Ejercicios de Variable Aleatoria y Distribuciones de Probabilidad

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PROBABILIDAD CONDICIONAL Y TEOREMA DE BAYES 1. Una planta planta armadora armadora recie microcir microcirc!ito c!ito" " pro#eniente" pro#eniente" de tre" tre" di"tinto" di"tinto" $arican $aricante" te" B1% B& ' B (. El )*+ del total "e compra a B 1 mientra" ,!e a B & ' B( "e le" compra !n &)+ a cada !no. El porcenta-e de circ!ito" circ!ito" de$ect!o"o" para B1% B& ' B( e" )% 1* ' 1&+ re"pecti#amente. Si lo" circ!ito" "e almacenan en la planta "in importar ,!in $!e el pro#eedor/ a0 Determinar Determinar la proaili proailidad dad de ,!e !na !nidad armada armada en la planta contena contena !n circ!ito circ!ito de$ect!o de$ect!o"o. "o. 0 Si !n circ!ito circ!ito no e"t2 de$ect!o"o% de$ect!o"o% 3c!2l 3c!2l e" la proailidad proailidad de ,!e 4a'a 4a'a "ido #endido #endido por el pro#eedor pro#eedor B&. &. Con a"e en #ario" #ario" e"t!dio e"t!dio" " !na compa56 compa56a a 4a cla"i$ic cla"i$icado% ado% de ac!erdo ac!erdo con la po"ii po"iilid lidad ad de de"c! de"c!rir  rir  petr7l petr7leo% eo% la" $ormac $ormacion ione" e" eol7i eol7ica" ca" en tre" tre" tipo". tipo". La compa5 compa56a 6a preten pretende de per$ora per$orarr !n po8o po8o en !n determinado "itio% al ,!e "e le a"inan la" proailidade" de *.()% *.9* ' *.&) para lo" tre" tipo" de $ormacione" re"pecti#amente. De ac!erdo con la e:periencia% "e "ae ,!e el petr7leo "e enc!entra en !n 9*+ de $ormacione" $ormacione" del tipo I% en !n &*+ de $ormacione" $ormacione" del tipo II ' en !n (*+ de $ormacione" $ormacione" del tipo III. Si la compa56a no de"c!re petr7leo en e"e l!ar% determ6ne"e la proailidad de ,!e e:i"ta !na $ormaci7n del tipo II. (. Un taller taller repara repara comp compon onen ente te" " tant tanto o de a!dio a!dio como como de #ide #ideo. o. Sea A el e#ento e#ento en el ,!e ,!e el "i!ie "i!ient nte e componente tra6do a reparaci7n e" !n componente de a!dio% ' "ea B el e#ento en el ,!e el "i!iente componente componente e" !n reprod!ctor reprod!ctor de di"co" di"co" compacto" ;a"6 ,!e el e#ento B e"t2 contenido contenido en A0. S!pona ,!e P;A0 < *.= ' P;B0 < *.*). 3C!2l e" P;B>A0? 9. @*+ de la" aerona#e" aerona#e" liera" liera" ,!e de"aparecen de"aparecen en #!elo #!elo en cierto pa6" "on "on po"teriormen po"teriormente te locali8ada" locali8ada".. De la" aerona#e" ,!e "on locali8ada"% =*+ c!entan con !n locali8ador de emerencia% mientra" ,!e *+ de la" aerona#e" no locali8ada" no c!entan con dic4o locali8ador. S!pona ,!e !na aerona#e liera 4a de"aparecido. a0 Si tiene !n !n locali8ador locali8ador de emerenc emerencia% ia% 3c!2l 3c!2l "er2 la proaili proailidad dad de ,!e no "er2 "er2 locali8ada? locali8ada? 0 Si no tiene tiene !n locali8ador locali8ador de emerenc emerencia% ia% 3c!2l 3c!2l e" la proailid proailidad ad de ,!e "er2 locali8 locali8ada? ada? ). Una compa5 compa56a 6a ,!e $arica $arica c2mara" c2mara" de #ideo #ideo prod!ce prod!ce !n modelo modelo 2"ico 2"ico ' !n modelo modelo de l!-o. D!rante D!rante el a5o pa"ado% 9*+ de la" c2mara" #endida" $!eron del modelo 2"ico. De a,!ello" ,!e compraron el modelo 2"ico% (*+ ad,!irieron !na arant6a ampliada% en tanto ,!e )*+ de lo" ,!e compraron el modelo de l!-o tamin lo 4icieron. Si "e "ae ,!e !n comprador "eleccionado al a8ar tiene !na arant6a ampliada% 3,! tan proale e" ,!e l o ella tenan !n modelo 2"ico? ARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y SUS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD =. Identi$ica la" "i!iente" #ariale" aleatoria" como di"creta" o contin!a" a0 A!mento de #ida alcan8ado por !n paciente de c2ncer como re"!ltado de !na cir!6a. 0 Re"i"tencia a la r!pt!ra ;en lira" por p!lada c!adrada0 de !n cale de acero de !na p!lada de di2metro. c0 Nmero de #enado" m!erto" por a5o en !na re"er#aci7n e"tatal de $a!na "il#e"tre. d0 Nmero de c!enta" #encida" en !na tienda de departamento" en !n tiempo partic!lar. e0 S! pre"i7n "an!6nea. @. Si  repre"enta el nmero de #ece" ,!e !n cliente #a a !na tienda en !n periodo de !na "emana. S!pona ,!e "ta e" la di"tri!ci7n de proailidad de   * 1 & ( P; < :0 *.1* *.9 *.9 *.1 * * * Enc!entre el #alor e"perado de % el nmero promedio de #ece" ,!e !n cliente #a a la tienda. F. Una pie8a de e,!ipo electr7nico contiene "ei" c4ip" de comp!tadora% do" de lo" c!ale" "on de$ect!o"o".  Al a8ar "e "eleccionan tre" c4ip"% "e retiran del e,!ipo ' "e in"peccionan. Sea  i!al al nmero de de$ecto" o"er#ado"% donde  < *% 1 o &. Enc!entre la di"tri!ci7n de proailidad para . E:pre"e lo" re"!ltado" r2$icamente como !n 4i"torama de proailidad. . 3Toma !"ted ca$?% 3c!2nto" de"can"o" para tomar ca$ "e da c!ando e"t2 en el traa-o o en la e"c!ela? Ca"i toda" la" per"ona" ,!e toman ca$ "e dan !n poco de tiempo para tomarlo ' m!c4a" "e dan m2" de !n de"can"o al d6a para tomarlo. La tala "i!iente% adaptada de !n Snap"4ot de USA Toda' m!e"tra la di"tri!ci7n de proailidad para % el nmero de de"can"o" diario" ,!e "e dan ,!iene" toman ca$  * 1 & ( 9 ) P; *.& *.(@ *.1 *.1& *.* *.*1 ( ' &>( re"pecti#amente. Cada contacto re"!ltar2 en no #enta o en !na #enta de G)*%*** d7lare" con proailidade" de >1* ' 1>1* re"pecti#amente. 3C!2l e" el #alor e"perado de "!" #enta" diaria"? 11. El porcenta-e de $alla para !n "i"tema de control de pro'ectile" diriido" e" 1 en 1***. S!pona ,!e% en !n "i"tema de control d!plicado% pero completamente independiente% "e in"tala en cada pro'ectil para ,!e% "i el primero $alla% el "e!ndo tome el control. La con$iailidad de !n pro'ectil e" la proailidad de ,!e no $alle. 3C!2l e" la con$iailidad del pro'ectil modi$icado? 1&. S!pona ,!e en !n "!permercado en partic!lar la proailidad de e"perar ) min!to" o m2" en la $ila para paar e" *.&*. En !n d6a determinado% !n 4omre ' "! e"po"a deciden 4acer compra" indi#id!almente en el mercado% cada !no "aliendo en di$erente" ca-a" de pao. Amo" llean al mo"trador al mi"mo tiempo. a0 3C!2l e" la proailidad de ,!e el 4omre e"pere meno" de ) min!to" para "alir? 0 3C!2l e" la proailidad de ,!e el 4omre ' "! e"po"a "alan en meno" de ) min!to"? ;S!pona ,!e lo" tiempo" de "alida para lo" do" e#ento" "on independiente"0. c0 3C!2l e" la proailidad de ,!e !no o el otro o amo" e"peren ) min!to" o m2"? 1(. Un plan de control de calidad e:ie aceptar !n lote rande de co-inete" para ciHe5al "i "e "aca !na m!e"tra de "iete ' nin!no e" de$ect!o"o. 3C!2l e" la proailidad de aceptar el lote "i nin!no del lote e" de$ect!o"o? 3Y "i 1>1* "on de$ect!o"o"? 3Y "i  "on de$ect!o"o"? ARIABLE ALEATORIA DISCRETA 19. En cada !no de lo" "i!iente" e-ercicio"% determine el rano ;#alore" po"ile"0 de la #ariale aleatoria. a0 Un entalado de madera p!ede pedir"e en e"pe"ore" de 1>F% J 7 (>F de p!lada. La #ariale aleatoria e" el e"pe"or total del entalado de & pedido". 0 La #ariale aleatoria e" el nmero de ciclo" del relo- de !na comp!tadora nece"ario" para $inali8ar !n determinado c2lc!lo aritmtico. c0 La #ariale aleatoria e" el contenido de 4!medad de !n lote de materia prima% medido 4a"ta el porcenta-e entero m2" cercano. d0 En !n "i"tema de com!nicaci7n por #o8 con )* l6nea"% la #ariale aleatoria e" el nmero de l6nea" oc!pada" en !n momento en partic!lar. DISTRIBUCIONES Y KUNCIONES DE PROBABILIDAD 1). Un r!po de parte" moldeada" "e cla"i$ica de ac!erdo con "! lonit!d% de la "i!iente manera Lonit!d redondeada a la dcima de 9. ).* ).1 ).& ).( ).9 ).) ). mil6metro m2" cercana = Nmero de parte" * ( 1* &) 9* 1F 1= & a0 Si la #ariale aleatoria  e" la lonit!d ;redondeada a la dcima de mil6metro m2" cercana0 de !na parte moldeada "eleccionada al a8ar% determine la $!nci7n de pr oailidad de . 0 3C!2l e" el #alor de P;).10? c0 3C!2l e" el #alor de P;9.)).()0? 1=. Sea  !na #ariale aleatoria ,!e repre"enta el nmero de cliente" ,!e llea a !na tienda en !n periodo de !na 4ora. Dada la "i!iente in$ormaci7n  * 1 & ( 9 ) = @ F P;< *.* *.1 *.1 *.1 *.& *.& *.1 *.* *.* :0 ) * * * * ) * ) ) Encontrar E;0 ' AR;0 1@. Una compa56a de materiale" ,!6mico" en#6a cierto di"ol#ente en tamore" de die8 alone". Sea  el nmero de tamore" pedido" por !n cliente eleido aleatoriamente. S!pona ,!e  tiene la "i!iente $!nci7n de ma"a de proailidad ;di"tri!ci7n de proailidad para #ariale" aleatoria" di"creta"0.  1 & ( 9 ) P; < :0 *. *. *.& *. *. 9 & 1 1 a0 Determine la media del nmero de tamore" ordenado". 0 Determine la #arian8a del nmero de tamore" ordenado".

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c0 Determine la de"#iaci7n e"t2ndar del nmero de tamore" ordenado". d0 Sea Y el nmero de alone" ordenado". Determine la $!nci7n de ma"a de proailidad de Y. e0 Determine la media del nmero de alone" ordenado". $0 Determine la #arian8a del nmero de alone" ordenado". 0 Determine la #arian8a del nmero de alone" ordenado". 1F. Sea  !na #ariale aleatoria di"creta. Determinar el #alor de k  para ,!e la $!nci7n p; x 0< k > x %  x < 1%&%(%9 "ea la $!nci7n de proailidad de . Determinar% adem2"% P;1 X (0. 1. Sea  !na #ariale aleatoria contin!a. Determinar el #alor de k  para ,!e la $!nci7n f  ( x )=

{

 x

−

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k e donde x > 0 0  paracualquier otro valor

}

"ea la $!nci7n de proailidad de . Determinar adem2"

a0 ra$icar f ;:0 0 Calc!lar P; X )0 ' P;* X F0 c0 Determinar la $!nci7n de di"tri!ci7n ac!m!lati#a K; x 0 ' ra$icarla. d0 Determinar E;0 ' AR;0. &*. La $!nci7n de di"tri!ci7n ac!m!lati#a de !na #ariale aleatoria e"t2 dada por

{

0 cuando x < 0

 F ( x )= 2 x − x 2 cuando 0 ≤ x ≤ 1 1 cuando x > 1 a0 ra$icar K; x 0. 0 Otener P;1>&0 ' P;(>90. c0 Determinar f ; x 0. d0 Determinar E;0 ' AR;0. &1. La cali$icaci7n promedio en !na pr!ea de E"tad6"tica $!e de =&.) en e"cala de 1**% con !na de"#iaci7n e"t2ndar de 1*. El pro$e"or "o"pec4a ,!e el e:amen $!e di$6cil. De ac!erdo con lo anterior de"ea a-!"tar la" cali$icacione" de manera ,!e el promedio "ea @* ' la de"#iaci7n e"t2ndar de F. 3,! tipo de a-!"te a   dee !tili8ar? &&. Cierto tipo de componente e"ta empa,!etado en lote" de c!atro. Sea  el nmero de componente" ,!e $!ncionan de modo adec!ado en !n lote eleido de manera aleatoria. S!pona ,!e la proailidad de ,!e e:actamente : componente" $!ncionen e" proporcional a :/ en otra" palara"% "!pona ,!e la $!nci7n de ma"a de proailidad de  e" dada por  p ( x )= cx x =1,2,3, ó 4 0 deotromodo

{

Donde c e" !na con"tante. a0 Determine el #alor de la con"tante c para ,!e P;0 "ea !na $!nci7n de ma"a de proailidad. 0 Determine P; < &0 c0 Determine la media del nmero de componente" ,!e $!ncionan adec!adamente. d0 Determine la #arian8a del nmero de componente" ,!e $!ncionan adec!adamente. e0 Determine la de"#iaci7n e"t2ndar del nmero de componente" ,!e $!ncionan adec!adamente. &(. En 1** d6a" di$erente"% !n ineniero e"peciali8ado en el tr2n"ito de a!tom7#ile" c!enta el nmero de "to" ,!e pa"an por cierto cr!cero entre la" )** ' )*) p.m. Lo" re"!ltado" "e pre"entan en la tala "i!iente Nmero de Nmero de d6a" Proporci7n de d6a" a!tom7#ile" * (= *.(= 1 &F *.&F & 1) *.1) ( 1* *.1* 9 @ *.*@ ) 9 *.*9

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a0 Sea  el nmero de a!tom7#ile" ,!e pa"an por el cr!cero entre la" )** ' la" )*) p.m. en !n d6a eleido aleatoriamente. Al!ien "!iere ,!e para c!al,!ier entero po"iti#o :% la de ma"a de proailidad de  e" P1;:0 < ;*.&0;*.F0: 0 Otra per"ona "!iere ,!e para c!al,!ier entero po"iti#o :% la $!nci7n de ma"a de proailidad e" P1;:0 < ;*.90;*.=0:. U"ando e"ta $!nci7n% calc!le P; < :0 para #alore" de : de * a ) incl!"i#e. c0 Compare lo" re"!ltado" de lo" inci"o" a0 ' 0 con lo" dato" de la tala. 3C!2l $!nci7n de ma"a de proailidad parece "er el me-or modelo? E:pli,!e. d0 Al!ien dice ,!e nin!na de la" $!ncione" e" !n !en modelo 'a ,!e nin!na coincide e:actamente con lo" dato". 3E"to e" correcto? E:pli,!e. &9. ' &). Se "eleccionan aleatoriamente c4ip" de microproce"adore" !no tra" otro de !na ran polaci7n ' "e pr!ean para determinar "i "on aceptale" para determinada aplicaci7n. El *+ de lo" c4ip" en la polaci7n e" aceptale. a0 3C!2l e" la proailidad de ,!e el primer c4ip eleido "ea aceptale? 0 3C!2l e" la proailidad de ,!e el primer c4ip eleido "ea inaceptale ' el "e!ndo "ea aceptale? c0 Sea  el nmero de c4ip" ,!e "e pr!ea 4a"ta incl!ir el primer c4ip aceptale. Determine P; < (0 d0 Determine la $!nci7n de ma"a de proailidad de . Sea Y el nmero de c4ip" proado" 4a"ta incl!ir el "e!ndo c4ip aceptale. e0 3C!2l e" el #alor m2" pe,!e5o po"ile de Y? $0 3C!2l e" la proailidad de ,!e Y tome e"e #alor? 0 Determine P;Y < (>  < 10. 40 Determine P;Y < (>  < &0. i0 Determine P;Y < (0. &=. Una ma"a radiacti#a emite part6c!la" de tiempo peri7dicamente. El tiempo entre do" emi"ione" e" aleatorio. Sea T el tiempo en "e!ndo" entre do" emi"ione". S!pona ,!e la $!nci7n de den"idad de proailidad ;di"tri!ci7n de proailidad para #ariale" contin!a"0 de T e" dada por

{

0.2 t 

−

f  ( t )= 0.2 e

t > 0

0t ≤ 0

a0 Determine la media del tiempo entre emi"ione". 0 Determine la de"#iaci7n e"t2ndar del tiempo entre emi"ione". c0 Determine la $!nci7n de di"tri!ci7n ac!m!lati#a del tiempo entre emi"ione". d0 Determine la proailidad de ,!e el tiempo entre emi"ione" "ea menor a die8 "e!ndo". e0 Determine la mediana del tiempo entre emi"ione". $0 Determine el *a#o. Percentil de lo" tiempo" entre emi"ione". &@. En !na loter6a reali8ada a ene$icio de !na in"tit!ci7n local de caridad% "e 4an de #ender F*** oleto" a G* cada !no. El premio e" !n a!tom7#il de G&9*%***. Si !"ted compra do" oleto"% 3c!2l e" "! anancia e"perada? ' 3c!2l e" "! de"#iaci7n e"t2ndar? &F. Por e:periencia% !na compa56a de tran"porte "ae ,!e el co"to de entrear !n pa,!ete pe,!e5o ante" de &9 4ora" e" de G19.F*. La compa56a cora G1).)* por el en#6o% pero aranti8a la de#ol!ci7n del caro "i no lo entrea ante" de &9 4ora". Si la compa56a no 4ace entrea" en (+ de "! pa,!eter6a ante" del periodo de &9 4ora"% 3c!2l e" la anancia e"perada por pa,!ete?% ' enc!entre el inter#alo de  μ ± 2 σ  . &. La $!nci7n de den"idad de la" medicione" codi$icada" del di2metro del 4ilo de !n enca-e e"

{

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f  (  x )= π ( 1 + x 2 )

, 0 cm&? 0 3C!2l e" la proailidad de ,!e la re"i"tencia de !na m!e"tra "e enc!entre entre )F)* ' ))* >cm&? c0 3C!2l e" el #alor de re"i"tencia ,!e e:cede el )+ de la" m!e"tra"? (). Una $amilia t6pica pa"a m!c4o tiempo en !n a!to de !na acti#idad a otra ' tamin en $ila" de entrada a re"ta!rante" de comida r2pida. a' !na e#idencia cada #e8 ma'or ,!e "!iere ,!e e"tamo" empe8ando a aotarno". De 4ec4o% en !n e"t!dio reali8ado para el Centro para !n N!e#o S!e5o Americano% la re#i"ta Time in$orma ,!e el =*+ de lo" 4aitante" de Norteamrica "ienten pre"i7n por traa-ar  dema"iado ' F*+ de"ean tener m2" tiempo en $amilia. S!pona ,!e e"to" porcenta-e" "on correcto" para todo" lo" 4aitante" de Norteamrica ;M:ico a Canad20 ' ,!e "e "elecciona !na m!e"tra aleatoria de ello". a0 allar la proailidad mediante tala" inomiale" de ,!e m2" de &* "ientan pre"i7n por traa-ar  dema"iado. 0 U"e la apro:imaci7n normal a la di"tri!ci7n inomial para apro:imar la proailidad del inci"o a0 Compare "!" re"p!e"ta" con el #alor del inci"o a0. c0 allar la proailidad mediante tala" inomiale" de ,!e entre 1) ' &*;incl!"i#e0 de"een e"tar m2" tiempo en $amilia. d0 U"e la apro:imaci7n normal a la di"tri!ci7n inomial para apro:imar la proailidad del inci"o c0 Compare "!" re"p!e"ta" con el #alor del inci"o c0. lim" "ol!cione" "ol!ci7n &1 4ttp">>oo".oole.com.m:>oo"?id,!e"tion>inde:?,id