Ejercicios Derivadas Leithold

38.- Obtenga una ecuacion de la recta normal a la curva

2

y=4 x −8 x

en el punto (1,-4)

dy =8 x−8 dx dy =8 (1 )−( 8 ) dx dy =0 dx mT=0

mT =tg α^ α^ =0 Para que sea normal en el punto (1,-4) se necesita la siguiente condición.

α^ + ^β=90 ^β=90 Tg ^β es indefinida Por lo tanto será de la forma intersección de la parábola

x 0=1 x=1 Grafico

x=x 0 , donde y=4 x 2−8 x

x 0 será la abscisa del punto de

y su tangente en el punto (1,-4)

39.- Determine la ecuación de la recta tangente normal a la curva

y=

10 2 14−x

en el punto (4,-5) −1

y=10 ( 14−x 2 )

−2 dy =10 [ −( 14−x 2 ) (−2 x ) ] dx

dy 20 x = dx ( 14−x 2 )2 Pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (4,-5)

mT =

20(4 )

( 14−42 )

2

mT =20 Pendiente de la recta normal a la curva en el punto (4,-5) y su ecuacion

mT ∗mN =−1

mT =20→ mN =

( y +5 )=

y=

−1 20

−1 (x−4) 20

−1 x−24 /5 20

Grafico

40.- Halle una ecuación de la recta tangente a la curva

y=

8 en el punto ( 2,1 ) x +4 2

−2 dy =8 [−( x2 + 4 ) ( 2 x ) ] dx

dy −16 x = dx ( x 2 +4 )2 Pendiente de la recta tangente a la curva en (2,1) y su ecuación

mT=

mT =

−16(2)

( 22+ 4 )

2

−1 2

( y−1 )=−0.5 ( x−2 ) y=

−1 x+2 2

Grafico

41.- Obtenga una ecuación de la recta tangente a la curva

y=3 x 2−4 x

, y paralela a la recta

Pendiente de la recta tangente

2 x − y+ 3=0

L1 :2 x− y +3=0 mL : y=2 x +3 1

mL =2 1

Coordenadas del punto de tangencia

mT =2 y=3 x 2−4 x dy =6 x−4 dx mT =6 x −4 2=6 x−4

x=1 y=3 x 2−4 x y=3 ( 1 )2−4 ( 1 ) y=−1 Q(1,-1) Ecuacion de la recta tangente a la curva en Q(1,-1) y con pendiente 2

( y +1 )=2 ( x−1 ) y=2 x−3

Grafico

42.- Halle una ecuación de la recta tangente a la curva perpendicular a la

x−2 y+ 6=0

L1 : x−2 y +6=0 x L1 : y = +3 2 mL = 1

1 2

Pendiente de la tangente

mL ∗m T =−1 1

4

y=x −6 x

,y

mT =−2 Coordenadas del punto de tangencia

y=x 4 −6 x dy =mT dx 4 x 3−6=−2 x=1

y=14 −6 ( 1 ) y=−5 P(1,-5) Ecuacion de la recta tangente a la curva en P(1,-5) y con pendiente -2

( y +5 )=−2 ( x−1 ) y=−2 x−3

Grafico

43.- Determine una ecuación de cada una de las rectas normales a la

y=x 3−4 x

curva

, y paralelas a la recta

x+ 8 y−8=0

L1 : x +8 y−8=0 L1 : y =

mL = 1

−x +1 8

−1 8

Pendiente de la tangente

mT ∗m L =−1 1

mL = 1

−1 → mT =8 8

Calculo de las coordenadas del punto donde la recta es normal a la curva

y=x 3−4 x mT =

dy dx

3 x2 −4=8 x=2 o x=−2

x=2

Con

y=23 −4 ( 2 ) y=0 R(2,0)

x=−2

Con

y=(−2)3−4 (−2 ) y=0 S(-2,0) Recta normal a la curva, que pasa por R(2,0) con

y=

−1 8

−1 1 x+ 8 4

Recta normal a la curva, que pasa por S(-2,0) con

y=

m=

−1 1 x− 8 4

m=

−1 8

Grafico

44.- Obtenga una ecuación de cada una de las rectas tangentes a la curva

3 y=x 3−3 x 2+ 6 x + 4

, y paralelas a la recta

2 x − y+ 3=0

y=2 x+ 3 mT =2 Calculo de las coordenadas de los punto de tangencia

1 4 y= x 3−x 2 +2 x + 3 3 mT =

dy dx

2 x − y+ 3=0

2

x −2 x +2=2 x=0 o x=2 Con x=2

1 4 y= 23 −22+2( 2)+ 3 3 y=4 W (2,4) Con x=0

1 4 y= 0 3−02 +2(0)+ 3 3 y=

4 3

Z

(0, 43 )

Recta tangente a la curva, que pasa por Z

(0, 43 )

con m=2

4 y− =2 x 3 y=2 x+

4 3

Recta tangente a la curva, que pasa por W

y−4=2 ( x−2 ) y=2 x

( 2,4 )

con m=2

Grafico

45.- Determine una ecuación de cada una de las rectas que pasan por el punto (4,13) y son tangentes a la curva Ecuacion de la tangente que pasa por (4,13)

( y−13 ) =m ( x−4 ) 1. y =mx−4 m+13

2. y=2 x 2−1 1 en 2 2

mx−4 m+13=2 x −1 2

2 x −mx+4 x−14=0 m± √(−m ) −4 ( 2 )( 4 m−14 ) 4 2

x=

y=2 x 2−1

Condicion de tangencia

m2−32 m+112=0

( m−28 ) ( m−4 )=0 m=28 o m=4 Recta tangente a la curva, que pasa por (4,13) con m=28

( y−13 ) =28 ( x −4 ) y−13=28 x−112 y=28 x−99 Recta tangente a la curva, que pasa por (4,13) con m=2

( y−13 ) =2 ( x−4 ) y−13=2 x −8

y=4 x−3

Grafico

46.- Dada

1 3 2 f ( x )= x +2 x +5 x+ 5 3

, demuestre que

los valores de x f,(x) =

x 2+ 4 x +5

f,(x) =

a x 2+ bx+ c

a>0

b2−4 ac ≤ 0 entonces f,(x) ≥ 0 para todo valor de x

Si

b2−4 ac =16−4 ( 1 ) (5 ) 2

b −4 ac =16−20 2

b −4 ac =−4 b2−4 ac