ejercicios flujo gradualmente variado

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Capitulo 5 FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Problema F.II-5.01 Por un canal rectangular de 2.50 m de ancho fluye un caudal de 1.50 m3/s. El coeficiente de fricción de Darcy es f = 0.020. El canal termina en una caída libre y la pendiente del fondo del canal S0 es igual a la mitad de la pendiente crítica. Determinar: a. b. c. d. e. f. g. h.

La profundidad crítica. El coeficiente C de Chézy. La pendiente crítica SC. La pendiente del canal S0. La profundidad normal yn. La n de Manning. El tipo de flujo. El perfil que se produce aguas arriba de la sección terminal.

Determinación de la profundidad crítica yC. yC

3

q2 g

yC

3

Q2 B2 g

yC

3

1.50 2 2.50 2 x 9.81

yC

0.33 m.

Determinación de la C de Chézy. C

8g f

C

8 x 9.81 0.020

C

m1 / 2 62.64 s

El caudal según la ecuación de Chézy es: Q

vA

Q

C R H S0 A

Determinación de la pendiente crítica SC. En el caso de flujo crítico la profundidad normal yn es igual a la profundidad crítica yC y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC; así:

Q

C R H C SC A C

Q2

C 2 R H C SC A C

155

2

SC

Q2 2 C2 R H C AC

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

SC C2

Q2 b yC b 2 yC

SC 2

b yC

62.64 2

SC

1.50 2 2.50 x 0.33 2.50 2 x 0.33

2.50 x 0.33

2

0.0032

Determinación de la pendiente del canal S0. 0.0032 2

S0

S0

0.0016

Determinación de la profundidad normal yn. Q

C R H S0 A

Q

1.50

C RH

1/ 2

S0

1/ 2

A

Q

1/ 2

b yn C b 2 yn

0.00161 / 2 b y n

1/ 2

2.50 y n 62.64 2.50 2 y n

0.00161 / 2 2.50 y n

la cual se satisface para yn = 0.42 m. Determinación de la n de Manning.

1/ 6

n

RH C

n

b yn b 2 yn C

1/ 6

n

2.50 x 0.42 2.50 2 x 0.42 62.64

1/ 6

n

0.014

Determinación del tipo de flujo. Como yn = 0.42 m > yC = 0.33 m el flujo es subcrítico y se produce un perfil tipo M. Perfil superficial. En la caída, punto B, se produce la profundidad crítica yC, hacia aguas arriba se produce un perfil M2 y la profundidad del agua aumenta hacia aguas arriba hasta alcanzar la profundidad normal yn en el punto A, según se muestra en el siguiente esquema.

156

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-5.02 Un canal rectangular de gran anchura, con coeficiente de Manning n = 0.0165 constituido por dos tramos de gran longitud de pendientes S0 1 = 0.0016 y S0 2 = 0.04000 une dos embalses en la forma que se muestra en la figura. Determinar: a. b. c. d. e.

a.

La profundidad normal yn 1, en el tramo 1. La profundidad normal yn 2, en el tramo 2. La prfundidad crítica yC. El caudal. Trazar cualitativamente el perfil superficial.

Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es suprcrítico.

Determinación de la profundidad crítica yC. E min

3 yC 2

2 E min 3

yC

yC

2 1.52 3

yC

q

yC3 g

q

1.01 m

Determinación del caudal unitario q. yC

3

q2 g

yC 3

q2 g

q2

yC3 g

q

3.195

1.013 x 9.81

m3 / s m

Determinación de la profundidad normal. 3/ 5

q

1 yn n

2/3

S0

yn

1/ 2

yn

q

1 yn n

3.195 x 0.0165 0.00161 / 2

5/3

S0

1/ 2

yn

3/ 5

157

yn

1.18 m.

qn 1/ 2 S0

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

como la profundidad normal yn = 1.18 m. > yC = 1.01 m. el flujo es sub crítico por lo tanto la hipótesis es falsa, entonces el flujo es subcrítico. Los valores de la profundidad normal yn, profundidad crítica yC y el caudal Q determinados anteriormente son falsos. b. Considerando como hipótesis que el flujo en el canal uno es subcrítico. En la entrada del canal se produce la profundidad normal yn, hacia abajo el flujo es uniforme con profundidad normal. Determinación de la profundidad normal yn 1 para el tramo 1. La velocidad en el tramo 1 según la ecuación de Manning es: vn1

vn 1

1 2/3 1/ 2 R H S0 1 n

vn 1

1 2/ 3 yn 1 0.0016 0.0165

1/ 2

1 2/ 3 1/ 2 y n 1 S0 1 n vn1

2.42 y n 1

2/3

La energía existente para esa profundidad es:

E

yn 1

vn1

2

1.52

2g

2.42 y n 1

yn 1

2/3 2

1.52

2 x 9.81

yn1

0.30 y n 1

la ecuación anterior se satisface para yn 1 = 1.16 m. El caudal unitario según la ecuación de Manning es: q

1 2/3 1/ 2 y n 1 S0 1 y n 1 n

1 x 1.16 0.0165

q

q

3.099

2/3

x 0.0016

m3 / s m

Determinación de la profundidad crítica yC es (para ambos canales):

yC

3

q2 g

yC

3

3.0999 2 9.81

158

yC

0.99 m.

1/ 2

x 1.16

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad normal yn 2 para el tramo 2. 3/5

q

1 2/ 3 1/ 2 y n 2 S0 2 y n 2 n

yn 2

qn S0 2

1/ 2

yn 2

3.099 x 0.0165 1/ 2 0.0400

3/ 5

yn 2 =0.44 m. Perfiles superficiales. En el tramo 1, yn 1 = 1.16 m > yC = 0.99 m por lo tanto los perfiles que se pueden producir son tipo M. En el tramo 2, yn 1 = 0.44 m < yC = 0.99 m por lo tanto los perfiles que se pueden producir son tipo S. A la salida del embalse en el punto A se produce la profundidad normal yn 1, y ésta permanece constante hacia aguas abajo.

En el punto C se produce la profundidad crítica y hacia aguas arriba se forma un perfil M2 hasta alcanzar la profundidad normal en el punto B.

Desde el punto C hacia aguas abajo se produce un perfil S2 con flujo supercrítico tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn 2

159

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Desde el punto E hacia aguas arriba se produce un perfil S1 con flujo subcrítico. La manera físicamente posible para pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico que se forma este en el punto D donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el siguiente esquema.

Problema F.II-5.03 El canal rectangular de ancho 4.00 m. y de gran longitud, mostrado en la figura conduce, en régimen uniforme, un caudal de 5.00 m3/s. El coeficiente n de Manning es n = 0.01 y la pendiente longitudinal S0 = 0.00001. La profundidad aguas abajo de la compuerta es 0.20 m. Determinar: a. b. c. d. e. f.

La profundidad normal. La energía correspondiente a la profundidad normal. La profundidad crítica. La energía mínima La profundidad aguas arriba de la compuerta. Dibujar cualitativamente los perfiles superficiales.

Determinación de la profundidad normal yn mediante la ecuación de Manning. Q

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n

b yn 1 n b 2 yn

Q

2/3

S0

1/ 2

al sustituir los valores numéricos se tiene: 5.00

4.00 y n 1 0.01 4.00 2 y n

2/3

160

0.00001

1/ 2

4.00 y n

b yn

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

la ecuación anterior se satisface para yn = 3.39 m. Determinación de la energía correspondiente a la profundidad normal. E

v2 2g

y

E

Q2 2 g A2

y

E

Q2 2 g 4.00 y

y

2

al sustituir los valores numéricos se tiene: E

3.39

5.00 2 2 x 9.81 4.00 x 3.39

E

2

3.40 m.

Determinación de la profundidad crítica yC.

yC

3

q2 g

yC

3

Q B g

2 3

yC

5.00 4.00 9.81

2

yC

0.54 m.

Como yn = 3.93 m > yC = 0.54, m el flujo es subcrítico y los perfiles que ocurren son tipo M. Determinación de la energía mínima. 2

E min

vC 2g

yC

E min

yC

Q2 2 2 g AC

E min

Q2 2 g b yC

yC

al sustituir los valores numéricos se tiene: E min

0.54

5.00 2 2 x 9.81 4.00 x 0.54

2

E min

0.81 m.

Determinación de la profundidad aguas arriba de la compuerta. 2

yB

vB 2g

yC

vC 2 2g

yB

Q2 2 g b yB

yC

Q2 2 g b yC

al sustituir los valores numéricos se tiene: yB

5.00 2 19.62 4.00 y B

2

0.20

5.00 2 19.62 4.00 x 0.20

2

la cual se satisface para yB = 2.17 m. (profundidad aguas arriba de la compuerta).

161

2

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Como la profundidad aguas arriba de la compuerta es yB = 2.17 m < yn = 3.39 m, entonces hacia aguas arriba se produce un perfil M2 hasta alcanzar la profundidad normal yn en el punto A y continua hacia aguas arriba con la profundidad normal.

Desde el embalse hacia aguas arriba se produce un perfil M1 con un altura de 4.50 m en el punto E, disminuyendo de altura tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn.

Desde el punto C aguas debajo de la compuerta se produce un perfil M3 en flujo supercrítico. La manera físicamente posible de pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico, formándose éste en el punto D donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el siguiente esquema:

Problema F.II-5.04 Un canal trapezoidal de gran longitud con ancho en la base b = 4.00 m, taludes laterales en la proporción 1H : 1V, con coeficiente n de Manning de 0.013 y pendiente longitudinal S0 de 0.0004, conduce agua desde un embalse de grandes dimensiones hasta una sección terminal de caída libre. Si en el punto medio del canal se coloca una compuerta de admisión inferior que origina una vena de descarga de 60.00 cm. Se pide: a. b. c. d. e. f.

La profundidad normal. El caudal. La profundidad crítica. El número de Froude. La profundidad antes de la compuerta. Dibujar cualitativamente los perfiles superficiales.

162

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

a.

Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es supercrítico.

La velocidad crítica es: Q2 T g A3

Q2 g A2

1 C

A T

C

Q2 2 g A2

C

C

A 2T

2

vC 2g

C

A 2T

Determinación de la profundidad crítica. como la energía disponible es E0 = 3.00 m, entonces: 2

E0

vC 2g

yC

E0

A 2T

yC

2

E0

yC

C

b yC m yC 2 b 2 m yC

al sustituir los valores numéricos se obtiene la profundidad crítica yC: 2

3.00

yC

4.00 y C 1.00 y C , la cual se satisface para yC = 2.19 m. 2 4.00 2 x 1.00 x y C

Determinación de la velocidad crítica. 2

E0

yC

2

vC 2g

3.00

2.19

vC 2 x 9.81

vC

3.98 m / s.

Determinación del caudal Q. Q

vC AC

Q

3.98 x 4.00 x 2.19 1.00 x 2.19 2

Q

Determinación de la profundidad normal yn. La profundidad normal yn es aquélla que satisface la ecuación de Manning. Q

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n 163

53.95 m 3 / s.

C

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

53.95

2/3

4.00 y n 1.00 y n 1 0.013 4.00 2 y n 1 1.00 2

0.0004

1/ 2

4.00 y n

1.00 y n

2

la cual se satisface para yn = 3.27 m. como yn = 3.27 m. > yC = 2.19 m. el flujo es subcrítico, por lo tanto la hipótesis es falsa, entonces la pendiente es subcrítica. Los valores de la profundad normal yn, profundidad crítica yc y caudal Q determinados anteriormente son falsos. b.

Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es subcrítico.

En la entrada del canal se produce la profundidad normal, hacia aguas abajo el flujo es uniforme con profundidad yn. Determinación de la profundidad normal yn. La velocidad correspondiente a la ecuación de Manning es:

v

2

1 2/3 1/ 2 R H S0 n

v

2/ 3

4.00 y n 1.00 y n 1 0.013 4.00 2 y n 1 1.00 2

0.00041 / 2

La energía existente para esta profundidad es: E

yn

v2 2g

al sustituir el valor de la energía y la expresión de la velocidad se tiene: 2

3.00

yn

4.00 y n 1.00 y n 1 0.013 4.00 2 y n 1 1.00 2 2g

la ecuación anterior se satisface para yn = 2.777 m. Determinación del caudal Q. El caudal correspondiente se puede determinar de dos formas: 1.-

Mediante la utilización de la ecuación de Manning. 164

2

2/3

0.00041 / 2

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2/3

4.00 x 2.777 1.00 x 2.777 2 1 0.013 4.00 2 x 2.777 1 1.00 2

Q

0.00041 / 2 4.00 x 2.777 1.00 x 2.777 2

Q = 39.40 m3/s. 2.-

Mediante la determinación de la velocidad a partir de la energía especifica. 2

2

vn 2g

E

yn

Q

vA

3.00

Q

2.777

vn b yn

vn 2g

vn

m y2

2 x 9.81 3.00 2.777

vn

2.092 m / s.

2.092 4.00 x 2.777 1.00 x 2.777 2

Q

Q = 39.37 m3/s. Determinación de la profundidad crítica yC.

Q2 T g A3

Q2 b 2 m y C

1

9.81 b yC m yC

2 3

39.402 4.00 2 x 1.00 x yC

1

9.81 4.00 y C 1.00 yC

2 3

1

la ecuación anterior se satisface para yC = 1.82 m. como yn = 2.78 m > yC = 1.82 m, indica que el flujo es subcrítico y los perfiles son tipo M.

Determinación del número de Froude. F

Q2 T g A3

F

Q2 b 2 m yn 9.81 b y n

m yn

F

2 3

39.40 2 4.00 2 x 1.00 x 2.777 9.81 4.00 x 2.777 1.00 x 2.777 2

3

F = 0.476, lo que indica que el flujo es subcrítico. Determinación de la profundidad antes de la compuerta. Si se considera que en la compuerta no hay pérdida de energía entonces la energía antes de la compuerta es igual a la energía después de la compuerta por lo tanto: E1

E2

y1

Q2 2 2 g A1 165

y2

Q2 2 2 g A2

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Q2

y1

2 g b y1

m y1

Q2

y2

2 2

2 g b y2

m y2

2 2

al sustituir los valores numéricos se tiene: y1

39.402

1.20

2 2

2 x 9.81 4.00 y1 1.00 y1

y1

39.402 2 x 9.81 4.00 x 1.20 1.00 x 1.202

39.40 2 2 x 9.81 4.00 y1 1.00 y1

y1 19.62 4.00 y1 1.00 y1

2

39.40 2

2 2

2

3.232

3.232 x 19.62 4.00 y1 1.00 y1

2

simplificando y agrupando términos semejante se obtiene: 19.62 y 5

93.55 y 4 193.37 y 3 10140.59 y 2

0 y 1552.36

0

el polinomio anterior tiene como solución: 1.80672; 1.20001;

2.54782; 3.0629;

4.67645

el valor de y = 3.06 m corresponde a la altura aguas arriba de la compuerta y el valor de y = 1.20 m corresponde a la altura aguas abajo de la compuerta. En el punto A (inicio del canal) se produce la profundidad normal, hacia aguas abajo la profundidad del agua es yn.

Aguas abajo de la compuerta la profundidad es de 1.20 m y aguas arriba de la compuerta la profundidad es 3.06 m. (obtenida al igualar la energía de la compuerta con la de aguas debajo de ésta). Desde el punto C hacia aguas arriba se produce un perfil M1 hasta alcanzar la profundidad normal en el punto B. 166

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

En el punto E por ser una caída libre se produce la profundidad crítica yC, hacia aguas arriba se produce un perfil M2 tendiendo a alcanzar la profundidad normal.

Desde el punto C hacia aguas abajo se produce un perfil M3. El flujo desde el punto C hacia aguas abajo es supercrítico y desde el punto E hacia aguas arriba es subcrítico. La manera físicamente posible de pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico formándose éste en el punto D donde se satisfagan las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el esquema siguiente.

Problema F.II-5.05 Un canal rectangular de 3.50 m de ancho y pendiente constante transporta un caudal de 36.00 m3/s, la profundidad normal yn es de 2.00 m. En una sección de dicho canal la profundidad del agua es de 0.90 m. Determinar si la profundidad aguas abajo de dicha sección aumentará, disminuirá o permanecerá constante. Haga esquemas mostrando casos en el que se presente esta situación e indicar el perfil superficial que se produce. 167

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad crítica yC.

yC

3

q2 g

yC

3

Q2 B2 g

yC

3

36.00 2 3.50 2 x 9.81

yC

2.21 m

yn = 2.00 m < yC = 2.21 m, la pendiente es supercrítica y se formaran perfiles tipo S. Esquema general de los perfiles S.

El punto considerado tiene una profundidad y = 0.90 m < yn = 2.00 m < yC = 2.21 m perteneciente a la zona 3 por lo tanto se produce un perfil S3 el cual aumenta de altura hacia aguas abajo. En el esquema siguiente se presentan dos casos en los cuales pueden ocurrir esta situación.

168

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-5.06 Una compuerta vertical descarga un caudal q = 5.00 m3/s/m, hacia un canal horizontal de gran anchura de concreto con un coeficiente de Manning n = 0.015. La profundidad de la vena contraida aguas debajo de la compuerta es de 0.50 m. Las condiciones del flujo aguas abajo obligan a la formación de un resalto hidráulico con una profundidad y2 = 2.50 m, determinar: a. b. c.

La profundidad aguas arriba del resalto. Hacer un esquema indicando los perfiles superficiales. La distancia aguas debajo de la compuerta donde se formará el resalto hidráulico.

Determinación de la profundidad aguas arriba del resalto y1. 2

2 y1 y2

1

1 8 F2

2

2 y1 y2

1

1 8

v2 g y2

y1

2.50 2

2

2 y1 y2

1

q 1 8 y2 g y2

2

y1

y2 2

1

1 8

y2

2

q g y2

y1

1

5.00 1 8 2.50 9.81 x 2.50

0.65 m

Aguas abajo de la compuerta se forma un perfil H3 comenzando con una profundidad de 0.50 m, aumentando de altura hasta alcanzar una profundidad de 0.65 m correspondiente a la profundidad de de aguas arriba del resalto. Desde aguas abajo del canal se forma un perfil H2 aumentando de altura hasta alcanzar la profundidad de 2.50 m correspondiente a la profundidad de aguas abajo del resalto como se indica en el siguiente esquema.

169

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la distancia xA B. xA B

xA B

3 1 4/3 yB 2 4 n g

3 1 0.65 4 / 3 2 4 0.015 x 9.81

yA

4/3

yA

13 / 3

3 1 0.6513 / 3 2 2 13 0.015 x 5.00

0.50 4 / 3 xA B

3 1 13 / 3 yB 2 2 13 n q

0.5013 / 3

52.50 m

Problema F.II-5.07 Por un canal horizontal de gran anchura fluye un caudal de 5.00 m3/s/m, con rugosidad n de Manning n = 0.015. En un cierto punto se encuentra una compuerta que origina una vena de descarga de 0.90 m. Si a 30.00 m aguas abajo de la compuerta se produce un resalto hidráulico, determinar: a. b. c. d. e.

La profundidad aguas arriba de la compuerta. La profundidad 30.00 m aguas debajo de la compuerta. La profundidad secuente del resalto. La longitud desde el resalto hasta la sección terminal de caída libre. Hacer un esquema indicando los perfiles superficiales.

Determinación de la profundidad aguas arriba de la compuerta. 2

yA

yA

yA

2

vA 2g

2

yB

5.00 2 x 2 x 9.81

vB 2g

0.90

yA

q2 yA 2 2 g

5.00 2 0.90 2 x 2 x 9.81

yB

q2 2 yB 2 g

yA

2.22 m

A 30.00 m aguas debajo de la compuerta se produce un resalto hidráulico formándose un perfil H3 hasta alcanzar una altura y1. 170

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad 30.00 m aguas abajo de la compuerta en el perfil H3. x B1

30.00

3 1 4/3 y1 2 4 n g

3 1 4/3 y1 2 4 0.015 x 9.81

yB

3 1 13 / 3 y1 2 2 13 n q

4 /3

0.90 4 / 3

yB

13 / 3

3 1 13 / 3 y1 2 2 13 0.015 x 5.00

0.9013 / 3

la cual se satisface para y1 = 1.00 m Determinación de la profundidad recuente del resalto y2. 2

2

2 y2 y1

1

2 y2 y1

2

1 8 F1

1

v1

1 8

g y1

2 y2 y1

1.00 2

5.00 1 8 1.00 9.81 x 1.00

q 1 8 y1 g y1

1

2

y2

y1 2

2

q 1 8 y1 g y1

1

y2

y2

1

1.81 m

En la caída en el punto C se produce la profundidad crítica yC y hacia aguas arriba se produce un perfil H2 hasta alcanzar la profundidad de 1.81 m. Determinación de la profundidad crítica yC. yC

3

q2 g

yC

3

5.00 2 9.81

yC

1.37 m

Determinación de la distancia x2 C. x2C

3 1 4/3 yC 2 4 n g

y2

4/3

171

3 1 13 / 3 yC 2 2 13 n q

y2

13 / 3

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

x2C

3 1 1.37 4 / 3 1.814 / 3 2 4 0.015 x 9.81 x2C

3 1 1.3713 / 3 1.8113 / 3 2 13 0.015 x 5.00 2

143.60 m

Problema F.II-5.08 Un canal rectangular de 8.00 m de ancho conduce un caudal de 11.00 m3/s con una pendiente longitudinal S0 = 0.0015 y un coeficiente n de Manning de 0.025. En la sección terminal del canal se encuentra un dique que eleva la profundidad del agua hasta 1.70 m. Para estas condiciones determinar: a. b. c. d.

La profundidad normal yn. La profundidad crítica yC. Tipo de perfil que se produce. Calcular el perfil superficial mediante el método de la función de Bresee hasta 200.00 m aguas arriba del dique. Dibujar el perfil superficial.

e.

Determinación de la profundidad normal yn. Q

1 1/ 2 1/ 2 R H S0 A n

11.00

Q

8.00 y n 1 0.025 8.00 2 y n

b yn 1 n b 2 yn

1/ 2

S0

1/ 2

b yn

1/ 2

0.0015

1/ 2

8.00 y n

la ecuación anterior se satisface para yn = 1.02 m. Determinación de la profundidad crítica yC. La condición de flujo crítico es: Q2 T g A3

1

Q2 b g b yC

3

1

yC

3

Q2 b g b3

yC

172

Q2 g b2

1/ 3

yC

Q2 g b2

1/ 3

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11.00 2 9.81 x 8.00 2

yC

1/ 3

yC

0.58 m.

o también para canales rectangulares: yC

3

q2 g

yC

3

Q2 b2 g

yC

3

11.00 2 8.00 2 x 9.81

yC

0.58 m.

como yn = 1.02 m > yC = 0.58 m la pendiente es subcrítica y los perfiles son tipo M. como y = 1.70 m > yn = 1.02 m > yC = 0.58 m, el perfil que se produce hacia aguas arriba es un perfil M1.

Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.

x

yn z S0

1

yC yn

3

Para el presente caso, al sustituir los valores numéricos se tiene:

x

1.02 z 0.0015

1

0.58 1.02

3

x

680.00 z 0.82

Tabla para el cálculo del perfil M1 y (m)

z

1.70 1.65 1.61 1.55 1.52 1.50 1.47 El valor de Bresse.

y yn 1.67 1.62 1.58 1.52 1.49 1.47 1.44

0.1972 * 0.2116 0.2246 0.2466 0.2591 0.2680 0.2824

x (m)

Distancia al origen (m)

1025.64 9.83.61 949.16 896.10 868.73 850.16 821.73

0.00 42.03 76.48 129.54 156.91 175.48 203.91

0.1972 * fue obtenido por interpolación lineal en la tabla de la función de

173

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-5.09 Por un canal de gran anchura fluye un caudal de 1.00 m3/s/m.El coeficiente de fricción de Chézy es C = 55.00 m1/2/s y la pendiente del canal es igual a un cuarto de la pendiente crítica. El canal termina en una caída libre, determinar: a. b. c. d. e. f. g.

La profundidad crítica yC. La pendiente crítica. La pendiente del canal. La profundidad normal. El tipo de pendiente. El tipo de perfil que se produce en el canal. Calcular mediante el método de la función de Bresse la distancia en la cual la profundidad del agua alcanza el 95 % de la profundidad normal.

Determinación de la profundidad crítica yC. yC

3

q2 g

yC

3

1.00 2 9.81

yC

0.47 m.

Determinación de la pendiente crítica SC. En el caso de flujo crítico la profundidad normal yn es igual a la profundidad crítica yC y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC; así: q

C y C SC y C

q

2

2

C y C SC y C 174

2

SC

q2 3 C2 yC

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

q2 3 C2 yC

SC

1.00 2 55.00 2 x 0.47 3

SC SC

0.00318

Determinación de la pendiente del canal S0. 0.00318 4

S0

S0

0.000796

La pendiente del canal es subcrítica ya que S0 = 0.000796 < SC = 0.00318. Los posibles perfiles superficiales deben ser tipo M. Determinación de la profundidad normal yn. 2/3

q

C y n S0 y n

q

C yn

1/ 2

S0

1/ 2

yn

2/3

yn

q 1/ 2 C S0

yn

1.00 55.00 x 0.0007961 / 2

La profundidad instantánea es y = 0.95 yn

yn

q 1/ 2 C S0

2/ 3

y = 0.95 x 0.74

yn

0.74 m.

y = 0.70 m.

como yn = 0.74 m > y = 0.70 m > yC = 0.47 m se produce un perfil M2.

Determinación de la distancia hasta la cual se produce una profundidad de 0.70 m. Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.

x

yn z S0

1

175

yC yn

3

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Para el presente caso al sustituir los valores numéricos se tiene:

x

0.74 z 0.000796

1

0.47 0.74

3

x

930.00 z 0.74

Tabla de cálculo del perfil M2 y (m)

y yn

z

0.47 0.70

0.64 0.95

0.6897 1.4670

x (m)

Distancia al origen (m)

120.55 -126.09

120.55 -126.09

La distancia desde la caída libre donde ocurre la profundidad crítica yC = 0.47 m hasta donde ocurre la profundidad y = 0.70 m es: L = 120.55 – (– 126.09) = 246.64 m

Problema F.II-5.10 En cierta sección (a) de un canal muy ancho de pendiente S0 = 0.004, de rugosidad n de Manning n = 0.014, la profundidad es de 0.53 m y el caudal es de 5.00 m3/s/m. El canal termina abruptamente en una caída libre, 90.00 m aguas debajo de la sección (a). Determinar: a. b. c. d. e. f.

La profundidad crítica yC. La profundidad normal yn. Tipo de pendiente. Tipo de perfil que se produce. Calcular el perfil superficial mediante el método de la función de Bresse tomando incrementos y = 5 cm. La profundidad en la sección terminal de caída libre.

Determinación de la profundidad crítica yC. yC

3

q2 g

yC

3

5.00 2 9.81

176

yC

1.37 m

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad normal yn. 3/ 5

1 yn n

q

2/3

S0

1/ 2

yn

q

5.00 x 0.014 0.0041 / 2

yn

1 yn n

5/3

S0

1/ 2

yn

qn 1/ 2 S0

3/5

yn

1.06 m.

como yC = 1.37 m > yn = 1.06 m, el perfil que se produce es tipo S. como y = 0.53 m < yn = 1.06 m < yC = 1.37 m, el perfil que se produce hacia aguas abajo es S3

Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.

x

yn z S0

1

yC yn

3

para el presente caso al sustituir los valores numéricos se tiene:

x

1.06 z 0.004

1.37 1.06

1

3

x

265.00 z 1.159

Tabla de cálculo del perfil S3 y (m) 0.53 0.58 0.63 0.68

Los valores

z

y yn 0.50 0.55 0.59 0.64

0.5168 0.5754 * 0.6245 * 0.6897

x (m)

Distancia al origen (m)

291.23 322.47 348.15 381.43

0.00 31.24 56.92 90.20

* fueron obtenidos por interpolación lineal en la tabla de la función de Bresse. 177

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La profundidad del agua en la caída libre es de aproximadamente 0.68 m.

Problema F.II-5.11 Bajo una compuerta sale un caudal q = 6.00 m3/s/m. La vena contraída tiene un espesor de 0.50 m. El canal donde ocurre la descarga es rectangular de gran anchura, la pendiente longitudinal es de 0.0001 y la rugosidad de Manning de 0.015. El canal desemboca, a una distancia de 570.00 m aguas debajo de la compuerta en un embalse cuya superficie libre está a 1.80 m respecto al fondo del canal. Calcular y dibujar el perfil resultante usando el método de la función de Bresse. Si se produce un resalto hidráulico determinar su ubicación.

Determinación de la profundidad crítica yC.

yC

3

q2 g

yC

3

6.00 2 9.81

178

yC

1.54 m

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad normal yn. 3/ 5

q

1 yn n

2/3

S0

1/ 2

yn

yn

q

6.00 x 0.015 0.00011 / 2

1 yn n

5/3

S0

1/ 2

yn

qn S 01 / 2

3/5

yn

3.74 m.

como yn = 3.74 m > yC = 1.54 m los perfiles que se producen son del tipo M. Aguas abajo de la compuerta en el punto A, la profundidad es y = 0.50 m < yC = 1.54 < yn = 3.74 m; el perfil que se produce hacia aguas abajo es M3. El flujo aguas abajo de la compuerta es supercrítico.

Cálculo de perfil superficial M3 mediante la función de Bresse.

x

yn z S0

1

yC yn

3

para el presente caso, al sustituir los valores numéricos se tiene:

x

3.74 z 0.0001

1

1.54 3.74

3

x

37400.00 z 0.9302

Tabla de cálculo del perfil M3

y (m) 0.500 0.748 0.935 1.122 1.496

z

y yn

0.1337 0.20 0.25 0.30 0.40

0.1337 * 0.2004 0.2510 0.3021 0.4066

179

x (m)

Distancia al origen (m)

349 508 617 710 814

0 159 268 361 465

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

El valor de Bresse.

0.137 * fue obtenido por interpolación lineal en la tabla de la función de

En la sección ter mi nal del canal en el punt o C, en la desembocad ura, l a p r o f u n d i d a d yn = 3.74 m > y = 1.80 m > yC = 1.54 m, el flujo es subcrítico y el perfil que se produce en M2.

Cálculo del perfil superficial M2 mediante la función de Bresse.

x

37400.00 z 0.9302

Tabla de cálculo del perfil M2

El valor de Bresse.

y yn

y (m)

z

1.80 1.87 1.94 2.02 2.16

0.4813 0.50 0.52 0.54 0.58

0.4950 * 0.5168 0.5399 0.5634 0.6120

x (m)

Distancia al origen (m)

839 720 665 595 400

0 119 174 244 439

0.4950 * fue obtenido por interpolación lineal en la tabla de la función de

180

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de las profundidades secuentes del resalto.

2

2 y2 y1

2 y2 y1

1

1

1 8 F1

1 8

2

8 q2 3 g y1

2 y2 y1

1

y2

y1 2

1 8

1

y1

1

q g y1

8 x 6.00 2 3 9.81 y1

Tabla de cálculo de las profundidades secuentes del resalto

Profundidad aguas arriba y1 (m)

Profundidad aguas abajo y2 (m) y2

0.50 0.748 0.935 1.122 1.496

y1 2

1

1

8 x 6.00 2 3 9.81 y1

3.58 2.78 2.37 2.06 1.59

La manera físicamente posible de pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico formándose éste en el punto B donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el esquema siguiente. 181

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

El resalto se encuentra ubicado donde la curva de profundidades secuentes del resalto se corta con la curva M2 de la superficie del agua. Un gráfico a escala muestra que ese punto de corte se encuentra aproximadamente a 370 m aguas abajo de la compuerta como se muestra en le esquema anterior. Problema F.II-5.12 Un canal de gran anchura está formado por dos tramos como se muestra en la figura. La pendiente del tramo 1 es S0 = 0.0328 y del tramo 2 es S0 2 = 0.0025, el coeficiente n de Manning de ambos canales es n = 0.020 y el caudal unitario q = 5.00 m3/s/m. Dibujar cualitativamente el perfil superficial y de producirse un resalto hidráulico determinar si éste se produce aguas arriba o aguas abajo del punto A y a que distancia se formará.

Determinación de la profundidad crítica yC es (para ambos canales): yC

3

q2 g

yC

3

5.00 2 9.81

yC

1.37 m.

Determinación de la profundidad normal yn 1 para el tramo 1. 3/ 5

q

1 2/3 1/ 2 y n 1 S0 1 y n 1 n

yn1

qn 1/ 2

S0 1

yn 2 = 0.70 m. 182

yn 1

5.00 x 0.02 0.0328

1/ 2

3/ 5

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad normal yn 2 para el tramo 2. 3/ 5

q

1 2/3 1/ 2 y n 2 S0 2 y n 2 n

yn 2

qn S0 2

1/ 2

yn 2

5.00 x 0.02 0.0025

3/5

1/ 2

yn 2 =1.52 m.

En este caso se pueden presentar dos posibilidades: Posibilidad I En el tramo 2, la profundidad normal yn 2 se mantiene hasta el punto A y hacia aguas arriba. En el tramo 1, se forma un perfil S1 generando un resalto hidráulico donde se satisfacen las profundidades secuentes del resalto. Posibilidad II En el tramo 1 la profundidad normal yn 1 se mantiene hasta el punto A y hacia agua abajo en el tramo 2 se forma un perfil M3 formándose un resalto hidráulico donde se satisfagan las profundidades secuentes del resalto.

Tomando como hipótesis la posibilidad I. La profundidad y1 del resalto hidráulico es yn 1 = y1 = 0.70 m, entonces la profundidad y2 del resalto es: Determinación de las profundidades secuentes del resalto.

183

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

2 y2 y1 2 y2 y1

1

1

1 8 F1

1 8

2 y2 y1

2

8 q2 3 g y1

y2

1

1 8

0.70 2

1

1

y1

q g y1

8 x 5.00 2 9.81 x 0.70 3

La profundidad y2 del resalto resulta igual a 2.37 m, lo cual no es físicamente posible ya que el perfil S1, el cual comienza con una profundidad de 1.52 m y disminuye de profundidad hacia aguas arriba. Esta hipótesis es falsa y la valida es la posibilidad II. Tomando como hipótesis la posibilidad II. La profundidad y2 del resalto hidráulico es yn 2 = y2 = 1.52 m, entonces la profundidad y1 del resalto es: Determinación de las profundidades secuentes del resalto. 2

2 y1 y2 2 y1 y2

1

1

1 8 F2

1 8

2 y1 y2

2

8 q2 3 g y2

y1

1

1 8

1.52 2

1

1

y2

q g y2

8 x 5.00 2 9.81 x 1.52 3

La profundidad y1 del resalto resulta igual a 1.22 m, lo cual sí es físicamente posible ya que el perfil M3 comienza con una profundidad de 0.70 m y aumenta de profundidad hacia aguas abajo. Esta hipótesis es cierta. El perfil M3 comienza con una profundidad de 0.70 m en el punto A y termina con una profundidad de 1.22 en el punto B donde se forma el resalto. Determinación de la distancia donde se forma el resalto hidráulico. Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.

x

yn z S0

1

yC yn

3

para el presente caso al sustituir los valores numéricos se tiene:

x

1.52 z 0.0025

1

1.37 1.52

3

x

184

608.00 z 0.2678

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tabla de cálculo del perfil M3 y (m)

z

0.70 1.22 El valor de Bresse.

y yn 0.46 0.80

0.472 * 0.9505

x (m)

Distancia al punto A (m)

202.83 331.64

0 128.81

0.772 * fue obtenido por interpolación lineal en la tabla de la función de

Problema F.II-5.13 Un canal trapezoidal con ancho en la base b = 6.00 m, taludes laterales con m = 2.00 y coeficiente de Manning n = 0.015 conduce un caudal de 50.00 m3/s con una profundidad normal yn = 2.00 m. La construcción de un puente requiere de la construcción de una pila de 2.00 m de diámetro. Si la pila es hidrodinámica y no ofrece resistencia al flujo, determinar: a. b. c. d.

Si se modifica la profundidad aguas arriba de la pila y por qué. En caso afirmativo calcular la nueva profundidad. Qué tipo de perfil se produce aguas arriba de la pila. A cuántos metros aguas arriba de la pila se produce el 101 % de la profundidad normal yn 1. (realice el cálculo mediante un solo paso)

Sección de aproximación 1 - 1.

185

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la energía existente en la sección de aproximación antes de colocar la pila.

2

E1

y1

E1

v1 2g

2.00

E1

y1

Q2 A2 2 g

E1

Q2

y1 b1 y1

50.00 2 6.00 x 2.00 2.00 x 2.00 2

2

m y1

E1

2 x 9.81

2 2

2g

2.32 m

Determinación de la profundidad crítica yC 1 en la sección de aproximación. Q2 T g A3

Q 2 b1

1

g b1 y C 1

2 m yC1 m yC1

50.00 2 6.00 2 x 2.00 y C 1

1

2 3

9.81 6.00 y C 1

2.00 y C 1

2 3

1

La ecuación anterior se satisface para yC1 = 1.59 m. Sección donde es colocará la pila 2 - 2.

Determinación de la profundidad crítica yC 2 en la sección 2. Q2 T g A3

1

Q2 b2

2 m yC 2

g b2 yC 2

m yC 2

50.00 2 4.00 2 x 2.00 y C 2

1

2 3

9.81 4.00 y C 2

2.00 y C 2

2 3

La ecuación anterior se satisface para yC2 = 1.86 m. Determinación de la energía mínima en la sección 2 – 2 E min

1.86

50.00 2 4.00 x 1.86 2.00 x 1.86 2 186

2

2 x 9.81

E min

2.48 m

1

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La energía mínima necesaria para que el agua pase a través de la pila es Emin = 2.48 m, pero la energía disponible en la sección 1 -1 es E1 = 2.32 m la cual es menor que la mínima. Por lo tanto el agua aumenta de altura en la sección de aproximación para adquirir la suficiente energía para poder pasar. Esta nueva energía en la sección 1 -1 debe ser igual a la mínima; es decir, E1N = 2.48 m. 50.00 2 y1 N 2.48 m 2 2 6.00 y1 N 2.00 y1 N 2 x 9.81 La ecuación anterior tiene cinco raíces, dos complejas, una negativa y dos positivas, el valor de y1N = 2.25 m corresponde a la condición de flujo sub crítico. Como la profundidad aguas arriba de la pila es y = 2.25 m > yn1 = 2.00 m > yC1 = 1.59 m, entonces se produce un perfil M1, disminuyendo de profundidad hacia aguas arriba tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn1. Determinación de la pendiente S0 del canal. 2

Q

1 2/ 3 1/ 2 R H S0 A n

Qn

S0

RH

2/3

S0

A

Q 2 n 2 b1

S0

A

2/3

m y12

Q2 n 2 P4/3 A10 / 3

4/3

10 / 3

50.00 2 0.015 2 6.00 2 x 2.00 1 2.00 2 6.00 x 2.00 2.00 x 2.00 2

S0

A

2 y1 1 m 2

b1 y 1

S0

2

Q n P2 /3

4/3

S0

10 / 3

0.000954

A continuación se muestran en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial. Calcular el perfil hasta y = 1.01 y1

y = 1.01 x 2.00

y = 2.02 m

Tabla para el cálculo del perfil M1 mediante el método paso a paso 4/3

v2 2g

E

S x104

S0

S

A

P

(m)

(m2)

(m)

(m4/3)

(m)

(m)

(m)

2.25

23.63

16.06

1.67

0.23

2.48

-

6.0795

-

-

2.02

20.28

15.03

1.49

0.31

2.33

0.15

9.1845

7.63201

1.90798

RH

E

S x104

y

187

x104

x (m)

786.17

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-5.14 Un canal rectangular de ancho b1 = 5.00 m, pendiente longitudinal S0 = 0.001, coeficiente de Manning n = 0.014, reduce su ancho a b2 = 4.00 m. La reducción produce la profundidad crítica yC2, e inmediatamente aguas arriba de ella la profundidad es de 4.00 m. Si el flujo uniforme aguas abajo de la reducción es crítico. Se pide: a. b. c.

El caudal. Dibujar cualitativamente el perfil superficial que se forma. Calcular en un solo paso, la distancia desde la reducción hacia aguas arriba hasta donde la profundidad sea igual al 95 % de la profundidad normal.

La ecuación de continuidad indica que Q1

Q2

q1 b1

q2 b2

q2

b1 q1 b2

q2

5.00 q1 4.00

Energía especifica en la sección 2. Como en la sección 2 la altura del agua es la profundidad crítica yC2, entonces la energía específica en la sección 2 es la energía mínima; es decir,

E2

3 yC 2 2

E2

3 2

3

q2 g

2

2/3

E2

3 q2 2 9.811 / 3

E2

3 5 2 / 3 q1 2 4 2 / 3 9.811 / 3

2/3

2/3

E2

3 q2 2 9.811 / 3

E2

5 q 3 4 1 2 9.811 / 3 188

2/3

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Energía especifica en la sección 1. 2

E1

2

v1 2g

y1

E1

2

q1 2 y1 2 g

y1

E1

q1 4.00 2 4.00 x 2 x 9.81

Como no existe pérdida de energía entre las secciones 1 y 2 entonces 2

E1

E2

2/3

3 5 2 / 3 q1 2 4 2 / 3 9.811 / 3

q1 2 4.00 x 2 x 9.81

4.00

la ecuación anterior se satisface para q1 = 13.3 m3/s/m. El caudal total Q es:

Q

q 1 b1

El caudal unitario q2 es:

q2

5 q1 4

Q 13.3 x 5.00

q2

5 13.3 4

2

La profundidad crítica yC1 es:

La profundidad crítica yC2 es:

yC1

yC 2

q1 g

3

3

q2 g

yC 1

3

2

yC 1

3

66.50 m 3 / s

Q

q2

16.63 m 3 / s / m

13.3 2 9.81

yC1

2.62 m

16.63 2 9.81

yC1

3.04 m

Determinación de la profundidad normal yn1 en el tramo 1.

Q

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n

66.50

Q

b1 y n 1 1 n b1 2 y n 1

5.00 y n 1 1 0.014 5.00 2 y n 1

2/3

S0

1/ 2

b1 y n 1

2/3

0.001

1/ 2

5.00 y n 1

la ecuación anterior se satisface para yn1 = 4.33 m. Por ser en el tramo 2 el flujo uniforme crítico la profundidad yn2 = yC2 = 3.04 m Como yn1 = 4.33 m > y = 4.11 m > yc1 = 2.62 m, el perfil que se produce es M2

189

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Cálculo del perfil superficial. x

E 2 E1 S0 S

A continuación se muestra en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial. Tabla para el cálculo del perfil M2 mediante el método paso a paso 4/3

v2 2g

E

(m)

(m)

y

A

P

(m)

(m2)

(m)

(m4/3)

4.00

20.00

13.00

1.776

0.563 4.563

4.11

20.55

13.22

1.801

0.534 4.644 0.081 0.00114 0.001180

RH

E

S

S

S0

S

(m) -

x (m)

0.00122

-

-0.00018

450

Problema F.II-5.15 Por un canal trapezoidal con ancho en la base b = 3.00 m y taludes laterales con un ángulo de inclinación respecto a la horizontal de 45º fluye un caudal de 15.00 m3/s. El coeficiente de n de Manning es n = 0.015 y la pendiente longitudinal S0 = 0.001. El canal termina en una caída libre. Calcular y dibujar el perfil superficial. Tome incrementos de la profundidad de y = 10.00 cm.

m

190

1 tg 45º

m 1

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad crítica yC. La profundidad crítica es aquélla que satisface la siguiente ecuación: Q2 T g A3

Q2 b 2 m yC

1

g b yC

2 yC 1 m2

3

15.00 2 3.00 2 x 1.00 y C

1

9.81 3.00 y C

2 y C 1 1.00 2

3

1

la ecuación anterior se satisface para yC = 1.19 m Determinación de la profundidad normal yn. La profundidad normal yn es aquélla profundidad que satisface la ecuación de Manning. Q

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n

2

Q

2

15.00

2/3

b yn m yn 1 n b 2 yn 1 m2

S0

1/ 2

b yn

m yn

2

2/3

3.00 y n 1.00 y n 1 0.015 3.00 2 y n 1 1.00 2

0.001

1/ 2

3.00 y n

1.00 y n

2

la ecuación anterior se satisface para yn = 1.58 m yn = 1.58 m > yC = 1.19 m, la pendiente es suave y se produce un perfil tipo M, en la caída se produce la profundidad crítica yC, la altura del agua aumenta hacia aguas arriba tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn formándose un perfil M2.

Esquema del perfil superficial.

Cálculo del perfil superficial. x

E 2 E1 S0 S

A continuación se muestra en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.

191

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tabla para el cálculo del perfil M2 mediante el método paso a paso 4/3

v2 2g

E

A

P

(m)

(m2)

(m)

(m4/3)

(m)

(m)

(m)

1.19

4.99

6.37

0.72

0.46

1.65

-

0.00282

-

-

1.29

5.53

6.65

0.78

0.38

1.67

-0.02

0.00215

0.00249

-0.0015

13.33

1.39

6.10

6.93

0.84

0.31

1.70

-0.03

0.00163

0.00189

-0.0009

33.33

1.49

6.69

7.22

0.90

0.26

1.75

-0.05

0.00128

0.00146

-0.0005

100.00

1.55

7.05

7.39

0.94

0.23

1.78

-0.03

0.00108

0.00118

-0.0002

150.00

1.57

7.17

7.44

0.95

0.22

1.79

-0.01

0.00102

0.00105

-0.00005

200.00

RH

E

S

S0 - S

y

S

x (m)

496.66 m Problema F.II-5.16 Un canal trapezoidal con ancho en la base de b = 5.00 m, con taludes laterales m = 2.00 y rugosidad de Manning n = 0.025 conduce agua en flujo crítico a una profundidad de 1.50 m. En determinada sección su pendiente disminuye en uno por mil. Se pide: a. b. c.

El caudal. Hacer un esquema cualitativo del perfil superficial. Hacer los cálculos del perfil superficial de un solo paso para determinar la distancia x entre los límites de variación de y.

Determinación del caudal. Q2 T g A3

Q

1

Q

g A3 T

Q

9.81 5.00 x 1.50 2.00 x 1.50 2 5.00 2 x 2.00 x 1.50 192

g b yC m yC b 2 m yC

2 3

3

Q

39.26 m 3 / s

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la pendiente crítica S0 C en el tramo 1. La pendiente crítica es aquélla que satisface la ecuación de Manning cuando la profundidad normal yn es igual a la profundidad crítica yC. 2

Q

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n

S0

Qn RH

2/3

S0

A

Q 2 n 2 b1

S0

A

2/3

m y1

4/3

4/3

S0 C

10 / 3

5.00 x 1.50 2.00 x 1.50 2

Q2 n 2 P4 /3 A10 / 3

2 10 / 3

39.26 2 0.025 2 5.00 2 x 1.50 1 2.00 2

S0 C

S0

A

2 y1 1 m 2

b1 y 1

2

Q n P2 /3

0.0065

Determinación de la pendiente crítica S0 en el tramo 2.

S0 2

S0 C

0.001

S0 2

0.0035 0.001

S0 2

0.0055

Determinación de la profundidad normal en el tramo 2.

Q

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n

39.26

Q

5.00 y n 2

b1 y n 2

1 n b1

2.00 y n 2

m yn 2

2 yn 2 1 m

2

2/3

2

S0

2

1/ 2

b1 y n 2

m yn 2

2

2/3

1 0.025 5.00 2 y n 2 1 2.00 2

0.0055

1/ 2

5.00 y n 2

2.00 y n 2

2

la ecuación anterior se satisface para yn1 = 1.57 m. En el tramo 2, en el punto de cambio de pendiente, el agua tiene una profundidad de 1.57 m, hacia aguas arriba se produce un perfil C1 hasta alcanzar la profundidad de 1.50 m en el punto 1

193

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Cálculo del perfil superficial. x

E2

E1

S0

S

A continuación se muestra en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial. Tabla para el cálculo del perfil C1 mediante un solo paso. 4/3

v2 2g

E

(m)

(m4/3)

(m)

(m)

12.78

12.02

1.09

0.481 2.051

12.00

11.71

1.03

0.546 2.046 0.005 0.00650

y

A

P

(m)

(m2)

1.57 1.50

RH

E

S

S

S0

S

(m) -

x (m)

0.00541

0.00596

0.00054

9.25

Problema F.II-5.17 Un canal rectangular de ancho b = 3.00 m y de gran longitud, es alimentado desde un embalse, como se muestra en la figura. Al final del canal se encuentra una presa de 50.00 m de alto hasta la cresta del aliviadero, el cual deja caer sus aguas a un río. Si la profundidad del agua sobre la cresta es la profundidad crítica yC, el coeficiente de Manninag es n = 0.013 y la pendiente del canal es S0 = 0.0067, se pide: a. b. c. d. e. f. g.

La profundidad crítica yC. La profundidad normal yn. El caudal Q. El tipo de perfil superficial. Dibujar cualitativamente el perfil superficial. Determinar las profundidades recuentes del resalto hidráulico si este se produce. Calcular mediante el método paso a paso el perfil superficial calculado cinco puntos hasta donde la profundidad del agua sea ocho veces la profundidad crítica.

194

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Si se considera como hipótesis que la pendiente del canal es supercrítica (yC > yn) entonces:

yC

2 E min 3

yC

2 9.00 3

yC

6.00 m

Determinación del caudal.

yC

3

Q2 b2 g Q

yC

3

Q2 b2 g

230.16 m 3 / s / m

Q

3

yC b2 g

Q b

q

q

Q

230.16 5.00

6.00 3 x 5.00 2 x 9.81

q

46.03 m 3 / s / m

Determinación de la profundidad normal yn La profundidad normal yn es aquélla que satisface la ecuación de Manning. Q

230.16

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n

5.00 y n 1 0.013 5.00 2 y n

2/3

0.0067

la cual se satisface para yn = 5.16 m. como yC = 6.00 m > yn = 5.16 m la hipótesis es correcta.

195

1/ 2

5.00 y n

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Perfiles superficiales. Desde la presa, con una altura de 56.00 m y hacia aguas arriba se produce un perfil S1 disminuyendo de profundidad como se indica en la siguiente figura.

En la entrada del canal, en el embalse, se produce la profundidad crítica yC y hacia aguas abajo se produce un perfil S2 disminuyendo de profundidad, tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn, como se indica en la siguiente figura.

Para pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico se tiene que formar un resalto hidráulico. Si se considera como hipótesis que la profundidad y1 del resalto es yn = 5.16 m entonces la profundidad secuente del resalto es: Determinación de las profundidades secuentes del resalto. 2

2 y2 y1 2 y2 y1

1

1

1 8 F1

1 8

8 q2 g y1

3

2

2 y2 y1

y2

1

5.16 2

1 8

1

1

q y1

g y1

8 x 46.03 2 9.81 x 5.16 3

y2 = 6.93 m lo cual es físicamente posible ya que el perfil S1 disminuye de profundidad hasta alcanzar esta altura en el resalto hidráulico.

196

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Esquema y cálculo del perfil superficial.

E 2 E1 S0 S

x

A continuación, se muestran forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial. Tabla para el cálculo del perfil S1 mediante el método paso a paso 4/3

v2 2g

E

(m)

(m)

y

A

P

(m)

(m2)

(m)

(m4/3)

56

280

117

6.868

0.034 56.034

54

270

113

6.817

52

260

109

50

250

48

240

RH

E

S x 10-5

S x 10-5

S0 - S x 10-5

(m) -

x (m)

1.64

-

-

0.00

0.037 54.037 1.997

1.80

1.72

68.28

298.53

6.762

0.040 52.040 1.997

1.96

1.88

668.12

298.90

105

6.705

0.043 50.043 1.997

2.13

2.05

667.95

298.97

101

6.643

0.047 48.047 1.996

2.35

2.24

667.76

298.91

1195.61m

197

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Problema F.II-5.18 Un embalse descarga sus aguas hacia un canal trapezoidal de gran longitud, taludes laterales con m = 2.00, ancho de la base b = 6.00 m, coeficiente n de Manning n = 0.014 y pendiente longitudinal S0 = 0.005. El nivel de embalse se encuentra a 2.40 m sobre en fondo del canal en la sección de entrada. Se pide: a. b. c. d. e. f.

g.

La profundidad crítica yC. El caudal Q. La profundidad normal yn. El tipo de perfil que se produce. Dibujar cualitativamente el perfil superficial. Calcular la distancia mínima desde la entrada del canal a la que se puede ubicar una compuerta suponiendo que produce una profundidad de 2.10 m aguas arriba de ella sin que se modifique el caudal calculado en el punto b. Dibujar el nuevo perfil superficial.

Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es supercrítico. La velocidad crítica es: Q2 T g A3

Q2 g A2

1 C

A T

C

Q2 2 g A2

C

C

A 2T

2

C

vC 2g

A 2T

Determinación de la profundidad crítica. como la energía disponible es E0 = 2.40 m entonces: 2

E0

vC 2g

yC

E0

A 2T

yC

2

E0

yC

C

b yC m yC 2 b 2 m yC

al sustituir los valores numéricos se obtiene la profundidad crítica yC: 2

2.40

yC

6.00 y C 2.00 y C , la cual se satisface para yC = 1.76 m. 2 6.00 2 x 2.00 x y C

Determinación de la velocidad crítica. 2

E0

yC

vC 2g

2.40 1.76

Determinación del caudal Q

198

vC 2 2 x 9.81

vC

3.54 m / s.

C

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Q

vC A C

Q

3.54 x 6.00 x 1.76 2.00 x 1.76 2

59.31 m 3 / s.

Q

Determinación de la profundidad normal yn. La profundidad normal yn es aquélla que satisface la ecuación de Manning. Q

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n 2

59.31

6.00 y n 2.00 y n 1 0.014 6.00 2 y n 1 2.00 2

2/3

0.005

1/ 2

6.00 y n

2.00 y n

2

la cual se satisface para yn = 1.36 m. como yn = 1.36 m. < yC = 1.76 m, el flujo es supercrítico por lo tanto la hipótesis es verdadera, entonces la pendiente es supercrítica y los perfiles son del tipo S. El perfil superficial que se produce se muestra en el siguiente esquema:

Si se mueve la compuerta hacia aguas arriba, hacia la entrada del canal, el resalto comienza a retroceder hasta que el perfil S1 alcanza la entrada del canal con una profundidad de 1.76 m, si la compuerta continua moviéndose hacia aguas arriba la salida se ahoga y comienza a disminuir el caudal. Por lo tanto el límite del caudal uniforme se produce cuando S1 alcanza 1.76 m en la entrada del canal. El esquema que muestra la situación descrita anteriormente se muestra en la figura siguiente:

199

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Cálculo del perfil superficial. x

E2

E1

S0

S

A continuación se muestra en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.

Tabla para el cálculo del perfil S1 mediante el método paso a paso 4/3

v2 2g

E

S x 10-3

S0 - S x 10-3

A

P

(m)

(m2)

(m)

(m4/3)

(m)

(m)

(m)

2.10

21.42

15.39

1.55

0.40

2.50

-

0.992

-

-

-

2.00

20.00

14.94

1.48

0.46

2.46

0.04

1.20

1.096

3.904

10.25

1.90

18.62

14.49

1.40

0.53

2.43

0.03

1.45

1.330

3.670

8.17

1.80

17.28

14.04

1.32

0.62

2.42

0.01

1.80

1.630

3.37

2.97

1.76

16.89

13.91

1.30

0.65

2.419 0.001

1.92

1.860

3.140

0.32

RH

E

S x 10-3

y

x (m)

21.71 m

Problema F.II-5.19 Un canal rectangular de ancho b = 1.50 m tiene un desnivel de 1.00 m en una longitud horizontal de 1600.00 m. La profundidad normal yn es de 0.70 m, cuando el caudal Q es de 0.65 m3/s. En una determinada sección se interpone una compuerta con lo que la profundidad aguas arriba de la compuerta aumenta a 1.00 m. Determinar: a. b. c. d.

La profundidad crítica yC. El coeficiente n de Manning. El tipo de perfil superficial que se forma. La profundidad del agua, de un solo paso, a 685.00 m aguas arriba de la compuerta.

200

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad crítica yC. yC

3

q2 g

yC

3

Q2 b2 g

yC

3

0.65 2 1.50 2 x 9.81

yC

0.27 m

Determinación del coeficiente n de Manning. La pendiente del canal S0 es: z L

S0

Q

n

S0

1 2/3 1/ 2 R H S0 A n

by

5/3

Q b 2y

2/3

S0

1/ 2

Q

1.00 1600 1 A n P

S0

0.00063

2/3

1/ 2

S0

1/ 2

A

n

0.000631 / 2 1.50 x 0.70

n

0.65 1.50 2 x 0.70

S0 A 5 / 3 Q P2 /3

5/3

n

2/ 3

0.0205

como y = 1.00 m > yn = 0.70 m > yC = 0.27 m la pendiente es subcrítica y el perfil es tipo M1 y el esquema correspondiente se muestra en la siguiente figura:

Cálculo del perfil superficial.

x

E2

E1

S0

S

E1

E2

S0

S

x

A continuación se muestra en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.

201

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tabla para el cálculo del perfil M1 mediante el método de aproximaciones sucesivas.

x

4/ 3

v2 2g

E

(m)

(m)

S (10-4)

S (10-4)

S0 - S (10-4)

y

A

P

(m)

(m2)

(m)

(m4/3)

1.00

1.50

3.50

0.3231 0.0096 1.0096

2.442

--

--

1.0096

685

0.75

1.125

3.00

0.2704

0.0170 0.7670

0.519

3.81

2.43

0.857

685

0.84

1.26

3.18

0.2910 0.0136 0.8530

3.843

3.14

3.11

0.815

685

0.80

1.20

3.10

0.2821 0.0149 0.8149

4.370

3.41

2.84

0.832

685

0.817

1.226

3.134

0.2861 0.0143 0.8310

4.130

3.29

2.96

0.825

685

0.810

1.215

3.120

0.2845 0.0146 0.8250

4.220

3.33

2.92

0.827

(m)

RH

E (m)

La profundidad a 685.00 m aguas arriba de la compuerta es y = 0.81 m.

Problema F.II-5.20 Un canal rectangular de gran anchura y gran longitud conduce un caudal unitario q = 1.50 m 3 /s/m, con una pendiente longitudinal S 0 = 0.0001. El fondo tiene una rugosidad de Manning n = 0.020. El canal termina en una caída libre. Determinar: a. b. c. d. e.

La profundidad crítica y CLa profundidad normal y n. El tipo de perfil que se produce. La profundidad a 20.00 m de la caída. La profundidad a 40.00 m de la caída.

202

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Determinación de la profundidad crítica yC.

yC

3

q2 g

yC

3

1.50 2 9.81

yC

0.61 m

Determinación de la profundidad normal yn. 3/5

q

1 2/ 3 1/ 2 y n S0 y n n

yn

qn S0

yn

1/ 2

1.50 x 0.020 0.00011 / 2

3/5

yn

1.93 m

como yn = 1.93 m > yC = 0.61 m la pendiente es subcrítica y el perfil es tipo M, el canal termina en una caída libre donde se produce la profundidad crítica yC. Hacia aguas arriba el perfil aumenta de altura tendiendo a alcanzar la profundidad normal formándose un perfil M2. El esquema correspondiente se muestra en la siguiente figura:

Cálculo del perfil superficial.

x

E2

E1

S0

S

E1

E2

S0

S

x

A continuación se muestran, en forma tabulada, los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.

203

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tabla para el cálculo del perfil M2 mediante el método de aproximaciones sucesivas.

y

v2 2g

E

(m)

(m)

(m)

0.621

0.309

0.918

46.25

20

0.700

0.234

0.934

29.55

37.90

- -36.90

0.992

20

0.758

0.200

0.958

22.66

34.46

- 33.46

0.985

20

0.758

0.186

0.971

20.17

33.21

- -32.21

0.982

20

0.796

0.181

0.977

19.26

32.76

- -31.76

0.982

20

0.800

0.181

0.981

18.94

32.60

-31.60

0.981

20

1.000

0.115

1.115

9.00

13.97

- -12.97

1.011

20

0.896

0.143

1.039

12.98

15.96

- -14.96

1.011

20

0.868

0.152

1.020

14.42

16.68

- -15.68

1.012

20

0.860

0.155

1.015

14.87

16.91

- 15.91

1.013

x (m)

S (10-4)

S (10-4)

S0 - S (10-4)

E (m)

204

0.918

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS

FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Capitulo 6 FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL Problema F.II-6.01 La función de corriente para flujo bidimensional es: función potencial.

1 3x

2 y 3 x y . Hallar la

Las expresiones de u y v son: u

y v

1 3x-2 y 3x y y

u

1 3x-2 y 3x y x

v

x

u

2 3x

v

3 3y

para que exista función potencial el flujo debe ser irrotacional. Para que el flujo sea irrotacional se debe cumplir: v x

u y

3 3y x

2 3x y

0

0

entonces el flujo es irrotancional, por lo tanto existe función potencial. Determinación de la función potencial: u

x

y

x v

f y

2x

3 x2 2

2 3x

v

2x

f y

f y

3 x2 2

2x

3 y2 2

205

3 x2 2

f y

3 3y

3 x2 2

f y

3y

2x 3y C

y 3 y2 2

3y

3 y2 2

C

f y

C