Ejercicios generales

Ejercicios de Geometría Analítica –  Analítica – 2011 2011 - Guía para el profesor

Planos 1. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos puntos M(x1; y1; z1) y N(x 2; y2; z2) y es  perpendicular al plano A x + B y + C z + D = 0. Gráfico 2. Hallar la ecuación del plano que pasa por por un punto vectores V = (t; m; n) y W = (a; b; c). Gráfico

M(x 1; y1; z1) y es paralelo a los

3. Hallar la ecuación del plano que pasa por dos puntos M1 x 1; y1; z 1  y  M 2  x2 ; y2 ; z 2 y es paralelo al vector v 1





l; m; n . Gráfico.

,  y 1 x 1 1 ,z  1 y es perpendicular a 4. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto  M   los planos A 1 x +B 1 y +C 1z +D1 = 0 y A 2 x +B 2 y +C 2 z +D 2 = 0

5. Hallar la ecuación del plano que es paralelo al vector ejes coordenados OX y

OY



v

( 2; 1;





1)e

intercepta en los

segmentos iguales a: a = 3, b= 2.

6. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano en los ejes coordenados OX y

OY

2x



2y



4z



5



segmentos de longitudes: a =  2

0 y

e intercepte b

2 

3

7. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos M1(1; 4; 1) y M 2(13; 2; 10) y que intercepte en los ejes de abscisas abscis as y de cotas segmentos de igual longitud y diferentes de cero. 8. Hallar la ecuación del plano que sea perpendicular pe rpendicular a los planos de ecuación x  2y  3z  8  0 ; 2x  y  3z  0 , y que además determine con los planos coordenados un tetraedro de volumen igual a 36 u 3. 9. Hallar la ecuación del plano que divide por la mitad el ángulo ángulo diedro formado por los  planos 2 x  y + 2 z  3= 0 y 3 x + 2 y  6 z  1 = 0. Determinar si M(1; 2; 3) se encuentra en el ángulo agudo u obtuso. 10. Hallar la ecuación del plano que equidiste de los l os planos x + y –  y – zz + 16 ═ 0 y x + 2y –  2y –  2z  2z + 13 =0. 11. Hallar la ecuación del plano que divida por la mitad al ángulo diedro obtuso formado  por los dos planos 3x − 4y − 4y − z + 5 = 0 y 4x − 3y + z + 5 = 0 12. Hallar la ecuación del plano que pase por el punto M(2; M(2; 3;5) y sea perpendicular a un vector que forma ángulos iguales con los ejes coordenados. coordenados. 13. Verificar si el punto A(1;2;-3) pertenece al diedro agudo u obtuso de caras de ecuación: x + y z 7 = 0 ; 2x + 3y  z + 4 = 0 14. Dado el plano en forma paramétrica: x = 1 + 2 2  3  3 ; y = 1   +   ; z = 2 +   2 , donde “” y “ “” son los parámetros. Determinar su vector direccional.

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15. Si dos planos son paralelos, demostrar que sus trazas sobre cualquiera de los planos coordenados son dos rectas paralelas. 16. El volumen de un tetraedro formado por un plano y los planos coordenados es:V=12 u 3. Determinar su ecuación sabiendo que es paralelo al plano: 3 x + 2 y + 4 z + 6 = 0. 17-Hallar la ecuación del plano que pasando por el punto A (2; 1; 3), sea paralelo a la recta  X 



(1; 2; 3)  t (1; 2;  1)  y perpendicular al plano de ecuación x - y +2 z = 0.

18- Sean A1 x + B1 y + C1 z +D1 = 0 ; A2 x + B2 y + C2 z +D2 = 0 las ecuaciones generales de dos planos que se interceptan. Determinar el valor de k para que el plano del haz A1 x + B1 y + C1 z +D1 + k (A2 x + B2 y + C2 z +D2) = 0 sea paralelo al plano XOY. 19- Escribir las ecuaciones generales de los planos en su forma segmentaria: a) 2x –  3y + 4z –  12 = 0  b) 3x + 2y –  5z –  15 = 0 c) x + 3y + 4z –  12 = 0 20- Escribir las ecuaciones generales de los planos en su forma normal: a) 2x –  3y + 6z –  14 = 0  b) 12y –  5z + 39 = 0 c) −2x + y + 2z + 9 = 0

Rectas y planos 21- Determinar la proyección del punto P (−1; 3: −5) sobre la recta de ecuación: x = 2 −3 t; y = 5 t; z = −1 + 2 t. 22- Deducir una fórmula para calcular la distancia entre las rectas alabeadas: ; 23- Calcular la menor distancia entre las rectas de ecuaciones: y 24- Hallar la ecuación de la recta que sea paralela a los planos de ecuaciones: −3 x +4 y −8 = 0 y 5 x +3 y −9 z + 9 = 0 , sabiendo que se encuentra a 9 unidades del  primer plano y se intercepta con la recta de ecuación: . 25−Dadas las rectas de ecuaciones: (x; y; z) = (9; 1; −1) + k (3/5; −6/5; −1) y , hallar la ecuación de un plano que se encuentre a la mayor distancia de la primera recta y contenga a la segunda recta. 26−Encontrar la ecuación del plano que sea perpendicular al plano: x – y +4 z −1 = 0 y que intercepte a los ejes en los puntos M(−2; 0; 0) y N(0; 2/3; 0)

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27-Siendo “P” un punto cualquiera de un plano y

, un vector unitario normal al mismo,

demostrar que la ecuación del plano está dada por: , donde “d” es un escalar que indica la distancia del origen de coordenadas al plano. 28- Establecer las ecuaciones paramétricas de la recta que pase por el punto A (3; 2; 1) y sea simultáneamente ortogonal a las rectas:  x = 3  y = − 2 x + 1 r:

s:  z = 1

 z = − x –  3

29-Establecer las ecuaciones paramétricas de la recta que pase por el origen y sea simultáneamente ortogonal a las rectas:  y = 3 x −1 −2 x = z − 3 r:

s: 2

 y = z − 3

 z = − x + 4

30- Determinar la ecuación del plano perpendicular al plano: 10 x −11 y +6 z −36 = 0 , y que contenga a la recta de ecuación: . 31- Determinar la ecuación del plano perpendicular al plano: 5 x −7 y +10 z −5 = 0 , y que contenga a la recta de ecuación: 32- Hallar la ecuación de un plano paralelo al vector:  puntos: A(0; −1; 5) y B(−3; 2; −3)

M = (2; 1; −1) y que pase por los

33- Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto M(5; 1; −2) e intercepte a las rectas

de ecuaciones:

y

34- Hallar la ecuación del plano que contenga a la recta: se encuentre a la mayor distancia posible de la recta de ecuación:

y .

35- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(3; 2; 1), se intercepta con la recta (x; y; z) = (1; 3; 6) + t (1; 3; −2) y es paralela al plano de ecuación x + y –   z + 5 = 0. Grafico 36- Hallar la ecuación de la recta situada en el plano x + 3 y  –  z + 4 = 0 y sea  perpendicular a la recta de ecuación x –  2 z – 3 = 0 e y –   2 z = 0 en el punto en que ésta recta encuentra al plano. 37- Determinar el punto de intersección de las rectas de ecuaciones: 2 x + y – 5 = 0 x –  4 y –  7 =0 3 x + z – 14 = 0 5 x + 4 z –  35 = 0 38- Determinar el ángulo formado entre el plano de ecuación 3x  –   4y + 2z  –   5 = 0 y la recta de ecuación: x + 2y – z + 3 = 0; 2x –  y + 3z + 5 = 0. 39- Determinar el ángulo formado entre las rectas de ecuaciones:

Ejercicios de Geometría Analítica – 2011 - Guía para el profesor x − 2y + z – 2 = 0 2y − z – 1 = 0

x –  2y + z –  2 =0 x –  2y + 2z –  4 = 0

40- Si los puntos B, C y D determinan un plano, demostrar que la distancia del punto A a d

ese plano está dada por la expresión:

A B . C B  D B  C B  D B  













41- Si la distancia de un plano al origen de coordenadas es “d” y sus intersecciones con los ejes coordenados son los puntos A(a; 0; 0) , B(0; b; 0) y C(0; 0; c), probar que 1

d

2



1

a

2



1

b

2



1

c

2

42- Demostrar que la ecuación vectorial de la recta que pasa por los extremos de los vectores A y

B se puede escribir de la forma: X = m A + n B , siendo m + n = 1

43- Dado el plano por su ecuación vectorial

A.(X  –  X0) = 0 y el punto P, demostrar que el

 punto simétrico P’ del punto P respecto a dicho plano está dado por la expresión P'  P



2

X0

P

.A

2

A

44- Dado el plano por su ecuación vectorial

A.(X  –  X0) = 0 y el punto P, demostrar que el

 punto P’ pie de la perpendicular trazada por el punto P a dicho plano está dado por la expresión P'  P

P 



X 0 .A 2

.A

A

45- Dado el plano por su ecuación vectorial

A.(X  –  X0) = 0 y el punto P, demostrar que el

 punto medio del segmento determinado por el punto P y el pie de la perpendicular trazada por P al plano dado, está dado por la expresión P'  P

P 



X 0 .A 2

2A

.A

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Ecuación general de 2do. grado a dos variables 46- Hallar los valores “m” para los cuales la proyección sobre el plano YOZ entre la intersección del plano x + m y  2 = 0 con el paraboloide elíptico de ecuación 3 x2 + 2 z2 = 6 y, sea una elipse. 47- Hallar los valores “k” para los cuales la proyección sobre el plano YOZ entre la intersección del plano x + k z  1 = 0 con el hiperboloide de dos hojas de ecuación x2 + y2  z2 = 1 , sea una elipse. 48- Hallar los valores “m” para los cuales la proyección sobre el plano YOZ entre la intersección del plano x + m y  2 = 0 con el paraboloide elíptico de ecuación 3 x 2 + 2 z2 = 6 y , sea una parábola. 49- Hallar los valores “k” para los cuales la proyección sobre el plano YOZ entre la intersección del plano x + k z  1 = 0 con el hiperboloide de dos hojas de ecuación x 2 + y2  z2 = 1 , sea una hipérbola. 50- Hallar el centro de la curva que resulta de interceptar la superficie x2 –  y2 = z con el  plano x –  2y –  z + 1 = 0. Asimismo, determinar la ecuación de ésta intercepción  proyectada sobre el plano YOZ. 51- La proyección sobre el plano z = 0, de la intersección del plano de ecuación x + y + z + 1 = 0 con el hiperboloide de ecuación 4 x2 + 4 y2  z2  8 x + 16 y  80 = 0 es: A) 3 x2  2 x y + 3 y 2  10 x + 14 y  81 = 0 B) 5 x2 + 2 x y + 5 y 2  6 x + 18 y  79 = 0 C) 4 x2 + 4 y2  8 x + 16 y  80 = 0 D) x + y + 1 = 0 E) 4 x2 + 4 y2  8 x + 16 y  80 = 0 ; x + y + 1 = 0 52- La proyección sobre el plano x = 0, de la intersección del plano de ecuación x + y + z + 1 = 0 con el hiperboloide de ecuación 4 x2 + 4 y2  z2  8 x + 16 y  80 = 0 es: A) 8 y2 + 8 y z + 3 z 2 + 16 z  68 = 0 B) 8 y2  8 y z + 3 z 2  16 z  87 = 0 C) 4 y2  z2 + 16 y  80 = 0 D) y + z + 1 = 0 E) 4 y2  z2 + 16 y  80 = 0 ; y + z + 1 = 0 53- La proyección sobre el plano XOZ, de la intersección del plano de ecuación x + y + z + 1 = 0 con el hiperboloide de ecuación 4 x2 + 4 y2  z2  8 x + 16 y  80 = 0 es: A) 8 x2 + 8 x z + 3 z 2  16 x  8 z  92 = 0 B) 8 x2  8 x z + 3 z 2  32 x  24 z  92 = 0 C) 4 x2  z2  8 x  80 = 0 D) x + z + 1 = 0 E) 4 x2  z2  8 x  80 = 0 ; x + z + 1 = 0

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LUGARES GEOMÉTRICOS 54- Desde el punto A(a; 0) (a > 0), se ha trazado un rayo AB, siendo B el punto de intersección de éste rayo con el eje de ordenadas. A ambos lados del punto B, se han trazado unos segmentos BM y BN de igual longitud b (b = constante). Al girar el rayo, los puntos M y N describen una curva llamada concoide de recta. Hallar su ecuación. 55- Un segmento AB de longitud 2a se mueve de manera que sus extremos están situados todo el tiempo en los ejes coordenados. Hallar la ecuación del lugar geométrico del pié de las perpendiculares trazadas desde el origen de coordenadas al segmento AB. El  punto del lugar geométrico describe la curva llamada Rosa de cuatro hojas. 56- Por el origen de coordenadas se traza una recta que corta a la circunferencia: x² + y²  8x = 0 en el punto “B”. Por “B” se traza una perpendicular al eje de ordenadas siendo “C” el pie de esta perpendicular. Por “C” se traza una perpendicular “CM” a la recta OB, siendo “M” el pie de esta perpendicular. Deducir la ecuación del lugar geométrico del punto “M”. 57- Hallar el lugar geométrico de los puntos que dividen a las ordenadas de los puntos de la circunferencia x2 + y2 = 25 en la relación 3/5. 58- Se traza una recta por el origen de coordenadas que corta a la recta x = a en el punto “Q”. Sobre la recta OQ se toma un punto “P” cuya abscisa es igual a la ordenada del  punto “Q”. Determinar el lugar geométrico del punto “P” para todas las posiciones de la recta OQ. Identificar la curva resultante. 59- La recta y = b se traslada en forma paralela al variar el valor de “b”. Su intersección con la circunferencia x2 + y2 = 36 es el punto “A” y con la recta x = 2 es el punto “B”. Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de todos los s egmentos AB. 60- Por el origen de coordenadas se traza una recta cualquiera “OM”. Sea “Q” el punto de intersección de esta recta con la recta y = b. Hallar la ecuación del lugar geométrico del  punto “P” situado en la recta “OM”, bajo la condición de que la ordenada del punto “P” sea igual a la abscisa del punto “Q”, a medida que la recta “OM” gira alrededor del  punto “O”. 61- Dada una circunferencia de diámetro “2a” y centro en el origen de coordenadas. Sea “t” una recta tangente a la misma en el punto A(a; 0). Por el punto “D” de la circunferencia (opuesto al punto “A”), se traza una secante cualquiera “s” y sean “B” y “C” respectivamente los puntos en que “s” corta a la circunferencia y a la tangente “t”. Hallar la ecuación polar (tomando como polo el punto “D”), del lugar geométrico de todos los puntos “P” que se obtienen al marcar sobre cada secante, a partir de “D” un segmento DP igual al segmento BC. 62- Demostrar que el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los puntos fijos (2; 3; 4) y (2; 3; 4) es constante e igual a 8 es un elipsoide. Hallar su centro y las longitudes de los semiejes.

Ejercicios de Geometría Analítica – 2011 - Guía para el profesor 63- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias al plano YZ son el doble de las correspondientes al punto (1; 2; 2)

64- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (2; 3; 1) sea la cuarta parte de la correspondiente al plano y + 4 = 0

ESFERAS 65- Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos (7; 9; 1) (2; 3; 3), (1; 5; 5) y (6; 2; 5). 66- Hallar la ecuación de la esfera que sea tangente al plano x = 1 circunferencia de ecuación x2 + y2 +z2 −10 x −6 y + 9 = 0 ; y = 0

y pase por la

67- Hallar la ecuación de la esfera de radio R = 3 y sea tangente al plano x +2 y +2 z +3 = 0 en el punto M(1; 1; −3) 68- Dada la esfera: (x −3)2 + (y −1)2 + (z +2)2 = 24, hallar la ecuación de cada uno de los  planos tangentes a la misma que contengan a la recta:

x  2 = y  3 =

 z− 

69- Una superficie esférica es cortada por el plano XZ según una circunferencia con centro en C(2; 0; −3) y radio R = 2. Determinar su ecuación sabiendo que pasa por el punto P(1; 1; 2). 70- Encontrar la ecuación de la esfera de radio 8 que sea tangente al plano 3 x −6 y +2 z −1 = 0 y tal que su centro se encuentre sobre la recta:

−6 6

=

−5 6

=

 −8 5

71- Determinar la ecuación de una esfera que sea tangente a los planos de ecuaciones: x −2 y −2 z + 1 = 0 y 2 x −2 y +2 z − 3 = 0, sabiendo que su centro se encuentra sobre la recta de ecuación:

−4 4

=

−5 5

=

−6 6

72- Hallar la ecuación de la esfera que pase por las circunferencias de ecuaciones: y2 + z2 = 4 y2 + z2 = 36 x=4 x=6 73- Hallar el centro y el radio de la circunferencia de ecuación: x2 + y2 + z 2 −4 x −6 y +8 z +4 = 0 ; z = 0 y determinar en forma vectorial el área del triángulo equilátero inscripto en dicha circunferencia, siendo el punto P(2; 0; 0) uno de sus vértices. 74- Hallar la ecuación de la esfera que pasando por la circunferencia de ecuación: x2 + y2 + z2 –  10 x –  6 y + 9 = 0 y=0

sea tangente al plano de ecuación: x = 1

75- Se tiene una esfera con centro en el origen de coordenadas “O” y radio R = 3 unidades. Trazando por el punto A(−1; 0; 1) un plano perpendicular a la recta OA, éste plano

Ejercicios de Geometría Analítica – 2011 - Guía para el profesor interceptará a la esfera según una circunferencia “C”. Determinar la ecuación de la circunferencia “C” y su proyección sobre el plano XOY. 76- Una esfera se intercepta con el plano coordenado XOY según un círculo de centro en M(1; 2; 0) y radio r = 2√ 2. Hallar la ecuación de la esfera sabiendo que la misma pasa  por el punto P(3; 4; 2) 77- Determinar la ecuación de la esfera simétrica a la esfera de ecuación: x 2 + y2 + z2 −4 x +6 y +4 = 0, en relación al plano de ecuación: x + 2 y –  z –  16 = 0.

CUÁDRICAS Superficies cónicas y cilíndricas 78- Determinar la ecuación del cono que circunscriba (envuelva) a las esferas de ecuaciones: x2 + y2 + z2  6 x + 5 = 0 y x 2 + y2 + z2  12 x+ 20 = 0 79- Determinar la ecuación del cono que circunscriba (envuelva) a las esferas de ecuaciones: x2 + y2 + z2 + 2 z  3 = 0 y x 2 + y2 + z2  8 z  33 = 0 80- Determinar la ecuación del cono que circunscriba (envuelva) a las esferas de ecuaciones: x2 + y2 + z2  2 x  15 = 0 y x 2 + y2 + z2 + 4 x = 0 81- Determinar la ecuación del cono que circunscriba (envuelva) a las esferas de ecuaciones: x2 + y2 + z2  2 y  8 = 0 y x 2 + y2 + z2  12 y = 0 82- Determinar la ecuación del cilindro circunscripto a la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 + 6 x  8 y = 0 y cuyas generatrices siguen la dirección del eje “OY” 83- Determinar la ecuación del cilindro circunscripto a la esfera de ecuación x2 + y2 + z2  6 x + 8 y = 0 y cuyas generatrices siguen la dirección del eje “OZ” 84- La esfera de ecuación x2 + y2 + z2 + 6 x + 8 y = 0 está inscripta en un cilindro cuyas generatrices siguen la dirección del vector unitario “ j”. Determinar la ecuación del cilindro. 85- La esfera de ecuación x 2 + y2 + z2  6 x  8 y = 0 está inscripta en un cilindro cuyas generatrices siguen la dirección del eje “OX”. Determinar la ecuación del cilindro. 86- El eje de coordenadas OZ es el eje de un cono circular que tiene vértice en el punto V(0; 0; 5). Si el punto M(3; 2; 1) está situado en su superficie, determinar la ecuación del cono. GRAFICO 87- El eje de coordenadas OY es el eje de un cono circular que tiene vértice en el punto V(0; 4; 0). Si el punto M(2; 2; 1) está situado en su superficie, determinar la ecuación del cono. GRAFICO

Ejercicios de Geometría Analítica – 2011 - Guía para el profesor 88- Demostrar que la ecuación 2 x2 + 3 y2 + z 2 8 x + 6 y –  4 z  3 = 0 , es un elipsoide. Hallar su centro y las longitudes de los semiejes. 89- Averiguar qué línea se forma en la intersección del elipsoide x2 + 3 y2 + 4 z2 = 12 con el plano 2 x 3 y + 4 z 11=0. Hallar su centro. 90- Hallar las ecuaciones de las proyecciones sobre los planos coordenados de la intersección de la ecuación y2 + z2 = x, con el plano x + 2 y  z = 0 91- Averiguar qué línea se forma al interceptar el elipsoide

  +4 

+

 

= 1,

con el plano

de ecuación 2 x  3 y + 4 z  11 = 0. 92- Hallar los valores de “m” para que la intercepción entre el plano de ecuación x + m z  1 = 0 con el hiperboloide de dos hojas x 2 + y2  z2 = 1, sea a) una elipse; b) una hipérbola 93- Hallar el valor de “m” para que el plano de ecuación x  2 y   2 z + m = 0 sea     tangente al elipsoide +  + 9 44 6

=1

94- Determinar las ecuaciones de los planos tangentes al elipsoide 4 x2 + 16 y2 + 8 z 2 = 1 que sean paralelos al plano de ecuación x  2 y + 2 z + 17 = 0, y calcular la distancia entre éstos planos paralelos hallados. 95- Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la elipse de ecuación    + 9  = 5

1;  = 0, alrededor del eje: a)

OX;

b) OY;

c) OZ

96- Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la circunferencia de ecuación (y 5)2 + z2 = 4, x = 0, alrededor del eje: a) OX; b) OY; c) OZ 97- Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la recta de ecuación x = 3, y = 2, alrededor del eje: a) OX; b) OY; c) OZ 98- Hallar la ecuación del paraboloide de centro O, eje OZ y que pasa por los punto (3; 0,1) y (3; 2; 2). 99- Hallar el vértice del paraboloide elíptico: 3 x2 + 2 y2 12 z 6 x 13 = 0 100-Hallar la ecuación del paraboloide de vértice (0; 0; 0) que tiene el eje z como eje, y que  pasa por los puntos (2; 0; 3) y (1; 2; 3) 101-Completando los trinomios cuadrados, determinar el centro de la cuádrica 2 x2 + 3 y2 + z2 + 4 x 6 y z 1,25 = 0. Hallar la sección producida por el plano x = 1. Dar la forma canónica de la superficie. 102-Averiguar que línea se forma en la intersección del paraboloide hiperbólico 3 x2 2 z2 = 6 y con el plano 3 x 3 y + 4 z+ 2 = 0 103-Hallar la ecuación, el parámetro y el vértice de parábola que se determina al interceptar

Ejercicios de Geometría Analítica – 2011 - Guía para el profesor el paraboloide hiperbólico 4 x2  5 y2 = 120 z

con el plano y + 6 = 0.

104-Hallar la ecuación de la superficie cónica que tenga por vértice el punto V( 0, 4, 0) y  por directriz la curva de ecuación: x2 + z2− 1 = 0, y = 0. 105-Hallar la ecuación de la superficie cónica que tenga su vértice en el punto V( 1, 0, 3) y su directriz sea la curva de ecuación: y2 –  4 x – 6 y + 17 = 0 , z = 0. 106-Determinar la ecuación del cono recto circular con vértice en el origen de coordenadas, sabiendo que las generatrices son tangentes a la esfera de ecuación: (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 9. 107-Determinar la ecuación del cono recto circular sabiendo que los ejes coordenados son generatrices de él. 108-Determinar la ecuación de un cilindro que tenga su generatriz paralela a la recta de ecuación: 2 x + 3 y + z – 1 = 0; x + y – 5 z + 2 = 0 y cuya directriz sea la 2 2 circunferencia: x  + y = 16 ; z = 4. 109-Determinar la ecuación de un cilindro que tenga su generatriz perpendicular al plano de    ecuación:  + +  = 1 y cuya directriz sea la parábola de ecuación: 

y2 = 12 x ; z = 2.

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−4