ejercicios de topologia

Introducci´ on

Podemos decir actualmente que el An´alisis Funcional es la tendencia abstracta del An´alisis, la cual comenz´o a ser desarrollada por algunos matem´aticos europeos en los a˜ nos de las dos primeras decadas del pasado siglo XX. Entre esos matem´aticos destacan Fredholm, Volterra, Hilbert, y Riesz. Inicialmente estos matem´aticos resolvieron problemas de ecuaciones integrales, autovalores de operadores, y desarrollos ortogonales. Tambi´en uno de los principales pioneros en el desarrollo de esta rama de la Matem´atica, fue el polaco S. Banach el cual compagin´o en su libro publicado en el a˜ no de 1932 y reeditado en 1987 con t´ıtulo“ THEORY OF LINEAR OPERATIONS ” [1] mucho de los principales resultados conocidos hasta ese tiempo. Nuestro prop´osito fundamental al redactar este libro, es desarrollar algunos t´opicos b´asicos del An´alisis Funcional tratando digamos a un nivel intermedio la teor´ıa de los espacios normados, la de los espacios de Banach, y tambien la de los operadores lineales acotados. Nuestro texto se desarrolla a trav´es de tres Cap´ıtulos. El primer Cap´ıtulo el cual llamamos “ Espacios Normados” se ha dividido en cuatro Secciones. A nuestra primera Secci´on se la ha denominado Definiciones y Resultados Preliminares porque all´ı damos algunas de las nociones de uso m´as frecuente en el An´alisis Funcional, como el de conjunto absorbente, balanceado y convexo; capsula convexa, norma, espacio normado y algunas propiedades de la norma. Tambi´en se dan algunos conceptos topol´ogicos, habiendo definido previamente la topolog´ıa fuerte de un espacio normado. 1

2 En la segunda Secci´on se da inicialmente el concepto de sucesi´on en un espacio normado, para despu´es pasar a caracterizar los elementos de la clausura de un subconjunto de un espacio normado como l´ımites de sucesiones de elementos de este. Tambi´en, introduciendo previamente el concepto de funci´on continua de un espacio topol´ogico (X, τ1 ) en otro (Y, τ2 ) se muestra, un Teorema de Continuidad Global, y despu´es una consecuencia del mismo como lo es el Teorema de Conservaci´on de Compacidad. La Secci´on 1.3 contiene una buena lista de Ejercicios propuestos como Ejemplos y en cada uno de ellos hemos dado los detalles de la soluci´on. Finalmente, la u ´ltima Secci´on presenta una variedad de Ejercicios que el lector debe resolver [en donde en algunos de ellos se introducen nuevos conceptos]. En el segundo Cap´ıtulo trata sobre espacios de Banach. En la Seccion 2.1 se demuestra las desigualdades cl´asicas de Holder, y de Holder - Minkowsky en la Seccion 2.2 se da la noci´on de espacio de Banach dada por S. Banach Entre otras Proposiciones y Resultado mostramos un Teorema de Caracterizaci´on para espacio de Banach. [Teorema 2.2.9]. En la Secci´on 2.3 damos algunos Ejemplos de espacios de Banach. Entre otros mostramos con respecto a una norma definida previamente la completitud de los espacios de sucesiones lp (p ≥ 1);

c0 ;

y l∞ .

Tambi´en en nuestra Secci´on 2.4 adem´as de definir espacio de Banach separable, damos una Demostraci´on del Lema de Riesz, y en (2.5) presentamos nuestra lista de Ejercicios. El tercer Cap´ıtulo trata sobre operadores lineales acotados en la primera Secci´on, se ha motivado el concepto de acotaci´on de un operador lineal, de hecho de que toda transformaci´on lineal de Rn en Rm es acotada. Introduciendo pu´es, para un operador lineal T las nociones de acotaci´on y continuidad se muestra en la Proposici´on 3.1.7 que: T es acotado ⇐⇒ T es continuo.

3 Ahora bien, definiendo los espacios L(X, Y ) y, B(X, Y ) mostraremos en el Teorema 3.1.11 que B(X, Y ) es un espacio de Banach en la norma: kT k = sup x6=0

kT (x)k . kxk

En la Secci´on 3.2 especificamente en el Teorema 3.2.6, se muestra que en “ DIMENSION FINITA TODAS LAS NORMAS SON EQUIVALENTES ”. Tambi´en damos el importante concepto de operador cerrado. La Secci´on 3.3 da una lista de Ejemplos de operadores lineales acotados. Entre otros, destacan el operador de Fredholm; el operador Shift [a la izquierda y a la derecha], y la proyecci´on can´onica. Mostramos como un Ejemplo tambi´en un Teorema de extensi´on de operadores; y dando la Definici´on de operador compacto se muestra que el operador de Fredholm lo es. Al final en la Secci´on 3.4 presentamos nuestra lista de Ejercicios a resolverse. Esperamos que este texto se de utilidad aquellos estudiantes que comienzan con el estudio de esta importante ´area de las Matem´aticas.

4

´Indice general Introducci´ on

1

1. Espacios Normados 1.1. Definiciones y Resultados Preliminares. 1.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Ejemplos Resueltos . . . . . . . . . . . 1.4. Comentario final del Cap´ıtulo 1 . . . . 1.5. Ejercicios Propuestos. . . . . . . . . . .

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2. Espacios de Banach 2.1. Desigualdades cl´asicas en An´alisis Funcional. . . . . . . . . . 2.2. Espacios de Banach. Teor´ıa B´asica. Ejemplos y ejercicios. . . 2.3. Algunos Ejemplos de Espacios de Banach. . . . . . . . . . . 2.4. Separabilidad de un espacio normado y Ejemplos. El Lema de Riesz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Comentario final del Cap´ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

7 7 21 37 62 63

71 . 71 . 78 . 98 . 115 . 119 . 120

3. Operadores Lineales Acotados 125 3.1. Noci´on de acotaci´on de un operador lineal. El espacio de B(X, Y )125 3.2. Normas Equivalentes. Noci´on de operador cerrado . . . . . . . 141 3.3. Algunos ejemplos de operadores lineales acotados . . . . . . . 153 3.4. Comentario final del Cap´ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Bibliograf´ıa

171

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6

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1 Espacios Normados 1.1.

Definiciones y Resultados Preliminares.

Comenzaremos esta Secci´on recordando el concepto de espacio vectorial, por ser ´esta una de las m´as importantes estructuras algebra´ıcas que son objeto de estudio en el An´alisis Funcional Lineal. En lo que sigue, a menos que expl´ıcitamente se especifique lo contrario, el s´ımbolo F denotar´a el cuerpo de los n´ umeros reales ´o complejos. Definici´ on 1.1.1 Sea X un conjunto no vac´ıo (abstracto). Sup´ ongase que en el conjunto X ×X est´ a definida una operaci´ on llamada “suma” y en F×X otra operaci´ on denominada multiplicaci´ on por escalar, tal que si (x, y) ∈ X × X y (α, x) ∈ F × X el resultado de cada una de ´estas operaciones sobre ´estos elementos es otro elemento de X denotado por x + y y αx respectivamente, y que adem´ as se verifican las siguientes propiedades: (P1 ) x + y = y + x,

∀ x, y ∈ X [Propiedad Conmutativa].

(P2 ) x + (y + z) = (x + y) + z

∀ x, y, z ∈ X [Propiedad Asociativa].

´nico elemento en X denotado por 0 y tal que (P3 ) Existe un u x + 0 = 0 + x,

∀ x ∈ X.

´ Este elemento se llama el elemento neutro para la suma. 7

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

8

´nico elemento −x ∈ X tal que: (P4 ) Para cada x ∈ X, existe un u x + (−x) = (−x) + x = 0. El elemento −x se llama el sim´etrico aditivo de x ∈ X ∀ x ∈ X,

(P5 ) 1x = x,

(P6 ) α(βx) = (αβ)x,

1 es la identidad de F

α, β ∈ F,

x∈X

(P7 ) (α + β)x = αx + βx,

α, β ∈ F,

(P8 ) α(x + y) = αx + αy,

α ∈ F,

x∈X x, y ∈ X.

Entonces, X se llama un espacio vectorial sobre el cuerpo F. Los elementos de X se llaman vectores. Observaci´ on 1.1.1 (a) Se supone que el lector de este libro est´ a familiarizado con los hechos b´ asicos de la teor´ıa de espacios vectoriales. De ´ todas formas recomendamos tener a la mano un libro de Algebra Lineal [por ejemplo [7] en el momento de leerlo. (b) Las operaciones de suma y multiplicaci´ on por escalar de un espacio vectorial X inducen las funciones: ϕ1 : X × X −→ X y, ϕ2 : F × X −→ X definidas por: ϕ1 (x, y) = x + y ϕ2 (α, x) = αx respectivamente. Definici´ on 1.1.2 Sea X un espacio vectorial. Un subconjunto no vac´ıo S de X se llama un subespacio vectorial de X si: αx + βy ∈ S

∀ x, y ∈ X,

α, β ∈ F.

As´ı, si S es un subespacio vectorial de X, entonces, 0 ∈ S.

1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PRELIMINARES.

9

Definici´ on 1.1.3 Sean X un espacio vectorial, x0 ∈ X y λ ∈ F entonces, si A es un subconjunto no vac´ıo de X, definimos: (a) x0 + A := {x0 + a : a ∈ A} (b) x0 − A := {x0 − a : a ∈ A} (c) λA := {λa : a ∈ A}

Si B es otro subconjunto no vac´ıo de X entonces:

(d) A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B} Definici´ on 1.1.4 Un subconjunto A de un espacio vectorial X se dice: (a) Convexo: Si el “segmento de recta” λx + (1 − λ)y queda contenida en A, ∀ x, y ∈ A, 0 ≤ λ ≤ 1, esto es: λx + (1 − λ)y ∈ A,

∀ x, y ∈ A,

0≤λ≤1

(b) Balanceado: Si λA ⊂ A, cuando |λ| ≤ 1. (c) Absorbente: Si para cada x ∈ X, existe un λ > 0 tal que x ∈ λA. Con el prop´osito de caracterizar los subconjuntos convexos de un espacio vectorial damos la siguiente Definici´on: Definici´ on 1.1.5 Sea X un espacio vectorial. Un x ∈ X se dice una combinaci´on convexa de los elementos x1 , x2 , . . . , xn de X si existen escalares n X λ1 , λ2 , . . . , λn en R con λi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n y λi = 1 tal que: i=1

x =

n X

λi xi

i=1

Proposici´ on 1.1.6 Un subconjunto K de un espacio vectorial X es convexo si y s´olo si cualquier combinaci´ on convexa de puntos de K es un punto de K.

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

10

Demostraci´ on. (⇐) Sean x, y ∈ K, entonces, por la hip´ otesis el elemento z = λx + (1 − λ)y ∈ K, para 0 ≤ λ ≤ 1. As´ı, K es convexo. (⇒) Sup´ ongase que K es convexo y S := {x1 , x2 , . . . , xn } un n´ umero finito cualquiera de elementos de K. Procederemos por inducci´ on sobre n. Si n = 1, es evidente. Si n = 2, y λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0 tales que λ1 + λ2 = 1, entonces, es claro que 0 ≤ λ1 ≤ 1 y 0 ≤ λ2 ≤ 1 y as´ı z = λ1 x1 + λ2 x2 ∈ K. Sup´ ongase que el resultado es cierto para n elementos x1 , x2 , . . . , xn en K, esto es,

z = λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λn xn ∈ K,

λi ≥ 0,

Sea xn+1 ∈ K. Veamos que:

n X

λi = 1

i=0

r = λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λn xn + λn+1 xn+1 ∈ K, λi ≥ 0, Consideremos los casos siguientes:

n+1 X

λi = 1

i=1

Caso 1. Cuando λn+1 = 1, entonces, λi = 0 para i = 1, 2, . . . , n, y as´ı, r ∈ K. Caso 2. Cuando 0 ≤ λn+1 < 1. Sea βi =

λi , 1 − λn+1

i = 1, 2, . . . , n

Entonces,

n X i=1

βi =

n X i=1

n X

λi λi = i=1 = 1 1 − λn+1 1 − λn+1

1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PRELIMINARES.

11

Luego, por la hip´ otesis de inducci´ on: n X

βi xi ∈ K

n X

βi xi + (1 − (1 − λn+1 )) xn+1 ∈ K

i=1

y ya que K es convexo, entonces, n+1 X i=1

λi xi = (1 − λn+1 )

i=1

lo cual concluye la demostraci´ on. 2 A continuaci´on introducimos el importante concepto de c´apsula convexa. Definici´ on 1.1.7 Sea A un subconjunto no vac´ıo de un espacio vectorial X. La c´apsula convexa de A denotada por co(A) es:

co(A) :=

(

n X i=1

αi xi : xi ∈ X, αi ≥ 0 i = 1, 2, . . . , n,

n X i=1

αi = 1

)

Es f´acil verificar usando la caracterizaci´on dada en la Proposici´on anterior que co(A) es un subconjunto convexo de X, y adem´as es el convexo “m´as peque˜ no”de X que contiene a A, esto es, \ Aα co(A) := A convexo α Aα ⊃ A

Si A es un subconjunto no vac´ıo de un espacio vectorial X es f´acil verificar que el conjunto: ) ( n X αi xi : αi ∈ F, xi ∈ A, i = 1, 2, . . . , n sp(A) := i=1

es un subespacio vectorial de A, y se llama el subespacio vectorial real generado por A. Note que co(A) ⊂ sp(A). A continuaci´on se introduce el importante concepto de norma sobre un espacio vectorial.

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

12

Definici´ on 1.1.8 Sea X un espacio vectorial. Una funci´ on, || ∙ || : X −→ R x |−→ kxk

que verifique las siguientes propiedades: (A1) ||x|| ≥ 0 y ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0. (A2) ||λx|| = |λ| ||x||,

λ ∈ F,

(A3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||,

x∈X

∀ x, y ∈ X,

se llama una norma sobre X. Al par (X, || ∙ ||) se le llama un espacio normado. La propiedad (A3) se llama la desigualdad triangular. Toda norma verifica la importante desigualdad dada en la siguiente proposici´on. Proposici´ on 1.1.9 Sea (X, || ∙ ||) un espacio normado. Entonces, ||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||,

∀ x, y ∈ X

(1,1,11)

Demostraci´ on. Recordemos que si a > 0, entonces: |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a. As´ı, ||x|| − ||y|| ≤ ||x − y|| ⇐⇒ −||x − y|| ≤ ||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||.

Expresando: x = (x − y) + y, entonces ||x|| = ||(x − y) + y|| ≤ ||x − y|| + ||y|| Luego, ||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||.

1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PRELIMINARES.

13

Expresando: y = (y − x) + x, entonces ||y|| ≤ ||y − x|| + ||x||, luego ||y|| − ||x|| ≤ ||y − x|| = ||x − y||, esto es, −||x − y|| ≤ ||x|| − ||y||, lo que concluye la demostraci´on. 2 Con la finalidad de definir una topolog´ıa en el espacio vectorial (X, || ∙ ||), recordaremos la definici´on siguiente: Definici´ on 1.1.10 Sea X un conjunto no vac´ıo. Una funci´ on, d : X ⊕ X −→ R (x, y) |−→ d(x, y)

se llama una m´etrica sobre X si verifica las siguientes propiedades: (A1) d(x, y) ≥ 0

y

d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y

(A2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (A3)

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.

(Desigualdad triangular)

Al par (X, d) se le llama un espacio m´etrico. Proposici´ on 1.1.11 Sea (X, || ∙ ||) un espacio normado. La funci´ on. definida por

d : X ⊕ X −→ R d(x, y) = ||x − y||,

x, y ∈ X

es una m´etrica sobre X. Demostraci´ on. Es f´acil verificar (A1) y (A2). Por otra parte como, d(x, y) = ||x − y|| = ||x − z + z − y||

≤ ||x − z|| + ||z − y|| = d(x, z) + d(z, y) ∀ x, y, z ∈ X, obtenemos tambi´en que (A3) es cierta.

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

14

As´ı, todo espacio normado es un espacio m´etrico, con la m´etrica d(x, y) = ||x − y||,

x, y ∈ X. 2

Definici´ on 1.1.12 Sea X un conjunto no vac´ıo. Una colecci´ on τ de subconjuntos de X se llama una topolog´ıa para X si se satisfacen las siguientes propiedades: (A1) φ, X ∈ τ. (A2) Si {Aα }α∈I[⊂ τ, donde I es un conjunto de ´ındices de cardinalidad Aα ∈ τ. arbitraria, α∈I

(A3) Si {Aα }α∈I ⊂ τ, entonces

n \

i=1

Ai ∈ τ.

Al par (X, τ ) se le llama un espacio topol´ ogico. Los elementos de la colecci´ on τ se llaman conjuntos abiertos. Si (X, τ ) es un espacio topol´ ogico, un subconjunto B de X se llama c cerrado si su complemento B = X\B es abierto en X, esto es B c ∈ τ. Definici´ on 1.1.13 Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico. (a) Una vecindad de un x ∈ X es un subconjunto G de X, que contiene alg´ un abierto A que contiene a {x}, esto es, x∈A⊂G (b) La topolog´ıa τ se dice Hausdorff (´ o T2 ) si dados x, y ∈ X, existen vecindades Vx de x y Vy de y tal que Vx ∩ Vy = φ. Definici´ on 1.1.14 Sean (X, || ∙ ||) un espacio normado, y d la m´etrica inducida por la norma || ∙ ||. Sea x0 ∈ X, y r > 0 entonces,

1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PRELIMINARES.

15

(a) La bola abierta de centro x0 y radio r es:   B(x0 , r) := x ∈ X : d(x, x0 ) = ||x − x0 || < r (b) La bola cerrada de centro x0 y radio r es: B(x0 , r) :=



x ∈ X : d(x, x0 ) = ||x − x0 || ≤ r



Definici´ on 1.1.15 Sea (X, || ∙ ||) un espacio normado. Un subconjunto no vac´ıo A de X se dice abierto si para cada x ∈ A existe un rx > 0 tal que: B(x, rx ) ⊂ A.

El conjunto vac´ıo φ lo consideramos como un abierto en X ya que inicialmente no existe ning´ un elemento en ´el que niegue nuestra definici´ on. Proposici´ on 1.1.16 Sea (X, || ∙ ||) un espacio normado. Entonces, (a) X es un conjunto abierto.

(b) Si x0 ∈ X, y r > 0, entonces B(x0 , r) es un conjunto abierto. (c) B(x0 , r) es un conjunto cerrado en X. Demostraci´ on. (a) Evidente. (b) Sea x1 ∈ B(x0 , r). Tomemos r1 = r − d(x0 , x1 ), entonces r1 > 0 y si z ∈ B(x1 , r1 ) vamos a tener que: d(z, x0 ) = ||z − x0 || = ||z − x1 + x1 − x0 || ≤ ||z − x1 || + ||x1 − x0 || < r1 + ||x1 − x0 || = r − d(x0 , x1 ) + ||x1 − x0 || = r

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

16

Por tanto, B(x1 , r1 ) ⊂ B(x0 , r) y as´ı B(x0 , r) es abierto en X. (c) Para verificar que B(x0 , r) es un conjunto cerrado, mostraremos entonces que: c

B (x0 , r) :=



z ∈ X : d(z, x0 ) = ||z − x0 || > r c



es un conjunto abierto. En efecto, sea z0 ∈ B (x0 , r) y tomemos c r1 = d(x0 , z0 ) − r > 0. Afirmamos que B(z0 , r1 ) ⊂ B (x0 , r). En efecto, sea z ∈ B(z0 , r1 ). Entonces, ||z0 − x0 || = ||z0 − z + z − x0 || ≤ ||z0 − z|| + ||z − x0 ||,

como ||z0 − x0 || = r1 + r, obtenemos:

r1 + r ≤ ||z0 − z|| + ||z − x0 || < r1 + ||z − x0 || on. esto es, ||z − x0 || > r, lo que concluye la demostraci´

2

Proposici´ on 1.1.17 Sean (X, || ∙ ||) un espacio normado y τ la siguiente colecci´ on de subconjuntos de X

τ :=



E ⊂ X : E es abierto en el sentido de la Definici´ on 1.1.6



Entonces τ es una topolog´ıa para X y se llama la topolog´ıa fuerte de X. Demostraci´ on. Debemos verificar los axiomas (A1), (A2) y (A3) de la Definici´ on 1.1.12. La propiedad[ (A1) es evidente. Verificaremos (A2). Sea {A } ⊂ τ. α [ Ak ∈ τ . En efecto, si x ∈ Ak , entonces Veamos que k∈I

k∈I

x ∈ Ak0 para alg´ un ´ındice α0 . Como Ak0 es [ abierto, existe un rk0 > 0 tal que B(x, rk0 ) ⊂ Ak0 , y por tanto B(x, rk0 ) ⊂ Aα . Verificaremos ahora (A3). Sea {Ai }ni=1 ⊂ τ , y x ∈

n \

i=1

α∈I

Ai ; entonces x ∈ Ai , para i = 1, 2, 3, . . . , n,

1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PRELIMINARES.

17

y por tanto existe γi > 0, i = 1, 2, . . . , n tal que B(x, γi ) ⊂ Ai , i = 1, 2, . . . , n. Sea γ = m´ın{γ1 , γ2 , . . . , γn }, entonces B(x, γ) ⊂ Ai , para i = 1, 2, . . . , n n \ Ai . 2 y por tanto B(x, γ) ⊂ i=1

Proposici´ on 1.1.18 La topolog´ıa τ dada la Proposici´ on 1.1.18 es Hausdorff (´o T2 ). Demostraci´ on. Sean x, y ∈ X, x 6= y, entonces d(x, y) = ||x − y|| > 0. Tomese ||x − y|| . 4 T Afirmamos que B(x, γ) B(y, γ) = φ. T En efecto, si en caso contrario T B(x, γ) B(y, γ) 6= φ, existe un z ∈ B(x, γ) B(y, γ), luego γ =

||x − y|| = ||x − z + z − y|| ≤ ||x − z|| + ||z − y|| <

||x − y|| ||x − y|| + 4 4

lo cual es una contradicci´ on. Daremos ahora las siguientes definiciones:

2

Definici´ on 1.1.19 Sean (X, || ∙ ||) un espacio normado y A ⊂ X, entonces, (a) El interior de A denotado por int(A) es: int(A) :=



x ∈ A : existe un γ > 0 tal que B(x, γ) ⊂ A



(b) La frontera de A, denotada por ∂A es:

∂A :=



c

x ∈ X : para cada r > 0, B(x, r)∩A 6= φ, B(x, r)∩A 6= φ

(c) El exterior de A denotado por ext(A) es: ext(A) := int(Ac )



CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

18

Definici´ on 1.1.20 Sean (X, || ∙ ||) un espacio normado y A ⊂ X. Un x0 ∈ X se llama un punto de acumulaci´ on de A si cada vecindad de x0 contiene un punto de A diferente de x0 Nota 1.1.21 La Definici´ on 1.1.20 expresa que si Vx0 es cualquier vecindad de x0 en (X, || ∙ ||), entonces: Vbx0 ∩ A 6= φ

donde Vbx0 := Vx0 \{x0 }. Ya que B(x0 , r) es una vecindad de x0 , para cada r > 0, entonces x0 es un punto de acumulaci´ on de A si y s´ olo s´ı donde tambi´en

b 0 , r) ∩ A 6= φ B(x

b 0 , r) := B(x0 , r)\{x0 } B(x

Denotamos por:   0 A := x ∈ X : x es un punto de acumulaci´ on de A Definici´ on 1.1.22 Un subconjunto A de un espacio normado (X, || ∙ ||) se dice acotado si existe un M > 0 tal que: kxk ≤ M, ∀ x ∈ A. Es claro que B(x0 , r) y B(x0 , r) son subconjuntos acotados. La siguiente Proposici´ on nos permite caracterizar los subconjuntos cerrados en un espacio normado. Proposici´ on 1.1.23 Sean (X, || ∙ ||) un espacio normado y A ⊂ X. Entonces, A es cerrado ⇐⇒ A0 ⊂ A.

1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PRELIMINARES.

19

Demostraci´ on. (⇒) Sup´ ongase que A es cerrado en (X, || ∙ ||) pero A0 6⊂ A. Entonces, existe alg´ un x ∈ A0 tal que x 6∈ A. Luego x ∈ Ac y como A es cerrado, Ac es abierto, por tanto existe un r > 0 tal que: B(x, r) ⊂ Ac .

Pero por otra parte, como x ∈ A0 ,

b r) ∩ A 6= φ B(x,

se sigue entonces, que A ∩ Ac 6= φ lo cual es una contradicci´ on. As´ı, A0 ⊂ A. 0 c (⇐) Rec´ıprocamente, sea A ⊂ A y x ∈ A . Entonces x 6∈ A y as´ı tambi´en por la hip´ otesis x 6∈ A0 , luego existe un r > 0 tal que b r) ∩ A = φ B(x,

En consecuencia, B(x, r) ⊂ Ac , con lo cual concluimos que Ac es abierto, y as´ı (Ac )c = A es cerrado. 2 Seguidamente damos la importante Definici´ on de clausura de un subconjunto de un espacio normado. Definici´ on 1.1.24 Sean (X, || ∙ ||) un espacio normado y A ⊂ X. as peque˜ no de La clausura de A denotada por A es el conjunto cerrado m´ X que contiene a A, esto es, si: F es otro cerrado en (X, || ∙ ||) tal que F ⊃ A, entonces F ⊃ A. \

Fα ; y que A es cerrado si y s´ olo Fα cerrado Fα ⊃ A s´ı A = A. Queremos ahora mostrar que A = A∪A0 . Para esto mostraremos inicialmente lo siguiente: Es claro que

A

=

Proposici´ on 1.1.25 Sean (X, ||∙||) un espacio normado y A ⊂ X. Entonces 0 A ∪ A es un conjunto cerrado.

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

20 Demostraci´ on.

Veamos que (A ∪ A0 )c es un conjunto abierto. Sea entonces x ∈ (A ∪ A0 )c = Ac ∩ (A0 )c , luego x ∈ Ac y x ∈ (A0 )c , y as´ı x 6∈ A y x 6∈ A0 . De la Definici´ on de A0 existe un  > 0 tal que B(x, ) ∩ A = φ c y as´ı, B(x, ) ⊂ A . Afirmamos ahora que B(x, ) ⊂ (A0 )c . En efecto, sea y ∈ B(x, ). Como B(x, ) es un conjunto abierto, existe un r > 0 tal que B(y, r) ⊂ B(x, ). Ahora bien, como B(x, ) ∩ A = φ, tambi´en B(y, r) ∩ A = φ, y por tanto y 6∈ A0 , luego y ∈ (A0 )c . Como y es arbitrario on. en B(x, ) se concluye que B(x, ) ⊂ (A0 )c , lo cual finaliza la demostraci´ 2 Proposici´ on 1.1.26 Sean (X, ||∙||) un espacio normado y A ⊂ X. Entonces A = A ∪ A0 Demostraci´ on. Tenemos que: A = A ∪ A0 ⇔ A ⊂ A ∪ A0 ⊂ A

on anterior y A ∪ A0 ⊃ A, se sigue Como A ∪ A0 es cerrado por la proposici´ que A ∪ A0 ⊃ A. Por otra parte, si x ∈ A ∪ A0 , entonces x ∈ A ´ o x ∈ A0 . Si 0 x ∈ A, tambi´en x ∈ A, y si x ∈ A se tiene que y as´ı

b ) ∩ A 6= φ para cada  > 0 B(x, b ) ∩ A 6= φ para cada  > 0 B(x,

Esto es, x ∈ (A)0 . Como A es un conjunto cerrado se sigue de la Proposici´ on 1.1.23 que x ∈ A. Hasta aqu´ı la primera secci´ on del Cap´ıtulo 1.

2

1.2. CONTINUIDAD

1.2.

21

Continuidad

Esta secci´ on contiene algunas caracterizaciones de funci´ on continua definida sobre un subconjunto de un espacio normado en otro. Tambi´en mostraremos un importante Teorema sobre continuidad global. [Teorema 1.2.16] Inicialmente comenzamos dando la siguiente Definici´ on: Definici´ on 1.2.1 Sea (X, || ∙ ||) un espacio normado. Una sucesi´ on en X es el rango de una funci´ on: f : N −→ X n |−→ f (n) = xn

x ermino n-´esimo de la sucesi´ on. Elrango lo denotamos n sellama el t´  ∞ por xn y lo llamamos una sucesi´ on en X. Si nk : k ∈ N es n=1  ∞ un subconjunto de N tal que n1 < n2 . . . , entonces xnk se llama una k=1  ∞ subsucesi´ on de la sucesi´ on xn n=1



∞

Definici´ on 1.2.2 Sean (X, || ∙ ||) un espacio normado y xn una sun=1  ∞ es convergente a un x ∈ X si dado  > 0 cesi´on en X. Decimos que xn

existe un n0 ∈ N tal que:

n=1

||xn − x|| <  si n ≥ n0  ∞ En caso contrario se dice que xn no es convergente (´ o divergente). n=1  ∞ es convergente a x ∈ X, decimos tambi´en que x es el l´ımite Si xn n=1

de xn cuando n → ∞ y escribimos,

l´ım xn = x en la topolog´ıa de la norma || ∙ ||

n→∞

 Es ∞claro por el hecho de ser la topolog´ıa inducida por la norma T2 que si xn es convergente, su l´ımite es u ´nico. n=1

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

22

Proposici´ on 1.2.3 Sean (X, || ∙ ||) un espacio normado y  ∞ es acotada. sucesi´ on convergente en X, entonces xn



xn

∞

una

n=1

n=1

Demostraci´ on. Veamos que existe un M > 0 tal que ||xn || ≤ M para n = 1, 2, . . . . Sea, l´ım xn = x.

n→∞

Entonces, dado ε = 1, existe un n0 ∈ N tal que: ||xn − x|| < 1

n ≥ n0 ,

si

pero por la Proposici´ on 1.1.10, ||xn || − ||x|| ≤ ||xn − x|| < 1,

si

n ≥ n0

Luego,

−1 < ||xn || − ||x|| < 1

si

n ≥ n0

esto es,

que

n ≥ n0 .  Sea M = m´ax ||x1 ||, ||x2 ||, . . . , ||xn0 −1 ||, 1 + ||x|| , entonces, es evidente

y as´ı,





xn

∞

||xn || < 1 + ||x||

||xn || ≤ M es acotada.

para

si

n = 1, 2, 3, . . . 2

n=1

La siguiente Proposici´ on nos muestra una propiedad muy importante de la clausura de un conjunto: sus elementos son l´ımites de sucesiones de elementos del conjunto, m´ as especificamente: Proposici´ on 1.2.4 (Una Caracterizaci´ on de A) Sean (X, || ∙ ||) un espacio normado y A ⊂ X. Entonces,

1.2. CONTINUIDAD

23

x ∈ A ⇐⇒ existe una sucesi´ on



xn

∞

n=1

⊂A

tal que l´ım xn = x. n→∞ Demostraci´ on. (⇒) Sea x ∈ A = A ∪ A0 entonces, x ∈ A ´ o x ∈ A0 . Si x ∈ A basta tomar xn = x para n = 1, 2, 3 . . . , y as´ı l´ım xn = x. n→∞

Por otra parte, si x ∈ A0 entonces A debe de ser un conjunto infinito. Entonces, dado  = 1 existe un x1 ∈ A tal que: 0 < ||x − x1 || < 1

Sea A1 = A\{x1 }. Es claro que A1 ⊂ A y A1 es infinito. Como x ∈ A0 , tambi´en x ∈ A01 [¿Por qu´e?]. As´ı, dado  = 12 existe un x2 ∈ A1 ⊂ A (x2 6= x1 ) tal que: 1 2 Consideremos ahora A2 = A\{x1 , x2 }. Nuevamente, A2 es infinito y tambi´en x ∈ A02 . Luego, dado  = 13 existe un x3 ∈ A2 tal que: 0 < ||x − x2 || <

1 3 este procedimiento obtenemos una sucesi´ on de elementos ∞  Continuando ⊂ A tal que: xn 0 < ||x − x3 || <

n=1

0 < ||x − xn || <

1 , n

para

n = 1, 2, 3, . . .

1 = 0, se sigue entonces que l´ım xn = x, lo cual finaliza Como l´ım n→∞ n n→∞ nuestra demostraci´ on.  ∞  ∞ ⊂ A tal que l´ım xn = x. Entonces, si xn consta (⇐) Sea xn n=1

n→∞

n=1

de un n´ umero finito de t´erminos solamente, entonces xn = x para n ≥ n0 . Por tanto,  x ∈ A, y as´ı tambi´en x ∈ A. Si

xn

∞

n=1

consta de un n´ umero infinito de t´erminos, entonces

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

24 

b ) ∩ xn B(x,

∞

n=1

6= φ

para cada

ε > 0,

y por tanto x ∈ A0 y en consecuencia x ∈ A.

2

Definici´ on 1.2.5 Sean (X, τ 1 ) y (Y, τ 2 ) espacios topol´ ogicos, y D ⊆ X. Una funci´ on, f : D −→ Y se dice continua en un x0 ∈ D, si dada una vecindad V de f (x0 ) en Y, existe una vecindad U de x0 en X tal que si: x ∈ U ∩ D =⇒ f (x) ∈ V.

Proposici´ on 1.2.6 Sean (X, ||∙||1 ) y (Y, ||∙||2 ) espacios normados, D ⊆ X, y: f : D −→ Y una funci´ on. Las siguientes afirmaciones son mutuamente equivalentes: (1) f es continua en x0 ∈ D. (2) Dado  > 0 existe un δ = δ(x0 , ) > 0 tal que ||f (x) − f (x0 )|| < 

si

||x − x0 || < δ

(3) f es secuencialmente continua en x0 ∈ D, esto es, si tal que:



xn −→ x si n −→ ∞, entonces f (xn ) −→ f (x0 ) si n −→ ∞.

xn

∞

n=1

⊂D

1.2. CONTINUIDAD

25

Demostraci´ on. Sin perder generalidad podemos denotar las normas || ∙ ||1 y || ∙ ||2 por || ∙ || respectivamente. (1) ⇒ (2) Sean  > 0 y,   V := B(f (x0 ), ) := y ∈ Y : ||y − f (x0 )|| < 

Entonces V es una vecindad de f (x0 ) en Y, luego por (1) existe una vecindad U de x0 en X tal que si x ∈ U ∩ D =⇒ f (x) ∈ V

Ahora bien, como U es una vecindad de x0 , existe un δ > 0 tal que B(x0 , δ) ⊂ U,

luego,

B(x0 , δ) ∩ D ⊂ U ∩ D

es,

Por tanto, si x ∈ B(x0 , δ) ∩ D, entonces x ∈ U ∩ D y as´ı, f (x) ∈ V, esto ||f (x) − f (x0 )|| < 

||x − x0 || < δ.

si

(2) ⇒ (1) Sea V una vecindad de f (x0 ) en Y, entonces V contiene alg´ un conjunto abierto que contiene a x. As´ı, para alg´ un  > 0 B(f (x0 ), ) ⊂ V

Por (2) existe un δ > 0 tal que si ||x − x0 || < δ,

entonces

||f (x) − f (x0 )|| < .

Tomando U := B(x0 , δ) se sigue por lo anterior que si x ∈ U ∩ D, entonces f (x) ∈ V. (2) ⇒ (3)

Sean y  δ el par de n´ umeros positivos dados por la hip´ otesis ∞ ⊂ D tal que xn −→ x0 si n −→ ∞ entonces, (2), y x0 ∈ D. Sea xn n=1

para nuestro δ > 0 existe un n0 ∈ N tal que

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

26

||xn − x0 || < δ

n ≥ n0 ,

si

y en consecuencia por (1):

||f (xn ) − f (x0 )|| < 

si

n ≥ n0 ,

esto es, f es secuencialmente continua en x0 ∈ D. (3) ⇒ (1) Sup´ ongase que (3) es cierta, pero que f no es continua en x0 ∈ D. Entonces, existe alguna vecindad V de f (x0 ) en Y tal que para cada vecindad U de x0 en X existe un x0 ∈ U ∩ D con f (x0 ) 6∈ V. Sea,   1 Un := x ∈ X : ||x − x0 || < . n
Entonces, Un := B x0 , n1 y as´ı, Un es una vecindad de x0 para n = 1, 2, . . . . Luego, existe un xn ∈ Un tal que f (xn ) 6∈ V para n = 1, 2, . . . , lo cual contradice (3). 2 Consideremos ahora X y Y espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo de escalares F. Sea   X ⊕ Y := (x, y) : x ∈ X, y ∈ Y . En este conjunto X ⊕ Y definimos las siguientes operaciones:

(O1) Suma: Si (x1 , y1 ) ∈ X ⊕ Y y (x2 , y2 ) ∈ X ⊕ Y, entonces, (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) (O2) Multiplicaci´ on por escalar: Si α ∈ F y (x, y) ∈ X ⊕ Y, entonces, α(x, y) = (αx, αy). Proposici´ on 1.2.7 El conjunto X ⊕Y tiene estructura de espacio vectorial sobre F respecto de las operaciones (O1) y (O2). Demostraci´ on. Es evidente que (O1) y (O2) est´ an bien definidas sobre X ⊕ Y. Se deja como ejercicio verificar todas las propiedades de espacio vectorial. 2

1.2. CONTINUIDAD

27

Proposici´ on 1.2.8 Sean (X, || ∙ ||1 ) y (Y, || ∙ ||2 ) espacios normados. La funci´on:

definida por:

|| ∙ || : X ⊕ Y −→ [0, +∞) ||(x, y)|| = ||x||1 + ||y||2

Es una norma sobre X ⊕ Y. As´ı, (X ⊕ Y, || ∙ ||) es un espacio normado. Demostraci´ on. Verificaremos que || ∙ || cumple con todas las propiedades de una norma. (P1) Es claro que ||(x, y)|| ≥ 0, ∀(x, y) ∈ X ⊕ Y. Adem´ as, si

||(x, y)|| = ||x||1 + ||y||2 = 0 entonces ||x||1 = 0 y ||y||2 = 0 y as´ı x = 0 y y = 0, por tanto (x, y) = (0, 0) y rec´ıprocamente.

(P2) En efecto, ||α(x, y)|| = ||(αx, αy)|| = ||αx||1 + ||αy||2 = |α| ||x||1 + |α| ||y||2 = |α|(||x||1 + ||y||2 ) = |α|||(x, y)||

(α ∈ F, (x, y) ∈ X ⊕ Y )

(P3) [Desigualdad triangular] ||(x1 , y1 ) + (x2 , y2 )|| = ||(x1 + x2 , y1 + y2 )|| = ||x1 + x2 ||1 + ||y1 + y2 ||2 ≤ ||x1 ||1 + ||x2 ||1 + ||y1 ||2 + ||y2 ||2 = ||x1 ||1 + ||y1 ||2 + ||x2 ||1 + ||y2 ||2 = ||(x1 , y1 )|| + ||(x2 , y2 )||

∀ (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X ⊕ Y, lo cual concluye la prueba. Tenemos ahora la importante Proposici´ on:

2

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

28

Proposici´ on 1.2.9 Sea (X, || ∙ ||) un espacio normado. Entonces, las funciones: ϕ1 : X ⊕ X → X

definida por

ϕ1 (x, y) = x + y

y, ϕ2 : F ⊕ X → X

definida por

ϕ2 (α, x) = αx

son continuas sobre X ⊕ X y F ⊕ X respectivamente. Demostraci´ on. Observemos inicialmente que cuando Y = X la norma definida por la Proposici´ on 1.2.7 de un elemento (x, y) ∈ X ⊕ X es: ||(x, y)|| = ||x|| + ||y|| y cuando X = F y Y = X la norma de un elemento (α, x) ∈ F ⊕ X es: ||(α, x)|| = |α| + ||x|| Sea (x0 , y0 ) ∈ X ⊕ X. Veamos que dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que: ||ϕ1 (x, y) − ϕ1 (α0 , y0 )|| < 

si

||(x, y) − (x0 , y0 )|| < δ.

En efecto,

||ϕ1 (x, y) − ϕ1 (α0 , x0 )|| = ||x + y − (x0 + y0 )|| = ||x − x0 + y − y0 || ≤ ||x − x0 || + ||y − y0 || < δ + δ = 2δ =  Luego, basta tomar Por otra parte,

δ ≤ 2 .

1.2. CONTINUIDAD

29

||ϕ2 (α, x) − ϕ2 (α0 , x0 )|| = ||αx − α0 x0 || = ||αx − αx0 + αx0 − α0 x0 || = ||α(x − x0 ) + (α − α0 )x0 || ≤ ||α(x − x0 )|| + ||(α − α0 )x|| = |α| ||x − x0 || + |α − α0 | ||x|| Restringiendo, ||x − x0 || < δ ≤ 1

|α − α0 | < δ ≤ 1,

y

entonces, ya que: ||x|| − ||x0 || ≤ ||x − x0 || < δ ≤ 1,

y

|α| − |α0 | ≤ |α − α0 | < δ ≤ 1

vamos a tener que ||x|| < 1 + ||x0 ||, y |α| < 1 + |α0 |, luego

||ϕ2 (α, x) − ϕ2 (α0 , x0 )|| < (1 + |α0 |)||x − x0 || + |α − α0 |(1 + ||x0 ||) < mδ + mδ = 2mδ  donde m = m´ax{1 + |α0 |, 1 + ||x0 ||}. As´ı, tomando δ ≤ m´ın{1, 2m } obtenemos que ϕ2 es continua en (α0 , x0 ). 2 ogicos, una funci´ on: Recordemos que si (X, τ1 ) y (Y, τ2 ) son espacios topol´

f :X→Y que es biyectiva (esto es, f es uno a uno y sobre) y bicontinua (bicontinua significa que f y su inversa f −1 son continuas) se llama un homeomorfismo, y en este caso X y Y se dicen homeomorfos. Las operaciones de suma y multiplicaci´ on por escalar de un espacio vectorial que es adem´ as un espacio normado inducen dos homeomorfismos “naturales”, hecho que lo expresa la Proposici´ on siguiente:

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

30

Proposici´ on 1.2.10 Sean (X, || ∙ ||) un espacio normado, a ∈ X y α ∈ F, (α 6= 0). Entonces, las funciones: Ta : X −→ X,

definida por

Ta (x) = x + a

y Mα : X −→ X,

definida por

Mα (x) = αx

on y Mα el operador son homeomorfismos. Ta se llama el operador de traslaci´ de multiplicaci´ on. Demostraci´ on. Dejamos como un ejercicio verificar la continuidad y biyectividad de Ta y Mα . El inverso de Ta es T−a y el inverso de Mα es M1/α . As´ı, tenemos el diagrama:

Ta X

X

Mα −1

Mα

X

Ta −1

X

donde Ta −1 (x) = T−a (x) = x − a y Ma −1 (x) = M1/a (x) =

1 x, (a 6= 0). a

ogicos, T2 , D1 ⊆ X y Sean (X, τ1 ), (Y, τ2 ) y (Z, τ3 ) espacios topol´ D2 ⊆ Y. Consideremos el diagrama:

1.2. CONTINUIDAD

31 f D1

D2 g

g◦ f Z

donde f es una funci´ on definida sobre D1 tal que su rango f (D1 ) ⊆ D2 y g es una funci´ on definida sobre D2 a valores en el espacio Z. As´ı, podemos construir la compuesta de g y f denotada por g◦ f y definida como: (g◦ f )(x) = g(f (x))

(x ∈ D1 ).

Tenemos entonces la siguiente Proposici´ on Proposici´ on 1.2.11 Si f es continua en un x0 ∈ D1 y g tambi´en lo es en f (x0 ), entonces g◦ f es continua en x0 . Demostraci´ on. Sea V una vecindad de (g◦ f )(x0 ) en Z, entonces como g es continua en f (x0 ) y (g◦ f )(x0 ) = g(f (x0 )) existe una vecindad W de f (x0 ) en Y tal que si: y ∈ W ∩ D2 ,

entonces

g(y) ∈ V.

Tambi´en, como f es continua en x0 , existe una vecindad U de x0 en X tal que si: entonces f (x) ∈ W, x ∈ U ∩ D1 ,

pero tambi´en f (x) ∈ D2 , as´ı f (x) ∈ W ∩ D2 y en consecuencia g(f (x)) ∈ V, lo cual concluye la demostraci´ on. Definici´ on 1.2.12 Sean X y Y conjuntos no vac´ıos, D ⊆ X y f : D −→ Y una funci´ on. Sea H ⊆ Y. La imagen inversa de H denotada por f −1 (H) es:   −1 f (H) := x ∈ D : f (x) ∈ H

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

32

Es claro de la Definici´ on anterior que si B ⊆ Y, D := f −1 (B) ∪ f −1 (B c ). Proposici´ on 1.2.13 Sean X y Y conjuntos no vac´ıos, D ⊆ X y f : D −→ Y una funci´ on. Sup´ ongase que dado B ⊂ Y existe un B1 ⊂ X tal que: B1 ∩ D := f −1 (B), entonces, B1 c ∩ D := f −1 (B c ) Demostraci´ on. Ya que f −1 (B) ∪ f −1 (B c ) := D := D ∩ B1 ∪ D ∩ B1 c

y por hip´ otesis tenemos que B1 ∩ D := f −1 (B), se sigue que: B1 c ∩ D := f −1 (B c ).

Ahora podemos mostrar el siguiente teorema: Teorema 1.2.14 Sean (X, τ1 ) y (Y, τ2 ) espacios topol´ ogicos T2 , y D ⊆ X. Sea f : D −→ Y una funci´ on. Las siguientes afirmaciones mutuamente equivalentes: (1) f es continua sobre D. (2) Dado G ∈ τ2 , existe un G1 ∈ τ1 tal que G1 ∩ D := f −1 (G) (3) Dado un cerrado H en Y, existe un cerrado H1 en X tal que: H1 ∩ D := f −1 (H)

1.2. CONTINUIDAD

33

Demostraci´ on. (1) =⇒ (2) Sea G ∈ τ2 , esto es, G es abierto en Y. Si f −1 (G) = φ, tomamos G1 = φ. Por otra parte, si f −1 (G) 6= φ, existe un x0 ∈ D tal que f (x0 ) ∈ G y como G es abierto en Y y f es continua en x0 , existe Ux0 vecindad de x0 en X tal que si: x ∈ Ux0 ∩ D,

f (x) ∈ G.

entonces

Sin perder generalidad podemos suponer que Ux0 es abierto en X. Repitamos ´este procedimiento para cada x ∈ f −1 (G), y sea [ G1 := Ux x∈f −1 (G)

entonces, G1 es abierto en X y adem´ as: 

G1 ∩ D := 

[

Ux  ∩ D

x∈f −1 (G)

:=

[



(Ux ∩ D)

x∈f −1 (G)

:= f −1 (G) lo cual finaliza la demostraci´ on. (2) =⇒ (1) Sean x0 ∈ D y V una vecindad de f (x0 ) en Y. Entonces, existe un abierto G en Y tal que f (x0 ) ∈ G ⊂ V. Por la hip´ otesis (2) existe un G1 abierto en X tal que: G1 ∩ D := f −1 (G),

y ya que f (x0 ) ∈ G, entonces x0 ∈ f −1 (G) := G1 ∩ D, luego, x0 ∈ G1 . As´ı, G1 es vecindad de x0 en X y si: x ∈ G1 ∩ D,

entonces

f (x) ∈ G ⊂ V,

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

34 esto es, f es continua en x0 ∈ D.

(2) =⇒ (3) Sea H cerrado en Y y tomemos G := H c . Entonces, G es abierto en Y y as´ı por la hip´ otesis (2) existe un abierto G1 en X tal que: G1 ∩ D := f −1 (G) se sigue por la Proposici´ on 1.2.13 que: G1 c ∩ D := f −1 (Gc ) :=

f −1 (H)

Tomando H1 := G1 c obtenemos (3). (3) =⇒ (2) Se deja como un ejercicio. Corolario 1.2.15 Sean (X, τ1 ) y (Y, τ2 ) espacios topol´ ogicos T2 , y f : X −→ Y una funci´ on. Entonces: (1) f es continua sobre X ⇐⇒ f −1 (G) es abierto en X para cada abierto G en Y. (2) f es continua sobre X ⇐⇒ f −1 (H) es cerrado en X para cada cerrado H en Y. Demostraci´ on. Tomar D := X y usar el Teorema anterior. Definici´ on 1.2.16 Sean (X, τ ) un espacio topol´ ogicos y A ⊂ X, [A 6= φ]. Una colecci´ on {Aα }α∈I de subconjuntos abiertos de X se llama cubrimiento de A si: A⊂

[

Aα

α∈I

en donde I es un conjunto de ´ındices de cardinalidad arbitraria.

1.2. CONTINUIDAD

35

Definici´ on 1.2.17 Sean (X, τ ) un espacio topol´ ogico y A ⊂ X [A 6= φ]. Entonces, A se dice compacto si cada cubrimiento de A, contiene un subcubrimiento finito, esto es, si dado {Aα }α∈I un cubrimiento de A, existe un n´ umero finito de los Aα , digamos Aα1 , Aα2 , . . . , Aαn tal que: A⊂

n [

Aαi .

i=1

El Teorema cl´ asico de Heine - Borel expresa que un subconjunto no vac´ıo n on de de R (n ≥ 1) es compacto ⇐⇒ es cerrado y acotado. La demostraci´ ´este Teorema se propone en nuestra lista de ejercicios. Teorema 1.2.18 Sean X y Y espacios normados. Sea f : D −→ Y una funci´ on continua, donde D ⊂ X compacto. Entonces, f (D) es compacto en Y. Demostraci´ on. Sea {Aα }α∈I un cubrimiento de f (D) mostraremos que existe un n´ umero de los Aα digamos Aα1 , Aα2 , . . . , Aαn tal que: f (D) ⊂

n [

Aαi .

i=1

En efecto, ya que Aα es abierto en Y, y f : D −→ Y es continua, entonces de acuerdo al Teorema 1.2.14 existe un abierto Bα en X tal que: Bα ∩ D = f −1 (Aα ). Afirmamos ahora que la colecci´ on {Bα }α∈I es un S cubrimiento de D. EfecAα luego, existe alg´ un tivamente, sea x ∈ D entonces, f (x) ∈ f (D) ⊂ α∈I

sub´ındice α0 ∈ I tal que f (x) ∈ Aα0 y as´ı x ∈ f −1 (Aα0 ) = Bα0 ∩ D, y en consecuencia x ∈ Bα0 . Se sigue, que la colecci´ on {Bα }α∈I , donde

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

36

otesis es comBα ∩D = f −1 (Aα ) (α ∈ I) es un cubrimiento de D, que por hip´ pacto, por tanto existe un n´ umero finito de los Bα , digamos Bα1 , Bα2 , . . . , Bαn n S tal que D ⊂ Bαi . Veamos ahora que: i=1

f (D) ⊂

n [

Aα i

D ∩ Bαi = f −1 (Aαi ), i = 1, 2, . . . , n.

donde

i=1

En efecto, sea y ∈ f (D). Entonces, existe un αi (i = 1, 2, . . . , n) tal que x ∈ Bαi ∩ D = f −1 (Aαi ).

As´ı, y = f (x) ∈ Aαi . Como y es arbitraria en f (D) concluimos que: f (D) ⊂ y por tanto, f (D) es compacto.

n [

Aαi

i=1

Nota 1.2.19 Sea (X, k ∙ k) un espacio normado, D ⊂ X compacto y f : D −→ C una funci´ on continua. De acuerdo al Teorema anterior f (D) es compacto, luego por el Teorema cl´ asico de Heine - Borel f (D) es en particular acotado en C. Por tanto, existe una constante M > 0 tal que: |f (x)| ≤ M

∀ x ∈ D.

1.3. EJEMPLOS RESUELTOS

1.3.

37

Ejemplos Resueltos

Esta secci´ on contiene una importante lista de ejemplos resueltos que servir´an de complemento para un mejor entendimiento de la teor´ıa desarrollada en las Secciones 1.1 y 1.2. En algunos de estos ejemplos, cuando sea necesario, se introduce el concepto que nos ayudar´ a a demostrar lo que se exige en el mismo. Ejemplo 1.3.1 Sea   n R := x = (x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n . En Rn definimos las siguentes operaciones: (O1) Suma: Si x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn y, y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn , la suma de x y y denotada por x + y se define como: x + y = (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) =

(x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )

(O2) Multiplicaci´ on por escalar: Si α ∈ F y x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , definimos: αx =

α(x1 , x2 , . . . , xn )

= (αx1 , αx2 , . . . , αxn ). Es claro que (O1) y (O2) est´ an bien definidas y el lector puede mostrar que se verifican todas las propiedades (A1), (A2), . . . , (A8) de la Definici´ on 1.1.1. As´ı, Rn es un espacio vectorial sobre F. Ejemplo 1.3.2 Sea la funci´ on: k ∙ k : Rn −→ [0, +∞) definida por: kxk =

n X i=1

|xi |2

!1/2

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn .

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

38

Entonces, k ∙ k es una norma sobre Rn . En efecto, verificaremos los axiomas (A1), (A2) y (A3) de la Definici´ on 1.1.9. (A1) Es claro que kxk ≥ 0, ∀ x ∈ Rn . Por otra parte si: kxk =

n X i=1

|xi |2

!1/2

= 0 =⇒ |xi | = 0 =⇒ xi = 0

i = 1, 2, . . . , n i = 1, 2, . . . , n

=⇒ x = 0, y rec´ıprocamente. (A2) Si α ∈ F, entonces: kαxk =

n X i=1

|αxi |2

!1/2

=

n X i=1

= |α|

|α|2 |xi |2

n X i=1

|xi |2

= |α|kxk

!1/2

!1/2 (x = x1 , x2 , . . . , xn ∈ Rn )

(A3) Para verificar la desigualdad triangular inicialmente verificaremos la siguiente desigualdad: Si x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn y, y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn entonces: n X xi yi ≤ kxkkyk. i=1

En efecto si x = 0 ´ o y = 0 la desigualdad es evidente. Sup´ ongase entonces que x 6= 0 y, y 6= 0. Definamos la funci´ on: ϕ : R −→ R

por, ϕ(t) =

n X i=1

(xi t + yi )2

(1.3.3).

1.3. EJEMPLOS RESUELTOS

39

Desarrollando el miembro a la derecha de (1.3.3) vamos a obtener que:

ϕ(t) =

n X

(xi t + yi )2

i=1

=

n X

(xi 2 t2 + 2xi yi t + yi 2 )

i=1

=

n X

xi 2

i=1

!

= kxk2 t2 + 2

t2 + 2

n X

xi y i

i=1

n X i=1

xi yi

!

!

t+

n X

yi 2

i=1

t + kyk2

As´ı, 0 ≤ ϕ(t) =

n X i=1

(xi t + yi )2 = kxk2 t2 + 2

n X i=1

xi yi

!

t + kyk2 ,

entonces, la representaci´ on gr´ afica de ϕ(t) es una par´ abola que est´ a situada por arriba del eje de abcisas o intersecta ´este eje en un s´ olo punto. Por tanto: !2 n X xi yi − 4kxk2 kyk2 ≤ 0 4 = 2 i=1

esto es, 2

n X i=1

y as´ı,

≤ 4kxk2 kyk2

n X xi yi ≤ kxk2 kyk2 i=1

en consecuencia:

xi yi

!2

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

40

2

kx + yk =

n X

(xi yi )

2

=

i=1

n X

(xi 2 + 2xi yi + yi 2 )

i=1

=

n X

2

xi + 2

i=1

= kxk2 + 2

n X

xi yi +

i=1

n X i=1

n X

yi 2

i=1

xi yi + kyk2

n X 2 ≤ kxk + 2 xi yi + kyk2 i=1

≤ kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 extrayendo raices cuadradas en ambos miembros obtenemos que: kx + yk ≤ kxk + kyk

(∀ x, y ∈ Rn )

Rn con la norma euclidiana k ∙ k2 que tambi´en es denotada por k ∙ k2 es denotado por l2 n . As´ı, l2 n := (Rn , k ∙ k). Ejemplo 1.3.3 Sea la funci´ on: k ∙ k1 : Rn −→ [0, +∞) definida por: kxk1 =

n X i=1

|xi |

(x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn )

entonces, k∙k1 define una norma sobre Rn verificaremos los Axiomas (A1), (A2) y (A3) de la Definici´ on 1.1.9. n P |xi | ≥ 0 ya que |xi | ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , n. (A1) kxk1 = Adem´ as, si,

i=1

1.3. EJEMPLOS RESUELTOS

kxk1 =

n X i=1

41

|xi | = 0 =⇒ |xi | = 0

para

=⇒ xi = 0

para

i = 1, 2, . . . , n i = 1, 2, . . . , n

=⇒ x = 0 y rec´ıprocamente (A2) Si α ∈ F, vamos a tener que: kαxk1 =

n X i=1

|αxi | =

n X i=1

= |α|

|α||xi |

n X i=1

= |α|kxk1 (A3)

|xi | (x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn )

[Desigualdad triangular]

kx + yk =

n X i=1

|xi + yi | ≤

n X i=1

(|xi | + |yi |) =

n X i=1

|xi | +

n X i=1

= kxk1 + kyk1

para x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ; y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn . As´ı, Rn con la norma k ∙ k1 es denotado por l1 n . Por tanto, l1 n := (Rn , k ∙ k1 ). Ejemplo 1.3.4 Sea definida como:

k ∙ k∞ : Rn −→ [0, +∞)

kxk∞ = sup |xi | 1≤i≤n

(x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ).

|yi |

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

42

Verificaremos que k ∙ k∞ define una norma sobre Rn . En efecto: (A1) Es claro que si:

kxk∞ = sup |xi | = 0 =⇒ |xi | = 0 1≤i≤n

=⇒ xi = 0

para

i = 1, 2, . . . , n

=⇒ x = 0 y rec´ıprocamente (A2) Para α ∈ F, kαxk∞ = sup |αxi | = 1≤i≤n

sup (|α||xi |)

1≤i≤n

= |α| sup |xi | 1≤i≤n

(x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn )

= |α|kxk∞ (A3)

[Desigualdad triangular]

kx + yk∞ = sup |xi + yi | ≤ 1≤i≤n

=

sup (|xi | + |yi |)

1≤i≤n

sup |xi | + sup |yi |

1≤i≤n

1≤i≤n

= kxk∞ + kyk∞ para x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ; y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn . As´ı, Rn dotado de la norma k ∙ k∞ se denota por l∞ n , esto es, l∞ n := (Rn , k ∙ k∞ ).

1.3. EJEMPLOS RESUELTOS

43

Ejemplo 1.3.5 Sean X un espacio vectorial, k ∙ k y k| ∙ |k dos normas sobre X. Decimos que k ∙ k y k| ∙ |k son equivalentes si existen constantes a > 0 y b > 0, tales que: akxk ≤ k|x|k ≤ bkxk

(∀ x ∈ X).

Sea el conjunto: N :=





k∙k : k∙k

es una norma sobre X .

Mostraremos que esta Definici´ on de normas equivalentes induce una relaci´ on de equivalencia sobre N y que es denotada por “ ∼00 ; esto es, “ ∼00 es reflexiva, sim´etrica y transtiva. (a) “ ∼00 es reflexiva, lo cual es evidente tomamos a = b = 1 (b) “ ∼00 es sim´etrica. En efecto, si k ∙ k ∈ N y k| ∙ |k ∈ N , tales que k ∙ k ∼ k| ∙ |k, entonces existen a > 0 y b > 0 tales que: akxk ≤ k|x|k ≤ bkxk

∀ x ∈ X.

De aqu´ı, vamos a obtener que:

b−1 k|x|k ≤ kxk

∀x∈X

kxk ≤ a−1 k|x|k

∀ x ∈ X,

y tambi´en que: por tanto

b−1 k|x|k ≤ kxk ≤ a−1 k|x|k

y as´ı k| ∙ |k ∼ k ∙ k.

∀ x ∈ X,

(c) Sean k ∙ k1 , k ∙ k2 y k ∙ k3 elementos de N tales que k ∙ k1 ∼ k ∙ k2 y k ∙ k2 ∼ k ∙ k3 . Veamos que k ∙ k1 ∼ k ∙ k3 . En efecto, ya que k ∙ k1 ∼ k ∙ k2 =⇒ existen a1 > 0 y b1 > 0 tales que : a1 kxk1 ≤ kxk2 ≤ b1 kxk1 ∀ x ∈ X y k ∙ k2 ∼ k ∙ k3 =⇒ existen

a2 > 0 y b2 > 0 tales que :

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

44

a2 kxk2 ≤ kxk3 ≤ b2 kxk2 ∀ x ∈ X, as´ı, vamos a obtener que: kxk3 ≤ b2 kxk2 ≤ b1 b2 kxk1 ∀ x ∈ X, y que: a1 a2 kxk1 ≤ kxk2 ≤ kxk3 ∀ x ∈ X. En consecuencia: a1 a2 kxk1 ≤ kxk3 ≤ b1 b2 kxk2 ∀ x ∈ X, on. esto es, k ∙ k1 ∼ k ∙ k3 y concluye nuestra demostraci´ Ejemplo 1.3.6 Las normas de los espacios l1 n , l2 n y l∞ n son equivalentes, donde de los Ejemplos 1.3.2, 1.3.3 y 1.3.4 sabemos que: l1 n := (Rn , k ∙ k1 ),

l2 n := (Rn , k ∙ k2 ),

l∞ n := (Rn , k ∙ k∞ )

donde:

kxk1 =

n X i=1

|xi |,

kxk2 =

n X i=1

|xi |2

!1/2

y

kxk∞ = sup |xi |. 1≤i≤n

Mostraremos que k ∙ k1 ∼ k ∙ k2 y tambi´en que k ∙ k2 ∼ k ∙ k∞ luego por el Ejemplo 1.3.5 tendremos que k ∙ k1 ∼ k ∙ k∞ . (1,3,7) k ∙ k1 ∼ k ∙ k2 . En efecto, como: |xi |2 ≤ |xi |2 + |x2 |2 + . . . + |xn |2

para i = 1, 2, . . . , n

entonces, n X i=1

luego

|xi | ≤ nkxk,

∀ x ∈ Rn ,

1.3. EJEMPLOS RESUELTOS 1 kxk1 ≤ kxk, n

45

∀ x ∈ Rn .

Por otra parte como: |x1 |2 + |x2 |2 + . . . + |xn |2 ≤ (|x1 | + |x2 | + . . . + |xn |)2

vamos a tener que:

kxk ≤ kxk1 ,

as´ı,

∀ x ∈ Rn

1 kxk1 ≤ kxk ≤ kxk1 , n (1,3,8) k ∙ k2 ∼ k ∙ k∞ . Efectivamente,

∀ x ∈ Rn .

kxk2 = |x1 |2 + |x2 |2 + . . . + |xn |2 ≤ n kxk∞ 2 esto es, 1 √ kxk ≤ kxk∞ , n

(∀ x ∈ Rn ).

Tambi´en, 2

kxk∞ =



sup |xi |

1≤i≤n

2

= |xio |2 ≤ |x1 |2 + |x2 |2 + . . . + |xn |2 = kxk2

luego,

en consecuencia,

kxk∞ ≤ kxk,

∀ x ∈ Rn

1 √ kxk ≤ kxk∞ ≤ kxk, n

∀ x ∈ Rn .

Ejemplo 1.3.7 Sea (X, k ∙ k) un espacio normado. De acuerdo a nuestra Definici´ on 1.1.5 (a), la bola abierta de centro x0 y radio r > 0 es:   B(x0 , r) := x ∈ X : kx − x0 k < r

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

46

B(x0 , r) es un conjunto convexo. En efecto, sean x, y ∈ B(x0 , r) y 0 ≤ λ ≤ 1. Entonces, ya que: λx + (1 − λ)y − x0 = λ(x − x0 ) + (1 − λ)(y − x0 )

vamos a tener que

kλx + (1 − λ)y − x0 k = kλ(x − x0 ) + (1 − λ)(y − x0 )k ≤ |λ|kx − x0 k + |1 − λ|ky − x0 k < λr + (1 − λ)r = r

esto es, el “segmento de recta” λx + (1 − λ)y − x0 ∈ B(x0 , r). Por tanto, B(x0 , ε) es convexo. Ejemplo 1.3.8 Sea (X, k ∙ k) un espacio normado y A ⊂ X convexo. Entonces, A es tambi´en un subconjunto convexo de X. En efecto, sean x, y ∈ A y 0 ≤ λ ≤ 1. Mostraremos que λx + (1 − λ)y ∈ A. Efectivamente,   ya que on 1.2.3 dado ε > 0 existen sucesiones x, y ∈ A por la Proposici´  ∞ ⊂ A tales que: y yn

xn

∞

⊂A

n=1

n=1

kxn − xk <

ε 2

n ≥ n1

si

y, ε si n ≥ n2 . 2 Sea n0 = m´ax(n1 , n2 ). Entonces, si n ≥ n0 : kyn − yk <

kλxn + (1 − λ)yn − λx − (1 − λ)yk = kλ(xn − x) + (1 − λ)(yn − y)k ≤ kλ(xn − x)k + k(1 − λ)(yn − y)k = |λ|kxn − xk + |1 − λ|kyn − yk < λ

ε 2

+ (1 − λ)

ε ε = 0 tal que: |f (x)| ≤ M

(∀ x ∈ [a, b])

Sea entonces la funci´ on: k ∙ ku : C([a, b]) −→ R

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

50 definida por:

kf ku := sup |f (x)| x∈[a,b]

es evidente ahora que: 0 ≤ kf ku < +∞,

f ∈ C([a, b]).

para cada

As´ı, k ∙ ku est´ a bien definida sobre C([a, b]). Mostraremos tambi´en que k ∙ ku es una norma sobre C([a, b]). En efecto, (A1) kf ku = sup |f (x)| = 0 ⇐⇒ |f (x)| = 0,

∀ x ∈ [a, b]

⇐⇒ f = 0. (A2) Si α ∈ F y f ∈ C([a, b]), entonces: kαf ku = sup |(αf )(x)| = x∈[a,b]

sup |α||f (x)|

x∈[a,b]

= |α| sup |f (x)| x∈[a,b]

= |α| kf ku (A3) [Desigualdad triangular]. Sean f, g ∈ C([a, b]). Entonces, ya que: kf + gku := sup |f (x) + g(x)| x∈[a,b]

dado ε > 0 existe un x0 ∈ [a, b] tal que: kf + gku < |f (x0 ) + g(x0 )| + ε ≤ |f (x0 )| + |g(x0 )| + ε < kf ku + kgku + ε como ε es arbitrario, obtenemos que: kf + gku ≤ kf ku + kgku

1.3. EJEMPLOS RESUELTOS

51

Ejemplo 1.3.11 Consideremos la funci´ on:

definida por

k ∙ k1 : C([a, b]) −→ R

kf k1 :=

Zb a

|f (x)|dx.

Entonces, ya que f ∈ C([a, b]) tambi´en |f | ∈ C([a, b]) donde: |f |(x) = |f (x)|, x ∈ [a, b].

Las propiedades que mencionaremos a continuaci´ on de la integral de Riemann permiten demostrar que k∙k1 define tambi´en una norma sobre C([a, b]). (a) Si f ∈ C([a, b]) y f ≥ 0, entonces Zb a

f (x)dx ≥ 0

(b) Si f ∈ C([a, b]) y es no negativa sobre [a, b] y si adem´ as Zb

f (x)dx = 0,

a

entonces f (x) = 0, ∀ x ∈ [a, b]. (c) Si α ∈ R, entonces Zb

αf (x)dx = α

a

Zb

f (x)dx

a

(d) Si f, g ∈ C([a, b]) y f (x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b], entonces Zb a

f (x)dx ≥

Zb a

g(x)dx

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

52

(e) Si f, g ∈ C([a, b]) entonces Zb Zb Zb (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx. a

a

a

Ejemplo 1.3.12 En el espacio C([0, 1]) las normas: kf ku := sup |f (x)| x∈[a,b]

y kf k1 :=

Z1 0

|f (x)|dx

no son equivalentes. Efectivamente, si k∙ku y k∙k1 fueran equivalentes deberian existir constantes a1 > 0 y a2 > 0 tales que:

y

a1 kf ku ≤ kf k1

∀ f ∈ C([a, b])

(B)

kf k1 ≤ a2 kf ku

∀ f ∈ C([a, b])

(A)

La desigualdad (A) siempre es cierta ya que |f (x)| ≤ kf ku ∀ x ∈ [a, b], f ∈ C([a, b]) y entonces kf k1 =

Z1 0

|f (x)|dx ≤

Z1 0

kf ku dx = kf ku

∀ f ∈ C([a, b]).

Ahora bien (B) no siempre es cierta. En efecto, sean:

fn (x) =

  n − n2 x 

0

si si

  x ∈ 0, n1

x∈

1 ,1 n



entonces fn ∈ C([a, b]) para n = 1, 2, 3, . . . , y por otra parte: kfn ku := sup |fn (x)| := sup |n − n2 x| = n x∈[0,1]

x∈[0,1]

1.3. EJEMPLOS RESUELTOS

53

y

kfn ku =

Z1 0

1

1

Zn Zn |fn (x)|dx = (n − n2 x)dx + 0dx 0

1

1

=

Zn 0

1

ndx −

= 1−n

2



Zn

n2 xdx

0

1 2n2



= 1−

1 1 = 2 2

para n = 1, 2, . . . Por tanto, no existe ninguna constante a2 > 0 tal que a2 n ≤

1 2

para

n = 1, 2, . . .

Ejemplo 1.3.13 Consideremos el espacio vectorial C([0, 1]) dotado de la norma k ∙ ku . Sea, 1

  Z2 Z1 M := f ∈ C([0, 1]) : f (t)dt − f (t)dt . 0

1 2

Entonces, M es un subconjunto convexo y cerrado de C([0, 1]). En efecto:

(a) M es convexo. Sean f, g ∈ M y 0 ≤ α ≤ 1. Veamos que ”el segmento de recta” αf + (1 − α)g ∈ M. Efectivamente:

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

54

1

Z2 Z1 (αf (t) + (1 − α)g(t))dt − (αf (t) + (1 − α)g(t))dt 0

1 2

1

=

Z2 0

1

Z2 Z1 Z1 αf (t)dt + (1 − α)g(t)dt − αf (t)dt − (1 − α)g(t)dt 0

1 2

1 2

   1  1 Z2 Z1 Z2 Z1     = α  f (t)dt − f (t)dt + (1 − α)  g(t)dt − g(t)dt 0

0

1 2

1 2

= α(1) + (1 − α)(1) = 1 As´ı, M es convexo.

 ∞ (b) M es cerrado. Sea entonces, fn ⊂M

tal que

n=1

fn −→ f ∈ C([0, 1])

si

n −→ ∞

en

k ∙ ku .

Veamos que f ∈ M. En efecto, como la convergencia es uniforme sobre [0, 1] vamos a tener que: 1

Z2 0

1

fn (t)dt −→

Z2

f (t)dt

si

n −→ ∞

fn (t)dt −→

Z1

f (t)dt

si

n −→ ∞

0

y Z1 1 2

1 2

luego 1

Z2 0

fn (t)dt −

Z1 1 2

1

fn (t)dt −→

Z2 0

f (t)dt −

Z1 1 2

f (t)dt

si

n −→ ∞

1.3. EJEMPLOS RESUELTOS

55

esto es, 1

Z2 0

f (t)dt −

Z1

f (t)dt =

n−→∞

1

Z2

 l´ım 

1 2

=



0

fn (t)dt −

Z1 1 2

l´ım 1 = 1



 fn (t)dt

n−→∞

Por tanto, f ∈ M y as´ı M es cerrado. Ejemplo 1.3.14 Sea X un espacio vectorial. Un subconjunto no vac´ıo K de X se llama un cono si: ∀x∈K y λ≥0

λx ∈ K.

entonces

Note que 0 ∈ K y este elemento se llama el v´ertice del cono. Mostraremos que un cono K de X es convexo ⇐⇒ x+y ∈ K, ∀ x, y ∈ K. En efecto: (a) (=⇒) Sup´ ongase que K es un cono que es adem´ as un subconjunto convexo de X. Entonces, por la convexidad de K : 1 1 x+ y ∈K ∀ x, y ∈ K, 2 2 luego por ser K un cono obtenemos que: x+y = 2



1 1 x+ y 2 2



∈ K.

(b) (⇐=) Sea K un cono de X tal que x + y ∈ K, ∀ x, y ∈ K. Entonces, para 0 ≤ λ ≤ 1 :

y

λx∈K (1 − λ)y ∈ K

Luego por nuestra hip´ otesis:

∀x∈K ∀ y ∈ K.

λx + (1 − λ)y ∈ K.

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

56

Ejemplo 1.3.15 Sean (X, k ∙ k) un espacio normado, A ⊆ X y f : A −→ R

una funci´ on acotada [esto es, existe una constante M > 0 tal que |f (x)| ≤ M, ∀ x ∈ A]. Sean a ∈ A y δ > 0. Definamos:   0 0 Ω(a, f, δ) = sup |f (x) − f (x )| : x, x ∈ B(a, δ) ∩ A .

Como f es una funci´ on acotada se sigue que Ω(a, f, δ) es un n´ umero finito, y es claro que si 0 < δ1 < δ2 entonces, 0 ≤ Ω(a, f, δ1 ) ≤ Ω(a, f, δ2 )

as´ı, manteniendo a fijo y haciendo que δ −→ 0+ va a existir l´ım Ω(a, f, δ).

δ−→0+

El valor de ´este l´ımite lo llamaremos la oscilaci´ on de f en a y lo denotamos por 0(f, a). As´ı, 0(f, a) =

l´ım Ω(a, f, δ)

δ−→0+

Demostrar que si f : A −→ R es una funci´ on acotada, entonces f es continua en un a ∈ A ⇐⇒ 0(f, a) = 0. En efecto: (a) (=⇒) Sea f continua en a ∈ A entonces, por la Proposici´ on 1.2.5. Dado ε > 0 existe un δ0 > 0 tal que: ε |f (x) − f (a)| < si x ∈ B(a, δ0 ) ∩ A 4 y |f (x0 ) − f (a)| <

ε 4

si

x0 ∈ B(a, δ0 ) ∩ A

luego: |f (x) − f (x0 )| = |f (x) − f (a) + f (a) − f (x0 )| ≤ |f (x) − f (a)| + |f (a) − f (x0 )| <

ε ε ε + = 4 4 2

1.3. EJEMPLOS RESUELTOS

57

As´ı,   ε 0 0 Ω(a, f, δ0 ) = sup |f (x) − f (x )| : x, x ∈ B(a, δ0 ) ∩ A ≤ < ε 2 luego, como Ω(a, f, δ) es creciente vamos a obtener que si: 0 < δ < δ0 entonces, ε 0,

esto es, 0(f, a) = l´ım+ Ω(a, f, δ) < ε,

para ε > 0

δ→0

por tanto: 0(f, a) = 0 (b) (⇐=) Sea 0(f, a) = 0. Entonces, de la definici´ on de 0(f, a) dado ε > 0 existe un δ0 > 0 tal que: 

0

0

Ω(a, f, δ0 ) = sup |f (x) − f (x )| : x, x ∈ B(a, δ0 ) ∩ A



0, entonces m d−c b−a b−a (y − c) ≤ (d − c) = b − a, 0≤ d−c d−c

as´ı, tambi´en

a≤a+ por tanto,

f



x = a+

b−a (y − c) ≤ b d−c

b−a (y − c) ∈ [a, b] y adem´ as: d−c

b−a a+ (y − c) d−c





b−a a+ (y − c) − a d−c   d−c b−a (y − c) = c+ b−a d−c d−c = c+ b−a



= c+y−c = y. As´ı, f es tambi´en sobreyectiva y por tanto existe su inversa f −1 : [c, d] −→ [a, b] que es tambi´en una funci´ on lineal y por tanto continua. En consecuencia, [a, b] y [c, d] son homeomorfos. Note que: f = Tc ◦ M d−c ◦ T−a b−a

donde Tc , M d−c , T−a son los operadores de translaci´ on y multiplicaci´ on defib−a nidos en la Proposici´ on 1.2.10. Ejemplo 1.3.17 Sean (X, k ∙ k) un espacio normado, x0 , y0 ∈ X y r > 0. Entonces, B(x0 , ε) y B(y0 , ε) son conjunto homeomorfos. En efecto, consideremos la funci´ on: f : B(x0 , ε) −→ B(y0 , ε) definida por:

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

60

f (x) = (Ty0 ◦ M rε ◦ T−x0 )(x) r = y0 + (x − x0 ). ε Es claro que f es una funci´ on continua por ser composici´ on de funciones continuas y evidentemente es 1 − 1. Mostraremos a continuaci´ on que f es sobreyectiva, esto es, f (B(x0 , ε)) := B(y0 , r) o equivalentemente:

y

f (B(x0 , ε)) ⊆ B(y0 , r)

(A)

B(y0 , r) ⊆ f (B(x0 , ε))

(B)

Efectivamente: (A) Sea z ∈ f (B(x0 , ε)), entonces, existe un x ∈ B(x0 , ε) tal que z = f (x) Como r f (x) = y0 + (x − x0 ), ε entonces

r

kf (x) − y0 k = (x − x0 ) ε r = kx − x0 k ε

esto es,

z = f (x) ∈ B(y0 , r).

=

r kx − x0 k ε

<

r ε = r ε

1.3. EJEMPLOS RESUELTOS

61

(B) B(y0 , r) ⊆ f (B(x0 , ε)). Efectivamente, sea z ∈ B(y0 , r). Veamos que existe un x ∈ B(x0 , ε) tal que f (x) = z. esto es, r y0 + (x − x0 ) = z. ε Al despejar x de ´esta u ´ltima ecuaci´ on obtenemos que: ε x = x0 + (z − y0 ). r Por tanto,

ε

kx − x0 k = (z − y0 ) r ε = kz − y0 k r

Se sigue que:

=

ε kz − y0 k r

<

ε r = ε. r

ε x = x0 + (z − y0 ) ∈ B(x0 , ε). Por otra parte: r   ε f (x) = f x0 + (z − y0 ) r   r ε = y0 + x0 + (z − y0 ) − x0 ε r = y0 + z − y0 = z

por tanto f es sobreyectiva. As´ı, existe la inversa de f , f −1 : B(y0 , r) −→ B(x0 , ε)

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

62 definida por

ε f −1 (x) = x0 + (z − y0 ) r y es continua, y concluimos la demostraci´ on.

1.4.

Comentario final del Cap´ıtulo 1

Para la Demostraci´ on de la Proposici´ on 1.1.6 nos hemos ayudado de la dada en [10] de la Proposici´ on 1 de la secci´ on 1.5 del Tema 1. La de los Teoremas 1.2.14 y 1.2.18 hemos seguido las Pruebas de los Teoremas 22.1 y 22.5 del libro [2] de An´ alisis Matem´ atico. Puede consultar tambi´en el lector el buen texto de Matem´ aticas para la Econom´ıa [12], el cual en su Cap´ıtulo 1 muestra una lista de Ejercicios sobre conjuntos convexos. Las nociones de funci´ on de variaci´ on acotada y, absolutamente continua usadas en nuestros Ejercicios 1.4.18 y 1.4.19 respectivamente, pueden consultarse en el Cap´ıtulo 1 de [11]. Queremos mencionar tambi´en que en el Cap´ıtulo 2 de [3] se muestra una numerosa lista de Ejemplos de espacios normados.

1.5. EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.5.

63

Ejercicios Propuestos.

Esta secci´ on contiene una lista de ejercicios propuestos a resolverse con las nociones te´ oricas dadas en las Secciones 1.1 y 1.2. Cuando la soluci´ on del ejercicio requiera el uso de un nuevo concepto no dado en dichas Secciones, este ser´a introducido en el enunciado del ejercicio mismo. A continuaci´ on pues presentamos los ejercicios. Ejercicios 1.5.1 Sean X un espacio vectorial, A y B subconjuntos convexos de X. Demostrar que los conjuntos: A + B,

A × B,

A∩B

tA (t ∈ R, t 6= 0)

y

son subconjunto convexos de X Ejercicios 1.5.2 Sean X un espacio normado y A un subconjunto no vac´ıo de X. Demostrar que co(A) [ver la Definici´ on 1.1.7] es un subconjunto convexo de X y adem´ as: \ Aα co(A) := A convexo (α ∈ I, I conjunto de ´ındices) α Aα ⊃ A ¿Es co(A) tambi´en convexo? Ejercicios 1.5.3 Calcular la c´ apsula convexa de los siguientes conjuntos: (a) (b)

A := (−2, 2) ∪ (3, 4]   2 2 2 A := (x, y) ∈ R : 4 ≤ x + y ≤ 9 





(x, y) ∈ R2 : y = −2x + 1 ∪ (x, y) ∈ R2 : y = 3x

(c)

A :=

(d)

  A := (x, y) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 9

(e)



    A := (x, y) ∈ R2 : y + 2x − 1 ≥ 0 ∩ (x, y) ∈ R2 : y − 3x ≥ 0

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

64 ¿Cu´ al es en cada caso co(A)?

Ejercicios 1.5.4 Sea (X, k∙k) un espacio normado. Demostrar que B(0, ε) y B(0, ε) son conjuntos absorbentes, balanceados y convexos [ver la Definici´ on 1.1.4 y el ejercicio resuelto 1.3.7 y 1.3.9] Ejercicios 1.5.5 ¿Es B(x0 , ε) un conjunto absorbente? Ejercicios 1.5.6 Sea X un espacio vectorial y A un subconjunto no vac´ıo de X. Demostrar que el conjunto: [ λA |λ|≤1

es balanceado y se llama la c´ apsula balanceada de A. Ejercicios 1.5.7 Sean X un espacio vectorial y K un subconjunto no vac´ıo de X. Un elemento x ∈ K se llama un punto extremal de K si: x = λy + (1 − λ)z. Donde

0 < λ < 1, y, z ∈ X, con y 6= z, entonces: y 6∈ K

o ´

z 6∈ K.

Dar un ejemplo justificando su respuesta de un conjunto K tal que: (a) No tenga puntos extremales (b) Tenga un n´ umero finito de puntos extremales (c) Tenga una infinidad de puntos extremales Ejercicios 1.5.8 Un espacio normado (X, k ∙ k) se dice extrictamente convexo si la frontera de la bola unitaria no contiene ning´ un segmento de recta, esto es, si x, y ∈ X, kxk = kyk = 1, x 6= y, entonces, kλx + (1 − λ)yk < 1

si

0 0 existe un δ > 0 tal que ∀ x, y ∈ X con kxk = kyk = 1 y kx − yk ≥ ε, entonces:

1

(x + y) ≤ 1 − δ.

2

Demostrar que un espacio normado convexo ⇐⇒  uniformemente ∞  ∞(X, k ∙ k) es ⊂ X y yn ⊂ X con para cada par de sucesiones xn n=1

kxn k = kyn k = 1 para n = 1, 2, 3, . . . y que:

1

= 1 (x l´ım + y ) n n

n→∞ 2

n=1

entonces,

l´ım kxn − yn k = 0

n→∞

Ejercicios 1.5.11 Demostrar que todo espacio normado uniformemente convexo es estrictamemente convexo. Ejercicios 1.5.12 Sean k ∙ k1 y k ∙ k2 dos normas definidas sobre el mismo espacio vectorial X. Demostrar que:

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

66 (a) La expresi´ on:

kxk = kxk1 + kxk2 es una norma sobre X. (b) ¿Es

kxk = kxk1 kxk2 una norma sobre X?

Ejercicios 1.5.13 (a) Sea   0 0 C ([a, b]) := f : [a, b] −→ R : f (x) existe y es continua sobre [a, b] . En C 0 ([a, b]) definimos las siguentes operaciones: (O1) Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x)

(x ∈ [a, b])

(O2) Multiplicaci´ on por escalar: (α ∈ K, x ∈ [a, b]).

(αf )(x) = αf (x)

Se puede verificar que respecto de (O1) y (O2) C 0 ([a, b]) es un espacio vectorial sobre K. Demuestre que la expresi´ on: kf k = |f (a)| + kf 0 ku donde kf 0 ku = sup |f 0 (x)| x∈[a,b]

[ver Ejemplo 1.3.10], es una norma sobre C 0 ([a, b]) (b) Demostrar que: kf ku ≤ [1 + (b − a)]kf k   Rx 0 Sugerencia: f (x) = f (a) + f (t)dt a

(f ∈ C 0 ([a, b])).

1.5. EJERCICIOS PROPUESTOS.

67

Ejercicios 1.5.14 Sea X0 :=

(

f ∈ C 0 ([a, b]) :

Zb

f (x)dx = 0

a

)

(a) Demostrar que la expresi´ on: kf k = sup |f 0 (x)| x∈[a,b]

es una norma sobre el subespacio X0 . (b) ¿Es tambi´en k ∙ k una norma sobre C 0 ([a, b])? Ejercicios 1.5.15 Sean X = C([0, 1]) y fn (x) = Se pide:

 x n 2

para n = 1, 2, . . .

(a) Demostrar que fn −→ 0 si n −→ ∞ en k ∙ k1 de X. [Ver Ejemplo 1.3.11] (b) Demostrar tambi´en que fn −→ 0 si n −→ ∞ en k ∙ ku de X. Ejercicios 1.5.16 Sea X = C([0, 1]) y fn (x) = xn para n = 1, 2, . . . Se pide: (a) Demostrar que fn −→ 0 si n −→ ∞ en k ∙ k1 . (b) Demostrar tambi´en que fn −→ 0 si n −→ ∞ en k ∙ ku de X. Ejercicios 1.5.17 Sea  I = [a, b]. Una partici´ on de I es un subconjunto finito de puntos P = t0 , t1 , . . . , ti−1 , ti , . . . , tn de [a, b] tal que: a = t0 < t1 < . . . < ti−1 < ti < . . . < tn = b y

n [

i=1

Sea

[ti−1 , ti ] = I.

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

68

Π := Una funci´ on:





P : P es una partici´ on de [a, b] .

f : [a, b] −→ R se dice que es de variaci´ on acotada sobre [a, b] si: V (f ) := sup Π

Denotemos por:

k X i=1



en el sentido de Jordan [11]



|f (ti ) − f (ti−1 )| < ∞.

  BV [a, b] := f : [a, b] −→ R, f es de variaci´ on acotada sobre [a, b] . Entonces, respecto de las operaciones usuales de suma y multiplicaci´ on por escalar BV [a, b] tiene estructura de espacio vectorial sobre K [K = R ´ o C]. Definamos:

por:

k ∙ kBV [a,b] : BV [a, b] −→ R kf kBV [a,b] = |f (a)| + V (f ).

Demostrar que k ∙ kBV [a,b] es una norma sobre BV [a, b] Ejercicios 1.5.18 Una funci´ on: f : [a, b] −→ R se dice absolutamente continua sidado ε> 0 existe un δ > 0 tal que: n n P |f (ci ) − f (di )| < ε donde [ci , di ] es cualquier sucesi´ on de interi=1

n P

i=1

|ci − di | < δ valos no solapados en [a, b] tal que i=1  solapados significa que cualesquiera de ´estos dos intervalos tienen a

1.5. EJERCICIOS PROPUESTOS.

69



lo sumo un elemento en com´ un . Se pide:

(a) Demostrar que toda funci´ on absolutamente continua es continua. (b) Sea   AC([a, b]) := f : [a, b] −→ R, f es absolutamente continua sobre [a, b] Demostrar que AC([a, b]) es un espacio vectorial sobre K respecto de las operaciones usuales de suma y multiplicaci´ on por escalar. (c) Demostrar que AC([a, b]) ⊂ BV [a, b]. (d) Dar un ejemplo de una funci´ on f ∈ BV [a, b] tal que f 6∈ AC([a, b]). Ejercicios 1.5.19 Sean (X, k∙k) un espacio normado y x0 ∈ X. Demostrar que X y B(x0 , ε) son conjuntos homeomorfos. Ejercicios 1.5.20 ¿Es posible establecer un homeomorfismo entre el c´ırculo:   2 2 2 A := (x, y) ∈ R : x + y = 1 y la elipse:

B :=





(u, v) ∈ R : 4u + 9v = 1 . 2

2

2

70

CAP´ITULO 1. ESPACIOS NORMADOS

Cap´ıtulo 2 Espacios de Banach Introducci´ on

2.1.

Desigualdades cl´ asicas en An´ alisis Funcional.

En esta secci´ on mostraremos las desigualdades de Holder-Minkowski y Minkowski. Para preparar la demostraci´ on de esas desigualdades previamente introducimos el concepto de conjugados arm´ onicos y mostraremos un Lema previo Definici´ on 2.1.1 Dos n´ umeros reales p y q se dicen conjugados arm´ onicos si: 1 1 + = 1. p > 1, q>1 y p q Observe que: 1 1 + = 1 ⇐⇒ (p − 1)(q − 1) = 1 ⇐⇒ (p − 1)q = p ⇐⇒ (q − 1)p = q. p q Los conjugados arm´ onicos, tambi´en se llaman exponentes conjugados [´ o ´ındices conjugados] Lema 2.1.2 Sean p y q Entonces,

conjugados arm´ onicos; a ≥ 0 y b ≥ 0. ab ≤

ap bq + p q 71

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

72

Demostraci´ on. Caso 1.- Si a = 0 ´ o b = 0, la demostraci´on es evidente. Caso 2.- Cuando a > 0 y b > 0. Entonces, debe de cumplirse alguna de las siguientes afirmaciones: a>b

o ´

a b es la que muestra la figura siguiente: de esta funci´ on para f [0,a]

Y y = f (x) = xp−1

R1

b R2 0

Fig 2.1.3

a

Observe de la Figura 2.1.3 que: ab ≤ A(R1 ) + A(R2 ). Tenemos que: A(R1 ) =

Za 0

x

p−1

a xp ap dx = = . p 0 p

Por otra parte, haciendo xp−1 = y, obtenemos que: 1

x = y p−1 = y q−1

X

´ ´ 2.1. DESIGUALDADES CLASICAS EN ANALISIS FUNCIONAL.

73

por tanto, A(R2 ) =

Za

y

q−1

0

En consecuencia, ab ≤

b y q bq dy = = . q 0 q

ap bq + . p q

Las demostraciones para los casos a < b ´ o a = b son semejantes y se dejan como ejercicio. Como una consecuencia del lema anterior obtenemos la importante desigualdad de Holder-Minkowski. Corolario 2.1.3 (Desigualdad de Holder-Minkowski) Sean p y q conjugados arm´ onicos, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Fn y y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Fn . Entonces, !1/p !1/q n n n X X X |xi yi | ≤ |xi |p |yi |q i=1

i=1

i=1

Demostraci´ on. Caso 1.- Cuando x = 0 ´ o y = 0 se obtiene una igualdad evidente. Caso 2.- Cuando x = 6 0, y 6= 0. Sean, α =

n X j=1

|xj |

p

!1/p

,

β =

n X j=1

|yj |

q

!

.1/q

Entonces α 6= 0 y β 6= 0. Sean xj 0 =

xj , α

yj =

yj β

j = 1, 2, . . . , n

Luego |xj 0 |p = y as´ı,

|xj |p αp

|yj 0 |q =

|yj |q βq

j = 1, 2, . . . , n

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

74

n X j=1

|xj 0 |p =

n X j=1

|yj 0 |p =

n P

|xj |p

j=1

n P

αp

j=1

|yj |q

βp

=

αp = 1 αp

=

βq = 1 βq

Ahora bien por el Lema 2.1.1, tomando a = |xj 0 | y b = |yj 0 | obtenemos que: |xj 0 |p |yj 0 |q + |xj 0 ||yj 0 | ≤ p q y as´ı, n X j=1

|xj 0 ||yj 0 | ≤

n P

j=1

|xj 0 |p p

+

n P

|yj 0 |q

j=1

q

=

1 1 + = 1, p q

en virtud de que p y q son conjugados arm´ onicos. En consecuencia,

1≥

n X j=1

|xj 0 yj 0 | =

n X j=1

esto es, n X j=1

n n y X X x x y j j j j |xj 0 ||yj 0 | = = αβ α β j=1 j=1

|xj yj | ≤ αβ =

n X j=1

|xj |p

!1/p

Ahora, tenemos el importante corolario:

n X j=1

|yj |q

!1/q

.

Corolario 2.1.4 (Desigualdad de Minkowski) Sean p > 1, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Fn , y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Fn . Entonces n X j=1

|xj + yj |p

!1/p

≤

n X j=1

|xj |p

!1/p

+

n X j=1

|yj |p

!

.1/p

´ ´ 2.1. DESIGUALDADES CLASICAS EN ANALISIS FUNCIONAL.

75

Demostraci´ on. 1 1 Sea q > 1 tal que + = 1. Entonces, p q |xj + yj |p = |xj + yj |p−1 |xj + yj | ≤ |xj + yj |p−1 |xj | + |xj + yj |p−1 |yj | y ahora aplicando la desigualdad de Holder-Minkowski para:   a = |xj | 

  a = |yj |

y

b = |xj + yj |



p−1

Vamos a obtener que: n X j=1

|xj + yj |

p

≤

n X j=1

|xj ||xj + yj |

n X

≤

j=1

n X

+

j=1

|xj |p |yj |

p

p−1

!1/p

!1/p

+

n X j=1

n X j=1

b = |xj + yj |p−1

|yj ||xj + yj |p−1

|xj + yj |q(p−1)

n X

|xj + yj |

≤

n X

j=1

q(p−1)

!1/q

+

!1/q

de donde se obtiene que:

n X j=1

|xj + yj |p

!

n X j=1

|xj + yj |q(p−1)

!−1/q

j=1

|xj |p

!1/p

+

n X j=1

esto es, n X j=1

|xj + yj |p

!1/p

≤

n X j=1

|xj |p

!1/p

+

n X j=1

|yj |p

!1/p

.

|yj |p

!1/p

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

76

Proposici´ on 2.1.5 Sea p > 1. La funci´ on k ∙ kp : Fn −→ R definida por: kxkp =

n X i=1

|xi |p

!1/p

(x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Fn )

es una norma sobre Fn , adem´ as: l´ım kxkp = kxk∞

p→∞

Demostraci´ on. Es f´ acil verificar los Axiomas (A1) y (A2) de la Definici´ on 1.1.9. La desigualdad tri´ angular es la desigualdad de Minkowski mostrada anteriormente en el Corolario 2.1.4. Mostraremos ahora que: l´ım kxkp = kxk∞ .

p→∞

Para esto recordaremos inicialmente que: si

|x| < 1,

si

x > 0,

l´ım xn = 0

n→∞

y, 1

l´ım x n = 1

n→∞

y consideremos los siguientes casos: Caso 1.- Cuando x = (x1 , x2 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn ) donde x1 = x2 = . . . = xm = 1 y |xj | < 1, Entonces, kxk∞ = 1 y

j = m + 1, . . . , n.

´ ´ 2.1. DESIGUALDADES CLASICAS EN ANALISIS FUNCIONAL.

p

kxkp =

n X i=1

|xi |p = |x1 |p + . . . + |xm |p + |xm+1 |p + . . . + |xn |p m−veces

z }| { = 1 + . . . + 1 +|xm+1 |p + . . . + |xn |p = m+

n X

j=m+1

|xj |p

luego, kxkp =

m+

j=m+1

y as´ı,

l´ım kxkp =

p→∞

= esto es,

n X

l´ım

p→∞

m+

|xj |

p

n X

!1/p

j=m+1

|xj |p

!1/p

1

l´ım m p = 1

p→∞

l´ım kxkp = 1 = kxk∞ .

p→∞

Caso 2.- Cuando kxk∞ 6= 1. Definimos: y =

x kxk∞

entonces kyk∞ = 1, y as´ı por el Caso 1:

l´ım kykp = 1,

p→∞

esto es,

x

= 1 =⇒ l´ım kxkp = kxk∞ . l´ım p→∞ kxk∞ p→∞ p

77

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

78

2.2.

Espacios de Banach. Teor´ıa B´ asica. Ejemplos y ejercicios.

En la teor´ıa de espacios etricos un espacio m´etrico (X, d) se dice com m´ ∞ pleto si cada sucesi´ on xn ⊂ X tal que 1

l´ım

n,m→∞

d(xn , xm ) = 0

es convergente a un x ∈ X. Ahora bien, sabemos que si (X, k∙k) es un espacio normado, entonces X es un espacio m´etrico con la m´etrica inducida por la norma k ∙ k de X, esto es, d(x, y) = kx − yk

(x, y ∈ X).

En esta secci´ on introducimos la noci´ on de espacio de Banach. Previamente damos la siguiente Definici´ on y mostramos una Proposici´ on b´ asica.  ∞ Definici´ on 2.2.1 Sean (X, k ∙ k) un espacio normado y xn una su1  ∞ cesi´ on en X. Decimos que xn es de Cauchy si: 1

l´ım

n,m→∞

d(xn , xm ) =

l´ım

n,m→∞

kxn − xm k = 0

esto es, es dado ε > 0 existe un n0 = n0 (ε) ∈ N tal que: d(xn , xm ) = kxn − xm k < ε

si

m, n ≥ n0 .

Proposici´ on 2.2.2 Sean (X, k ∙ k) un espacio normado y



cesi´ on en X. Entonces,  ∞  ∞ es de Cauchy, entonces xn es acotada. (a) Si xn (b) Si



1

xn

xn

∞

una su-

1

1

∞

es de Cauchy y ´esta sucesi´ on contiene alguna subsucesi´ on  ∞ es tambi´en convergente. convergente, entonces xn 1

1

´ 2.2. ESPACIOS DE BANACH. TEOR´IA BASICA. EJEMPLOS Y EJERCICIOS.79 Demostraci´ on.

tal que:



luego

kxn k − kxm k ≤ kxn − xm k < 1

(a) Como

xn

∞ 1

es de Cauchy, dado ε = 1 existe un n1 = n1 (1) ∈ N

−1 < kxn k − kxm k < 1

m, n ≥ n0 ,

si

m, n ≥ n0 ,

si

entonces, tomando m = n0 , n > n0 y   M = m´ax 1 + kxn0 k, kx1 k, kx2 k, . . . , kxm k se obtiene que:

(b) Sea que



xn k

∞

kxn k ≤ M

para

n = 1, 2, 3, . . .

una subsucesi´ on de la sucesi´ on de Cauchy

1

l´ım xnk = x

nk →∞

en la norma

k∙k

de



xn

∞

tal

1

X.

Entonces, dado ε > 0 existe un k1 ∈ N tal que:



xn − x < ε si nk ≥ k 1 k

2  ∞ Por otra parte como xn es de Cauchy dado ε > 0 existe un n1 ∈ N

tal que

1

kxn − xm k <

ε 2

si

m, n ≥ n1

Sean n0 = m´ax(k1 , n1 ), n > n0 y nk > n0 entonces

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

80

kxn − xk = kxn − xnk + xnk − xk ≤ kxn − xnk k + kxnk − xk <

ε ε + = ε. 2 2

Introduciremos ahora la importante noci´ on de espacio de Banach. Definici´ on 2.2.3 Un espacio normado (X, k ∙ k) se llama un espacio de Banach si cada sucesi´ on de Cauchy en X es convergente a un elemento x ∈ X. En este Cap´ıtulo estudiaremos algunos ejemplos de espacios de Banach, los cuales mencionamos en la siguiente lista: (a) Los espacios lp n (p > 1), l1 n y l∞ n . (b) Los espacios de funciones C([a, b]), BV ([a, b]) y C 0 ([a, b]). (c) Los espacios de sucesiones lp (p ≥ 1), l∞ y c0 . Antes de estudiar la completitud de los mencionados espacios, mostraremos las siguientes Proposiciones: Proposici´ on 2.2.4 Sean (X, k ∙ k) un espacio de Banach y Y un subespacio de X. Entonces, (a) Si Y es cerrado en X, entonces Y es tambi´en un espacio de Banach. (b) Si Y es un espacio de Banach, entonces Y es cerrado [en si mismo.] Demostraci´ on.  ∞  ∞ (a) Sea xn una sucesi´ on de Cauchy en Y. Entonces, xn es 1

1

tambi´en de Cauchy en X. Como (X, k ∙ k) es de Banach, existe un x ∈ X tal que xn −→ x si n −→ ∞ y como Y es cerrado concluimos que x ∈ Y. As´ı, (Y, k ∙ k) es un espacio de Banach. (b)

Evidente.

´ 2.2. ESPACIOS DE BANACH. TEOR´IA BASICA. EJEMPLOS Y EJERCICIOS.81 Proposici´ on 2.2.5 Sean (X, k∙k) un espacio de Banach y k∙k1 otra norma sobre X tal que k ∙ k1 ∼ k ∙ k. [Ver el Ejemplo 1.3.5]. Entonces, (X, k ∙ k1 ) es tambi´en un espacio de Banach. Demostraci´ on.  ∞ una sucesi´ on de Cauchy en X respecto de la norma k ∙ k1 . EnSea xn 1

tonces, como k ∙ k1 ∼ k ∙ k existen constantes a > 0 y b > 0 tales que: akxk1 ≤ kxk ≤ bkxk1

en particular vamos a tener que:

(∀ x ∈ X)

akxn − xm k1 ≤ kxn − xm k

(B)

kxn − xm k ≤ bkxn − xm k1 (A)  ∞ Se sigue de la desigualdad (A) que xn es de Cauchy respecto de la 1

norma k ∙ k, y ya que (X, k ∙ k) es completo existe un x ∈ X tal que xn −→ x si n −→ ∞. De (B) se obtiene tambi´en que xn −→ x si n −→ ∞ en k ∙ k1 . Por tanto, (X, k ∙ k1 ) es un espacio de Banach. Proposici´ on 2.2.6 Sean (X, k ∙ k1 ) y (Y, k ∙ k2 ) espacios de Banach. Entonces, el espacio normado X ⊕ Y es tambi´en un espacio de Banach [ver Proposici´ on 1.2.7]. Demostraci´ on. De acuerdo a la Proposici´ on 1.2.7 la norma en X ⊕ Y es: k(x, y)k = kxk1 + kyk2 ((x, y) ∈ X ⊕ Y ). ∞  una sucesi´ on de Cauchy en X ⊕ Y. Entonces, dado Sea entonces, xn , yn 1

ε > 0 existe un n0 ∈ N tal que:

k(xn , ym ) − (xm , ym )k = k(xn − xm , yn − ym )k = kxn − xm k1 + kyn − ym k2 < ε

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

82

si n, m ≥ n0 . De aqui, es claro que: kxn − xm k1 < ε si n, m ≥ n0 . Se sigue entonces que

y 

kyn − ym k2 < ε ∞  ∞ xn y yn son sucesiones de 1

1

Cauchy en (X, k ∙ k1 ) y (Y, k ∙ k2 ) respectivamente. Como (X, k ∙ k1 ) y (Y, k ∙ k2 ) son completos, existe un x ∈ X y, y ∈ Y tal que: y,

xn −→ x

si

n −→ ∞

yn −→ y

si

n −→ ∞

As´ı, (x, y) ∈ X ⊕ Y y es f´ acil verificar que: (xn , yn ) −→ (x, y)

si

n −→ ∞

en (X ⊕ Y, k ∙ k). As´ı, (X ⊕ Y, k ∙ k) es un espacio de Banach. Con el prop´ osito de establecer una caracterizaci´ on para los espacios de Banach, introducimos las siguientes definiciones: Definici´ on 2.2.7 Sea (X, k ∙ k) un espacio normado. Una expresi´ on del tipo: ∞ X

xn

n=1

se llama una serie formal en X. Tambi´en diremos que la serie

∞ P

xn es

n=1

convergente en (X, k ∙ k) si la sucesi´ on de sumas parciales sn =

n X

xk

k=1

es convergente en X.

Definici´ on 2.2.8 Sea (X, k ∙ k) un espacio normado y X. Decimos que

∞ P

n=1

∞ P

n=1

xn es absolutamente convergente si:

xn una serie en

´ 2.2. ESPACIOS DE BANACH. TEOR´IA BASICA. EJEMPLOS Y EJERCICIOS.83 ∞ X n=1

kxn k < ∞.

Tenemos entonces la siguiente caracterizaci´ on para los espacios de Banach. Teorema 2.2.9 Sea (X, k∙k) un espacio normado. Entonces, (X, k∙k) es un espacio de Banach ⇐⇒ cada serie absolutamente convergente es convergente. Demostraci´ on. =⇒)

Sea

∞ P

xn una serie de X absolutamente convergente. Entonces,

n=1

dado ε > 0 existe un k0 ∈ N tal que: m X

n=k+1

kxn k < ε

m > k ≥ k0 .

si

As´ı, para m > k ≥ k0 vamos a tener que:

X m X

k

xn − xk ksk − sm k =

n=1

k=1

X

m

x = n

n=k+1

≤

m X

n=k+1

kxn k < ε.

Luego, la sucesi´ on de sumas parciales de la serie formal

∞ P

xn es de

n=1

Cauchy en (X, k ∙ k) que es completo, por tanto ´esta es convergente. ⇐=) Sup´ ongase que cada serie  formal  de X que es absolutamente con-

vergente es convergente. Sea S :=

xn

∞ 1

Se sigue entonces que: 1 Dado ε = , existe un xn1 ∈ S tal que: 2

una sucesi´ on de Cauchy en X.

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

84



xn1 − xl < 1

2

l ≥ n1 .

si

1 Sea S1 := S {x1 , x2 , . . . , xn1 }. Entonces, dado ε = 2 existe un xn2 ∈ S1 2 y as´ı n2 > n1 tal que:



xn2 − xl < 1 si l ≥ n2 .

22

 ∞ Continuando este procedimiento, obtenemos una subsucesi´ on xnk de 1  ∞ tal que: S := xn 1



xn − x l < 1 si l≥k

2k

k en donde l se identifica con nl y k es fijo, con k = 1, 2, 3, . . . . Definamos ahora:

Es evidente que:

yk = xnk − xnk−1

donde

x nk =

k X

xn0 = 0.

yi

i=1

y as´ı, por la construcci´ on anterior:



kyk k = xnk − xnk−1

<

1 2k−1

,

k = 1, 2, 3, . . . .

Luego,

∞ X k=1

se sigue de aqui que la serie

kyk k ≤ ∞ P

∞ X k=1

1 2k−1

< ∞,

yk es absolutamente convergente, luego por  ∞ ∞ P yk es convergente, esto es, la subsucesi´ on xnk de la la hip´ otesis k=1

k=1

1

´ 2.2. ESPACIOS DE BANACH. TEOR´IA BASICA. EJEMPLOS Y EJERCICIOS.85 

∞

sucesi´on S = xn es convergente y luego por la Proposici´ on 2.2.2(b) 1  ∞ es tambi´en convergente y ´esto finaliza la demostraci´ on. xn 1

Ahora, nuestro pr´ oximo objetivo es construir un cierto espacio de Banach de uso frecuente en el An´ alisis Funcional: el espacio cociente. Para esto, inicialmente recordaremos la siguiente Definici´ on:

Definici´ on 2.2.10 Sea X un conjunto no vac´ıo. Una relaci´ on entre los elementos de X, denotada con el s´ımbolo “ ∼ ” se llama una relaci´ on de equivalencia sobre X si verifica las siguientes propiedades: (P1) x ∼ x, x ∈ X [Reflexiva] (P2) Si x ∼ y entonces y ∼ x [Sim´etrica] (P3) Si x ∼ y, y ∼ z entonces x ∼ z [Transitiva] 

La noci´ on de relaci´ on de equivalencia ya fu´e usada para la soluci´ on  del Ejercicio 1.3.5

As´ı si “ ∼ ” es una relaci´ on de equivalencia sobre X y x ∈ X, entonces la clase de equivalencia de x ∈ X, denotada por [x] es:   [x] := y ∈ X : x ∼ y y el conjunto cociente de X determinado por ´esta relaci´ on de equivalencia “ ∼ ” y denotado por X/ ∼ es:   X/ ∼ := [x] : x ∈ X . Observe que X/ ∼ es una subcolecci´ on de P(X). Ahora bien, sean X un espacio vectorial y M un subespacio (no necesariamente cerrado) de X. Definamos: x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ M, (x, y ∈ X).

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

86

Entonces, es f´ acil verificar que “ ∼ ” es una relaci´ on de equivalencia sobre X. Note que en este caso, la clase de equivalencia de un x ∈ X, es: [x] := x + M. El conjunto cociente determinado por ´esta relaci´ on de equivalencia es denotado por: X/M. Definiremos en X/M las siguientes operaciones: (O1) Suma: (x, y ∈ X)

[x] + [y] = [x + y] (O2) Multiplicaci´ on por escalar:

(α ∈ F, x ∈ X)

α[x] = [αx]

Mostraremos a continuaci´ on que (O1) y (O2) est´ an bien definidas. En efecto: (O1)

Sup´ ongase que: [x] = [x0 ]

y,

[y] = [y 0 ]

esto es, x + M = x0 + M y, y + M = y0 + M entonces, x + y + M = x0 + y 0 + M. Efectivamente, como x0 ∈ [x] y, y 0 ∈ [y] entonces: x0 = x + m1

(m1 ∈ M )

y 0 = y + m2

(m2 ∈ M ),

´ 2.2. ESPACIOS DE BANACH. TEOR´IA BASICA. EJEMPLOS Y EJERCICIOS.87 luego x0 + y 0 + M = x + m1 + y + m2 + M = x + y + m1 + m2 + M = x+y+M [x + y] = [x0 + y 0 ].

As´ı, (O2)

Sup´ ongase que: α[x0 ] = α[x].

Entonces, α(x0 + M ) = α(x + M ) Luego, αx0 ∈ α[x] entonces, αx0 = α(x + m1 )

(m1 ∈ M )

As´ı, αx0 + M = α(x + m1 ) + M = αx + αm1 + M = αx + M esto es,

[αx0 ] = [αx]

y por tanto (O2) est´ a tambi´en bien definida. A continuaci´ on tenemos la siguiente Proposici´ on y los detalles de la demostraci´ on los dejamos al lector.

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

88

Proposici´ on 2.2.11 Sean X un espacio vectorial y M un subespacio de X. El conjunto cociente X/M es un espacio vectorial respecto a las operaciones (O1) y (O2). El elemento neutro para la adici´ on (O1) es todo el subespacio M ya que: [0] := M

(0 ∈ M ).

Cuando adem´ as X es un espacio normado y M es un subespacio cerrado de X obtenemos el siguiente: Teorema 2.2.12 Sean (X, k ∙ k) es un espacio normado y M un subespacio cerrado de X. Entonces, la expresi´ on:





[x] := ´ınf kx + mk (x ∈ M ) 2.2.10

m∈M

define una norma sobre el espacio cociente X/M. Demostraci´ on. Es claro que que la ecuaci´ on 2.2.10 est´ a bien definida sobre X/M y que adem´ as,

esto es,

0 ≤ kx + M k ≤ kxk

(x ∈ X)

 



kx + M k =

[x] ∈ o, kxk .

A continuaci´ on mostraremos que 2.2.10 satisface las propiedades de una norma. En efecto:



(A1)(=⇒) Si

[x] = 0, entonces dado ε > 0 existe un m0 ∈ M tal que: kx + mk = kx − (−m)k < ε

esto es,

tambi´en

B(x, ε) ∩ M 6= φ b ε) ∩ M 6= φ B(x,

´ 2.2. ESPACIOS DE BANACH. TEOR´IA BASICA. EJEMPLOS Y EJERCICIOS.89 luego, ya que ε es arbitrario vamos a tener que x ∈ M 0 . Por otra parte, como M es cerrado x ∈ M. (ver la Proposici´ on 1.1.23). Por tanto, [x] = x + M = M = [0]. (⇐=) Si [x] = [0], entonces x ∈ [0] = M y por tanto −x ∈ M. As´ı,





[x] = ´ınf kx + mk ≤ kx + (−x)k = k0k = 0

m∈M





y en consecuencia

[x] = 0. (A2) Consideremos los siguientes casos: Caso 1: Cuando λ = 0. Entonces,













0[x] = [0x] = [0] = 0 = 0 [x] .





Caso 2: Sea λ 6= 0. Entonces,

kλ(x + M )k = kλx + M k =

´ınf kλx + mk

m∈M

 

m

= ´ınf λ x + m∈M λ



0

λ(x + m ) = ´ınf

0 m ∈M

=

´ınf |λ| kx + m0 k

m0 ∈M

= |λ| ´ınf kx + m0 k 0 m ∈M

= |λ| kx + M k Por tanto, (A3)

kλ(x + M )k = |λ| kx + M k

(λ ∈ F, x ∈ X)

[Desigualdad triangular]. Mostraremos que:



[x] + [y] ≤ kxk + kyk (x, y ∈ X).

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

90

Como [x] + [y] := [x + y], basta demostrar que:





[x + y] ≤ [x] + [y] ,

o equivalentemente que:





[x + y] ≤ [x] + [y] + ε



para ε > 0

arbitrario.





En efecto, de la Definici´ on de

[∙] vamos a tener que dado ε > 0 existen m1 , m2 ∈ M tales que:



ε

kx + m1 k <

[x] + 2



ε

ky + m2 k <

[y] + 2

Luego

Pero como,

Haciendo





kx + m1 k + ky + m2 k <

[x] + [y] + ε



kx + m1 k + ky + m2 k ≥

x + y + m1 + m2

m = m1 + m2 ∈ M obtenemos que:





x + y + m ≤ kx + m1 k + ky + m2 k < [x] + [y] + ε



y en consecuencia,





[x + y] < [x] + [y] + ε



para ε > 0 arbitrario. Por tanto,





[x + y] ≤ [x] + [y] .



´ 2.2. ESPACIOS DE BANACH. TEOR´IA BASICA. EJEMPLOS Y EJERCICIOS.91 Para el caso cuando X = R2 dotado de la norma Euclidiana y, M = {(x, y) ∈ R2 : y = x}

entonces, la clase de equivalencia de un elemento z = (x0 , y0 ) ∈ R2 , es el que muestra en la Figura siguiente: [z] := z + M

z

=

(x

0,

y0

)

y y0

M = {(x, y) ∈ R2 : y = x}

0

x0

x

Figura 2.2.1

Note tambi´en de la Figura 2.2.1 que:





[z] = ´ınf kz + mk = d(z, M ),

m∈M

donde d(z, M ) es la distancia de z = (x0 , y0 ) a la recta y = x. A continuaci´ on enunciamos y mostramos el importante: Teorema 2.2.13 Sean (X, k ∙ k) un espacio de Banach y M subespacio ceb = X/M es un espacio de rrado de X. Entonces, el espacio cociente X Banach con la norma:

 



[x] = ´ınf kx + mk x ∈ X, [x] := x + M

m∈M

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

92

Demostraci´ on.  ∞ Sea [xn ] una sucesi´ on de Cauchy en X/M. Entonces, dado ε > 0 n=1

existe un n0 = n0 (ε) ∈ N tal que:



[xn ] − [xm ] < ε



de aqu´ı existe una subsucesi´ on [xnk ]



[xn ] − [xn ] < 1 k+1

k 2k

n, m ≥ n0 ,

si ∞

de

k=1



para

[xn ]

∞

tal que

n=1

k = 1, 2, 3, . . .

Haciendo yk = xnk vamos a tener que,



[yk ] − [yk+1 ] < 1 para

2k

k = 1, 2, 3, . . .

Como

[yk ] − [yk+1 ] = yk + M − (yk+1 + M ), entonces en particular, para k = 1, 1 ky1 − y2 + M k < , 2 luego de la Definici´ on de k[∙]k en el espacio cociente X/M existe un elemento digamos m2 ∈ M tal que: ky1 − y2 + m2 k <

1 2

esto es,

Sea z1 = y1 ,

1 ky1 − (y2 − m2 )k < . 2 z2 = y2 − m2 entonces, 1 kz1 − z2 k < . 2

´ 2.2. ESPACIOS DE BANACH. TEOR´IA BASICA. EJEMPLOS Y EJERCICIOS.93 Tambi´en, para k = 2 ky2 − y3 + M k <

1 , 22

por tanto, existe un m3 0 ∈ M tal que ky2 − y3 + m3 0 k <

1 22

esto es, 1 . 22 m3 = m2 + m3 0 ∈ M obtenemos que:

kz2 + m2 − y3 + m3 0 k < Haciendo

z3 = y3 − m3 donde

kz2 − z3 k <

1 . 22

 ∞ Continuando ´este procedimiento, obtenemos una sucesi´ on zn ⊂ X tal n=1

que

kzn − zn+1 k <

1 2n

para

n = 1, 2, 3, . . . .

donde z n = y n − mn zn+1 = yn+1 − mn+1 mn , mn+1 ∈ M. Por tanto, kzn − zn+p k = kzn − zk+1 + zn+1 − zn+2 + . . . + zn+p−1 − zn+p k ≤ kzn − zn+1 k + kzn+1 − zn+2 k + . . . + kzn+p−1 − zn+p k <

1 1 1 1 + + . . . + < −→ 0 2n 2n+1 2n+p−1 2n−1

si

n → ∞,

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

94  ∞ se sigue entonces que zn

n=1

es una sucesi´ on de Cauchy en (X, k ∙ k) que

es de Banach, por tanto existe un z ∈ X tal que: l´ım zn = z

n→∞

en la norma

k∙k

de

X.

Ahora bien, como: kz + M − (zn + M )k = kz − zn + M k ≤ kz − zn k −→ 0

si

n→∞

se sigue que zn + M −→ z + M

si

yn + M −→ z + M

si

n → ∞ en X/M

Por otra parte, como zn = yn − mn (mn ∈ M ) vamos a tener tambi´en que n → ∞ en X/M.

Como  y n = x kn aunque inicialmente yk = xnk no se pierde generalidad usando ahora  ´esta notaci´ on se tiene tambi´en que:

As´ı,

xkn + M −→ z + M

si

n → ∞ en X/M

xnk + M −→ z + M si k → ∞ en X/M, ∞  es una sucesi´ on de Cauchy en X/M que conen conclusi´ on, [xn ] n=1

tiene una subsucesi´ on convergente en X/M. Por tanto, xn + M −→ z + M

en

X/M si n → ∞

lo cual concluye la demostraci´ on. En la demostraci´ on del Teorema anterior ¿ En donde se usa la hip´ otesis que M es cerrado? El siguiente resultado solamente algebraico nos da la dimensi´ on del espacio cociente X/M cuando dimX < ∞.

´ 2.2. ESPACIOS DE BANACH. TEOR´IA BASICA. EJEMPLOS Y EJERCICIOS.95 Proposici´ on 2.2.14 Sea X un espacio vectorial con dimX = n y, M un subespacio de X con dimX = m. Entonces, dimX/M = n − m Demostraci´ on. Sea BM :=



l1 , l 2 , . . . , l m



una base de M y, extend´ amosla a una base de BX , esto es,   BX := l1 , l2 , . . . , lm , lm+1 , . . . , ln . Afirmaci´ on 1. Una base para el espacio cociente X/M es:   BX/M := [lm+1 ], [lm+2 ], . . . , [ln ] . En efecto, sup´ ongase inicialmente que: αm+1 [lm+1 ] + αm+2 [lm+2 ] + . . . + αn [ln ] = [0] = M

(2.2.12)

Mostraremos que αm+1 = αm+2 = . . . = αn = 0. Efectivamente, por (2.2.12) vamos a obtener que: αm+1 lm+1 + αm+2 lm+2 + . . . + αn ln ∈ M,

y as´ı, existen escalares no todos nulos α1 , α2 , . . . , αm en F tal que: αm+1 lm+1 + αm+2 lm+2 + . . . + αn ln =

m X i=1

´o tambi´en, m X i=1

esto es,

αi l i −

n X

i=m+1

α i li = 0

αi li

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

96 m X

n X

αi li +

i=1

Haciendo:

βi = obtenemos que:

i=m+1

  

− αi li

!

= 0

αi si 1 ≤ i ≤ m −αi si m + 1 ≤ i ≤ n n X

β i li = 0

i=1

y en consecuencia   ya que BX := l1 , l2 , . . . , lm , . . . , ln es una base de X, β1 = β2 = . . . = βn = 0 y as´ı en particular αm+1 = αm+2 = αn = 0. Sea ahora

[x] ∈ X|M

(x ∈ X). Entonces,

x = x0 + m

(x0 ∈ X, m ∈ M )

Luego, x − x0 ∈ M. Por tanto,

[x] = [x0 ]. Ahora bien, al tener que x = x0 + m, obtenemos que:

0

x = x +m =

n X

α i li + m

i=1

=

m X i=1

Luego,

αi l i + m

!

+

n X

i=m+1

α i li

´ 2.2. ESPACIOS DE BANACH. TEOR´IA BASICA. EJEMPLOS Y EJERCICIOS.97

[x] = como

m P

i=1

"

m X

#

α i li + m +

i=1

m P

"

n X

α i li

i=m+1



#

αi li + m ∈ M, entonces αi li + m = [0], y en consecuencia i=1   n  m P P α i li + m + αi li [x] = i=1

= [0] +

=



n P

i=m+1



n P

αi li

i=m+1

i=m+1

αi li



=



n P

i=m+1

αi [li ].

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

98

2.3.

Algunos Ejemplos de Espacios de Banach.

En esta Secci´ on daremos algunos ejemplos de espacios de Banach que son de uso frecuente en el An´ alisis Funcional. Los ejemplos de espacios de Banach que estudiremos van a ser del tipo: (a) Espacios de Banach de dimensi´ on finita. (b) Espacios de Banach de sucesiones. (c) Espacios de Banach de funciones. Suponemos que para el desarrollo de la presente Secci´ on el lector est´ a familiarizado con el hecho fundamental del An´ alisis de que el conjunto de los n´ umeros reales es un espacio de Banach con la m´etrica inducida por el valor absoluto. Comenzaremos pu´es con nuestros Ejemplos: Ejemplo 2.3.1 Sea p > 1. Sabemos de la Proposici´ on 2.1.5 que la expresi´ on: kxkp :=

n X i=1

p

|xi |

!1/p



x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ F

n



n define una norma sobre Fn . Mostraremos a continuaci´  onque F es un espacio

de Banach dotado de ´esta norma. En efecto, sea

xk

Cauchy en (Fn , k ∙ kp ). Entonces, dado ε > 0 existe que:

kxk − xm kp < ε

si

∞

k=1 un k0

k, m ≥ n0 .

Sean xk = (x1 (k) , x2 (k) , . . . , xn (k) ) xm = (x1 (m) , x2 (m) , . . . , xn (m) )

una sucesi´ on de

= k0 (ε) ∈ N tal

2.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE ESPACIOS DE BANACH.

99

entonces, n X

kxk − xm kp =

i=1

|xi (k) , xi (m) |p

!1/p

0 existe un ki ∈ N i = 1, 2, . . . , n tal que: |x1 (k) − x1 |

<

|x2 (k) − x2 |

<

ε 1

si

k ≥ k1

1

si

k ≥ k2

si

k ≥ kn

np ε np

∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ |xn (k) − xn |

ε

<

1

np

Sea k0 = m´ax{k1 , k2 , . . . , kn }. Entonces, para k ≥ k0 vamos a obtener que:

p

kxk − xkp =

n X i=1

|xi

(k)

p

− xi | < n



εp n



= εp

lo cual muestra que (K n , k ∙ kp ) es un espacio de Banach. Al par (K n , k ∙ kp ) se denota por lp n . As´ı, lp n = (K n , k ∙ kp ).

si

k ≥ k0

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

100

Ejemplo 2.3.2 En nuestro Ejemplo 1.3.4 hemos demostrado que la expresi´ on   n kxk∞ = sup |xi | x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R 1≤i≤n

define una norma sobre Rn . Tambi´en k ∙ k∞ define una norma sobre Cn . n Mostraremos entonces  que (F , k ∙ k∞ ) es un espacio de Banach. En efecto, sea

xk

∞

k=1

una sucesi´ on de Cauchy en (Fn , k∙k∞ ). Entonces,

dado ε > 0 existe un k0 = k0 (ε) ∈ N tal que: kxk − xm k∞ < ε

k, m ≥ n0 .

si

Como en nuestro Ejemplo anterior: xk = (x1 (k) , x2 (k) , . . . , xn (k) ) xm = (x1 (m) , x2 (m) , . . . , xn (m) ) y xk − xm = (x1 (k) − x1 (m) , x2 (k) − x2 (m) , . . . , xn (k) − xn (m) ), luego kxk − xm k∞ = sup |xi (k) − xi (m) | < ε

si

1≤i≤n

k, m ≥ n0

se sigue de ´esta desigualdad que: |xi (k) − xi (m) | < ε si k, m ≥ n0 , i = 1, 2, . . . , n. ∞  es de Cauchy para i = 1, 2, . . . , n en (K n , | ∙ |), el cual es As´ı, xi (m) m=1

completo. Por tanto, existe xi ∈ K tal que: xi = l´ım xi (m) , m→∞

i = 1, 2, . . . , n.

2.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE ESPACIOS DE BANACH.

101

Entonces, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Fn y, tomando k ≥ n0 y haciendo que m → ∞ vamos a tener que: |xi (k) − xi | ≤ ε

para

i = 1, 2, . . . , n,

en consecuencia kxk − xk∞ = sup |xi (k) − xi | ≤ ε

k ≥ n0 .

si

1≤i≤n

Al par (Fn , k ∙ k∞ ) se le denota por l∞ n . As´ı, l∞ n = (Fn , k ∙ k∞ ).

Observe que cuando F = R tenemos como casos particulares los espacios dados en los Ejemplos 1.3.2 y 1.3.4. A continuaci´ on mostraremos nuestros Ejemplos de espacios de Banach de sucesiones. Ejemplo 2.3.3 Sea p ≥ 1. Definamos el conjunto: p

l :=



xn

∞

n=1

∞ X

: xn ∈ F y

i=1

 |xi | < ∞ . p

En l y en F ⊕ l definimos las siguientes operaciones: p

p

(O1) Dados



xn

∞

n=1

(O2) Dados α ∈ F y

 ∞ ∈ l y yn ∈ lp : p



xn



∞

n=1

n=1

xn

∞

 ∞ + yn

n=1



=

n=1



xn + yn

∞

n=1

∈ lp :

α xn

∞

=

n=1



αxn

∞

.

n=1

Es claro que (O2) est´ a bien definida en F ⊕ lp . Por otra parte, ya que: |xn + yn | ≤ |xn | + |yn |

n = 1, 2, 3, . . .

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

102 se sigue por ser p ≥ 1 que:

|xn + yn |p ≤ (|xn | + |yn |)p ≤ 2p m´ax(|xn |p , |yn |p ) de donde: ∞ X

|xn + yn |p < ∞

n=1



p

As´ı, (O1) est´ a bien definida en l . Es f´ acil verificar tambi´en usando la desigualdad  de Minkowski para el caso p > 1 y el criterio de comparaci´ on para series

de n´ umeros reales que la expresi´ on:

 ∞

xn



=

∞ X

n=1 p

|xn |p

n=1

!1/p

(p ≥ 1)

define una norma sobre lp .Mostraremos a continuaci´ on que (lp , k ∙ kp ) es ∞ una sucesi´ on de Cauchy en (lp , k ∙ kp ). un espacio de Banach. Sea xn n=1

Entonces:

x1 x2

:= :=

 

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

x1 , x 2 , x 3 , . . . x1 , x 2 , x 3 , . . .

 

....... ....... ............... xn xm

:= :=

 

x1

(n)

x1

(m)

, x2

(n)

, x2

, x3

(m)

(n)

, x3

,...

(m)



,...



2.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE ESPACIOS DE BANACH.

103

Ahora bien, de nuestra hip´ otesis dado ε > 0 existe un n0 ∈ N tal que: kxn − xm kp

p

=

∞ X j=1

|xj (n) − xj (m) |p < εp

m, n ≥ n0

si

luego, |xj (n) − xj (m) |p < εp

m, n ≥ n0 , j = 1, 2, 3, . . . .  ∞ (n) se sigue de ´esta u ´ltima desigualdad, que la sucesi´ on xj es de Cauchy si

n=1

en F, para j = 1, 2, 3, . . . . Como (F, | ∙ |) es completo, existe un u ´nico zj ∈ F tal que: l´ım xj (n) = zj ,

 ∞ Sea x := zj

j=1

j = 1, 2, 3, . . .

n→∞

 ∞ x := zj ∈ lp . En efecto, ya que nuestra sucesi´ on

Afirmaci´ on 1: j=1  ∞ inicial xn es de Cauchy, entonces por la Proposici´ on 2.2.2(a) es acon=1

tada. As´ı, existe un M > 0 tal que:

kxn kp =

∞ X j=1

|xj (n) |p

!1/p

Entonces, para cada k ∈ N, k X j=1

|xj (n) |p

≤M

!1/p

para

≤ kxn kp ≤ M

y ahora haciendo que n → ∞ obtenemos que: k X j=1

|zj |p

!1/p

≤M

n = 1, 2, 3, . . .

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

104

y en consecuencia como k es arbitrario kxkp =  ∞ esto es, x := zj ∈ lp .

∞ X j=1

|zj |p

!1/p

≤M

j=1

Afirmaci´ on 2: l´ım xn = x en k ∙ kp . En efecto, usando nuevamente el  n→∞ ∞ es de Cauchy: hecho de que xn n=1

kxn − xm kp p =

∞ X j=1

|xj (n) − xj (m) |p < εp

m, n ≥ n0

si

Luego, en particular k X j=1

|xj (n) − xj (m) |p < εp

si

k ∈ N fijo

m, n ≥ n0 ,

As´ı, manteniendo n fijo, pero con n ≥ n0 y haciendo que m → ∞ vamos a tener que: k X j=1

|xj (n) − zj |p < εp ,

k∈N

fijo

Por tanto ahora haciendo que k → ∞ se obtiene que kxn − xkp =

∞ X j=1

|xj (n) − zj |p

!1/p

0 existe un n0 ∈ N tal que: kxk − xm k∞ < ε

como



xk :=



xm :=

x1

(k)

x1

(m)

si

, x2

(k)

, x2

k, m ≥ n0

, . . . , xn

(k)

(m)

, . . . , xn

(k)

(m)

,...

(m)



,...



entonces, con k y m fijos, xk − x m =



xj

− xj

∞

j=1

y por tanto, kxk − xm k∞ = sup |xj (k) − xj (m) | < ε j∈N

si

k, m ≥ n0

y en consecuencia |xj (k) − xj (m) | < ε

si

k, m ≥ n0 ,

j = 1, 2, . . . (2.3.5) ∞  es de Cauchy se sigue de ´esta u ´ltima desigualdad que la sucesi´on xj (k) k=1

en F para j = 1, 2, 3, . . . y ya que (F, | ∙ |) es completo, existe un xj ∈ F tal que: xj = l´ım xj (k) j = 1, 2, 3, . . . (2.3.6) k→∞

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

106  ∞ sea x := xj . j=1

Afirmaci´ on 1:

 ∞ ∈ l∞ . En efecto, tomando m = n0 en x := xj j=1

(2.3.5) vamos a tener que:

|xj (k) − xj (n0 ) | < ε

si

k ≥ n0 ,

j = 1, 2, 3, . . .

y ahora haciendo que k → ∞ y usando (2.3.6) obtenemos que: |xj − xj (n0 ) | < ε para j = 1, 2, 3, . . .   (n0 ) (n0 ) Ahora bien, como xn0 := x1 , x2 , . . . , ∈ l∞ , entonces sup |xj (n0 ) | < ∞ j∈N

y ya que |xj | ≤ |xj − xj (n0 ) | + |xj (n0 ) |

j = 1, 2, 3, . . .

entonces kxk∞ = sup |xj | ≤ sup |xj − xj (n0 ) | + sup |xj (n0 ) | j∈N

j∈N

j∈N

< ∞ Afirmaci´ on 2: se obtiene que:

l´ım xm = x en k ∙ k∞ . En efecto, de (2.3.5) y (2.3.6)

m→∞

|xj − xj (m) | < ε

donde

m ≥ n0

j = 1, 2, 3, . . .

Luego kx − xm k∞ = sup |xj − xj (m) | < ε j∈N

lo cual finaliza la Demostraci´ on.

m ≥ n0

2.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE ESPACIOS DE BANACH. Ejemplo 2.3.5 Sea ( c :=

xn

∞

107

)

: xn ∈ F y existe l´ım xn . n→∞

n=1

Entonces, c es un espacio vectorial sobre F respecto de las operaciones usuales de suma y multiplicaci´ on por escalar. Adem´ as, ya que toma sucesi´ on convergente es acotada se sigue c es un subespacio vectorial de l∞ . Afirmaci´ on: (c, k ∙ k∞ ) es un espacio de Banach. Para mostrar ´esta Afir 

on 2.2.4 (a) . maci´on basta demostrar que c es cerrado en l∞ . ver Proposici´  ∞ Sea, entonces xn una sucesi´ on en c tal que xn → x ∈ l∞ si n → ∞ en n=1

k ∙ k∞ . Mostraremos que x ∈ c. Sean x1 x2

:= :=

 

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

x1 , x 2 , . . . , x i , . . . x1 , x 2 , . . . , x i , . . .



∈c



∈c



∈c

........ ........ ................ xn

:=



x1

(n)

, x2

(n)

, . . . , xi

(n)

,...

........ ........ ................ x

:=



y1 , y2 , . . . , yi , . . .



∈ l∞

Afirmaci´ on 1: l´ım xi (n) = yi i = 1, 2, 3, . . . . n→∞ En efecto, como l´ım xn = x, dado ε > 0 existe un n0 ∈ N tal que: n→∞ (n) si n ≥ n0 kxn − xk∞ = sup xi − yi < ε i∈N

en consecuencia

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

108 (n) xi − y i < ε

si

n ≥ n0

i = 1, 2, 3, . . .

lo cual muestra nuestra Afirmaci´ on 1. Afirmaci´ on 2:

Sea Ln = l´ım xi



(n)

∞

. La sucesi´ on de l´ımites Ln n=1  ∞ es de Cauchy en (F, | ∙ |). En efecto, como xn es convergente en l∞ , i→∞

n=1

entonces ´esta es de Cauchy en l∞ , por tanto, dado ε > 0 existe un n1 ∈ N tal que (n) (m) kxn − xm k∞ = sup xi − xi < ε si n, m ≥ n1 i∈N

y en consecuencia (n) xi − xi (m) < ε

si

n, m ≥ n1 ,

i = 1, 2, 3, . . .

y as´ı tambi´en cuando i −→ ∞ vamos a obtener que: Ln − Lm < ε si n, m ≥ n1

y en consecuencia por la completitud de (F, | ∙ |) existe un u ´nico L ∈ F tal que: l´ım Ln = L.  Afirmaci´ on 3: l´ım yi = L esto mostrar´ a que i→∞   ∞ ∈ c y completa la Demostraci´ on . x := yi n→∞

i=1

En efecto, como l´ım Ln = L, entonces dado ε > 0 existe un n1 ∈ N tal n→∞ que: ε si n ≥ n1 3 Por otra parte, usando nuevamente el hecho de que: |Ln − L| <

l´ım xn = x

i→∞

2.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE ESPACIOS DE BANACH.

109

en k ∙ k∞ , entonces dado ε > 0 existe n2 ∈ N tal que: kxn − xk∞ = sup |xi (n) − yi | < i∈N

ε 3

si

n ≥ n2

y en consecuencia ε si n ≥ n2 , i = 1, 2, . . . 3 Tomando entonces n0 = m´ax(n1 , n2 ) vamos a obtener al fijar ´este n0 que: |xi (n) − yi | <

ε ε y |xi (n0 ) − yi | < i = 1, 2, . . . 3 3 para n = 1, 2, . . . , entonces Tambi´en, ya que l´ım xi (n) = Ln i→∞   (n ) ε (n0 ) si i ≥ i0 l´ım xi = Ln0 ⇒ xi 0 − Ln0 < i→∞ 3 |Ln0 − L| <

Por tanto,

|yi − L| ≤ |yi − xi (n0 ) | + |xi (n0 ) − Ln0 | + |Ln0 − L| < Ejemplo 2.3.6 Sea ( c0 :=

xn

ε ε ε + + = ε 3 3 3 ∞

n=1

, xn ∈ F

si

y

i ≥ i0 )

l´ım xn = 0 .

n→∞

Entonces, c0 es un espacio vectorial respecto de las operaciones usuales de suma y multiplicaci´ on por escalar. La expresi´ on:

 ∞

= sup |xn |

xn

n=1 ∞

n∈N

define tambi´en una norma sobre c0 . ´esto Afirmaci´ on: (c0 , k ∙ k∞ ) es un espacio de Banach. En efecto,  para ∞ basta demostrar que (c0 , k ∙ k∞ ) es cerrado en l∞ . En efecto, si xn ∈ c0 n=1

tal que xn → x := (y1 , y2 , . . .) ∈ l∞ si n → ∞ en k ∙ k∞ , entonces, siguiendo

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

110

un proceso semejante a el dado en la Demostraci´ on del Ejemplo (1.3.7) vamos a ver que Ln = 0 para n = 1, 2, 3, . . . y as´ı: L = l´ım Ln = 0 n→∞

Luego, por la Afirmaci´ on 3: l´ım yi = 0

i→∞

 ∞ y en consecuencia x := yi ∈ c0 . i=1



Ejemplo 2.3.7 (C([a, b]), k∙ku ) es un espacio de Banach ver el Ejemplo (1.3.10) para  recordar la Definici´ on del espacio C([a, b]) y de la norma k ∙ ku .  ∞ una sucesi´ on de Cauchy en C([a, b]). Entonces, En efecto, sea fn n=1

dado ε > 0 existe un n0 ∈ N tal que:

kfn − fm ku = sup |fn (x) − fm (x)| < ε x∈[a,b]

si

m, n ≥ n0 .

Se sigue de ´esta desigualdad que: |fn (x) − fm (x)| < ε si m, n ≥ n0 ∀ x ∈ [a, b] (1)  ∞ y por tanto la sucesi´ on fn (x) es uniformemente de Cauchy en (F, | ∙ |).

Sea

n=1

f (x) = l´ım fn (x) n→∞

Por la unicidad del l´ımite f es evidentemente una funci´ on definida sobre el intervalo [a, b] a valores en F. Afirmaci´ on 1: fn −→ f si n → ∞ en k ∙ ku . En efecto, tomando n ≥ n0 y haciendo que m → ∞ de (1) se obtiene que |fn (x) − f (x)| < ε

2.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE ESPACIOS DE BANACH.

111

Luego, kfn − f ku = sup |fn (x) − f (x)| < ε

si

x∈[a,b]

n ≥ n0

Afirmaci´ on 2: f ∈ C([a, b]). En efecto, sea x0 ∈ [a, b]. Como fn0 ∈ C([a, b]), dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que: fn0 (x) − fn0 (x0 ) < ε si 0 < |x − x0 | < δ 3 Por otra parte como: f (x) − f (x0 ) = f (x) − fn0 (x) + fn0 (x) − fn0 (x0 ) + fn0 (x0 ) − f (x0 ) entonces, f (x) − f (x0 ) ≤ f (x) − fn0 (x) + fn0 (x) − fn0 (x0 ) + fn0 (x0 ) − f (x0 ) <

ε ε ε + + = ε 3 3 3

on. si 0 < |x − x0 | < δ, lo cual concluye la Demostraci´



Ejemplo 2.3.8 (BV ([a, b]), k ∙ kBV ) es un espacio de Banach ver el



Ejercicio (1.4.18) para recordar la Definici´ on del espacio BV ([a, b]) . En efecto, tenemos inicialmente que si f ∈ BV ([a, b]) entonces, kf kBV = |f (a)| + V (f ),

donde,

V (f ) = sup Π

 ∞ Sea entonces, fn

k X i=1

|f (ti ) − f (ti−1 )|.

una sucesi´ on de Cauchy en BV ([a, b]). Sin perder   generalidad podemos suponer que fn (a) = 0 para n = 1, 2, 3, . . . . ¿Por qu´e? As´ı, dado ε > 0 existe un n0 ∈ N tal que: n=1

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

112



fn − fm

BV

= (fn − fm )(a) + V (fn − fm ) = V (fn − fm ) = sup Π

como P0 =

k X i=1

|(fn − fm )(ti ) − (fn − fm )(ti−1 )|

< ε si m, n ≥ n0  a, x, b (a < x < b) es una partici´ on de [a, b] y adem´ as



(fn − fm )(b) − (fn − fm )(a) ≤ (fn − fm )(x) − (fn − fm )(a) + + (fn − fm )(b) − (fn − fm )(x) vamos a tener entonces que



< ε ∞ fn (x)

si

m, n ≥ n0

es una sucesi´ on uniformemente

n=1

de Cauchy ∀ x ∈ [a, b] en (F, | ∙ |) que es completo. Sea f (x) = l´ım fn (x). n→∞

Tomando ahora n ≥ n0 y haciendo que m → ∞ en (2.3.11) obtenemos que:



f n − fm

BV

= sup Π

k X i=1

|(fn − f )(ti ) − (fn − f )(ti−1 )| < ε

y as´ı fn −→ f si n → ∞ en k ∙ kBV Por otra parte, como kfn0 kBV ≤ M < ∞ para alg´ un M > 0, entonces, kf kBV ≤ kf − fn0 kBV + kfn0 kBV < ε + M < ∞

y en consecuencia f ∈ BV ([a, b]).

2.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE ESPACIOS DE BANACH.

113

Ejemplo 2.3.9 En nuestro Ejercicio (1.4.14) hemos definido el espacio C 0 ([a, b]). El lector puede mostrar que la expresi´ on kf k0 = kf ku + kf 0 ku

(f ∈ C 0 ([a, b]))

define tambi´en una norma sobre C 0 ([a, b])

0 0 Afirmaci´  ∞on: (C ([a, b]), k ∙ k ) es un espacio de Banach. Efectivamente, una sucesi´ on de Cauchy en C 0 ([a, b]). Entonces, dado ε > 0 sea fn n=1

existe un n0 ∈ N tal que:

0







0

fn − fm = fn − fm + (fn − fm )



u u



0

0

=

f n − fm + f n − fm u

< ε

y

en consecuencia,



fn − fm < ε

2 u



0

0

fn − fm < ε

2 u

u

m, n ≥ n0

si

si

m, n ≥ n0

si

m, n ≥ n0 .

 ∞ y Se sigue de cada una de ´estas desigualdades que las sucesiones fn n=1  ∞ son sucesiones de Cauchy en C([a, b]) que es completo. As´ı, existen fn 0 n=1

funciones f ∈ C([a, b]) y g ∈ C([a, b]) tales que:

y

fn −→ f

si

n→∞

uniformemente sobre [a, b]

fn 0 −→ g

si

n→∞

uniformemente sobre [a, b].

114

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

Se sigue entonces del Teorema 4 - 8 en [13] que f es derivable sobre [a, b] y adem´ as g = f0 Por tanto, f ∈ C 0 ([a, b]) y ´esto culmina la Demostraci´on.

2.4. SEPARABILIDAD DE UN ESPACIO NORMADO Y EJEMPLOS. EL LEMA DE RIESZ.115

2.4.

Separabilidad de un espacio normado y Ejemplos. El Lema de Riesz.

En An´ alisis Funcional la noci´ on de separabilidad de un espacio normado tiene su motivaci´ on en esa propiedad que presenta el conjunto de los N´ umeros Reales de que cada elemento de ´este conjunto es el l´ımite de una sucesi´ on de n´ umeros racionales. Aqu´ı en esta Secci´ on, se introduce ´esta noci´ on y se muestra que (lp , k ∙ kp ) (1 ≤ p < ∞) es separable y tambi´en que (l∞ , k ∙ k∞ ) no lo es. Tambi´en se muestra el Lema de Riesz. Definici´ on 2.4.1 Un espacio normado (X, k ∙ k) se dice separable si existe un subconjunto A de X tal que: (a) A es numerable. (b) A es denso en X



esto es, dado ε > 0 y x ∈ X existe un a ∈ A 

tal que 0 < kx − ak < ε . En nuestro Ejemplo (2.3.3) se mostr´ o que (lp , k ∙ kp ) (1 ≤ p < ∞) es un espacio de Banach. En el siguiente Ejemplo se muestra la separabilidad de (lp , k ∙ kp ). Ejemplo 2.4.2 (lp , k∙kp ) es separable (1 ≤ p < ∞). En efecto, mostraremos p p la existencia de  unsubconjunto D en l que es numerable y denso en l sea ∞

∈ lp . Decimos que ´este x ∈ lp es del tipo racional si n=1  xn ∈ Q para n = 1, 2, 3, . . . . para el caso en que xn ∈ C, entonces  xn = an +ibn donde an ∈ Q y bn ∈ Q para n = 1, 2, 3, . . . . . Si adem´ as  ∞ xn 6= 0 para un n´ umero finito de sub´ıncides n decimos que x = xn es entonces x =

xn

del tipo racional finito y lo denotamos por (TRF) sea,    ∞ p ∈ l : x es (TRF) . D := x = xn n=1

n=1

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

116

Es claro que D es numerable [¿Por qu´ a continuaci´ on que e?]mostraremos ∞ D es denso en lp . En efecto, sea x = xn ∈ lp y ε > 0 entonces, de la ∞ P

p

Definici´ on de l ,

k=1

n=1

|xk | < ∞. Por tanto, existe un n0 ∈ N tal que: p

∞ X

k=n0 +1

 ∞ Sea y = yk ∈ D tal que: k=1

|yk − xk | < √ p

|xk |p <

ε 2n0

εp . 2

para

k = 1, 2, . . . , n0

y adem´ as yk = 0

k ≥ n0 + 1.

si

Luego

p

kx − ykp =

n0 X k=1

p

|xk − yk | +

∞ X

k=n0 +1

p

|xk | < n0



εp 2n0



+

εp = εp 2

y en consecuencia kx − ykp < ε

por tanto, D es denso en lp . Para nuestro pr´ oximo Ejemplo necesitamos usar el siguiente resultado de la Teor´ıa de Conjuntos: la colecci´ on P(N) es no numerable, esto es, card P(N)




= 2N0 = N .

Ejemplo 2.4.3 (l∞ , k ∙ k∞ ) no es separable. Sup´ ongase lo contrario, esto es, (l∞ , k ∙ k∞ ) es separable. Sea entonces, D un subconjunto de l∞ que es numerable y denso en l∞ . Sean F1 , F2 ∈ P(N) tal que F1 6= F2 entonces, XF1 ∈ B(N) y XF2 ∈ B(N) donde   B(N) := f : N −→ R : f es una funci´ on acotada .

2.4. SEPARABILIDAD DE UN ESPACIO NORMADO Y EJEMPLOS. EL LEMA DE RIESZ.117 ´ B(N) es un espacio vectorial respecto de las operaciones usuales de suma Este y multiplicaci´ on por escalar y la expresi´ on: kf ku = sup |f (n)| n∈N

define una norma sobre B(N). Adem´ as,

kXF1

− XF2 ku ≥ sup XF1 (n) − XF2 (n) = 1 si n ∈ F1 \F2 ´ o n ∈ F2 \F1 . n∈N

1 Ahora bien, sea F ∈ P(N) y ε = . Entonces 4



∞

∈ l∞ . Por otra XF (n) n=1  ∞ parte, como Q es denso en l∞ , existe una sucesi´ on dF (n) ∈ D tal que: n=1 1 kXF − dF k∞ = sup XF (n) − dF (n) < , 4 n∈N en consecuencia

1 1 kdF1 − dF2 k ≥ . En efecto, si kdF1 − dF2 k∞ < 4 4

vamos a tener que:

kXF1 − XF2 ku = kXF1 − dF1 + dF1 − dF2 + dF2 − XF2 ku ≤ kXF1 − dF1 ku + kdF1 − dF2 ku + kdF2 − XF2 ku <

1 1 1 3 + + = 0 m∈M

ya que M es un subconjunto propio y cerrado del espacio m´etrico X. Por otra parte como 0 < θ < 1, entonces θd < d y as´ı, d θ en consecuencia, existe un m1 ∈ M tal que: d<

d d < kx1 − m1 k < . θ

x1 − m1 . Es claro que, kxθ k = 1 y as´ı xθ ∈ S(0, 1). En kx1 − m1 k consecuencia, si m ∈ M vamos a tener que,

Sea xθ

=



x1 − m1

1

x1 − m1 − mkx1 − m1 k

= kxθ − mk = − m

kx1 − m1 k

kx1 − m1 k

∈M

z }| {

1

x1 − m1 + mkx1 − m1 k =

kx1 − m1 k

≥

θ d = θ d

Por tanto d(xθ , M ) = ´ınf kxθ − mk ≥ θ. m∈M

2.5. COMENTARIO FINAL DEL CAP´ITULO 2

2.5.

119

Comentario final del Cap´ıtulo 2

La literatura actual sobre la teor´ıa de espacios de Banach es bastante extensa. El texto [1] mencionado en nuestra Introducci´ on, es un material de gran utilidad al estudiante que comienza y desea adem´ as continuar con el estudio de ´esta teor´ıa. En el Cap´ıtulo 1 de [8] se muestra una buena lista de Ejemplos de espacios de Banach con su respectivas Demostraciones. La Demostraci´ on de Lema de Riesz fue tomada de [6] Cap´ıtulo 1. La noci´ on de espacio normado separable puede verse tambi´en en [8] Cap´ıtulo 1.

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

120

2.6.

Ejercicios Propuestos

Ejercicios 2.6.1 Sea x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , con xi ≥ 0 Sean

x1 + x2 + . . . + xn A(x) = = n G(x) =

√ n

n Y

x1 x 2 . . . x n =

i=1

n P

i = 1, 2, . . . , n.

xi

i=1

xi

n !1/n

Demostrar que: G(x) ≤ A(x).

´ Esta expresi´ on se llama la Desigualdad Media Aritm´etica - Geom´etrica. Ejercicios 2.6.2 Sean X un espacio vectorial y D ⊂ X convexo y no vac´ıo. Decimos que una funci´ on f : D −→ R

es: (a) Convexa si:

f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)

∀ x, y ∈ D, t ∈ [0, 1]

(b) Estrictamente convexa si:

f (tx+(1−t)y) < tf (x)+(1−t)f (y)

∀ x, y ∈ D, con x 6= y, t ∈ [0, 1]

(c) f es c´ oncava si:

f (tx + (1 − t)y) ≥ tf (x) + (1 − t)f (y)

∀ x, y ∈ D, t ∈ [0, 1]

2.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

121

(d) f es estrictamente c´ oncava si: ∀ x, y ∈ D, con x 6= y, t ∈ [0, 1]

f (tx+(1−t)y) > tf (x)+(1−t)f (y) Demostrar que: (e) f es convexa ⇐⇒ −f es c´ oncava.

(f ) f es estrictamente convexa ⇐⇒ −f es estrictamente c´ oncava. (g) Si f es convexa y c ≥ 0 entonces cf es convexa. (h) Si f es estrictamente convexa y c > 0 entonces cf es estrictamente convexa. (i) Si f es c´ oncava y c ≥ 0 entonces cf es c´ oncava. (j) Si f es estrictamente c´ oncava y c > 0 entonces cf es estrictamente c´oncava. Ejercicios 2.6.3 Sean fi : D −→ R xas. Demostrar que la funci´ on:

i = 1, 2, . . . , m, funciones conve-

g : D −→ R

definida por g(x) =

m X

fi (x)

i=1

es convexa.

(x ∈ D)

Ejercicios 2.6.4 Demostrar que cualquier combinaci´ on lineal no negativa de funciones convexas es una funci´ on convexa. Ejercicios 2.6.5 Demostrar que la funci´ on:

definida por

es convexa.

f : R2 −→ R f (x, y) = |x| + |y|

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

122

Ejercicios 2.6.6 Sea f : D −→ R una funci´ on c´ oncava. Demostrar que: ! n n X X αi f (xi ) ≤ f α i xi i=1

donde

xi ∈ D,

i=1

i = 1, 2, . . . , n

αi ∈ (0, 1)

y

tal que

n P

αi = 1.

i=1

Ejercicios 2.6.7 Usando el Ejercicio (2.5.6) demostrar la Desigualdad Logar´ıtmica de Jensen: ! n n X X 1 1 log ai ≤ log ai n n i=1 i=1 donde

ai ∈ (0, +∞)

i = 1, 2, . . . , n.

Ejercicios 2.6.8 Demostrar la Desigualdad Media Aritm´etica - Geom´etrica usando la Desigualdad Logar´ıtmica de Jensen. Ejercicios 2.6.9 Sean (X, k ∙ k) un espacio normado y cesi´ on en X tal que:



xn+2 − xn+1 ≤

Demostrar que



xn

∞

n=1



1

xn+1 − xn

2

para



xn

∞

n = 1, 2, . . . .

es de Cauchy en (X, k ∙ k).

Ejercicios 2.6.10 Sea C([−1, 1]) dotado de la norma: kf k2 = Demostrar que



Sugerencia:

C([−1, 1]), k ∙ k2



Z1 0

|f (t)|2 dt

no es un espacio de Banach

Considere la sucesi´ on:

n=1

una su-

2.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

123

  0 si −1 ≤ t ≤ 0        1 nt si 0 < t < fn (t) = n       1   1 si ≤t≤1 n

Ejercicios 2.6.11 Demostrar que un espacio normado (X, k∙k) es completo ⇐⇒ B (0, 1) es completa. Ejercicios 2.6.12 Sean   (a) X1 := f ∈ C([−1, 1]) : f (0) = 0 (b)

X2 :=



f ∈ C([−1, 1]) :

R1

f (x)dx = 0

0



Demostrar que X1 y X2 son subespacios cerrados de Ejercicios 2.6.13 Sean Sea la expresi´ on:



C([0, 1]), k∙ku





n=1

f ∈ C([0, 1])

Demostrar que: k∙k

(b)

(X, k ∙ k)

es una norma sobre

C([0, 1]), k ∙ ku .

 ∞ y tn una sucesi´ on en [0, 1].

∞  n X 1 kf k = kf ku + |f (tn )|2 , 4 n=1

(a)



C([0, 1])

es un espacio de Banach.

Ejercicios 2.6.14 Demostrar que la expresi´ on: X X  ∞ ∞  1 0 |xn | xn + 1+ kxk = 2 n n=1 n=2

CAP´ITULO 2. ESPACIOS DE BANACH

124 donde

x :=



xn

∞

espacio de Banach.

n=1

∈ l1 define una norma sobre l1 ¿Es (l1 , k ∙ k0 ) un n 2n

∞

∈ l1 . Hallar kxk0 . n=1  ∞ ∞ P n n = 2 y as´ı x := ∈ l1 . n 2n n=1 n=1 2

Ejercicios 2.6.15 Sea x := Sugerencia:



Ejercicios 2.6.16 Demostrar que la expresi´ on: kxk0 =

∞ X 1 |xn | n 2 n=1

es una norma sobre c0 . ¿Es (c0 , k ∙ k0 ) un espacios de Banach? Ejercicios 2.6.17 ¿Son de acuerdo al Teorema (2.2.10) c|c0 y l∞ |c espacios de Banach? Ejercicios 2.6.18 En el espacio cociente l∞ /c hallar:



[(−1, 1, −1, 1, . . .)] .

Ejercicios 2.6.19 Demostrar que (c, k ∙ k∞ ) y (c0 , k ∙ k∞ ) son separables. Ejercicios 2.6.20 Demostrar que (C([a, b]), k ∙ ku ) es separable. Sugerencia: Usar el Teorema de Stone-Weirstrass. Ejercicios on  ∞ 2.6.21 Sea (X, k ∙ k) un espacio de Banach. Una sucesi´ ⊂ X se llama una Base de Schauder de X, si para cada x ∈ X xn n=1  ∞ ⊂ R tal que: existe una u ´nica sucesi´ on αn n=1

x =

∞ X n=1

αn xn

en la norma k ∙ k.

Demostrar que todo espacio de Banach con una base de Schauder es separable.

Cap´ıtulo 3 Operadores Lineales Acotados 3.1.

Noci´ on de acotaci´ on de un operador lineal. El espacio de B(X, Y )

Con el prop´ osito de motivar la noci´ on de operador lineal acotado recordamos previamente algunos hechos del a´lgebra lineal matricial   Definici´ on 3.1.1 Sean X y Y espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo de escalares F . Una funci´ on

T : X −→ Y

se llama una transformaci´ on lineal si: (P1) Es aditiva, esto es:

T (x + y) = T (x) + T (y),

∀ x, y ∈ X

(P2) Es homog´enea, esto es: T (αx) = αT (x)

α ∈ F, x ∈ X

Observemos de (P 1) y (P 2) que T : X −→ Y es lineal ⇐⇒ T (αx + βy) = αT (x) + βT (y), 125

α, β ∈ F, x, y ∈ X

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

126

de elementos de F de la forma:  a12 . . . a1n   a22 . . . a2n         am2 . . . amn   se llama una matriz de orden m × n esto es, m filas y n columnas y se

Definici´ on 3.1.2

denota por:

Mm×n

Un arreglo  a11    a21     ..  .   am1

A = (aij )m×n .

Sea

  := A = (aij )m×n : A es una matriz de orden m × n .

Se sabe que ´este conjunto Mm×n es un espacio vectorial sobre F respecto de las operaciones usuales de suma de matrices y, multiplicaci´ on por escalar. Adem´ as, si A ∈ Mm×n la funci´ on: definida por

T : Rn −→ Rm T (x) = Ax

donde Ax representa el producto de la matriz A con el vector x := (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn escrito como un vector columna, esto es,   x1      x2      x :=  .  ..   .      xn

Es una transformaci´ on lineal. A continuaci´ on tenemos el importante Teorema:

´ DE ACOTACION ´ DE UN OPERADOR LINEAL. EL ESPACIO DE B(X, Y )127 3.1. NOCION Teorema 3.1.3



Representaci´ on Matricial De Una Transformaci´ on Lineal

Sea T : Rn −→ Rm una transformaci´ on lineal. Entonces, existe una u ´nica matriz que denotamos por A(T ) ∈ Mm×n tal que: 

     A(T ) :=     

c11

c12

. . . c1n

c21

c22

. . . c2n

.. . cm1 cm2 . . . cmn

          

donde los elementos cij han de determinarse y, tal que T (x) = A(T )x,

∀ x ∈ Rn

Demostraci´ on.

Existencia. Sea B := mos



e1 , e 2 , . . . , e n



la base can´ onica de Rn . llame-

T (e1 ) := w1 := (c11 , c21 , . . . , cm1 ) T (e2 ) := w2 := (c12 , c22 , . . . , cm2 ) ...

... ... ... ............

T (en ) := wn := (c1n , c2n , . . . , cmn ).



CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

128

Sea A(T ) la matriz de orden m × n cuyas columnas son w1 , w2 , . . . , wn . Note que wj escrito como una matriz columna es:



     wj :=     

c1j c2j .. . cmj

          

(j = 1, 2, . . . , n)

Luego,



     A(T )ej :=     

c11

c12

. . . c1j

. . . c1n

c21

c22

. . . c2j

. . . c2n

.. .

.. .

cm1 cm2 . . . cmj . . . cmn

          

0 0 .. . 1 .. . 0 0

As´ı, si x ∈ Rn con x := (x1 , x2 , . . . , xn ) entonces,



      := wj    

(j = 1, 2, . . . , n)

´ DE ACOTACION ´ DE UN OPERADOR LINEAL. EL ESPACIO DE B(X, Y )129 3.1. NOCION

n P

T (x) := T

j=1

xj e j

!

:=

n P

T (xj ej ) :=

j=1

n P

xj T (ej )

j=1

:=

n P

xj w j

j=1

:=

n P

xj A(T )ej

j=1

:=

n P

A(T )xj ej

j=1

:= A(T )

n P

xj ej

j=1

!

:= A(T )x Unicidad.

Sea B(T ) otra matriz tal que T (x) := B(T )x

∀ x ∈ Rn .

Por la existencia de A(T ) vamos a tener que: T (x) := A(T )x

∀ x ∈ Rn

y en consecuencia (B(T ) − A(T ))x := 0 Sea C(T ) := B(T ) − A(T ),

∀ x ∈ Rn .

entonces

C(T )x := 0

∀ x ∈ Rn

en particular tomando x := ej (j = 1, 2, . . . , n), obtenemos que C(T )ei := 0,

i = 1, 2, . . . , n

por tanto la i-´esima columna de C(T ) es el vector cero y, en conclusi´ on:

130

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS 

C(T ) := 0



[⇒ B(T ) := A(T )] .

Sabemos del Ejemplo (1.2.3) que si x := (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn y y := (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn entonces, n X ≤ kxk kyk. x y i i i=1

´ desigualdad conocida como la desigualdad de Cauchy - Schwarz ser´ Esta a usada para la Demostraci´ on de la siguiente:

Proposici´ on 3.1.4

Sea T : Rn −→ Rm

una transformaci´ on lineal. Entonces, existe una constante M > 0 tal que kT (x)k ≤ M kxk,

∀ x ∈ Rn

Demostraci´ on.

Sea A(T ) = (cij )m×n que:

la matriz u ´nica dada por el Teorema (3.1.3) tal

T (x) := A(T )x,

∀ x ∈ Rn

Sean x := (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn y, T (x) = y := (y1 , y2 , . . . , ym ) ∈ Rm . Entonces, al calcular el producto matricial A(T )x vamos a obtener que:

´ DE ACOTACION ´ DE UN OPERADOR LINEAL. EL ESPACIO DE B(X, Y )131 3.1. NOCION

y1

=

c11 x1 + c12 x2 + . . . + c1n xn

=

n P

c1j xj

j=1

y2

=

c21 x1 + c22 x2 + . . . + c2n xn

=

n P

c2j xj

j=1

... ... ... ym =

... .........

cm1 x1 + cm2 x2 + . . . + cmn xn =

n P

cmj xj .

j=1

En consecuencia, 2 2 n X yi = c x ij j ≤ j=1

n X

cij 2

j=1

!

kxk2

(i = 1, 2, . . . , n).

Por tanto,

|yi | ≤

m n X X

kT (x)k2 ≤

m n X X

m X i=1

esto es,

2

i=1

i=1

cij

j=1

cij 2

j=1

!

kxk2

!

kxk2

2

y as´ı, kT (x)k ≤ M kxk donde:

∀ X ∈ Rn

v uX m u n X t cij 2 . M = i=1

j=1

Tenemos as´ı, la importante Definici´ on:

Definici´ on 3.1.5 Sean (X, k ∙ k1 ) y (Y, k ∙ k2 ) espacios normados. Una transformaci´ on lineal

132

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

T : X −→ Y se dice acotada si existe un M > 0 tal que: kT (x)k2 ≤ M kxk1 ,

∀ x ∈ X.

En lo sucesivo una transformaci´ on lineal ser´ a referida como un operador lineal y, una transformaci´ on lineal acotada como un operador lineal acotado. En lo que sigue tambi´en sin perder generalidad, las normas k ∙ k1 y k ∙ k2 de X y Y respectivamente ser´ an denotadas por k ∙ k. Definici´ on 3.1.6

Sean X y Y espacios normados. Un operador lineal T : X −→ Y

se dice continuo en un x0 ∈ X si dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que: kT (x) − T (x0 )k < ε

si

kx − x0 k < δ

Proposici´ on 3.1.7 Sea T : X −→ Y un operador lineal. Las siguientes afirmaciones son mutuamente equivalentes: (1) T es un operador lineal acotado. (2) T es continuo sobre X. (3) T es continuo en el elemento 0 ∈ X. (4) T es continuo en alg´ un x0 ∈ X. Demostraci´ on. (1) ⇒ (2) Sean T un operador lineal acotado y, x0 ∈ X, x0 arbitrario. Veamos que dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que: kT (x) − T (x0 )k < ε

si

kx − x0 k < δ

En efecto, como T es un operador lineal acotado vamos a tener que: kT (x) − T (x0 )k = kT (x − x0 )k ≤ M kx − x0 k < M δ < ε

´ DE ACOTACION ´ DE UN OPERADOR LINEAL. EL ESPACIO DE B(X, Y )133 3.1. NOCION   ε y as´ı podemos tomar δ ≤ T (0) = 0 por ser T lineal . M (2) ⇒ (1) Sea T continuo sobre X. Entonces, dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que: T (B(0, δ)) ⊆ B(T (0), ε) := B(0, ε). Sea x ∈ X, x 6= 0. Entonces, el elemento: y =

δ x ∈ B(0, δ) 2 kxk

y en consecuencia por la continuidad de T en 0 vamos a tener que:

 

δ x

T

0 existe un δ > 0 tal que: kT (x)k < ε

si

kxk < δ

as´ı, si kx − x0 k < δ, entonces kx − x0 − 0k < δ, y por tanto, kT (x − x0 ) − T (0)k = kT (x) − T (x0 )k < ε. (3) ⇒ (4) Es evidente. (4) ⇒ (3) Veamos que dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que: kT (y)k < ε

si

kyk < δ

En efecto, como T es continuo en alg´ un x0 ∈ X (x0 6= 0) dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que:

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

134

kT (x) − T (x0 )k < ε

si

kx − x0 k < δ

kT (x − x0 ) − T (0)k < ε

si

kx − x0 − 0k < δ.

esto es,

Sea y = x − x0 . Entonces, vamos a obtener que: kT (y)k < ε



si

kyk < δ

La funci´ on f : B(x0 , δ) −→ B(0, δ) definida por f (x) = x − x0  es un homeomorfismo . A continuaci´ on definimos los conjuntos L(X, Y ) y, B(X, Y ).

Definici´ on 3.1.8 es:

Sean X y Y espacios normados. El conjunto L(X, Y )   L(X, Y ) := T : X −→ Y T es un operador lineal

y B(X, Y ) es:   B(X, Y ) := T : X −→ Y T es un operador lineal acotado . Ahora bien, en L(X, Y ) [y por tanto tambi´en en B(X, Y )] definimos las siguientes operaciones: (01) Suma: (T + S)(x) = T (x) + S(x),

x∈X

(02) Multiplicaci´ on por escalar: (αT )(x) = αT (x),

α ∈ F, x ∈ X

´ DE ACOTACION ´ DE UN OPERADOR LINEAL. EL ESPACIO DE B(X, Y )135 3.1. NOCION Mostraremos a continuaci´ on que (01) y (02) est´ an bien definidos en L(X, Y )  suponiendo inicialmente que L(X, Y ) 6= φ (01) (T + S)(x + y) = T (x + y) + S(x + y) = T (x) + T (y) + S(x) + S(y) ∀ x, y ∈ X

= (T + S)(x) + (T + S)(y),

(T + S)(αx) = T (αx) + S(αx) = αT (x) + αS(x) = α(T (x) + S(x)),

α∈F

x∈X

(02) (αT )(x + y) = αT (x + y) = α(T (x) + T (y)) = (αT )(x) + (αT )(y),

α∈F

x, y ∈ X

(αT )(βx) = αT (βx) = (αβ)T (x) = (βα)T (x) = β(αT )(x)

α, β ∈ F,

x ∈ X.

Adem´as, ya que T y S son operadores lineales acotados: k(T + S)(x)k = kT (x) + S(x)k ≤ kT (x)k + kS(x)k ≤ M1 kxk + M2 kxk = (M1 + M2 )kxk,

x∈X

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

136 y

k(αT )(x)k = kαT (x)k = |α|kT (x)k ≤ |α|M kT (x)k,

x ∈ X,

tenemos as´ı, la Proposici´ on: Proposici´ on 3.1.9 Los conjuntos L(X, Y ) y B(X, Y ) son espacios vectoriales respecto de las operaciones (01) y (02). Demostraci´ on. Se deja como un Ejercicio Proposici´ on 3.1.10

La funci´ on: k ∙ ku : B(X, Y ) −→ [0, ∞)

definida por: kT ku = sup x6=0

es una norma.

kT (x)k kxk

Demostraci´ on. Observemos inicialmente que como T ∈ B(X, Y ) existe un M > 0 tal que: kT (x)k ≤ M kxk,

∀x∈X

As´ı, si x 6= 0, kT (x)k ≤M kxk

por tanto, sup x6=0

kT (x)k ≤M 0

En efecto, como: kT + Sku = sup x6=0

kT (x) + S(x)k kxk

entonces, dado ε > 0 existe un x0 ∈ X, x0 6= 0 tal que: kT + Sku <

kT (x0 ) + S(x0 )k + ε, kx0 k

luego,

kT + Sku <

kT (x0 ) + S(x0 )k kT (x0 )k kS(x0 )k +ε ≤ + +ε kx0 k kx0 k kx0 k < kT ku + kSku + ε

en consecuencia: kT + Sku ≤ kT ku + kSku ,

∀ S, T ∈ L(X, Y )

Teorema 3.1.11 Sean X un espacio normado y Y un espacio de Banach. Entonces, (B(X, Y ), k ∙ ku ) es un espacio de Banach. Demostraci´ on.  ∞ una sucesi´ on de Cauchy en (B(X, Y ), k ∙ ku ). Entonces, dado Sea Tn n=1

ε > 0 existe un n0 = n0 (ε) ∈ N tal que: kTn − Tm ku = sup x6=0

kTn (x) − Tm (x)k 0 tal que: kTn ku ≤ M

para n = 1, 2, 3, . . .

en consecuencia, kT (x)k = k l´ım Tn (x)k =

n→∞

≤

n→∞

n→∞

l´ım kTn (x)k l´ım kTn ku kxk

≤ M kxk

∀x∈X

As´ı, T ∈ B(X, Y ). Por otra parte, haciendo que m → ∞ y tomando n ≥ n0 vamos a tener que: kTn (x) − T (x)k ≤ εkxk,

∀ x ∈ X,

luego, si x 6= 0 :

y por tanto:

kTn (x) − T (x)k ≤ε kxk

kTn − T ku = sup x6=0

kTn (x) − T (x)k ≤ε kxk

si

n ≥ n0 .

´ DE ACOTACION ´ DE UN OPERADOR LINEAL. EL ESPACIO DE B(X, Y )139 3.1. NOCION Culminaremos esta Secci´ on dando una Definici´ on y despu´es estableceremos una Observaci´ on Definici´ on 3.1.12

Sea T ∈ L(X, Y ). Entonces,

(a) El n´ ucleo de T denotado por N (T ) es: N (T ) :=





x ∈ X : T (x) = 0 .

Obs´ as T es acotado, entonces N (T ) es cerrado en ervese que si adem´ X inicialmente la linealidad de T, garantiza que N (T ) es un  subespacio vectorial de X . [Ver tambi´en Corolario 1.2.15(b) y la Proposici´ on 3.1.7]

(b) El Rango ´ o la imagen denotado por R(T ) es:   R(T ) := y ∈ Y : y = T (x), x ∈ X esto es,

R(T ) = T (x)

Observaci´ on 3.1.1 (a) Sean X, Y, Z espacios normados. Un diagrama del tipo siguiente: X

T

Y

A

Z

donde T y A son operadores lineales acotados, son de utilidad en la Teor´ıa de optimizaci´ on y permiten resolver ciertos problemas de minimizaci´ on. El lector interesado en ´esto puede consultar el trabajo [9]

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

140

(b) El lector puede verificar como un Ejercicio que: sup x6=0

kT (x)k = sup kT (x)k = kxk kxk≤1

sup kT (x)k

kxk = 1

y ´este valor com´ un es el que hemos denotado por kT ku . En lo que sigue a denotada por kT k. la norma k ∙ ku de un operador lineal T ser´ (c) Si Y = F [F = R ´ o C], entonces el operador lineal acotado: T : X −→ F se llama un funcional lineal acotado y es designado generalmente con la letra f (d) El espacio de Banach B(X, F) es denotado por X ? y se llama el dual topol´ ogico de X. As´ı, X

?

  := f : X −→ F, f es un funcional lineal acotado .

Uno de los Teoremas m´ as importantes del An´ alisis Funcional el Teorema de Hanh - Banach [a demostrarse mas adelante] afirma que si X es un espacio normado X 6= {0} y x0 ∈ X, x0 6= 0, entonces existe un f ∈ X ? tal que: kf k = 1

y

f (x0 ) = kx0 k.

Como una consecuencia del Teorema de Hanh - Banach obtenemos que: si

X 6= 0 ⇒ X ? 6= {0}.

´ DE OPERADOR CERRADO141 3.2. NORMAS EQUIVALENTES. NOCION

3.2.

Normas Equivalentes. Noci´ on de operador cerrado

En esta Secci´ on se mostrar´ a un resultado bastante importante en An´ alisis Funcional: el que expresa que en un espacio normado de dimensi´ on finita dos normas cualesquiera definida sobre el son equivalentes. Tambi´en se introducir´ a la noci´ on de operador cerrado, el cual es esencial para la Demostraci´ on de un Teorema que mostraremos m´ as adelante: El Teorema del Grafo cerrado. Comenzaremos nuestra Secci´ on recordando la siguiente Definici´ on: Definici´ on 3.2.1 Sean (X, k ∙ k) un espacio normado. Un subconjunto no vac´ıo A de X se llama secuencialmente compacto si toda sucesi´ on de puntos de A contiene una subsucesi´ on convergente a un elemento de A. la Demostraci´ on de los siguientes Teoremas pueden consultarse en [ ] Teorema 3.2.2 Sea (X, k ∙ k) un espacio normado. Entonces, un subconjunto A de X es compacto ⇐⇒ es secuencialmente compacto Teorema 3.2.3 compacto y:

Sean (X, k∙k) y (Y, k∙k) espacios normados. Sean D ⊂ X f : D −→ Y

una funci´ on continua. Entonces, existen puntos x1 , x2 ∈ D tales que: kf (x1 )k = sup kf (x)k x∈D

y kf (x2 )k = ´ınf kf (x)k. x∈D

Tenemos ahora la siguiente Proposici´ on: Proposici´ on 3.2.4 Sea (X, k ∙ k) un espacio normado con dimX < ∞. Entonces, existen una norma: k ∙ k1 : X −→ [0, ∞)

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

142

y una constante M > 0 tal que: kx − yk ≤ M kx − yk1

∀ x, y ∈ X

(3.2.5)

Demostraci´  on.  Sean B := e1 , e2 , . . . , en una base (alg´ebraica) de X y x ∈ X. Entonces,

existen escalares λi ∈ F

i = 1, 2, . . . , n tal que x =

n P

λi ei . Definamos:

i=1

k ∙ k1 : X −→ [0, ∞) por kxk1 =

n X

|λi |.

i=1

Es claro que k ∙ k1 esta bien definida y satisface los Axiomas (A1 ) y (A2 ) de la Definici´ on de norma. Por otra parte, si y es otro elemento de X, entonces n P βi ei luego, y = i=1

kx + yk1 =

n X i=1

|λi + βi | ≤

n X i=1

|λi | +

n X i=1

|βi | = kxk1 + kyk1

∀ x, y ∈ X

Tambi´en:

n n

P

P

≤ kx − yk = (λ − β )e |λi − βi |kei k i i i

i=1

i=1

≤

=

Tomando, M =

n P

i=1

n P

i=1



kx − yk1 kei k

n P

i=1



kei k kx − yk1

∀ x, y ∈ X

kei k > 0 obtenemos nuestra desigualdad (3.2.6)

´ DE OPERADOR CERRADO143 3.2. NORMAS EQUIVALENTES. NOCION Proposici´ on 3.2.5 Sean (X, k ∙ k) un espacio normado y, k ∙ k1 la norma dada por la Proposici´ on anterior. El conjunto,   S1 := x ∈ X : kxk1 = 1 es secuencialmente compacto

Demostraci´ on.  ∞ Sea xk una sucesi´ on de puntos de S1 . Mostraremos que ´esta contiene k=1  ∞ que es convergente en k∙k1 a un x ∈ S1 . En efecto, una subsucesi´ on xkj j=1

como xk ∈ S1 , entonces xk =

n X

(i)

αk ei

donde

i=1

n X i=1

|αk (i) | = 1

k = 1, 2, 3, . . .

Ahora bien, consideremos el siguiente “esquema”: ↓

↓

↓

α1 (1) α1 (2) . . . . . . α1 (n) α2 (1) α2 (2) . . . . . . α2 (n) ...

...

... ... ...

...

...

... ... ...

(3.2.6)

αk (1) αk (2) . . . . . . αk (n) ...

...

Entonces, como |αk (i) | < 1

... ... ... i = 1, 2, . . . , n, k = 1, 2, 3, . . .

se sigue entonces que cada sucesi´ on columna las indicamos en nuestro esquema  (3.2.6) con una ↓

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

144



αk

(1)

∞



, αk

k=1

(2)

∞



, . . . . . . , αk

k=1

(n)

∞

k=1

es acotada, luego por el Teorema de Bolzano - Weirstrass cada una de estas contiene una subsucesi´ on: ∞  (i) , i = 1, 2, . . . , n αkj j=1

que se convergente a un βi ∈ F

i

=

1, 2, . . . , n. Sea x

=

kxkj − xk1 = as´ı, xkj −→ x

si

i=1

j −→ ∞

β i ei .

i=1

Entonces, x ∈ X y adem´ as

n X

n P

|αkj (i) − βi | −→ 0

si

j −→ ∞

k ∙ k1 . Por otra parte: n n (i) P P |βi | = l´ım αkj en

i=1 j→∞

i=1

n P (i) = l´ım α k j j→∞ i=1

=

l´ım 1 = 1

j→∞

on. lo cual muestra que x ∈ S1 y culmina la Demostraci´ Teorema 3.2.6 En un espacio vectorial X con dimX < ∞ todas las normas son equivalentes. Demostraci´ on. Sean k ∙ k una norma definida sobre X y, k ∙ k1 la norma sobre X dada por la Proposici´ on 3.2.4. Consideremos k ∙ k . Ya que la norma k ∙ k es   S1 k ∙ k1 − continua ver la Proposici´ on 3.2.4 y S1 es compacto, entonces por el Teorema 3.2.3 existen x1 , x2 ∈ S1 tales que:

´ DE OPERADOR CERRADO145 3.2. NORMAS EQUIVALENTES. NOCION

kx1 k = sup kxk > 0

y

x∈S1

kx2 k = ´ınf kxk > 0 x∈S2

y en consecuencia kx1 k ≤ kxk ≤ kx2 k,

∀ x ∈ S1 .

x ∈ S1 , por tanto: Ahora bien, si x ∈ X, x 6= 0 entonces kxk1

x

≤ kx2 k, kx1 k ≤ kxk1

luego

kx2 kkxk1 ≤ kxk ≤ kx2 kkxk1

∀x∈X

tomando a = kx2 k > 0 y b = kx2 k > 0 obtenemos que k∙k ∼ k∙k1 . Por otra parte si k| ∙ k| es otra norma definida sobre X, entonces por el procedimiento anterior k| ∙ k| ∼ k ∙ k1 y, as´ı por el Ejercicio 1.3.5. k ∙ k ∼ k| ∙ k| y culmina la Demostraci´ on. Proposici´ on 3.2.7 Entonces,

Sean X y Y espacios normados con dimX < ∞. L(X, Y ) := B(X, Y )

Demostraci´ on.   Sea B := e1 , e2 , . . . , en una base de X y x ∈ X. Entonces, x =

n X i=1

αi ei , αi ∈ F, i = 1, 2, . . . , n.

Sea T ∈ L(X, Y ). Por la linealidad de T vamos a tener que:

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

146

T (x)

= T



n P

α i ei

i=1



=

n P

T (αi ei )

i=1

=

n P

αi T (ei ).

i=1

Luego

n n

P P

≤ α T (e ) kαi T (ei )k kT (x)k = i i

i=1

i=1

=

n P

i=1

Sea M =

m´ax

i=1,2,...,n

kT (ei )k. Es claro que:

kT (x)k ≤ M

n X i=1

|αi | = M kxk1

|αi |kT (ei )k.

∀x∈X

y as´ı, en virtud del Teorema anterior kT (x)k ≤ M kxk

∀ x ∈ X,

y por tanto T ∈ B(X, Y ). Sean X y Y espacios vectoriales y, T : X −→ Y un operador lineal. El inverso de T supuesta su existencia es el operador lineal definido por

T −1 : Y −→ X

x = T −1 (y) ⇐⇒ y = T (x).

La siguiente Proposici´ on establece una caracterizaci´ on para la continuidad de −1 T Proposici´ on 3.2.8 Sean X y Y espacios normados y, T∈ B(X, Y ) tal que T es inyectivo esto es, T (x1 ) = T (x2 ) ⇐⇒ x1 = x2 . Entonces, el

operador lineal

´ DE OPERADOR CERRADO147 3.2. NORMAS EQUIVALENTES. NOCION

T −1 : T (X) −→ Y es acotado ⇐⇒ existe un k > 0 tal que kT (x)k ≥ kkxk,

∀x∈X

Demostraci´ on. Observemos inicialmente que la inyectividad de T garantiza la existencia del “inverso” T −1 : T (X) −→ X y es tambi´en un operador lineal. ⇒) Sup´ ongase que T −1 es un operador lineal acotado. Entonces, existe 0 un k1 > 0 tal que: kT −1 (y)k ≤ k1 0 kyk,

∀ y ∈ T (X).

Luego, existe un x ∈ X tal que y = T (x). Por tanto, esto es,

y as´ı tambi´en,

kT −1 T (x)k ≤ k1 0 kT (x)k kxk ≤ k1 0 kT (x)k kT (x)k ≥

tomando k =

1 kxk k1 0

1 obtenemos que: k1 0 kT (x)k ≥ k1 kxk,

∀x∈X

⇐) Reciprocamente, si kT (x)k ≥ kkxk para alg´ un k > 0 y ∀ x ∈ X, entonces, llamando y = T (x) vamos a tener que x = T −1 (y) y por tanto

esto es,

kyk ≥ kkT −1 (y)k

1 kyk, ∀ y ∈ T (X) k y en consecuencia T −1 ∈ B(Y, X). Introduciremos ahora la noci´ on de operador cerrado. kT −1 (y)k ≤

148

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

Definici´ on 3.2.9 Sean X y Y espacios normados y, D un subespacio vectorial de X. Un operador lineal

se llama cerrado si



xn

∞

n=1

T : D −→ Y ⊂ D tal que

xn → x ∈ X

si

n→∞

y, T (xn ) → y

si

n −→ ∞

entonces x ∈ D y, y = T (x). Un operador lineal que es cerrado se llama un operador cerrado. Es obvio que si D := X y, T : X −→ Y es un operador lineal acotado entonces T es cerrado. El rec´ıproco no siempre es cierto. En  efecto, para mostrar un Ejemplo que lo daremos como una Proposici´ on que ilustra ´esta Afirmaci´ on, mencionaremos un Teorema que es demostrado usualmente en los cursos de An´ alisis Real. El Teorema dice lo siguiente: Teorema 3.2.10 Sean I = [a, b], fn : I −→ R una sucesi´ on de funciones y, f : I −→ R una funci´ on. Sup´ ongase que: fn −→ f

si

n→∞

puntualmente sobre I.

Sup´ ongase tambi´en que fn es derivable sobre I fn 0 −→ g

si

n→∞

∀ n ∈ N y que adem´ as

uniformemente sobre I

donde g : I −→ R es una funci´ on. Entonces, f es derivable sobre I y adem´ as: f 0 = g. Note que el Teorema (3.2.10) fue usado en la soluci´ on de nuestro Ejemplo (2.3.9). Recordemos tambi´en que C([a, b]) es un espacio de Banach con la norma uniforme:

´ DE OPERADOR CERRADO149 3.2. NORMAS EQUIVALENTES. NOCION

kf ku = sup |f (x)| x∈[a,b]

y que   0 C ([a, b]) := f : [a, b] −→ R tal que f existe y es continua sobre [a, b] 0

es un espacio vectorial. Tomando k ∙ ku

, ´este se convierte en un C 0 ([a,b])

espacio normado. El lector puede verificar que (C 0 ([a, b]), k ∙ ku ) no es necesariamente cerrado en C([a, b]). Tenemos ahora nuestra Proposici´ on: Proposici´ on 3.2.11

El operador lineal: T : C 0 ([0, 1]) −→ C([0, 1])

definido por T (f ) = f 0 es cerrado, pero no es acotado [f 0 representa la funci´ on derivada de f ]. Demostraci´ on. Verificaremos inicialmente que T es cerrado. En efecto, sea   fn

∞

n=1

⊂ C 0 ([0, 1]) tal que:

fn → f ∈ C([0, 1])

si n → ∞ en k ∙ ku

y T (fn ) = fn 0 → g ∈ C([0, 1]) si n → ∞ en k ∙ ku Debemos ver que f 0 ∈ C 0 ([0, 1]) y que T (f ) = g. En efecto, de acuerdo al Teorema (3.2.10) f es derivable sobre [0, 1] y adem´ as: f 0 = g.

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

150

Por otra parte, como la convergencia es uniforme y, las fn 0 son continuas, se sigue que f 0 es continua y as´ı f ∈ C 0 ([0, 1]). As´ı, hemos demostrado f ∈ C 0 ([0, 1]) y T (f ) = g. Lo cual muestra que T es cerrado. Veamos ahora   que T no es acotado. Para verificar esto, consideraremos la sucesi´ on

fn

∞

n=1

⊂ C 0 ([0, 1]) donde:

fn (t) = tn . Entonces, de la Definici´ on de T vamos a tener que, T (fn )(t) = fn 0 (t) = ntn−1

(n ∈ N, t ∈ [0, 1]).

Luego, kT k = sup f 6=0

kT (fn )ku ≥ sup n = ∞ kfn ku n∈N

lo cual muestra que T no es acotado. De los cursos b´ asicos de C´ alculo sabemos que si D ⊆ R y f : D −→ R es una funci´ on [y = f (x)] el grafo de f denotado por G(f ) es el conjunto:   2 G(f ) := (x, y) ∈ R : x ∈ D, y = f (x) ´ el cual puede dibujarse usando t´ecnicas del C´ alculo Diferencial. Este hecho nos motiva la siguiente Definici´ on: Definici´ on 3.2.12 vectorial de X. Sea

Sean X y Y espacios normados y D un subespacio

T : X −→ Y un operador lineal. El grafo de T denotado por G(T ) es:   G(T ) := (x, y) ∈ X ⊕ Y : x ∈ D, y = T (x) . Es claro por la linealidad de T, que el elemento (0, 0) ∈ G(T ). Restringiendo las operaciones de espacio vectorial de X ⊕ Y sobre G(T ), ´este toma estructura de espacio vectorial. As´ı, al restringir la norma de X ⊕ Y sobre G(T ),

´ DE OPERADOR CERRADO151 3.2. NORMAS EQUIVALENTES. NOCION tambi´en se transforma en un espacio normado [La norma que estamos considerando en X ⊕ Y es: k(x, y)k = kxk + kyk,

(x, y) ∈ X ⊕ Y ].

Sabemos por la Proposici´ on (2.2.6) que si X y Y son espacios de Banach, entonces X ⊕ Y es tambi´en un espacio de Banach con la norma k(x, y)k = kxk + kyk. Por tanto, si G(T ) es cerrado en X ⊕ Y, ´el es tambi´en un espacio de Banach. Teorema 3.2.13 vectorial de X. Sea

Sean X y Y espacios normados y, D un subespacio

T : D −→ Y un operador lineal. Entonces G(T ) es cerrado ⇐⇒ T es un operador cerrado Demostraci´ on.

⇒) Sea



xn

∞

n=1

⊂ D tal que:

xn −→ x ∈ X

y

T (xn ) −→ y

si

n → ∞.

Mostraremos que x ∈ D y, y = T (x). En efecto, de nuestra hip´ otesis: k(xn , T (xn )) − (x, y)k = k(xn − x, T (xn ) − y)k = kxn − xk + kT (xn ) − yk ≤

ε ε + = ε 2 2

si

n ≥ n0

as´ı, (xn , T (xn )) −→ (x, y)

si

n → ∞.

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

152

Como (xn , T (xn )) ∈ G(T ) y G(T ) es cerrado, entonces (x, y) ∈ G(T ). Por tanto, x ∈ D y, y = T (x).

⇐) Sea



(xn , yn )

∞

n=1

⊂ G(T ) tal que:

(xn , yn ) −→ (x, y)

si

n → ∞.

Entonces, por la norma considerada en X ⊕ Y vamos a tener que: xn −→ x ∈ X

n→∞

si

y, yn = T (xn ) −→ y

si

n→∞

Como T es un operador cerrado, vamos a tener que x ∈ D y adem´ as y = T (x). Por tanto, (x, y) ∈ G(T ) y as´ı G(T ) es cerrado en X ⊕ Y.

3.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE OPERADORES LINEALES ACOTADOS153

3.3.

Algunos ejemplos de operadores lineales acotados

Esta Secci´ on contiene algunos Ejemplos de operadores lineales acotados. Entre otros, mencionaremos el operador de Fredholm, la proyecci´ on can´ onica y el operador Shift. Tambi´en se da la noci´ on de operador compacto y, un Teorema de extensi´on de operadores. Para tratar nuestro primer Ejemplo que ser´ a el operador de Fredholm, damos inicialmente la siguiente Definici´ on: Definici´ on 3.3.1

Una funci´ on continua: k : [a, b] × [a, b] −→ R

tal que M (b − a) < 1 donde M =

sup

k(x, y)

(x,y)∈[a,b]×[a,b]

se llama una funci´ on con un n´ ucleo aceptable de Fredholm. Ejemplo 3.3.2 Sea K : [a, b] × [a, b] −→ R una funci´ on con un n´ ucleo aceptable de Fredholm. Sea K : C([a, b]) −→ C([a, b]), el operador lineal, definido como: K(x)(s) =

Zb a

k(s, t)x(t)dt

(x ∈ C[a, b]).

´ Este K se llama el operador de Fredholm. Observemos inicialmente que K(x) define una funci´ on continua definida sobre [a, b] [El lector puede verificar f´ acilmente la linealidad y homogeneidad

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

154

 ∞ de K]. En efecto, sean s ∈ [a, b] y sn ⊂ [a, b] tal que sn → s si n → ∞. n=1

Entonces, ya que f es una funci´ on continua sobre [a, b] × [a, b], dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que: |k(x, y) − k(x0 , y 0 )| < ε

k(x, y) − (x0 , y 0 )k < δ.

si

Ahora bien, como sn → s si n → ∞ para nuestro δ > 0 existe un n0 ∈ N tal que: |sn − s| < δ

si

n ≥ n0 .

Por otra parte como: k(sn , t) − (s, t)k = k(sn − s, 0)k = |sn − s| < δ

si

n ≥ n0

entonces, |k(sn , t) − k(s, t)| < en consecuencia,

ε (b − a)kxku

(x 6= 0)

b R Rb |K(x)(sn ) − K(x)(s)| = k(sn , t)x(t)dt − k(s, t)x(t)dt a

a

b R = (k(sn , t) − k(s, t))x(t)dt a

≤

Rb a

|k(sn , t) − k(s, t)| |x(t)|dt

≤ kxku < kxku

Rb a

|k(sn , t) − k(s, t)|dt

ε (b − a) = ε (b − a)kxku

si n ≥ n0 , lo cual muestra la continuidad de K(x).

3.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE OPERADORES LINEALES ACOTADOS155 Por otra parte

kK(x)ku =

sup |K(x)(s)| =

s∈[a,b]

≤

b R sup k(s, t) x(t)dt

s∈[a,b]

sup

a

Rb

s∈[a,b] a

|k(s, t)| |x(t)|dt

≤ M (b − a)kxku < kxku

(x ∈ C([a, b]))

[M (b − a) < 1]

∀ x ∈ C([a, b])

lo cual muestra que K es un operador lineal acotado y que kKk = sup x6=0

Ejemplo 3.3.3

kK(x)ku kxku < sup = 1. kxku x6=0 kxku

Sea K : C([a, b]) −→ C([a, b])

el operador de Fredholm. La transformaci´ on K n : C([a, b]) −→ C([a, b]) definida por: K n (x) = K n−1 (K(x)),

n ∈ N, n > 1

es tambi´en un operador de Fredholm. Basta demostrarlo para k = 2 y luego usar inducci´ on sobre n. [si n = 1, convenimos que K 0 = I, donde I denota la identidad de C([a, b]) en C([a, b])]. En efecto,

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

156

K 2 (x + y) = K(K(x + y)) = K(K(x) + K(y)) = K(K(x)) + K(K(y)) = K 2 (x) + K 2 (y) y, K 2 (αx)

= K(K(αx))

= K(αK(x)) = αK(K(x)) ∀ x, y ∈ C([a, b]), α ∈ F.

= αK 2 (x), Por otra parte K 2 (x)(s) = K(K(x))(s) =

Rb

k(s, t) K(x)(t)dt

a

=

Rb

k(s, t) x1 (t)dt

a

donde

x1 (t) = K(x)(t). As´ı, K 2 es un operador de Fredholm.

Ejemplo 3.3.4

Sea K : C([a, b]) −→ C([a, b]),

el operador de Fredholm. Entonces, I − K donde I denota el operador identidad de C([a, b]) en C([a, b]) es un operador lineal acotado. Ahora bien, nos planteamos la siguiente pregunta: Dada una funci´ on y ∈ C([a, b]), ¿ Existe alguna funci´ on x ∈ C([a, b]) tal que: (I − K)(x) = y?. Observe que

3.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE OPERADORES LINEALES ACOTADOS157

(I − K)(x) = y ⇐⇒ x(s) −

Z

b

k(s, t)x(t)dt = y(s). a

La ecuaci´ on (I − K)(x) = y se llama la ecuaci´ on integral de Fredholm. Existe una u ´nica soluci´ on para dicha ecuaci´ on y es la funci´ on x =

∞ X

Kn

n=0

donde la serie

∞ P

!

(y)

[k 0 = I]

K n define un operador lineal acotado de C([a, b]) en

n=0

C([a, b]).

Ejemplo 3.3.5 Sean (X, k ∙ k) un espacio de Banach y, M un subespacio cerrado de X. Sabemos por el Teorema (1.2.13) que el espacio cociente b = X/M es un espacio de Banach con la norma: X k[x]k = ´ınf kx + mk m∈M

(x ∈ X, [x] := x + M ).

Sea la transformaci´ on Π : X −→ X/M definida por: Π(x) = [x]. Se puede verificar facilmente que Π es un operador lineal. Adem´ as, kΠ(x)k = k[x]k = ´ınf kx + mk ≤ kxk m∈M

∀ x ∈ X,

lo cual muestra que Π es acotado. Al operador lineal acotado Π tambi´en se le llama la proyecci´ on can´ onica.

158

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

Ejemplo 3.3.6 Sea p ≥ 1. De acuerdo a nuestro Ejemplo (2.3.3) sabemos que lp es un espacio de Banach con la norma k(xn )∞ n=1 kp =

∞ X n=1

|xn |p

!1/p

.

Sea p = 2, y consideremos el diagrama siguiente: Sd

l2

l2

Si

l2

donde Sd y Si son transformaciones definidas de la manera siguiente: Si (x1 , x2 , . . . , ) ∈ l2 entonces, Sd ((x1 , x2 , x3 , . . .)) = (0, x1 , x2 , x3 , . . .) y, Si ((x1 , x2 , x3 , . . .)) = (x2 , x3 , x4 , . . .). as Es f´ acil verificar que Sd y Si son operadores lineales. Adem´ 2

kSd ((x1 , x2 , x3 , . . .))k2 = esto es, kSd (x)k2 = kxk2 ,

∞ X n=1

 ∞

|xn | =

xn

∀x =

2



n=1 2



xn

As´ı, Sd es un operador lineal acotado y kSd k = 1 Tambi´en:

∞

n=1

∈ l2 .

2

3.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE OPERADORES LINEALES ACOTADOS159

2

kSi ((x1 , x2 , x3 , . . .))k2 = luego, kSi (x)k2 ≤ kxk2 ,

∞ X n=2

2

|xn | ≤ 

∀x =

Se puede verificar tambi´en que:

xn

∞ X n=1

∞

n=1

|xn |2

∈ l2 .

kSi k = 1.

Estos operadores Sd y Si son llamados el operador Shift a la derecha y el operador Shift a la izquierda respectivamente Ejemplo 3.3.7 Sean X y Y espacios de Banach. Sabemos por la Proposici´on (2.2.6) que X ⊕ Y es tambi´en un espacio de Banach con la norma:   k(x, y)k = kxk + kyk, (x, y) ∈ X ⊕ Y . Ahora bien, consideremos el diagrama:

X ⊕Y

Px

X

Py

Y

donde Px y Py son transformaciones definidas como: Px ((x, y)) = x y Py ((x, y)) = y

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

160

as, Es f´ acil verificar que Px y Py son operadores lineales. Adem´ kPx ((x, y))k = kxk ≤ kxk + kyk = k(x, y)k kPy ((x, y))k = kyk ≤ kyk + kxk = k(x, y)k Por tanto, Px y Py son operadores lineales acotados y: kPx k ≤ 1 kPy k ≤ 1 Note que: Px ((x, y)) + Py ((x, y)) = x + y Ejemplo 3.3.8 Sea a = t1 < t2 < . . . < tn−1 < tn = b una partici´ on del intervalo I = [a, b]. Sea T la transformaci´ on siguiente: T : C([a, b]) −→ Rn T (f ) = (f (t1 ), f (t2 ), . . . , f (tn )). Es claro que T es un operador lineal y: 2

kT (f )k = Por otra parte, como

n X i=1

|f (ti )|2 .

|f (ti )| ≤ kf ku , i = 1, 2, . . . , n, entonces

kT (f )k2 ≤ nkf ku 2

n ∈ N, n fijo

∀ f ∈ C([a, b]). As´ı, T es un operador lineal acotado y: √ kT k ≤ n Ejemplo 3.3.9 [un Teorema de extensi´ on para operadores lineales acotados] Sean V un espacio normado, W un espacio de Banach y, V0 un subespacio vectorial de V. Sea

3.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE OPERADORES LINEALES ACOTADOS161

T0 : V0 −→ W un operador lineal acotado. Entonces, existe un u ´nico operador lineal acotado T : V0 −→ W tal que: T | V 0 = T0 y as´ı T es una extensi´ on de T0 a V0 . Adem´ as kT kV0 = kT0 kV0 donde kT kV0 y kT0 kV son las normas de los operadores T y T0 calculadas respecto de las bolas unitaras de V0 y V0 respectivamente. En lo que sigue estas normas las denotaremos por kT k y kT0 k Demostraci´ on.

(a) Existencia Sea x ∈ V0 . Entonces, existe una sucesi´ on



xn

∞

n=1

⊂ V0

tal que kxn − xk −→ 0 si n → ∞. Ahora bien, ya que T0 es acotado vamos a tener que:

kT0 (xn ) − T0 (xm )k = kT0 (xn − xm )k ≤ kT0 kkxn − xm k −→ 0 si n, m −→ ∞ as´ı, la sucesi´ on



kxn −xm k −→ 0



T0 (xn )

∞

si

n, m −→ ∞

ya que

(xn )∞ n=1

es de Cauchy en W que por hip´ otesis es

n=1

un espacio de Banach y por tanto, es convergente a un u ´nico elemento de W. Definamos una transformaci´ on T : V0 −→ W por

es convergente



162

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

T (x) = l´ım T0 (xn ) n→∞

Notemos que T (x) es independiente on elegida en V0 que  ∞ de la sucesi´ converja a x. En efecto, sea yn otra sucesi´ on en V0 tal que n=1

yn −→ x si n → ∞. Entonces xn −yn → 0 si n → ∞ y en consecuencia por la continuidad de T0 : l´ım T0 (xn ) = l´ım T (yn ).

n→∞

n→∞

Es f´ acil verificar la linealidad de T y que T |V0 = T0 [¿Por qu´e ?] b) Unicidad Sea S : V0 −→ W otro operador lineal acotado tal que: S|V0 = T0 Afirmamos que S = T. En efecto, sea x ∈ V0 y



xn

∞

n=1

⊂ V0 tal que

on xn → x si n → ∞. Entonces, por la continuidad de S y de la Definici´ de T obtenemos que: S(x) = l´ım S(xn ) = l´ım T0 (xn ) = T (x) n→∞

n→∞

por tanto S = T. Mostraremos ahora que: kT k = kT0 k En efecto, recordemos inicialmente que:

3.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE OPERADORES LINEALES ACOTADOS163

kT0 k =

sup x ∈ V0 x 6= 0

kT0 (x)k kxk

y kT k

=

sup x ∈ V0 x 6= 0

kT (x)k kxk

Ahora  ∞bien, es claro que kT0 k ≤ kT k. Por otra parte, si x ∈ V0 y xn ⊂ V0 tal que xn → x si n → ∞, entonces n=1

T (x) = l´ım T0 (xn ) n→∞

Luego, kT (x)k = k l´ım T0 (xn )k =

n→∞

≤

n→∞

n→∞

l´ım kT0 (xn )k l´ım kT0 kkxn k

y en consecuencia, como l´ım kxn k = kxk obtenemos que: n→∞

kT (x)k ≤ kT0 kkxk esto es, kT k =

sup x ∈ V0 x 6= 0

kT (x)k ≤ kT0 k kxk

Ejemplo 3.3.10 [Noci´ on de operador compacto] Sean X y Y espacios normados. Un operador lineal T : X −→ Y

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

164



∞

se dice compacto, si para cada sucesi´ on acotada xn ⊂ X la sucesi´ on n=1 ∞  contiene una subsucesi´ on convergente. Un operador de im´ agenes T (xn ) n=1

lineal que es compacto se llama un operador compacto. A continuaci´ on mostraremos que el operador de Fredholm: K : C([a, b]) −→ C([a, b])

donde K(x)(s) =

Zb

k(s, t)x(t)dt

a

es operador compacto. [Ver el Ejemplo 3.3.10]. En efecto, sea ∞  un ⊂ C([a, b]) tal que: xn n=1

kxn ku ≤ M

para

n = 1, 2, 3, . . .  ∞ Mostraremos que la sucesi´ on de im´ agenes K(xn ) tiene las siguientes n=1

propiedades: (P 1) Es uniformemente acotada, esto es, existe una constante C > 0 tal que: kK(xn )ku ≤ C

para

n = 1, 2, 3, . . .

(P 2) Es equicontinua, esto es, dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que: |K(xn )(s) − K(xn )(s0 )| < ε

si

|s − s0 | < δ

para n = 1, 2, 3, . . .

y as´ıen consecuencia por el Teorema de Ascoli - Arzela quedar´ a demostrado ∞ contiene una subsucesi´ on convergente. que K(xn ) n=1

Verificaremos entonces (P 1) y (P 2) (P 1) Como K es acotado,

3.4. COMENTARIO FINAL DEL CAP´ITULO 3

kK(xn )k ≤ kKkkxn ku ≤ kKkM < ∞

165

para

n = 1, 2, 3, . . .

(P 2) Como k(s, t) es una funci´ on uniformemente continua, dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que: |k(s, t) − k(s0 , t)| < Luego:

ε M (b − a)

|s − s0 | < δ

si

b R Rb 0 0 K(xn )(s) − K(xn )(s ) = k(s, t)xn (t)dt − k(s , t)xn (t)dt a

a

b R = (k(s, t) − k(s0 , t))xn (t)dt a

≤

≤

3.4.

Rb a

|k(s, t) − k(s0 , t)||xn (t)|dt

ε M (b − a) = ε M (b − a)

para n = 1, 2, 3, . . .

Comentario final del Cap´ıtulo 3

Podemos decir que [1] es de mucha utilidad para comenzar el estudio con sus origenes y aplicaciones de la teor´ıa de Operadores Lineales Acotados. Para la Demostraci´ on de la identidad L(X, Y ) := B(X, Y )

(Proposici´ on 3.2.7)

Hemos seguido a la dada en [8] de su Proposici´ on 14 y mostrada en el Cap´ıtulo 1. La noci´ on de Operador de Fredholm fu´e tomada de [4] en el Cap´ıtulo 3. El concepto de Operador Compacto se tom´ o de [5] en el Cap´ıtulo 3.

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

166

3.5.

Ejercicios Propuestos

Esta Secci´ on contiene una lista de Ejercicios que permiten complementar la Teor´ıa desarrollada anteriormente. Cuando la soluci´ on del Ejercicio requiera el uso de un concepto [no dado en la Teor´ıa desarrollada en las Secciones previas] el mismo ser´ a dado en el Ejercicio. Presentamos a continuaci´ on nuestros Ejercicios. Ejercicios 3.5.1

Sea T ∈ B(X, Y ). Demostrar que si: 

M (T ) := ´ınf M : kT (x)k ≤ M ≤ kxk, ∀ x ∈ X



entonces, M (T ) = kT k Ejercicios 3.5.2 Sea T ∈ B(X, Y ). Demostrar lo afirmado en la Observaci´ on 3.1.11(b), esto es, sup x6=0

Ejercicios 3.5.3

kT (x)k = sup kT (x)k = sup kT (x)k kxk kxk≤1 kxk=1 on: Sea A = (ai,j )m×n ∈ Mm×n . Demostrar que la funci´ k ∙ k : Mm×n −→ R

definida por: kAk =

n,m X

i,j=1

|ai,j |

2

!1/2

es una norma sobre Mm×n Ejercicios 3.5.4

Sea T ∈ L(Rn , Rm ). Demostrar que kT k ≤ kA(T )k

3.5. EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicios 3.5.5

167

Dar un Ejemplo de un T ∈ L(Rn , Rm ) tal que: kT k < kA(T )k

[Sugerencia: Considere el operador lineal T : R2 −→ R2 definido por:     x x T   = Aθ   y y

donde



Aθ = 

cos θ − sen θ sen θ

cos θ

Interpretar geom´etricamente el operador T.] Ejercicios 3.5.6



.

Sea T : X −→ Y un operador lineal. Demostrar que: T es 1 − 1 ⇐⇒ N (T ) = {0}

Ejercicios 3.5.7

Sean X y Y espacios normados tales que: dimX = ∞

Y 6= {0}.

y

Demostrar que existe un operador lineal T : X −→ Y que no es acotado Ejercicios 3.5.8 Verificar que las siguientes transformaciones definen operadores lineales acotados. Estimar kT k a) T : Mm×n −→ Mm×n

T (A) = At B

donde At denota la transpuesta de la matriz A y, B es una matriz fija en Mm×n .

b) T : C([0, 1]) −→ R

T (f ) =

c) T : C 0 ([0, 1]) −→ C([0, 1]) x fijo

R1

f (t)dt

0

T (f )(x) = xf 0 (x) donde x ∈ [0, 1],

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

168 1

d) T : l −→ l

2

e) T : l1 −→ c0





1p T xn = |xn | 2n n=1  ∞   ∞ T xn = xn n=1

∞

n=1

n=1

∞    1 − f (0) T (f ) = f n n=1

f ) T : C([0, 1]) −→ c0 Ejercicios 3.5.9

∞ 

Considere el diagrama:

l2

Sd

l2

Si

l2

donde Sd y Si son operadores lineales acotados dados en el Ejemplo 3.3.6. Demostrar que: a) Sd es 1 − 1 pero no es sobre. b) Si es sobre pero no es 1 − 1. c) Si ◦ Sd = I. d) Sd ◦ Si 6= I. e) ¿ Cu´ al es N (Sd ◦ Si ) ?. f ) ¿ Cu´ al es el n´ ucleo de Si ?. Ejercicios 3.5.10 grama

Sean X, Y y Z espacios normados. Considere el dia-

3.5. EJERCICIOS PROPUESTOS

169

Y ⊕Z

L T X

Y

A

Z

donde T ∈ B(X, Y ), A ∈ B(X, Z) y, Y ⊕ Z es el espacio normado definido en la Proposici´ on 1.2.8. El operador lineal L est´ a definido como:   L(x) = T (x), A(x) , x ∈ X. Demostrar que:

a) L ∈ B(X, Y ⊕ Z) y que adem´ as kLk ≤ kT k + kAk b) L es 1 − 1 ⇐⇒ N (T ) ∩ N (A) = {0} Ejercicios 3.5.11 Dos espacios normados X y Y, se dicen isomorfos si existe un operador T ∈ B(X, Y ) que es biyectivo y que adem´ as −1 T ∈ B(X, Y ). Demostrar que si X y Y son isomorfos con X siendo adem´ as un espacio de Banach, entonces Y es tambi´en un espacio de Banach.

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

170

Ejercicios 3.5.12 Dos espacios normados X y Y se dicen isom´etricamente isomorfos si existe un operador lineal T : X −→ Y tal que: T (X) = Y

y adem´ as

kT (x)k = kxk, ∀ x ∈ X

Demostrar que si X y Y son isom´etricamente isomorfos entonces son isomofos. Ejercicios 3.5.13 ¿ Se preserva siempre la separabilidad de un espacio de Banach a trav´es de un isomorfismo isom´etrico? Ejercicios 3.5.14 Consideremos el espacio vectorial Rn (n ≥ 2) dotado de la norma usual Y. Sea: M :=



(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R

n

:

n X i=1 n



xi = 0 .

Demostrar que M es un subespacio cerrado de R , construir espacio cociente Rn /M y hallar k[(1, 1, 1, . . . , 1)]k Ejercicios 3.5.15

Resolver las siguientes ecuaciones integrales: 1

R2 1 5s a) = x(s) − s t x(t)dt 6 0 2 b) s = x(s) −

Rs 0

(t − s)x(t)dt

Ejercicios 3.5.16

Sean X y Y espacios normados y:   K(X, Y ) := T : X −→ Y, T es un operador compacto .

Demostrar que:

a) K(X, Y ) es un subespacio vectorial cerrado de B(X, Y ). b) Si Y es un espacio de Banach, ¿ es K(X, Y ) un espacio de Banach? Ejercicios 3.5.17 Sean S un operador compacto y T un operador lineal acotado. Sup´ ongase que las composiciones S ◦ T y T ◦ S estan bien definidas. Demostrar que ambas composiciones definen operadores compactos.

Bibliograf´ıa

171

172

CAP´ITULO 3. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

Bibliograf´ıa [1] Banach, S. Theory of Linear Operations, English translation by F.Jellett, London, United Kingdom, 1987. [2] Bartle, Robert. The elements of Real Analysis second edition. John Wiley and sons. 1976 [3] Bollob´ as, B´ela. Linear Analysis An Introductory Course. Cambridge University Press. 1990. [4] Davis, Martin. A first course in Functional Analysis. Gordon and Breach. 1966. [5] De Vito, Carl L. Functional Analysis and Linear Operator Theory. Addison - Wesley publishing company. 1990 [6] Diestel, Joseph. Sequences and Series In Banach Spaces. Springer - Verlag. New York, Inc. 1984 ´ [7] Grossman, Staley I. Algebra Lineal con Aplicaciones. Mc. Graw Hill. Interamericana de M´exico S.A. 1992 [8] Habala, Pert; H´ ajek, Pert; Zizler, V´ aclav. Introduction to Banach Spaces. matfypress, vydavatelstvi Matematicko - fyzik´ alni fakulty univerzity Karlovy. 1996 [9] Le´on M. Luis R. Minimizaci´ on en Espacio de Hilbert y Espacios de Banach. Trabajo de Ascenso. M´erida - Venezuela. 2000 [10] Mazon Ru´ız, Jos´e M. C´ alculo Diferencial. Teor´ıa y Problemas. Mc Graw - Hill. Iteramaricana de Espa˜ na S.A. 1997 173

174

BIBLIOGRAF´IA

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