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INVESTIGACIÓN OPERATIVA / “Ejercicios de teoría de colas”

2014

EJERCICIOS DE TEORIA DE COLAS a) Modelo M/M/1: Un servidor con llegadas de poisson y tiempos de servicio exponenciales: Ejercicios: Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceite y lubricante de automóviles. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de 2,5 automóviles por hora y la tasa media de servicio es de 5 automóviles por hora. Suponga que las llegadas siguen una distribución de probabilidad de poisson y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial.

a) ¿Cuál es la cantidad de promedio de automóviles en el sistema? b) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil que comience el servicio de aceite y lubricación? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema? d) ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicio? Datos:

Resolviendo: a) ¿Cuál es la cantidad de promedio de automóviles en el sistema?

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b) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil que comience el servicio de aceite y lubricación?

c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicio?

Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. Realice un análisis acerca de la situación actual del Banco. Datos:

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Resolviendo:

RESPUESTA: Según los datos obtenidos el sistema está ocupado el 70% del tiempo,

vacío el 30% del tiempo; en promedio hay 2.33 clientes en el sistema y 1.63 en la cola; el tiempo promedio de un cliente en el sistema de 0.33 horas = 20 minutos y un tiempo promedio de un cliente en la cola de 0.233 horas = 14 minutos. El escritor de referencia de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. Supongamos que puede usarse una distribución de probabilidad de Poisson con una tasa de media de 10 solicitudes por hora para describir el patrón de llegada y que los tiempos tasa media de 12 solicitudes por hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema? b. ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperaran por el servicio? c. ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience el servicio? d. ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencia en minutos 9(tiempo de espera más tiempo de servicio)? Datos:

Resolviendo: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema?

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b) ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperaran por el servicio?

c) ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience el servicio?

d) ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencia en minutos 9 (tiempo de espera más tiempo de servicio)?

e)

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Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b) Número Promedio de clientes en la cola. c) Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado. Datos: λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos µ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos= Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola) Resolviendo: a) Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema (Ws). podemos calcular a partir de Wq y µ.

Lo

Es decir en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos así 3 minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio. b) Para calcular el número de clientes en la cola (Lq), usaremos la fórmula siguiente: Lq= λ Wq.

Es decir los cálculos nos muestran que en la cola puede haber más de dos en la cola.

clientes

c) Para calcular cual es el número de clientes en la cola (Ls). Lo podemos hacer con la fórmula: Ls= λ Ws.

Es decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por lo que los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.

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Un fotógrafo de la embajada de los Estados Unidos toma las fotografías para los pasaportes a una tasa promedio de 20 por hora. El fotógrafo debe esperar hasta que el cliente deje de parpadear y hacer gestos, así que el tiempo para tomar una fotografía se distribuye exponencialmente. Los clientes llegan a una tasa promedio de acuerdo a una distribución de Poisson de 19 clientes por hora. o ¿Cuál es la utilización promedio del fotógrafo? o ¿Cuánto tiempo promedio permanece el cliente en el estudio del fotógrafo? a) Las suposiciones en el enunciado del problema son consistentes con el modelo de un solo servidor. El factor de utilización del servidor es:

b) El tiempo promedio que el cliente permanece en el estudio del fotógrafo es

Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes: a) ¿Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso? b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando). c) ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, (incluyendo el tiempo de servicio)? d) ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora? Datos: λ= 10 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 1/6 clientes/minutos. µ= 1 clientes/4minutos (media de servicio de los clientes)=1/4 cliente/minuto. Resolviendo: a) Por tanto

66.67% factor de utilización del sistema.

Es decir que el sistema permanece ocioso el 33.33% 7

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b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? 1.333 Puede haber 2 autos en la cola.

c) ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco (incluyendo el tiempo de servicio)? Nos preguntan por el tiempo promedio que el cliente pasa en el sistema. Ws. 12 Minutos pasa el cliente en el sistema

d) ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora? Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio de μ=15 clientes por hora. Según la solución encontrada en el inciso a (1/4*60=15), el cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada hora, el cajero atenderá un promedio de (2/3) (15)= 10 clientes. Esto es ρ*µ= 2/3 * 15 = 10 clientes. El gerente de una tienda de abarrotes en una comunidad de jubilados está interesado en proporcionar buen servicio a los ciudadanos de la tercera edad que compran en su tienda. Actualmente, la tienda tiene una caja de cobro exclusiva para los ciudadanos de la tercera edad. En promedio, 30 ciudadanos de la tercera edad llegan por hora a la caja, de acuerdo a una distribución de Poisson, y se atienden a una tasa promedio de 35 clientes por hora, con tiempos de servicio exponencial. Determine las siguientes características de operación:  Probabilidad que no haya clientes en el sistema, o bien, la probabilidad de tener a todos los servidores desocupados.  Utilización promedio de la cajera.  Número promedio de clientes en el sistema.  Número promedio de clientes en la línea.  Tiempo promedio de espera en el sistema.  Tiempo promedio de espera en la línea. a)

(

)

(

)

b) c) d)

( )

( ) 8

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e) ( )

f)

( )

b) Modelo M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio: Ejercicios: Un lavadero automático de autos tiene una línea de remolque de manera que los autos se mueven a través de la instalación de lavado como una línea de ensamble. Supóngase que se acepta un auto cada 5 minutos y que la tasa promedio de llegadas es de 9 autos por hora según Poisson. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1.

Datos: o

λ= 9 Autos/hora

o

µ

o

=

Autos/hora

= 0.75

Desarrollo: 1.125 clientes

0.125 hrs. =7.5 min

= 0.2083 hrs. = 12.5 min = 1.8747 clientes Un restaurante de papas fritas, tiene el servicio de Drive-In en la cual los clientes arriban al restaurante a una tasa de 45 por hora siguiendo una distribución de Poisson. Las ordenes son procesadas con un modelo FIFO y existe un solo servidor, el cual se demora 1.2 minutos en preparar la orden.

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Datos: o

= 45 clientes/hora = 1.2 min = 72 clientes/hora

Desarrollo: o Número promedio de clientes que esperan en la cola =

= 0.5208

o Tiempo promedio que un cliente espera en la cola = 0.0116 horas

o Número promedio de clientes en el sistema = 1.1458 o Tiempo promedio que los clientes están en fila 0.0255

A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1. Datos:

o o o Desarrollo:

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-2.68 =-2.68 (-1) = 2.68

c) Modelo M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio: Ejercicios: Un solo empleado maneja las ventas al menudeo de una tienda de alimentos. Las llegadas de los clientes son aleatorios y la tasa promedio de llegada es de 21 clientes por hora. Un estudio del proceso de servicio muestra que el tiempo promedio de servicio es de dos minutos por clientes, con una desviación estándar 1.2 minutos. Calcule las medidas de eficiencia del sistema.  Determinar tasa de llegada y tasa de servicio

 = Tasa de llegada  = 21 clientes / hora  = 0.35 clientes/minuto  = Tasa de servicio  = 0.5 clientes/minuto

 =1.2 minutos  Comprobar si el sistema tiene una capacidad de atención P120 Desarrollo: a) (⁄ )

∑

(

⁄

)

(

⁄

)

⁄

(

)

(

(⁄ )

⁄

)

(

(



⁄

)

)

(

⁄

)

(

)

b) (⁄ )   (

⁄



)

c)

 

Entonces el costo por los r cajeros es igual a: K x costo del servidor ocupado por hora(CS) + Ls x costo de espera de los clientes por hora (CW) = 5 x (9) + 6.2187 x (3) = U$ 63.66.

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