Ejercicios Fisica Ii - Ii Unidad

UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRÍGUEZ DE MENDOZA DE AMAZONAS

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL TÍTULO DEL TRABAJO DESARROLLO DE PROBLEMAS DE LA SEGUNDA UNIDAD DIDÁCTICA Estudiantes: Oyarce Calvo, Katerin Tatiana Tarrillo Navarro, Jesler Maicelo Huablocho, Christian Huaman Huaman, Emilcer Briceño Chavez, Alexis Calta Alvis, Jaiver Llaja Soto, Carlos Alberto Docente: Jorge Carlos Morales Exaltación

CHACHAPOYAS -PERÚ 2023

DESARROLLO DE PROBLEMAS – II Unidad 1. Hallar la carga encerrada en el volumen: 1 ≤ r ≤ 3 m, 0 ≤ ∅ ≤ 𝜋 3 ⁄ 0 ≤ Z ≤ 2m, dada la densidad de carga: 𝜌 = 2 z sin2 ∅ (c/𝑚3 ) SOLUCIÓN: Q encerrada: Donde: : densidad de carga : diferencial de volumen Tenemos en coordenadas cilíndricas: Sustituyendo: Q encerrada:

Tenemos: Integramos en el orden de:

,

,

Q encerrada: Evaluamos en r: Evaluamos en

:

Evaluamos en

:

Resolviendo: Respuesta: La carga encerrada en el volumen especifico es de

(colombius)

2. En el punto A (-1,2,3) se halla una carga de valor -3 x 10−6C y en el punto B (2,-1,2) se halla otra carga de valor 6 x 10−6C. Hallar la fuerza que ejerce la segunda sobre la primera. SOLUCIÓN: Ilustrando el ejercicio,

Por datos de problema A (-1,2,3) B (2,-1,-2) −6

q=−3 x 10 C −6

Q=6 x 10 C

Hallando la distancia entre los puntos r⃗ =⃗ AB =B− A=( 2,−1 ,−2 )− (−1,2,3 ) r⃗ =( 3 ,−3 ,−5 )

u AB =

( 3 ,−3 ,−5 ) 3 3 5 = i− j− k √ 33 √ 33 √ 33 √ 33

r =√3 2+−32+−52=√ 33

Aplicamos la fórmula de fuerza eléctrica. F e =k

qQ N r2

9

F e =9 x 10 x

−6

−6

3 x 10 x 6 x 10

( √ 33 )

F e=

54 x 10−3 N 11

F e=

54 −3 x 10 N 11

2

N

Ahora vectorialmente −3

F e=

54 x 10 (−u AB ) N 11

F e=

54 x 10 11

F e=

−54 x 10 11

−3

( [√ −

−3

])

3 3 5 i− j− k N 33 √ 33 √ 33

3 54 x 10 i− 11 √ 33

−3

3 54 x 10 j− 11 √33

−3

5 kN √33

−162 x 10−3 1 162 x 10−3 1 270 x 10−3 1 F e= . i+ . j+ . kN 11 11 11 √ 33 √33 √33

Por lo tanto, la fuerza es:

F e=

−162 1 162 1 270 1 . i mN + . j mN + . k mN 11 √ 33 11 √33 11 √33

3. Tres cargas positivas iguales q esta situadas en los vértices de un triángulo equilátero. Los lados del triángulo son iguales a ɑ. Encontrar la intensidad del campo eléctrico en el vértice de un prisma regular que tiene como base este triangulo. SOLUCIÓN Q3

a

a

F13 = K Q1 Q3 a² F23 = K Q2 Q3 a²

Q1



a

Q2

Utilizamos la Ley de cosenos FR² = F13² + F23² - 2 F13. F23. Cos 120° FR² = [K Q1 Q3]² + [K Q2 Q3]² - 2[K Q1 Q3 x K Q2 Q3]² cos 120° a² a² a² a² FR² = [K² Q1²Q3²] + [K² Q2² Q3²] - 2[K² Q1Q2 Q3² x - 1 a4 a4 a4 2 FR² = [K² Q1²Q3²] + [K² Q2² Q3²] - 2[K² Q1Q2 Q3² x - 1 a4 a4 a4 2 FR² = [K² Q1²Q3² + K² Q2² Q3²- K² Q1. Q2. Q3²] a4 FR² = K² Q⁴ + K² Q⁴ + K Q⁴ a4 FR² = 3 K² Q⁴ a4

FR² = √3 K Q² a²

4. Hallar el campo eléctrico a un anillo de radio R y que posee una distribución lineal de carga 𝜆 que se halla en el plano xz, tal como se muestra en la figura.

SOLUCIÓN: Para r:

Luego tenemos que:

Derivamos:

Luego trabajamos en el sentido de y:

Obteniendo:

Posteriormente integramos:

Ahora se tiene que:

Derivamos:

Integramos:

Obteniendo

Finalmente se tiene que el campo eléctrico es:

5. Una varilla uniforme cargada de longitud L y carga total Q se encuentra a lo largo del eje x como se muestra en la figura. (a) Halle las componentes del campo eléctrico en el punto P sobre el eje y a una distancia d desde el origen. (b) ¿Cuáles son los valores aproximados de las componentes del campo cuando d ≫ L? Explique por qué se pueden esperar estos resultados.

SOLUCIÓN

El problema nos plantea una varilla cargada uniformemente. Para determinar los componentes del campo eléctrico en el punto P debido a la línea, debemos tomar un elemento de carga en la línea, posteriormente hacer diferencial de campo eléctrico en el punto P, luego integramos.



Para x:



Para y:

a) Componentes del campo eléctrico en el punto P sobre el eje y a una distancia d desde el origen: Para x:

Para y:

b) Valores aproximados de las componentes del campo cuando d ≫ L:

7. Consideremos un campo eléctrico uniforme E = (2.00 kN/C) î. (a) ¿Cuál es el flujo de este campo que atraviesa un cuadrado de 10 cm de lado cuyo plano es paralelo al plano yz? (b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano forma un ángulo de 30° con el eje x. SOLUCIÓN: a) Definición del campo eléctrico es ^ l^ ⅆA =( 2kN ∕ C )∮ ⃗ ∅=∮ ( 2 kN ∕ C ) l⋅ E ⋅ n^ ⅆA S

S

2

⇒ ∅=( 2 kN ∕ C )( 0,1 m ) =20 kN ⋅ m

2 C

b) Procedemos de la misma manera que en “a” ∅=∮ ( 2 kN /C ) l^ ⋅ n^ ⅆA =( 2 kN /C ) cos 30 ⋅ dA S

2

0

3

∅= (2 kN ∕ C ) ( 0,1 m ) cos 30 =17,3 N m ∕ C

8. El potencial en un punto P a una distancia a por encima de un extremo de una varilla uniformemente cargada de longitud l que está a lo largo del eje x es

Utilice

este

resultado para obtener

una expresión para la componente en y del campo eléctrico en P. SOLUCIÓN: El elemento diferencial del campo generado por dq es: d⃗ Edq=

1 dq i^ 4 π ε 0 ( x + L−x ' ) 2 p L

1 ⃗ E= ∫ dq i^ 4 π ε 0 0 ( x + L−x ' )2 p

Además, dq=λdx ' Para integrar transformamos variables: u=x P + L−x

'

Da: du=−dx ´

Hay que cambiar los límites de integración. Para x ' =0 , y tenemos u=x p + L ;para x ' =L ,u' = x p la integral es:

xp

[

]

λ −du + λ −1 λ 1 1 xp Entonces obtenemos: = u ∨ = − ∫ 2 4 π ε 0 xp +L u 4 π ε0 xp+ L 4 π ε 0 xp xp+ L

⃗ E=

λ L i^ 4 π ε 0 x p ( x p + L)

9. En la figura, en el sistema de condensadores, hallar la capacidad equivalente entre a y b, todos los condensadores tiene capacidades iguales a C.

SOLUCIÓN: Como no hay capacitadores en paralelo: 

Analizamos la esquina superior izquierda:



Analizamos la esquina superior derecha:

Teniendo dos esquinas solucionadas en serie el gráfico queda:

Por simetría:

Luego tenemos:

Finalmente:

10. En la figura. Considere que: 𝐶1 = 1 𝜇F, 𝐶2 = 2 𝜇F, 𝐶3 = 3 𝜇F, 𝐶4 = 4 𝜇F.

a) Encontrar la carga sobre cada condensador cuando 𝑆1 se cierra.

Encontramos la capacitancia de los capacitores en serie:

Encontramos la capacitancia total:

Encontramos la carga total del sistema:

Ahora encontramos la carga en las capacitancias en paralelo:

Las cargas en serie son iguales, por lo tanto, si: .: .:

b) Si después se cierra 𝑆2 calcule las nuevas cargas en los condensadores.

Sumamos los capacitores en paralelo:

Sumamos esos resultados en serie para encontrar la capacitancia total:

Encontramos la carga total:

Las cargas en serie son iguales, por lo tanto, encontramos el voltaje en C y D:

Los voltajes en paralelo son iguales, por lo tanto, analizamos de cada uno de capacitores:

:.

.:

.:

:. 11. Suponga que la corriente que pasa por un conductor se reduce en forma exponencial en función del tiempo, de acuerdo con la ecuación I(t) = 𝐼0𝑒−𝑡/𝜏, donde 𝐼0 es la corriente inicial (en t = 0), y 𝜏 es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Considere un punto de observación fijo dentro del conductor. (a) ¿Cuánta carga pasa por este punto en el intervalo de tiempo entre t = 0 y t = 𝜏? (b) ¿Cuánta carga pasa por este en el intervalo de tiempo entre t =0 y t = 10 𝜏? (c) ¿Qué pasaría sí? ¿Cuánta carga pasa por este punto en el intervalo de tiempo entre t = 0 y t = 𝛼? SOLUCIÓN: −t /τ

I (t )=I 0 e

Io=corriente en t=0 τ

a) q=∫ I 0 e

−t /τ

dt

0

τ

q=∫ I 0 e−t / τ dt u= 0

−t τ

du τ (−1)−(−t)(0) = dt τ2 du −−1 = dt τ ∴−tdu=dt τ

q=∫ e τdt u

0

u τ

−I O τ (e ) 0 −t / τ τ 0

−I O τ (e

−t / τ

−I O τ (e

−1

)

o /τ

−e ) 0

−I O τ (e −e )

−I O τ (−0.632) I O τ (0.632) τ b) −I O τ (e−t / τ )10 0

−I O τ (e−10 −e 0) −I O τ (−0.999) I O τ (0.999)

c) −I O τ (e−t / τ )α0 α

0

−I O τ (e −e ) I O τ ¿)

12. Una porción de alambre de nicromo de 2. 50 mm de radio se va a utilizar en el devanado de una bobina de calentamiento. Si la bobina debe conducir una corriente de 9.25 A cuando se aplica un voltaje de 120 V a través de sus extremos, encuentre: SOLUCIÓN: a) la resistencia requerida de la bobina

b) la longitud de alambre que debe utilizar para enrollar la bobina. El

del nicromo es:

13. Hallar la resistencia equivalente mn en la distribución dada. Si cada cuadro tiene una resistencia R por lado.

SOLUCIÓN: Reducimos el circuito:

Hacemos 0 a las resistencias de interior y nos queda:

Simplificamos en paralelo la parte superior e inferior:

Aplicamos resistencia en serie:

Respuesta:

14.

En la figura, en el sistema de condensadores, hallar la capacidad equivalente entre a y b, todos los condensadores tiene capacidades iguales a C.

SOLUCIÓN: Como no hay capacitadores en paralelo: 

Analizamos la esquina superior izquierda:



Analizamos la esquina superior derecha:

Teniendo dos esquinas solucionadas en serie el gráfico queda:

Por simetría:

Luego tenemos:

Finalmente:

15.

La corriente en la resistencia de 8 Ω en el dibujo es de 0.500 A. Encuentre la corriente en SOLUCIÓN: (a) la resistencia de 20 Ω Encontramos Voltaje en la resistencia de 8:

Encontramos la resistencia equivalente entre 8 y 16:

Al ser paralelo, el voltaje es el mismo:

Al conectarse las resistencias en seria van a tener la misma corriente: Entonces: (b) la resistencia de 9 Ω. Encontramos la resistencia equivalente de la parte superior:

Si su corriente es de 3/4A, entonces:

Los voltajes en paralelo son iguales, por lo tanto:

16. Para el circuito de la figura. Use las reglas de Kirchhoff para encontrar la corriente a través de las tres resistencias.

SOLUCIÓN: 6I₂ = 3I₁ 3I₁ = -4I₃

6V – 6I₂ + 3I₁ = 0 6V – 3I₁ + 4I₃ = 0 6V – 6I₂ - 4I₃ = 0

6V – 6I₂ + 3I₂ =0

6I₂ = -4I₃

Remplazando en las ecuaciones

encontradas

17.

6V – 3I₂ =0

I₁ = 4 A

I₂ = 2 A

I₃ = 3 A

¿Cuáles son las lecturas esperadas (a) del amperímetro ideal y (b) del voltímetro ideal en la figura?

SOLUCIÓN: Tanto la resistencia superior como la inferior tienen la misma diferencia de potencial a travez de ella, por lo que lleva a una corriente igual, para lo cual tenemos 6 V −10 Ω I10−6 Ω I6=0 Para el bucle inferior: 4.5−5I5−6 I6 =0 Para las uniones en el lado izquierdo, tomados en conjunto: I10 + I6 − I6 − I6 = 0 Eliminamos I10 = 0.6 − 0.6 I6 y I5 =0.9−1.2 I6 Por sustitución: 0.6−0.6 I6 + 0.9 − 1.2 I6 −2 I6 =0 I6 =1.5 =0.395 A 3.8 6V − ∆V −4.5V =0 ∆ V =1.50V

18. Considere un circuito RC en serie (ver figura) para el cual R = 1 MΩ, C = 5 𝜇F y Ɛ = 30.0 V. Determine (a) la constante de tiempo del circuito, (b) la carga

máxima en el capacitor después que el interruptor se cierra. (c) Determine la corriente en el resistor 10.0 s después de haber cerrado el interruptor

SOLUCIÓN

19. En t=0, el interruptor de la figura, se coloca en la posicion b, después de que ha estado en la posición a durante un tiempo prolongado. (a) ¿Cuánta energía se almacena en el condensador en t=0? (b) para t>0, determinar la energía almacenada en el condensador en función del tiempo. (c) Hacer una gráfica de esta energía almacenada en funcion de t.

SOLUCIÓN: Análisis en t0 (analizar el circuito aplicando LKV)

…(1) Sabemos por ley de on que: ………..(2) Sustituyendo 2 en 1 ……(3) Sabemos que:

…..(4) Al ser circuito en serie: Sustituyendo 4 en 3:

Reordenando términos tenemos:

……..(6) Ecuación diferencial no homogénea de primer orden. (dos soluciones) Stotal=Scomplementaria+ Sparticular

La solución complementaria:

…..(7) Aplicando separación de variables e integrando:

La solución particular (es necesario una solución de acuerdo al tipo de excitación)

Sustituyendo A en 6:

La solución total es:

Para calcular

es necesario evaluar en t=0

Reemplazamos y se tiene las 3 ecuaciones:

c) Grafica

20. Del gráfico tenemos: En el inciso A podemos observar un circuito eléctrico que se produce mediante la conexión de un enchufe de un aparato, también vemos como se produce el circuito para que el aparato funcione.

En el inciso B tenemos la intervención de una persona que toca el aparato que está conectado a una corriente eléctrica, pero aquí el problema; nos fijamos en la persona al momento de el tocar el aparato se produce una descarga eléctrica hacia la persona, ya que esta instalación eléctrica no cuenta con un tercer circuito que seria el pozo a tierra, la cual es de vital importancia en una instalación eléctrica, ya que garantiza la seguridad de las personas, protege los equipos, cumple con las normas y contribuye a la estabilidad del sistema. Es esencial contar con un sistema de puesta a tierra adecuado y mantenerlo en buenas condiciones. Se recomienda consultar a un electricista o profesional capacitado para su diseño, instalación y mantenimiento.

En el inciso C, es aquí donde aparece el tercer circuito de cableado a tierra; la cual podemos comprobar que el sujeto apoyado en el aparato ya no recibirá la descarga eléctrica ya que el sistema eléctrico ya cuenta con una protección, por lo cual esa descarga eléctrica es contenida en el pozo a tierra y así evita accidentes.