ejercicios estática

INGENIERIA MECÁNICA ÁREA DE ESTÁTICA

SOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE ESTÁTICA - BEER JOHNSTON NOVENA EDICIÓN

POR: ANDRÉS CAMILO MELGAREJO

PRESENTADO A: INGENIERO HUMBERTO ÁREVALO

UNIVERSIDAD FRANCICO DE PAULA SANTANDER OCAÑA FACULTAD DE INGENIERIAS INGENIERIA MECÁNICA 2014

Fuerzas sobre superficies sumergidas:

Ejercicio 5.90 un canal largo se sostiene mediante una bisagra continua en todo su borde inferior y por medio de una serie de cable horizontales unidos a su borde superior. Determine la tensión, en cada uno de los cables, en el momento en que el canal está completamente lleno de agua.

Solución: Sabemos que la carga por unidad de volumen en un elemento sumergido puede representarse como

b

en el líquido y de volumen

w

h

donde

p es la presión manométrica

es el ancho del recipiente entonces la carga por unidad puede representarse como

manométrica en el líquido líquido y

pb .dv

p=γh , donde

w=bp γ

como la presión

es el peso específico del

es la altura hasta la superficie, con lo cual concluimos que:

W =P=bγh Consideramos el cuerpo libre que consiste en 20-in. Longitud de la cubeta y el agua

l=20−¿ .

Longitud de cuerpo libre

w=γv =γ

π 2 r l 4

P A =γr Donde

γ = peso espesífico delagua

Donde

r=distancia vertical a partir de la superficie libre

P=carga total por unidad de superfice( presión hidrostática)

1 1 1 P= P A rl= ( γr ) rl= γ r 2 l 2 2 2 Haciendo momento en

A

para eliminar reacciones:

+ M A=0→ T r−W r−P

(

Tr− γ

( 13 r)=0

π 2 4r 1 1 r l − γ r2 l r =0 4 3π 2 3

)( ) (

)( )

Tenemos los siguientes datos:

γ =62.4 lb ¿ ft 3 r=

Reemplazamos para hallar la tensión en los cables:

1 20 T = ( 62.4 lb /ft 3 ) ( 2 ft )2 ft =208.00 lb 2 12

( )

24 20 ft =2 ft l= ft 12 12

Centroides de volúmenes por integración: Ejercicio 5.127 Localice el centroide del volumen que se obtiene al rotar el área sombreada

x=h

alrededor de la línea

Solución: Eligiendo como el elemento de volumen de un disco de radio r y espesor dx. DCL:

Entonces: 2

dV =π r dy Ahora

2

x=

;

y´EL = y

h2 ( 2 2 ) a −y a2

Entonces

de modo que

dV =π

h2 ( 2 2 a− √a − y ) dy 2 a

a

Y

Decimos que:

V =∫ π 0

r=h−

h2 ( a−√ a2− y 2) dy 2 a

y=asin θ → dy=a cos θ dθ

h 2 2 √a − y a

π 2 2

Entonces:

V =π

h 2 2 2 2 ( ) a cos θ dθ a− a −a sinθ √ ∫ a2 0

π 2 2

V =π

h 2 2 2 2 a −2a ( a cos θ ) +(a −a sin θ ) ] a cos θ dθ 2∫ [ a 0 π 2

¿ πa h 2∫ [ 2 cos θ−2cos θ 2−sin θ2 cos θ ] dθ 0

[

¿ πa h 2 2 sin θ−2

( θ2 + sin42θ )− 13 sin θ ] 3

Evaluando desde

o→

π 2

tenemos:

[ () ]

π 2 1 V =πa h2 2−2 − =0.095870 πa h 2 2 3 Hallando la coordenada

x=h

y

del centroide que se encuentra sobre la línea

tenemos: a

[

2

h 2 2 Y´ V =∫ y´EL dV =∫ y π 2 ( a−√ a − y ) dy a 0

]

a

h2 ¿ π 2 ∫ ( 2a 2 y −2ay √ a2− y 2− y 3 ) dy a 0

[

3

h2 2 1 ¿ π 2 a2 y 2+ a ( a2− y 2 ) 2 − y 4 3 4 a Evaluando de

0→a

{[

tenemos:

][

3

h2 2 2 1 4 2 2 2 Y´ V =∫ y´EL dV =π 2 a ( a ) − a − a ( a ) 4 3 a

1 π a2 h 2 1 12 2 2 Y´ V = π a h → Y´ = =0.869 a 2 12 0.095870 πa h

]}

]

Centro de gravedad de un cuerpo tridimensional:

Ejercicio 5.100 Para la ménsula de tope que se muestra en la figura, localice la coordenada

x

del centro de gravedad.

Solución: DCL: Suponemos que el soporte es homogéneo de modo que su centro de gravedad coincide con su centro de volumen. Describimos en una tabla los componentes con sus respectivos volúmenes, su coordenada

x

y

y

de centroide, al igual que la coordenada

x

por el volumen ( xV

) cada

elemento. Tenemos entonces:

figura

Volumen( V )

Centroide en

xV

x 1

( 100 ) ( 88 )( 12 ) =105600

50

5280000

2

( 100 ) ( 88 )( 12 ) =105600

50

5280000

3

1 ( 62 )( 81 ) ( 10 )=15810 2

39

616590

4

−1 ( 66 )( 45 )( 12 ) =−17210 2

2 34+ ( 66 )=78 3

∑¿

209190

Calculando la coordenada x del centroide de cada figura:

∑ X´ =

x´ V

∑V

=

9786600 =46.8 mm 209190

9786600