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Ejercicios Elasticidad
Fisica I (Universidad San Pedro)
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Ejercicios-Elasticidad-01
1.) Un cubo de un material de dimensiones 10 x 10 x 10 cm con un comportamiento elásco
lineal se rompe cuando la fuerza de compresión aplicada alcanza un valor de 150 kN, registrándose registrándos e en ese momento un acortamiento de 0,3 mm. Determine, a) El esfuerzo de compresión en la rotura F 150000 6 ⇒s =15 . 10 s= = − 4 A 100 ( 10 ) b) La deformación unitaria en la rotura −3
Δ L −0,3 ( 10 ) e= = −2 ⇒e =−0,003 =−0,3% L 10 ( 10 ) c) El módulo de elascidad del material 6
s 15 . 10 9 s =Y . e ⇒Y = = ⇒Y =5 . 10 e 0,003 d) La deformación transversal transversal del cubo en rotura, sabiendo que el coeciente de Poisson ()
del material es 0,3
v=
− eT e L
⇒eT =− v . e L =−0,3 ( −0,003 ) ⇒eT =0,0009 =0,09%
e) El área transversal para que con la misma fuerza el esfuerzo de compresión se reduzca a la
mitad. ¿Qué ocurre con la deformación l?
s=
F Δ L F 1 1 F 1 Y Δ L = F . ⇒e . Y = ⇒ . Y . = . ⇒ . L A A 2 A 2 A 2 L 2
Conclusión: si se requiere la mitad del esfuerzo, con la misma fuerza, se a aumentar umentara a el doble del área y por ende, se reducirá a la mitad la deformación Δ L .
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2.) Se ensaya a tracción una barra de sección circular de 2 cm de diámetro y 10 cm de
longitud construida con un material con un comportamiento elásco-plásco caracteriz caracterizado ado por una primera fase elásca lineal con módulo de Young Y=20 . 10 10 Pa y máxima deformación elásca del 0,2% y, y, previamente a la rotura, un segundo periodo plásco en el cual, sin aumento de fuerza respecto al periodo anterior, el material alcanza una deformación de 8 veces el valor de la deformación elásca. Se pide: a) Represe Representación ntación gráca del comportamiento mecánico del material y po de fractura que
presenta b) Límite elásco del material (Máximo esfuerzo en régimen elásco)
s MAX = e MAX . Y =0,002 ( 20 . 10
10
) ⇒s MAX = 4.10
8
c) Fuerza máxima de tracción a la que se puede ensayar la barra para que trabaje en régimen
elásco
F MAX 8 −4 8 s MAX = 4.10 = ⇒ F MAX =4.10 ( 3,14 . 10 ) ⇒ F MAX =125600 A d) Longitud de la barra bajo una fuerza de tracción de 100000 N
100000 < 125600 ( Régimen elástico) 5
Δ L F 10 10 Δ L Y . = ⇒20 . 10 . −1 = −4 ⇒ Δ L =0,00016 = 0,016 cm L A 3,14 . 10 10 L F = L + Δ L = ( 10 + 0,016 ) cm ⇒ L F =10,016 cm e) Si tras alcanzar en el ensayo una deformación del 0,3% dejamos de aplicar la fuerza,
calcule la longitud de la barra tras la descarga. Represente Represente grácamente el proceso de carga-descarga.
e rem=e plast − emax =0,003 −0,002 =0,001 0,001=
Δ Lrem Δ L ⇒0,001= ⇒ Δ Lrem=0,01 cm L 10 cm
L F = L + Δ Lrem=( 10 + 0,01 ) cm ⇒ L F =10,01 cm respuesta. f) ¿Se puede volver a ensayar la barra de nuevo? Jusque su respuesta. Si, dado que no se ha llegado a agotar la posible deformación plásca del material previa a la rotura.
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3.) Comparar el comportamiento mecánico del material estudiado con el de una probeta de
plásco de metacrilato de 10x50 mm de sección y 15cm de longitud que se ensaya a tracción a temperatura temperat ura ambiente según las siguientes fuerzas e incrementos de longitud:
Fuerza aplicada(N)
∆l(cm)
40 87,5 128 155,5 199 220 241 269,5 290,5 310 310,5
0,048 0,1095 0,1665 0,1935 0,2445 0,276 0,3135 0,39 0,4965 0,6435 fractura
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4.) Un cuerpo de 50 kg se suspende de un cable de acero de 4m de longitud y 2mm de
diámetro. Se sabe que el límite elásco del acero es de 25x107 Pa, que el módulo de Young es de 20.1010 Pa y que el coeciente de Poisson es 0,28. Se pide: F=500 N ; L= 4 m ; A = 3,14( 10− 6 ¿ ; a) Calcule el alargamiento del cable y la contracción transversal del mismo
Averiguando si esta en régimen elásco o plásco:
s=
F 500 =15,92 . 107 < 25 . 10 7 ( Régimenelástico ) = − 6 A 3,14 ( 10 )
Hallando Δ L y Δϕ :
Y.
Δ L F Δ L 500 = ⇒20 . 1010 . = ⇒ Δ L= 0,00318= 0,318 cm −6 L A 4 3,14 . 10
v=
− eT
⇒e
=− v . e L
T
e L
⇒ Δϕ=− v .
−4
⇒ Δϕ=−4,45 . 10
0,318 ΔL . ϕ=−0,28 . . 2 mm 400 L
mm
b) Determine el módulo de elascidad que debería tener el cable si fuese de otro material, para reducir a la mitad la deformación bajo fuerza.
Sabemos : s =Y . e ⇒e =
s 1 s 1 e s ⇒e . = . ⇒ = Y 2 Y 2 2 2 Y
Conclusión: si se requiere la mitad de la deformación, se requerirá que se duplique el modulo elásco. 10
10
Y 2=2 .Y 1=2 . 20 . 10 ⇒Y 2=40 . 10
c) Si se duplicara la fuerza en el cable de acero original ¿Qué sucedería? ¿Qué sección
debería tener el cable para que bajo esa fuerza trabajara en régimen elásco?
s=
F 2 . 500 7 7 25 10 31,84 10 = ( Régimen plástico ) > . = . A 3,14 ( 10− 6 )
25 . 10
7
>
F 2.500 −6 2 2 ⇒ A > m ⇒ A > 4 mm ( Regimenelastico ) ⇒ A > 4.10 7 A 25 . 10
2
3,14 . ϕ > 4 mm2 ⇒ϕ2> 5,10 mm 2 ⇒ϕ> 2,26 mm ( Régimen elástico ) 4
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5.) Se enen dos cables, uno de acero y otro de aluminio, de
igual longitud e igual área se sección transversal. Para cada cable metálico se suspende un bloque de peso W de uno de sus extremos extremos tal como indica indica la gura. gura. Recuerd Recuerde e que Y acero Y alu min io . Responda
usted si es verdadera o falsa cada
una de las siguientes armaciones.
a.
s=
El esfuerzo de tensión es mayor en el cable de aluminio que en el cable de acero.
F A
Dado que ambos cablestienen el mismo peso y la misma secciontransver Dadoque seccion transversal sal el es esfue fuerzo rzo se serael rael mismo mismo Respuesta : FALSO FALSO b. Si el área de sección transversal transversal de cada cable se duplica el esfuerzo de tensión se
duplica.
s=
F s F ⇒ = A 2 2 A Al duplicar la secciontransvers seccion transversal al con la lamisma misma fuerzao fuerza o peso el es esfu fuer erzode zode te tesi sionse onse reduc educee ala mita mitad d. Respuesta : FALSO FALSO
c.
La deformación por tensión en el cable de acero es mayor. mayor.
Y ac > Y al s
>
e al
eac 1
eac
s
>
1
e al
e al > e ac Respuesta : FALSO FALSO
d. La longitud nal del cable de aluminio es mayor. mayor.
e al > e ac Δ Lal Δ Lac
>
L Δ Lal > Δ L ac
L
Δ Lal + L > Δ Lac + L
Respuesta Resp uesta : VERDADERO
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6.) Un alambre de acero (Yacero=2,00 × 1011Pa) de 2,30 mm de diámetro se esra en un 0,030%,
cuando una masa se suspende de él. ¿Cuál es el valor de la masa suspendida?
F Sabemos : s =Y . e ⇒ = Y . e A W.g W . 10 =Y . e ⇒ =2.1011 . ( 0,0003 ) ⇒W =24,92 2 − 6 A 3,14 ( 1,15) . 10
7.) Un hilo de 80 cm de largo y 0,3 cm de diámetro se esra 0,3 mm mediante una fuerza de 20
N. Si otro hilo del mismo material, temperatura temperatura e historia previa ene una longitud de 180 cm y un diámetro de 0,25 cm. ¿qué fuerza se requerirá para alargarlo hasta una longitud de 180,1 cm?
ΔL F Sabemos : s =Y . e ⇒ = Y . L A 20 −4
2
3,14 . ( 0,15 ) . 10
=Y .
3.10
−4
⇒Y =75,45 . 10
0,8
8
−3
F
2
−4
3,14 . ( 0,125 ) . 10
10 −1 ⇒ F =75,49 . 102 =75,45 . 108 . 18 10
.
8.) Se aplica una carga de tracción en rango elásco sobre una barra de acero de 6 cm² de
sección transversal. transversal. Se aplica la misma carga sobre una barra de aluminio de la misma longitud y en rango elásco, obteniéndose el mismo alargamiento que en el caso de la barra de acero. Sabiendo que el módulo de Young del acero Eac=210.000 =210.000MPa MPa y que el del aluminio Eal=70.300MPa, se pide: a) Calcule la sección transversal transversal de la barra de aluminio, b) Si las barras de ambos materiales enen una longitud de 20 cm ¿Cuál es el alargamiento producido por una carga de 3000kg? Resultados a) A=18cm² b) ∆L=0,005cm
a ¿ Secc Seccion ion transve transversal rsal de la barra barrade de aluminio aluminio F F Y . e= ⇒Y . A = A e 2
Y ac . A ac =Y al . A al ⇒210 . 6 cm = 70,3 . A al ⇒ A al =17,9 cm
2
Alargamiento nto parauna carga carga de 3000 kg a ¿ Alargamie 4
ΔL F 3.10 −3 10 ΔL Y ac . = ⇒21.10 . = − 4 ⇒ ΔL= 0,05 . 10 =0,005 cm L A ac 0,2 6 . 10
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9.) Determine la fuerza que hay que aplicar a una barra cilíndrica, de diámetro 10 mm y 1
metro de longitud, en la dirección longitudinal (paralela su eje axial) para que su diámetro sea 9,9975 mm, sabiendo que su comportamiento es elásco. Ahora, si la tensión del límite elásco se consigue con una fuerza de 15000 N determine la longitud máxima que puede ser esrada sin que se produzca deformación deformación plásca. Considere =0,25, E=105 M Pa
Hallandola la fuerza a ¿ Hallando Δ ϕ −0,0025 mm = =−25 . 10−5 ϕ 10 mm −5 − eT 25 . 10 −− −3 v= ⇒e L=10 ⇒0,25 = e L e L F F =e L . Y ⇒ =10−3 . 1011 ⇒ F =7850 − 6 2 A 3,14 . 5 . 10
e T =
Hallandoel el máximo alargamiento alargamiento b ¿ Hallando 3
Δ L F Δ L 15 . 10 11 . 10 ⇒ Δ L =0,0019=1,9 mm = . Y ⇒ −6 = 2 1 A L 3,14 . 5 . 10
10.) Se ensaya a tracción una barra de sección cuadrada de 20x20mm y una longitud de 30cm
de un material con un comportamiento elásco-plás elásco-plásco co lineal. Se comprueba que bajo una carga de 16.800kg se alcanza la máxima deformación en régimen elásco y la barra incrementa su longitud en 0,6mm. Se connua el ensayo hasta que la deformación deformación de la barra alcanza el valor de 0,01 y posteriormente se descarga. Se pide: a) Represen Representación tación gráca acotada de los procesos de carga y de descarga en un diagrama tensión-deformación, tensión-deformación, b) Deformación máxima de la barra en régimen elásco, c) Módulo de elascidad del material de la barra, d) Longitud de la barra tras el proceso de carga, e) Longitud de la barra tras el proceso de carga y descarga y f) Si se volviese a ensayar la barra ¿Cuál sería la máxima tensión en rango elásco que admiría? Juscar la respuesta. Resultados b) εel=0,2% c) E=2.100.000kg/cm² d) Lf =30,3cm =30,3cm e) Lf =30,24cm =30,24cm f) σel = 4200 kg/ cm2.
b ¿ Deformacionmaxima en regimen regimen elastico −4
Δ L 6 . 10 e= = − 1 =0,002 ⇒e = 0,2% L 3 . 10 c ¿ Modulo de Young F 16800 . 10 =e . Y ⇒ =2 . 10−3 .Y ⇒Y =21 . 1011 − 6 A 40 . 10
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d ¿ Longitud de barratras barra tras la carga carga e plast =
Δ L plast ⇒ Δ L plast = e plast . L=0,01 ( 0,3 ) ⇒ Δ L plast =0,003 =0,3 cm L
Lf = L+ Δ L plast =( 30 + 0,3 ) cm ⇒ Lf =30,03 cm ( Regimen Plastico) e ¿ Longitud de barratras barra tras la lacarg carga a y descarga descarga Trasel pr proce oceso so de de desca scarrga , debido debido a un es esfue fuerzoque rzoque sobr sobrep epasael asael limite limite elasti elastico co , habra habra un alargami alargamientorema entoremanent nentee . e rem=e plast − emax elast = 0,01− 0,002 ⇒erem= 0,008 e rem=
Δ Lrem ⇒ Δ Lrem= erem . L= ( 0,008 ) ( 0,3 )=0,0024 ⇒ Δ Lrem= 0,24 cm L
Lf = L+ Δ Lrem=( 30 + 0,24 ) cm ⇒ Lf = 30,24 cm Maximatension tensionen en rango elastico f ¿ ¿ Maxima
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11.) Se ensaya a tracción una barra de sección circular, de 20mm de diámetro y 25cm de
longitud, de un material con comportamiento elasto-plásco lineal y un módulo de elascidad de 2,1.105MPa. En una primera fase del ensayo se comprueba que el material se compo comporta rta eláscam eláscamente ente hasta una deformac deformación ión de 0,002. 0,002. Pos Posteri teriormen ormente te se ha connuado el ensayo aumentando la deformación sin aumento de carga y después se ha descargado la barra. Al nalizar el ensayo se comprueba que la longitud de la barra es de 25,2 25,2cm cm.. Se pide: pide: a) Repr Represe esent ntaci ación ón gráca gráca acotad acotada a de los proces procesos os de carga carga y de descarga según un diagrama tensión-deformación, tensión-deformación, b) Límite elásco del material de la barra, c) Longitud de la barra tras el proceso de carga, d) Deformación plásca remanente respuesta. del material y e) ¿Se podría volver a ensayar la barra a tracción? Juscar la respuesta. Resultados b) σel = 4200 kg/cm2, c) Lf =25,25cm =25,25cm d) εpl=0,8% e) Si
b ¿ Limite elastico del material s max =e max .Y =( 0,002 ) ( 2,1 . 1011 ) ⇒s max =4,2 . 108 c ¿ L ongitud de la barra trasla carga carga e max=
∆L ⇒∆ Lmax =e max . L= ( 0,002 ) ( 25 cm ) ⇒∆ Lmax =0,05 cm L
Lf = L plast − Δ Lmaxe ⇒ L plast = L f + Δ Lmax =( 25,2 + 0,05 ) cm ⇒ L plast = 25,25 cm d ¿ Deformacion plastica remante 0,25 cm
e rem=e plast − emaxelast = 25 cm − 0,002=0,01− 0,002=0,008 ⇒e rem=0,8% d ¿ ¿ Se puede puede vo volve lverr a en ensay sayar ar la laba barra rra a tracc traccion? ion? Si
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12.) Una barra de acero de 50 cm de longitud y 2 cm de diámetro está empotrada por sus
extremos. A 200°C no está someda a ningún esfuerzo. La temperatur temperatura a comienza a disminuir a razón de 4°C cada 5 minutos. Halle la temperatura en que la tensión llegue al límite elásco, el empo que tardará en lograrlo y el diámetro nal de la barra en ese momento. Considere =0,35, E=2x106 kg/cm2, = 10-5°C, le=2400 kg/cm2 y rotura=3500 kg/cm2
emperatura a de tension tensionen en limite elastico elastico a ¿ Temperatur
e max .Y
e max=
=
smax ⇒e max
=
2400
smax Y
=
2 . 10
kg 2
cm 6 kg cm
e max
⇒
=
−
12 . 10
4
2
Δ Lmax −4 ⇒ Δ Lmax =e max . L =12 . 10 . 50 cm ⇒ Δ Lmax =0,06 cm L
Sabemos : Δ Lmax = L . α . Δ T max 0,06 cm=( 50 cm ) ( 10
−5
C ) ( Δ T max ) ⇒ Δ T max =120 ° C
=( 200 −120 ) ° C ⇒T
T max
=80 ° C
maxelast
b ¿ Tiempo iempo enlle en llega garr a T max elast 4 ° C 5 min
=
120 ° C
x
⇒ x =150 min
Diametro o final b ¿ Diametr Sabemos : v = v=
− eT e
eT e L −4
⇒eT =− v . e max=− 0,35 . 12 . 10
−4
⇒eT =− 4,2 . 10
max
e T =
Δ ϕ −4 =− 8,4 . 10−4 cm ⇒ Δ ϕ=e T . ϕ=− 4,2 . 10 .2 cm ⇒ Δ ϕ ϕ
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ϕf =ϕ0 + Δ ϕ=( 2− 0,00084 ) cm ⇒ϕf =1,99 13.) Se pretende situar un cartel sobre la salida de un cine. Se colgará de dos cables de 5 m de longitud y de 2 cm de diámetro, medidos a 15°C. El alargamient alargamiento o de los cables debe ser inferior a 10 mm para que no se bloqueen las puertas situadas bajo dicho cartel. Determine el peso máximo de dicho cartel sabiendo que la temperatura temperatura máxima que se alcanza en esa localidad son 40°C. (Despreciamos la variación de sección por dilatación) Considere E= 2100 To/cm2, = 10-5 °C-1 y le= 4200 kp/cm2.
