie se obtiene:
Sabiendo que la transformada de Laplace del impulso unitario es:
Aplicando la propiedad de linealidad y de desplazamiento en el tiempo se obtiene:
Gs 1 − ∗ − − ∗ − − ∗ − ⋯− ∗ − Gs =− ∗ − g t g t gst t
2.3.) Encuentre las transformadas de Laplace de las funciones mostradas en la Fig. 2P-3. Primero, escriba una expresión completa para Laplace. Sea
y después obtenga la transformada de
la descripción de la función en un período básico que después se retrasa
apropiadamente para obtener
. Obtenga la transformada de Laplace para obtener
.
a.) La expresión matemática para un período de
t
es:
gt 2 1 2 − − − 1 2 1 1 2 1 − − 2 − 11 − 11 − ∗ 1 − 1 − 1 −1− − − − 1 1 1 1 1 1− ∗ 1 −1− ∗ 1 −− 1 t gt 2 4 0.5 0.52 1 1 ℎ {1} 1 −. − −. − 2 4 2 2 4 2 2 1 2 −. − −. 2 1 1 −
Aplicando la propiedad de desplazamiento en el dominio usando la transformada de Laplace del escalón unitario
El período de la señal es
Expresando
; por lo tanto, para hallar
, la propiedad de linealidad y , se obtiene:
se multiplica
por
:
, se obtiene:
b.) La expresión matemática para un período de
es:
Aplicando la propiedad de diferenciación en el dominio de : usando la transformada de Laplace del escalón unitario
, se obtiene:
Aplicando la propiedad de desplazamiento en el dominio y la propiedad de linealidad, se obtiene:
El período de la señal es
; por lo tanto, para hallar
se multiplica
por
:
11 − 11 − ∗ 21 −. 1 − 1 −.1−. −. 1 −. ∗ 21 −.1 11 − ∗ 21 −. 1−.1 −. 2 1 1−. 1 0 ≤ < 1 20 0 12≤≤≥3 0 0 00 → ∫ − → −| 1 − − − − → ∫ ∫ ∫ −+ + 1 ℜ >0 ℜ > 0 0− ≠ 0 1 − sin 2 ⇔ℒ 21 1 1 21 sin ⇔ℒ 21 21 2 sin ⇔ℒ − cos 2 ⇔ℒ 12 1 1 21 cos ⇔ℒ 12 12 2 cos ⇔ℒ − sinh 2 ⇔ℒ 12 1 1 12
a.) Escalón. Sea Es válida si
.
b.) Escalón unitario. El mismo caso anterior, con
. Se simboliza Sea
c.) Exponencial. Sea
, Existe solo si
d.) Escalar. Es el impulso unitario
e.) Seno. Se calcula a partir de la exponencial.
f.) Coseno. Se calcula a partir de la exponencial.
g.) Seno hiperbólico. Se calcula a partir de la exponencial.
;
.
sinh ⇔ℒ 12 12 2 sinh ⇔ℒ − cosℎ 2 ⇔ℒ 12 1 1 12 cos ⇔ℒ 12 12 2 cosh ⇔ℒ
h.) Coseno hiperbólico. Se calcula a partir de la exponencial
2. Solo utilizando las funciones del tema anterior elabore una tabla de transformadas de Laplace, para resolver los siguientes ejercicios. a.) b.)
2 sin ¿qué es
?
Se utiliza la propiedad de división por t de la transformada de Laplace:
∫ + 4 ∫ + 1 + + 2∗ + 4 1⌋ + 0 + + 2 1 I.
II.
=
III.
IV.
c.)
se aplica la siguiente propiedad (diferenciación en e l dominio ):
→ ! 8− 8 6 48 / / 8 − 2− 1 2 1 2 2 2 2 44 2 2 2 8 4 2 8 4 − cosh + ⇔ℒ ℒ − =+ → ++− ⇔ + → + ++++ −. . .+−− ++.+ − [+0.5 0.5 0.7−5−−+− 0.7−5 −−] − 0.75 −0+.75 −−[0 .75(− )( )] 0.75 0.75− 1.5 sin 0.50. 5 1.5 si n − → ∫ + −⌋ −∞−−− 2 − → sℒin ++ 2 2 + +− +− ++ ++ ++ 0; 0.25; 0; 0.25 I.
II.
d.)
puede ser expresado como
de esta forma:
Usando la transformada de Laplace de la función exponencial se obtiene:
e.) f.)
3. Hallar la transformada inversa de: a.)
b.)
c.)
d.)
; Sea
; considerando el desarrollo del literal b.) del punto 2.) se establece que:
; En MATLAB se obtiene:
212 0.125 10.25 [ 0.20.52∗5∗−∗−− [(0.−25 ∗)]−+] 0.25∗ ∗− 2−( 2−) 0.5 ∗ ∗ sin
El término al cuadrado corresponde a una multiplicación :
4. Defina apropiadamente los conceptos de polos y ceros de una función de variable compleja. Los
polos de una función racional corresponden a las raíces del denominador y representan
las constantes de tiempo de la respuesta en el tiempo. Los ceros son las raíces del numerador.
5. ¿Qué son las ecuaciones de estado?
El estado de un sistema hace referencia a los valores pasado, presente y futuro de las
variables. Las variables de estado son el conjunto mínimo de variables que permiten describir el comportamiento futuro a partir del valor inicial y el conocimiento de la entrada. Las ecuaciones de estado, corresponden a la relación matemática entre los estados; normalmente expresada como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.
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