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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1. Se desconoce la tasa de crecimiento de cierta especie de bacteria, pero se supone que es constante. Al comenzar el experimento, se estimó que había alrededor de 1500 bacterias y una hora después hay 2000. ¿Cuál sería su predicción sobre el número de bacterias que habrá al cabo de 4 horas después de iniciado el experimento? Rta/.

1500 ( 4 /3 )4

2. Se tiene almacenado un isótopo radiactivo en un laboratorio durante 10 años, tiempo en el que se encuentra que contiene sólo el 80% de su cantidad original de material radiactivo. a) ¿Cuál es la vida media de este isótopo? Rta/. 31.063 años b) ¿En cuántos años adicionales quedará sólo 15% de la cantidad original? Rta/. 75.018 años 3. La vida media del cobalto radiactivo es de 5.27 años. Suponga que un accidente nuclear ha dejado que el nivel de cobalto radiactivo ascienda en cierta región a 100 veces el nivel aceptable para la vida humana. ¿Cuánto tiempo pasará para que la región vuelva a ser habitable? 4. La temperatura de un motor en el momento en que se apaga es 200°C. La temperatura del aire que lo rodea es 30°C. Después de 10 minutos, la temperatura de la superficie del motor es 180°C. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la temperatura del motor baje a 40°C? Rta/. 226.4 minutos 5. La razón de cambio de una población de lagartos en un pantano es proporcional al cuadrado de la población. El pantano albergaba una docena de lagartos en 1998 y dos docenas en 2008. ¿Cuándo habrá cuatro docenas de lagartos en el pantano? ¿Qué sucede a partir de ese momento? 6. Suponga que en el instante inicial 10 mil personas en una ciudad con una población de 100 mil personas ha escuchado cierto rumor. Después de 1 semana el número de personas que ha escuchado el rumor ha aumentado a 20 mil. Suponiendo que la población satisface la ecuación logística, ¿cuánto tiempo pasará para que el 80% de la población haya escuchado el rumor? Rta/. Aproximadamente 4 semanas y 3 días

x(t ) 7. Suponga que cierta sal se disuelve en un solvente siendo solución después de

t

el número de gramos de sal en

segundos, de tal forma que se satisface la ecuación logística

dx  0.8 x  0.004 x 2 dt a) ¿Cuál es la cantidad máxima de sal que se disolverá en este solvente? Rta/. 200 gramos b) Si

x  50 5 4

Rta/.

ln 3

cuando

t 0

, ¿cuánto tiempo le tomará a 50 gramos adicionales de sal disolverse?

segundos

8. Algunos experimentos han demostrado que cierta componente se enfría en el aire de acuerdo a la ley del enfriamiento con constante de proporcionalidad de 0.2. Al final de la primera etapa de procesamiento, la temperatura de la componente es 120 °C. La componente se deja durante 10 minutos en un cuarto grande y después pasa a la siguiente etapa de procesado. En ese momento se supone que la temperatura de la superficie es 60 °C.

a) Cuál debe ser la temperatura del cuarto para que se lleve a cabo el enfriamiento deseado? b) Suponga que las temperaturas de entrada y salida siguen establecidas en 120°C y 60°C, respectivamente, pero que el tiempo de espera en el cuarto es temperatura del cuarto deseado como una función de

w

w

una constante. Encuentre la

y haga una gráfica.

9. El cuerpo de una víctima de un homicidio se encontró en una habitación que se conserva a temperatura constante de 70°F. A mediodía la temperatura del cuerpo era de 80°F y a la 1 p.m. era de 75°F. Considere que la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte era de 98.6°F y que se ha enfriado de acuerdo a la ley de Newton. ¿Cuál fue la hora de la muerte? Rta/. Aproximadamente a las 10:30 a.m

10. El carbono extraído de una reliquia característica de los tiempos de Cristo contenía átomos de

C 14

4.6 x1010

por gramo. El carbono extraído de un espécimen actual de la misma sustancia 10

C 14

5.0 x10

contiene átomos de por gramo. Calcule la edad aproximada de la reliquia. ¿Cuál es su opinión sobre la autenticidad de la reliquia? 11. Considere un tanque de 100 concentración de 0.6 g/

m

3

m3

lleno de agua. El agua contiene un contaminante con una

. Se bombea hacia el tanque bien mezclado agua más limpia con una

concentración de contaminante de 0.15 g/

m

3

, a una tasa de 5

3

m /s . El agua fluye hacia

afuera del tanque a través de una válvula a la misma tasa que se bombea hacia adentro. a) Determine la cantidad y concentración del contaminante en el tanque como una función del tiempo. Grafique su resultado. Rta/. b)

¿En

qué

momento

será

la

x ( t )=15+ 45 exp ⁡( concentración

−t ) 20

igual

a

0.3

g/

m3 ? Rta/. 22 segundos

aproximadamente 12. Un lago con buena circulación contiene 1000 kL de agua contaminada a una concentración de 2 kg/kL. El agua del desagüe de una fábrica entra al lago a una tasa de 5 kL/h con una concentración de 7 kg/kL de contaminante. El agua fluye por una tubería de salida a una tasa de 2 kL/h. Determine la cantidad y concentración del contaminante como una función del tiempo. Rta/.

x ( t )=7 ( 1000+3 t )−500,000(1000+3 t)−2 /3

13. Un tanque de 120 galones contiene inicialmente 90 lb de sal disuelta en 90 gal de agua. Salmuera que contiene 2 lb/gal de sal fluye hacia el tanque a una tasa de 4 gal/min y la mezcla perfectamente revuelta fluye hacia fuera del tanque a una tasa de 3 gal/min. ¿Cuándo el tanque se llena cuánta sal contiene? Rta/. 202 lb aproximadamente