Deb er de F´ısica Deber ısic a Nuclear Nucl ear Decaimiento Radiactivo y Activaci´ on on Alejandro G´ omez omez Espinosa * Escuela Polit´ e ecnica cnica Naciona Nacionall Quito - Ecuador
22 de septiembre de 2010
1. Un reactor provee un haz externo de neutrones lentos lentos (E n = 0,025 025eV eV )) cuyo flujo es es φ = 5 × 106 neutrones/cm2 s. Tomando el tiempo de vida media de los neutrones libres como t1/2 = 1,01 × 103 s. Calcular el n´ umero de neutrones que decaen por por cm3 en 1 minuto a medida que emergen desde el reactor. A partir del valor de la energia, obtenemos el valor de la velocidad: v =
2E = m
2(0, 2(0,025 025eV eV )) = 2,188 × 103 m/s 6 2 939 × 10 MeV/c
Calculamos la distancia que recorren en su tiempo de vida: d = vt = vt = 2,188 × 103 m/s m/s(1 (1,,01 × 103 s) = 2, 2 ,210 × 106 m Para calcular el numero de neutrones por cm por cm 3 y por en un minuto, realizamos: #neut/cm3 s =
5 × 106 neut./cm2 s = 2, 2 ,263 × 10 2,210 × 108 cm
−2
neut/cm3 s = 1,35 35neut/cm neut/cm3 min
necesaria esaria para para dotar a una fuente de part´ part´ıculas alfa de 2. Determ´ D eterm´ınese ınese la cantidad de de P o210 nec una actividad de 5 mCi. El per per´ ´ıodo de semi-desintegraci´ semi-desintegraci´ on del de l PolonioP olonio-210 210 es 138 1 38 d´ıas. ıas. El tiempo de semi-desintegraci´on on del P del P o210 en segundo es: t es: t = 138 dias = 1, 1,19 × 107 s y la actividad inicial es: A es: A o = 5mCi = 1,85 × 108 des./s des./s Conocemo Conocemoss que qu e la actividad activid ad espec´ e spec´ıfica ıfica es: Ao λN A = ¯ A = (1) M A y que la constante de decaimiento se calcula: Calculo la constante de decaimiento:
λ = tln 2
(2)
1/2
De (1) y (2) obtenemos la cantidad necesaria: M =
210gg(1 (1,,85 × 108 des./s des./s)1 )1,,19 × 107 s Ao ¯ A 210 = 1,107 × 10 = ln 2( 2(66,023 × 1023 at.) at.) λN A
−6
g
3. ¿Cu´ al es la masa de 1µCi de Co 60 , si su tiempo de vida media es de 5.27 a˜ nos? El tiempo de semi-desintegraci´on on del C del C o60 en segundo es: t = 5,27 a˜ nos nos = 1, 1,66 × 108 s y la actividad inicial es: Ao = 1µCi = 3,7 × 104 des./s De (1) obtenemos la cantidad necesaria: 60 60gg (3 (3,,7 × 104 des./s des./s)1 )1,,66 × 108 s 8 ,82 × 10 M = ln2(6,,023 × 1023 at. ln2(6 at.)) = 8,
−10
*
[email protected]
1
g
4. Se extrae re regularme gularmente nte cada dos d os d´ıas ıas Rn222 (λ = 2,1 × 10 6 s 1 ) de una muestra de 200 mg de Ra226 (λ = 1,37 × 10 11 s 1 ) ¿Cu´ al es la actividad del Rn en mCi disponible en cada extracci´ on? ¿Qu´e cantidad cantid ad m´ axima de Rn se po podr dr´ ´ıa extraer si se dejase la mezcla de Ra-Rn hasta conseguir su estado de equilibrio? −
−
−
−
Sabemos que 2d 2d = 1,728 × 105 s. Asi con la ayuda de (1 ( 1) calculamos la actividad inicial: Ao =
λN A M 1,37 × 10 = A¯
−11
(6 (6,,023 × 1023 at)0 at)0,,2g = 7, 7 ,302 × 109 des/s 226gg 226
Para calcular la actividad del Rn aplico la f´ormula ormula de la afiliaci´on on radiactiva: λ2 A2 (t) = A 01 [exp(−λ1 t) − exp(−λ2 t)] λ2 − λ1 = 7,302 × 109 des/s [exp(1,,37 × 10 [exp(1
−11
−1
s
2,1 × 10 6 s 1 2,1 × 10 6 s 1 − 1,37 × 10 −
−
−11
−
−
(3)
(1 (1,,728 × 105 s)) − exp(−2,1 × 10
−6
s
−1
s
−1
(1 (1,,728 × 105 s))]
= 7,302 × 109 (0 (0,,304) = 2, 2,222 × 109 des/s des/s = = 60 60,,059 059mCi mCi Sabemos que la cantidad m´axima axima de una sustancia hija se encuentra cuando su tiempo es m´aaximo, ximo, entonces aplicando ((44): ln(1, ln(1,27 × 10 11 /2,1 × 10 1,27 × 10 11 − 2,1 × 10 −
tm =
−
−6
−1
−
−
s 6 s
) = 5, 5 ,721 × 106 s 1
y con este tiempo calculamos nuevamente (3 ( 3): 9 11 [exp(1,,37 × 10 (5 (5,,721 × 106 )) − exp(−2,1 × 10 A2 = 7,302 × 10 [exp(1
−6
−
(5 (5,,721 × 106 ))]
= 7,301 × 109 des/s des/s = = 197, 197,334 334mCi mCi 5. Experimentalmente Experimental mente se encuentra que el e l potasio natural nat ural emite 31 3 1 part´ part´ıculas beta por segundo por gramo y 3.4 3 .4 rayos gamma por segundo por gramo. Con estos e stos datos d atos determin d eterminar ar el per per´ ´ıodo de semi-desinte semi-desintegraci´ graci´ on del K 40 (la concentraci´ on isot´ opica del K 40 es 0,0118 0118 %) Sabemos que del potasio natural se emiten 31 part´ part´ıculas por segundo por gramo, que con una concentraci´on on de 0.0118 obtenemos: 2, 2,627 × 105 part´ıculas ıculas por segundo por gramo de concentraci´ on. on. As´ı apli a plicand candoo ((11) y la constante de decaimiento obtenemos: (0,,693) N A ln 2 6,023 × 1023 (0 = 33,,971 × 1016 s = t1/2 = 5 ¯ 2,627 × 10 (40) AA
−10
6. Una muestra de Bismuto 210 ( t1/2 = 5 d´ıas) ıa s) pes pesa a 2 × 10 g en un cierto instante t=0. El Bi 210 se desintegr desintegra a emitiendo una part´ part´ıcula ıcula beta, dando lugar a un elemento radiactivo radiactivo cuyo per´ per´ıodo es de 183 d´ıas. ¿En qu´e momento a partir de t=0, el n´ umero de atomos ´ del elemento transformado es m´ aximo? ¿Cu´ al es su n´ umero? Calculamos las constantes de decaimiento: λ1 =
ln 2 = 0,139 139dias dias 5dias
−1
= 1, 1 ,609 × 10
−6
−1
s
ln 2 = 33,,788 × 10 3 dias 1 = 4, 4 ,384 × 10 183dias 183 dias Sabemos que el tiempo m´aximo aximo para una filiaci´on on radiactiva es: −
λ2 =
tm =
−
−8
−1
s
ln( ln(λ λ1 /λ2 ) λ1 − λ2
(4)
y de de ( (44) obtenemos: ln(0, ln(0,139 139dias dias 1 /3,788 × 10 0,139 139dias dias 1 − 3,788 × 10 −
tm =
−
2
−3
−1
−
−1
dias 3 dias
) = 26, 26 ,64 64dias dias
−10
Para saber el n´ u umero mero calculo la actividad inicial del Bismuto con (1 ( 1) (2 × 10 14 10 uma uma): ): −6
Ao =
λN A M 1,609 × 10 = A¯
−1
s
g = 1,205 ×
(6 (6,,023 × 1023 at)1 at)1,,205 × 1014 = 5, 5 ,561 × 1029 des/s (5) 210
Con (5 (5) encontramos la actividad final del Bismuto: A = A = A o exp(−λt) λt) −1
A = 5,561 × 1029 exp(−0,139 139dias dias
(6)
(26,,64 (26 64dias dias)) )) = 1, 1,371 × 1028 des/s
que es el numero de desintegraciones por segundo del elemento decaido. 7. Un elemento A (t1/2 = 2,1h) decae en un elemento B B (t1/2 = 4,6h) el cual a su vez decae en otro elemento C. Si la cantidad inicial del elemento B es cero, ¿cu´ al es el valor de la raz´ on N B /N 0A al cabo de 2 horas? Calculamos las constantes de decaimiento para A y B: λA =
ln 2 = 0,330 330h h 2 ,1 h
λB =
ln 2 = 00,,139 139h h 4,6h
−1
−1
= 5,501 × 10
−3
s
−3
s
= 2,315 × 10
−1
−1
La raz´on N on N B /N 0A al cabo de 2 horas nos da la formula N B = λA (exp(−λA t) − exp(−λB t)) N 0A λB − λA
(7)
y obtenemos: 0,330 330h h 1 330h h 0,139 139h h 1 − 0,330 −
=
−
−1
(exp(−0,330 330h h
−1
−1
(2 (2h h)) − exp(−0,139 139h h
(2 (2h h)))
= −1,728(−0,240) = 0, 0,415 8. La actividad de una muestra de C C r55 en un cierto instante es de 19.2 mCi. Despu´ es es de 15 55 min. la actividad de la muestra es de 0.99 mCi. ¿De qu´ e cantidad de de Cr disponemos 20 min. antes de la primera medida? De (6) podemos calcular la constante de decaimiento λ: λ : λ =
−
1
ln
A
=−
1
ln
0, 0 ,99 99mCi mCi
−1
= 0,19 19min min
(8)
t Ao 15 15min min 19 19,,2mCi Ahora, con el valor de (8 ( 8) y el tiempo 20 min calculamos la actividad inicial: A0o =
A = exp(−λt) λt)
0,99 99mCi mCi = 44 44,,25 25mCi mCi −0,19 19min min 1 (20 (20min min)) −
Finalmente, utilizando (1 (1) obtenemos: M =
A0o 44 44,,25 25mCi mCi = 44, 44 ,7g = 0,99 99mCi mCi A
9. Se bombardea un bloque de hierro de 1000 kg con un flujo de de 1014 neutrinos/cm2 s procedentes de un reactor nuclear. Si la secci´ on eficaz para la formaci´ on del M n56 por desintegraci´ on beta inversa es de 10 44 cm2 . ¿Cu´ al ser´ a la actividad total inducida en el hierro al cabo de d e un d´ııa?. a? . El El t1/2 del M n56 es 2.6 horas. −
56
Calculamos la constante de decaimiento del M del M n : ln 2 = 00,,246 246h h 1 = 4,096 × 10 λ = 2,6h −
3
−3
s
−1
Podemos calcular el n´ u umero mero de ´atomos atomos blanco del hierro: 106 g = 1,07 × 1028 at. Conocemos que la tasa de producci´on on de los n´ ucleos ucleos activados es igual a: Q = φN = φN b σ
(9)
donde φ es donde φ es el flujo del haz de neutrones, N neutrones, N b es el n´ u umero mero de n´ ucleos ucleos blanco y σ y σ es es la secci´on on eficaz. As As´´ı, calculamos calculam os Q: 14
2
Q = 10 neutrinos/cm s(10
−44
2
28
cm )1 )1,,07 × 10 at. = at. = 0,0107 0107des/s des/s
Asi calculamos calculamos la actividad actividad neutr´onica onica mediante: A = Q = Q(1 (1 − exp(−λt) λt)) = 0,0107 0107des/s des/s(1 (1 − exp(−0,246 246h h
−1
(10)
(24h (24 h))) = 0, 0,0107 0107des/s des/s = = 0,0107 0107Bq Bq
10. Si el peso actual de una muestra de radio es 1 g ¿Cu´ anto pesar´ a dentro de 100 a˜ nos? t1/2 = 1600 1600 a˜ nos. Calculamos la constante de decaimiento del Radio: λ =
ln 2 = 3,994 × 10 1600yy 1600
−4
y
−1
Con (1 (1) calculamos la actividad inicial: λN A 3,994 × 10 4 y 1 (6 (6,,023 × 1023 ) = = = 1,064 × 1018 des/gy M A¯ 226 que nos indica que por gramo la actividad inicial es 1, 1 ,064 × 10 18 des/y des/y.. Calculamos la actividad en 100 a˜ nos: nos: −
Ao
−
A = = A A 0 exp(−λt) λt) = 1,064 × 1018 des/gy exp(−3,994 × 10
−4
y
−1
(100yy)) = 1, (100 1,022 × 1018 des/gy
y finalmente encontramos lo que pasar´a en 100 a˜ nos: nos: 1,022 × 1018 des/gy A = 00,,961 961gg = 1,064 × 1018 des/y A0
M =
11. Cierto elemento radiactivo tiene un t un t 1/2 = 20 20 d d´ ´ıas. Si en el instante instant e inicial hab´ hab´ıa un mill´ mil l´ on de atomos ´ ¿cu´ antos se habr´ an desintegrado d esintegrado durante los 50 d´ıas ıas siguientes? siguien tes? Calculamos la constante de decaimiento del elemento: λ =
ln 2 = 0,035 035d d 20 20d d
−1
y calculamos el n´ umero umero de desintegraciones con la f´ormula: ormula: N = N o exp(−λt) λt) = 106 at exp(−0,035 035d d
−1
(11)
(50d (50 d)) = 1, 1,768 × 105 at.
as emite emi te part´ıculas ıcul as beta de energ´ııa a 5 × 10 7 12. Una sustancia radiactiva de de t1/2 = 100 d´ııas ergios. Dicha D icha sustancia sustanci a se utiliz utiliza a para activar acti var una u na c´elula elula termoel´ectrica. ectrica. Suponiendo que el e l rendimiento de ´esta esta sea de un 10 10 %. Calc´ ulese en mol´eculas eculas gramo, la cantidad de sustancia sustanci a radiactiva necesaria necesaria para para generar gene rar una potencia el´ e l´ectrica ectrica de d e 5 Watts. −
Sabemos que 5 × 10 7 ergios es igual a 5 × 10 14 J. Y que la Potencia es igual al n´umero umero de particulas por su energ´ energ´ıa en el tiempo, tiemp o, es decir: −
−
P =
# part E p t
# part P 5W = = = 1 × 10 14 −
×
−14
part./s
t E p 5 10 J Es decir se necesitan 1 × 10 14 particulas beta b eta en un segundo para producir esa energ´ııa. a. 10 Esto expresado en moles es igual a 1, 1,66 × 10 moles o mol´ eculas eculas gramo en un segundo. −
−
4
13. El per´ per´ıodo del Rad´ on es de 3,8235 d´ıas ¿Qu´e fracci´ on de una muestr muestra a dada dada de rad´ on se desintegra desintegra en un d´ıa? ıa? El peso at´ omico del rad´ on es 222. Si inicialmente se tiene un microgramo de rad´ on ¿cu´ antos atomos ´ se desintegrar´ an en un d´ıa? Calculamos la constante de decaimiento del Rad´on: on: ln 2 = 0,167 167d d λ = 3,82 82d d
−1
n de la muestra que se desintegrar´aa:: con (11 (11)) calculamos la fracci´oon N − 167d d N 0 = exp( 0,167
−1
(1 (1d d)) = 0, 0,846
Ahora si tenemos un microgramo de Rad´oon n inicia inicial, l, esto indicar´ııaa que tenemos despu´eess del decaimiento 0, 0,846 846µg µg;; lo que es igual a 2, 2,295 × 1015 at. at. 14. El Radio que es un elemento de la serie del Uranio se halla en los yacimientos de Uranio. Si los pe perr´ıodos ıodos del Ra Radio dio y del Uranio Uranio son: 1620 a˜ a nos ˜ y y 4,5 × 10 9 a˜ nos. Calc´ ulese las proporciones relativas de dichos elementos en un mineral de Uranio que ha alcanzado el equilibrio y del cual no se ha desprendido ning´ un material radiactivo. Calculamos la constante de decaimiento del Ra y U: λU =
ln 2 = 1,420 × 10 4,5 × 109 y
−10
y
−1
ln 2 = 33,,944 × 10 4 y 1 1620yy 1620 Sabemos que los elementos alcanzan el equilibrio cuando tienen un tiempo m´aximo, aximo, es decir utilizamos (4 (4): −
λRa =
ln(1,420 × 10 10 y 1 /3,944 × 10 ln(1, 1,420 × 10 10 y 1 − 3,944 × 10 −
tm =
−
−
−
−
−4
−1
−
−1
y 4 y
) = 3, 3 ,46 × 104 y
y para hallar las proporciones relativas utilizamos (7 (7): 3,944 × 10 4 N Ra Ra = 3,944 × 10 4 − 1,420 × 10 N U U −
−10
−10
−
(exp(−1,420×10
(3 (3,,46×104 ))−exp(3 exp(3,,944×10
−4
(3 (3,,46×104 ))
= 0,99 15. La actividad de 1 g de de Ra226 es un Ci. A partir de esto encuentre la vida media. espec´ıfica del Ra del Ra 226 : Utilizamos ((11) para obtener la actividad espec´
A =
Ao 3,7 × 107 des/s = 33,,7des/gs = 1g M
con esto podemos encontrar la constante de decaimiento: ¯ 3,7 × 107 des/gs des/gs(226 (226gg ) A A = 1,388 × 10 = λ = 23 6,023 × 10 at. N A
−14
s
−1
y finalmente la vida media: t1/2 =
0,639 ln 2 = 1,388 × 10 14 s λ −
−1
= 4,604 × 1013 s = 3,504 × 107 y
16. La vida media del Uranio-238 para la desintegraci´ on por emisi´ on alfa es de 4, 4 ,5 × 109 a˜ nos. Calcule la actividad de un gramo de Uranio en Bequerels. Calculamos la constante de decaimiento del U del U 238 : 0,639 ln 2 = 1,42 × 10 10 y = λ = 9 4,5 × 10 y t1/2 −
−1
−18
= 6,203 × 10
s
−1
Y aplicamos (1 (1) para calcular la actividad espec´ espec´ıfica de Uranio: −18
A = 6,203 × 10 A = λN A¯
−1
23
s (6 (6,,023 × 10 at) at) = 1, 1 ,57 × 104 des/gs 238gg 238
5
